22.1.4 二次函数 y=ax2+bx+c的图象和性质同步练习（含解析）2025-2026学年人教版九年级数学上册

22.1.4 二次函数 的图象和性质
第1课时 二次函数 的图象和性质
练基础
知识点1 与 0)的关系
1 将二次函数 化为 的形式，正确的是 ( )
知识点2二次函数 的图象和性质
2(重庆校级期中)二次函数 图象的对称轴是 ( )
A. x=-3 B. x=-6 C. x=6 D. x=4
3(浙江衢州二模)二次函数 的图象的顶点坐标是 ( )
A.(-3,1) B.(3,1)
C.(3,-1) D.(-3,-1)
4(福建福州校级期末)若a>0，则二次函数y= 的图象可能是 ( )
5在抛物线 上,当x 时，y随x的增大而减小；当x 时，y随x的增大而增大；当x 时，y有最 值是 .
知识点3二次函数 的平移
6将抛物线 先向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到的新抛物线对应的函数解析式是 .
【变式】(山西太原一模)在平面直角坐标系中，将抛物线 先沿x轴向右平移3个单位长度，再沿y轴向上平移2个单位长度，得到抛物线 则抛物线 bx+c的函数解析式为 ( )
练提升
7若抛物线 与y轴的交点为(0,-3),则下列说法正确的是 ( )
A.抛物线开口向下
B.抛物线的对称轴为x=1
C.当x>-1时，y随x的增大而减小
D. c的值为-3
8一次函数y=ax+b与二次函数 在同一坐标系中的图象可能是 ( )
9如图，已知抛物线 向右平移2个单位长度得到抛物线y ，则阴影部分的面积为 ( )
A.3 B.4
C.5 D.6
10(北京中考)在平面直角坐标系xOy中，点(1,m),(3,n)在抛物线 上，设抛物线的对称轴为x=t.
(1)当c=2,m=n时,求抛物线与y轴交点的坐标及t的值；
(2)点(x ,m)(x ≠1)在抛物线上.若rm练素养
11二次函数 图象上部分点的坐标满足下表：
x 1 2 3 4
y -3 -6 -11
若点 )在该函数图象上,则y ,y 的大小关系为y y .
12 已知二次函数 (a为常数)，当a取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”.如图分别是当 时二次函数的图象，它们的顶点在一条直线上，则这条直线的解析式是 .
微专题②比较函数值的大小
典例 抛物线 上有三点(2,a),(-1,b),(3,c),则a,b,c的大小关系是 .
学霸说 解决此类问题，常见的有三种方法.①代入法：将自变量的值代入解析式中，求出相应的函数值，直接比较大小；②性质法：根据抛物线的对称性将要比较的点移到对称轴的同侧，本题中，抛物线的对称轴为 ，点(-1,b)关于对称轴对称的点为 ，再根据函数的增减性比较函数值的大小；③距离法：本题中，抛物线开口向 ，有最 值，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越
【答案】
变式训练
1.抛物线 经过 则 的大小关系是 ( )
D.不能确定
2.(陕西中考)已知二次函数 的自变量取x ，x ，x 时，对应的函数值分别为 当 时,y ,y ,y 三者之间的大小关系是 ( )
专题3二次函数的图象和性质的运用
类型1二次函数与一次函数图象共存问题
典例1 (内蒙古呼和浩特中考)二次函数y=ax 与一次函数y=ax+a在同一坐标系中的大致图象可能是 ( )
若函数解析式中只含有一个参数，则对参数的正负进行分类讨论；若函数解析式中含有多个参数，则逐个判断每个选项中，两个函数的所有参数的正负性，同一参数的正负性一致的为正确选项.本题中，可分为 和 进行讨论.
【答案】
变式训练》
1(四川南充蓬安期中)当a≠0时,y= ax+b和y= 的大致图象可能是 ( )
类型2利用抛物线的对称性解题
典例2 (山东德州陵城期末)已知二次函数 (a,b,c为常数，且a≠0)图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表：
x -1 0 1 2
y 0 2 3 3
那么，它的对称轴为 ( )
A. x=-1 B. x=0 C. x=1.5 D. x=2
若抛物线上不重合的两个点的坐标分别为(a，m)，(b，m)，则这两点关于抛物线的对称轴对称，该抛物线的对称轴为x= 本题中,当x= 和x= 时纵坐标相同，则抛物线的对称轴为 .
【答案】
变式训练
2(江西南昌模拟)已知抛物线 过不同的两点A(a,n),B(b,n),则当点C(a+b，m)在该抛物线上时，m的值为 ( )
A.0 B.1
C.0或1 D.±1
3已知二次函数 的图象如图所示,当x=2时,y的值为 .
类型3二次函数图象的变换
典例3 (广西玉林中考)小嘉说将二次函数 的图象平移或翻折后经过点(2，0)有4种方法：
①向右平移2个单位长度；
②向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度；
③向下平移4个单位长度；
④沿x轴翻折，再向上平移4个单位长度.你认为小嘉说的方法中正确的有 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
二次函数图象常见的变换有两种.
(1)平移变换：遵循“上加下减，左加右减”的规律.(2)对称变换：抛物线y=a(x-h) +k关于x轴对称后，得到 关于y轴对称后，得到 本题中，分别得出4种变化后的函数解析式，再将点 代入解析式看是否符合.
【答案】
变式训练
4 抛物线 关于x轴对称的抛物线为( )
5已知抛物线
(1)将抛物线L 先关于y轴对称，再向下平移m个单位长度得到抛物线L .若抛物线L 的顶点恰好落在抛物线L 上，求m的值.
(2)把抛物线L 向右平移n(n>0)个单位长度得到抛物线L .已知点P(8-t,s),Q(t-4,r)都在抛物线L 上，且当t>6时，都有s>r，求n的取值范围.
类型4在规定范围内求二次函数的最值
典例4 (浙江金华兰溪模拟)已知二次函数y= 该函数在-2≤x≤2的取值范围内，下列说法正确的是 ( )
A.有最大值-3,最小值-11
B.有最大值-6,最小值-11
C.有最大值-2,最小值-11
D.有最大值-2，最小值-3
学霸说 若规定了自变量的取值范围，则需要分情况讨论：(1)若顶点的横坐标在所给的范围内，则要从顶点、界点中确定二次函数的最大值或最小值；(2)若顶点的横坐标不在所给的范围内，则要从界点中确定二次函数的最大值或最小值.本题中，图象开口向 ，对称轴为 ，则当x= 时，有最 值为 .
【答案】
变式训练》
6 抛物线 的顶点的纵坐标为2，若-5≤x≤-1，则有关该函数最值的情况，下列判断正确的是 ( )
甲：最大值为2，最小值为-20；
乙：最大值为20，最小值为4；
丙：a值不确定，故无法求最值.
A.只有甲正确
B.只有乙正确
C.只有丙正确
D.甲、乙、丙均不正确
7(浙江温州校级模拟)已知函数 当0≤x≤m时，有最大值3，最小值2，则m的取值范围是 ( )
A. m≥1 B.0≤m≤2
C.1≤m≤2 D.1≤m≤3
第2课时 确定二次函数的解析式
练基础
知识点1 设一般式求二次函数的解析式
1 (教材P40第1题改编)已知二次函数 4x+c,当x=-2时,函数值是-1;当x=1时,函数值是5.则此二次函数的解析式为 .
2(山东临沂兰陵期末)小刚在用描点法画抛物线 时，列出了下面的表格：
x 0 1 2 3 4
y 3 6 7 6 3
请根据表格中的信息，写出抛物线C对应的函数解析式： .
3(教材P40第2题改编)一个二次函数的图象经过(-1,-1),(0,0),(1,9)三点.
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)若另外三点((x ,16),(x ,16),(x +x ,n)也在该二次函数图象上，求n的值.
知识点2 设顶点式求二次函数的解析式
4(安徽蚌埠校级阶段练习)已知抛物线的顶点坐标是(2,-1),且与y轴交于点(0,3),这个抛物线对应的函数解析式是 ( )
5(河北石家庄模拟)抛物线的形状、开口方向与 相同，顶点坐标为(-2，1)，则其对应的函数解析式为 ( )
6二次函数的部分图象如图所示，对称轴是x=-1，则这个二次函数的解析式为 ( )
练提升
7(云南昭通校级阶段练习)已知抛物线 bx+c的顶点坐标为(1，3)，则抛物线对应的函数解析式为 ( )
8(浙江杭州中考)在“探索函数 的系数a，b，c与图象的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中的四个点:A(0,2),B(1,0),C(3,1),D(2,3).同学们探索了经过这四个点中的三个点的二次函数图象，发现这些图象对应的函数解析式各不相同，其中a的值最大为 ( )
A. B C D.
9请选择一组你喜欢的a，b，c的值，使二次函数 的图象同时满足下列条件：
①开口向下；②当x<3时，y随x的增大而增大；当x>3时，y随x的增大而减小.这样的二次函数的解析式可以是 .
10(吉林白城大安期中)如图，在平面直角坐标系中，抛物线 的图象经过点(-3,0),(3,3),与y轴交于点C.
(1)求抛物线C 的解析式；
(2)将抛物线C 先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度后得到抛物线C ，抛物线C 的顶点为D，求△ODC的面积.
练素养
11 我们称顶点相同的两条抛物线为“同位抛物线”，已知抛物线C ：
(1)下列抛物线中，与C 是“同位抛物线”的是 .
(2)若抛物线 与C 是“同位抛物线”，则a与c需满足什么关系
(3)在(2)的条件下,若抛物线C 过点(-1,-1)，求抛物线C 的解析式及对称轴.
微专题③ 设交点式求二次函数的解析式
【方法指导】如果给出的条件涉及二次函数的图象与x轴的两个交点 可以将其解析式设为 即交点式.
【针对训练】
1.(教材P42第10(3)题改编)已知抛物线y= 过(-3,0),(4,0),(1,-24)三点,则该抛物线的解析式为 ( )
2.已知二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的解析式为 ( )
22.1.4 二次函数 的图象和性质
第1课时 二次函数 的图象和性质
1. B 解析: 故选B.
2. A解析：解法一：∵二次函数 ∴该函数的对称轴是x=-3.
解法二:由题意得a=1,b=6,
∴该函数的对称轴是
3. B解析:解法一: ∴抛物线顶点坐标为(3，1).
解法二：将a=-1,b=6,c=-8代入 可得顶点坐标为(3，1).
4. D 解析:∵a>0,∴抛物线开口向上.
∵对称轴为 ∴对称轴在y轴的左侧.
由 可知，抛物线与y轴的交点为(0，-1)，故选D.
5.>-2 <-2 =-2 大 解析：由题意，得抛物线的对称轴为 顶点坐标是(-2，4)，开口向下，故当x>-2时，y随x的增大而减小；当x<-2时，y随x的增大而增大；当x=-2时，y有最大值为4.
解析：由 得到y=2(x-2) -7.将抛物线y=2(x-2) -7先向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到的新抛物线对应的函数解析式是 即
【变式】B解析：
将抛物线 先沿x轴向左平移3个单位长度，再沿y轴向下平移2个单位长度后得到抛物线 5-2,即
所以 故选B.
解题关键点：平移规律：上加下减，左加右减.
7. D 解析:· 与y轴交点为(0,-3),∴c=-3,故D正确，符合题意.抛物线 ∴抛物线开口向上，对称轴为x=-1，当x>-1时，y随x的增大而增大，故A，B，C不正确，不符合题意.故选D.
解题关键点：二次函数 与y轴的交点为(0,c).
8. C 解析:A.由抛物线可知,a<0,由直线可知,a>0,故本选项错误；B.由抛物线可知，a> b<0,由直线可知,a>0,b>0,故本选项错误;C.由抛物线可知,a<0,
由直线可知，a<0，b<0，故本选项正确；
D.由抛物线可知， 由直线可知，a<0，b>0，故本选项错误.故选C.
9. D 解析：如图，设点M为抛物线y 的顶点，点N为抛物线y 的顶点，连接MA,NB,则四边形AMNB的面积和阴影部分的面积相等.
∵AB∥MN,AB=MN=2,∴四边形AMNB是平行四边形.
∴该抛物线的顶点M的坐标为(-1，-3)，
∴点M到x轴的距离为3，∴四边形AMNB的面积是2×3=
6，∴阴影部分的面积是6，故选D.
10.解:(1)将点(1,m),(3,n)代入抛物线解析式,得m=a+b+c,n=9a+3b+c.
∵m=n,∴a+b+c=9a+3b+c.
整理,得b=-4a,
∴抛物线的对称轴为
∵c=2,∴抛物线与y轴交点的坐标为(0,2).
(2)∵m即
∵(1,m),(x ,m)都在抛物线上,∴两点关于x=t对称,
解得2即x 的取值范围是
11.≥解析：由表中数据得抛物线的对称轴为x=1，开口向下，
∴点(-4,y )到对称轴的距离为|-4-1|=5,
∴点 到对称轴的距离最小值是5，∴y ≥y .
解析： ∴抛物线的顶点坐标为(2a,a-1).设x=2a,y=a-1,|由x=2a得 代入y=a-1,得
解题关键点：配方法求出抛物线的顶点坐标，用x，y分别表示横、纵坐标，再消去参数即可.
微专题 2
典例 (0,b) 上 小 大
【答案】c>a>b 解析:解法一:将(2,a),(-1,b),(3,c)分别代入 得a=8,b=2,c=14,∴c>a>b.
解法二：抛物线 的对称轴为 故点(-1,b)关于对称轴对称的点为(0，b).∵抛物线开口向上， 时,y随x的增大而增大.∵3>2>0,∴c>a>b.
解法三：抛物线 的对称轴为 三个点中(3,c)与对称轴距离最远，(-1，b)与对称轴距离最近，∴c>a>b.
变式训练
1. B 解析:∵抛物线 开口向上，对称轴为x= ∴点(-1,y )关于对称轴的对称点为(3,y ).∵1<2<3,∴y >y .故选B.
2. D解析：抛物线 开口向上，对称轴为 ∴三个点中距离对称轴最远的点为(x ，y )，距离对称轴最近的点为((x ,y ),∴y 专题3 二次函数的图象和性质的运用
典例1 a>0 a<0
【答案】D解析：由一次函数y=ax+a，可知一次函数的图象与x轴交于点(-1,0),排除A,B;
当a>0时，二次函数y=ax 图象开口向上，一次函数y=ax+a图象经过第一、二、三象限；当a<0时，二次函数图象开口向下，一次函数图象经过第二、三、四象限，故选D.
变式训练
1. C解析：A.由抛物线开口向下，对称轴在y轴的右侧，得a<0,b>0;由直线经过第二、三、四象限,得a<0,b<0,不一致，故A不合题意.
B.由抛物线开口向上，对称轴在y轴的右侧，得a>0，b<0；由直线经过第一、二、三象限，得a>0，b>0，不一致，故B不合题意.
C.由抛物线开口向上，对称轴在y轴的右侧，得a>0，b<0；由直线经过第一、三、四象限，得a>0，b<0，一致，故C符合题意.
D.由抛物线开口向上，对称轴在y轴的右侧，得(a>0,b<0;由直线经过第一、二、四象限，得a<0，b>0，不一致，故D不合题意.故选C.
典例21 2 x=1.5
【答案】C解析：由抛物线过(1，3)，(2，3)两点，知抛物线的对称轴是 故选C.
变式训练
2. C 解析:∵A(a,n),B(b,n)的纵坐标相等,∴A,B是抛物线上一对对称点， 即.a+b=2m.
∵C(a+b,m)在该抛物线上,即C(2m,m)在该抛物线上,
∴-(2m-m) +2m=m,解得 故选C.
3.2 解析:∵抛物线的对称轴为x=1,∴当x=2和x=0时,y值相等.∵当x=0时,y=2,∴当x=2时,y=2.
典例3 (2,0)
【答案】D 解析:①变换后的解析式为y=(x-2) ,当x=2时,y=0,故①符合题意;②变换后的解析式为y=(x-1) -1,当x=2时，y=0，故②符合题意；③变换后的解析式为 当x=2时，y=0，故③符合题意；④变换后的解析式为 当x=2时,y=0,故④符合题意.故选D.
变式训练
4. A解析：解法一：与抛物线 关于x轴对称的抛物线为 即 故选A.
解法二 则与其关于x轴对称的抛物线为 故选A.
解题关键点：两抛物线关于x轴对称，则图象上所有对称点的横坐标相同，纵坐标互为相反数.
5.解:(1)抛物线 的顶点为(-1,9),将抛物线L 先关于y轴对称得到抛物线的顶点为(1，9)，再向下平移m个单位长度得到抛物线L ，则抛物线L 的顶点为(1,9-m).
∵抛物线L 的顶点恰好落在抛物线L 上，
∴把(1,9-m)代入y=-(x+1) +9,得 解得m=4.
(2)由题意，得抛物线
∵点.P(8-t,s),Q(t-4,r)都在抛物线L 上,
∵当t>6时,s>r,即s-r>0,
∴t>6时,[-(9-t-n) +9]-[-(t-n-3) +9]>0,整理变形,得-(9-t-n) +(t-n-3) >0,即(9-t-n+t-n-3)(t-n-3-9+t+n)>0,∴(6-2n)(2t-12)>0.
∵t>6,∴2t-12>0,∴6-2n>0,解得n<3.
∴n的取值范围是0典例4 下 x=1 1 大 - 2
【答案】C 解析:∵ ∴该函数的图象开口向下，对称轴是x=1，∴在-2≤x≤2的取值范围内，当x=1时,取得最大值-2,当x=-2时,取得最小值-11.
变式训练
6. D 解析: ∵抛物线 4ax+5a的顶点的纵坐标为2,∴a=2,∴y=2(x+2) +2,
∴抛物线开口向上，对称轴为x=-2.
∴当-5≤x≤-1时,函数有最小值2,
把x=-5代入y=2(x+2) +2,得y=20,
∴若-5≤x≤-1,则该函数最大值为20,最小值为2.故选D.
7. C解析：如图，∵二次函数 ∴抛物线开口向上，对称轴为x=1.
当y=3时,x=0或2.∵当0≤x≤m时,y最大值为3,最小值为2,∴1≤m≤2.故选C.
第2课时 确定二次函数的解析式
解析：根据题意，得 解得 所以二次函数的解析式为
解析:把(0,3),(1,6),(2,7)代入 bx+c中,得 解得
∴抛物线C对应的函数解析式为
3.解：(1)设二次函数的解析式为
∵二次函数的图象经过点(0,0),(-1,-1),(1,9)三点,
解得
∴这个二次函数的解析式为
(2)∵二次函数为
∴其图象的对称轴为
∵点(x ,16),(x ,16),(x +x ,n)t也在该二次函数图象上，
解题关键点：抛物线上纵坐标相同的两点关于抛物线的对称轴对称.
4. A解析：∵抛物线的顶点坐标为(2，-1)，∴设抛物线对应的函数解析式为y=a(x-2) -1(a≠0).把(0,3)代入,得4a-1=3，解得a=1.所以这个抛物线对应的函数解析式为 故选A.
5. C解析：∵抛物线的形状、开口方向与 相同，∴二次项系数为 .顶点在(-2，1)，∴对应的函数解析式为 故选C.
6. D解析：由题图知抛物线的对称轴为x=-1，故设二次函数的解析式为y=a(x+1) +k,将(-3,0),(0,3)代入,得 解得 则这个二次函数解析式为y= 故选D.
7. A 解析:∵抛物线 的顶点坐标为(1，3)，∴抛物线对应的函数解析式为y=(x-1) +3,即
解题关键点：由已知条件得到抛物线对应的函数解析式的二次项系数为1.
8. A解析：由图象知，经过A，B，D三点的二次函数图象开口向上，a>0；经过A，B，C三点的二次函数开口向上，a>0；经过B，C，D三点的二次函数开口向下，a<0；经过A，D，C三点的二次函数开口向下，a<0.又经过A，B，D三点的抛物线开口较小，故此种情况a的值最大.设抛物线对应的函数解析式为 ,把A(0,2),B(1,0),D(2,3)代入,得
解得 即a的值最大为 ,故选A.
解题关键点：|a|越大，开口越小.
9. y=-(x-3) +2(答案不唯一) 解析:∵抛物线开口向下,∴a<0.
∵当x<3时，y随x的增大而增大；当x>3时，y随x的增大而减小，∴抛物线的对称轴为x=3.
当a取-1，顶点设为(3，2)时，二次函数的解析式为y=-(x-3) +2.(答案不唯一)
10.解: 的图象经过点(-3,0),(3,3), 解得
∴抛物线C 的解析式为
∴抛物线C 的顶点坐标为(1，4)，与y轴交于点c(c,
∵将抛物线C 先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度后得到抛物线C ，
∴抛物线C 的顶点D的坐标为(-2,2),
∴△ODC的面积为
11.解:(1)B 提示:
∴抛物线C 的顶点坐标为(1，1).
∴抛物线 的顶点坐标为(1，1)，
∴与C 是“同位抛物线”的是
(2)根据题意，得抛物线C 的解析式为 即
(3)把(-1,-1)代入y=a(x-1) +1,得-1=a×(-1-1) +1,解得
∴抛物线C 的解析式为 对称轴为x=1.
微专题 3
1. B 解析:根据题意,设抛物线解析式为y=a(x+3)(x-4),将点(1,-24)代入,得-24=-12a,解得a=2,
故选B.
解题关键点：若给出的条件有二次函数的图象与x轴的两个交点((x ,0),(x ,0),可以将其解析式设为交点式y=
2. D 解析:由题图可得抛物线经过点(1,0),(2,0),(0,2),∴设该抛物线的解析式为yy=a(x-1)(x-2),将(0,2)代入,解得a=1,故 故选D.