22.1.3 二次函数 y=ax?h2+k的图象和性质同步练习（含解析）2025-2026学年人教版九年级数学上册

22.1.3 二次函数 的图象和性质
第1课时 二次函数 的图象和性质
练基础
知识点1 二次函数 的图象和性质
1(福建福州校级阶段练习)抛物线 的对称轴是 ( )
A. x=2022 B. x=-2022
C. x=-1 D. y轴
2(辽宁葫芦岛龙港二模)抛物线 的顶点坐标是 ( )
A.(1,-2) B.(1,2)
C.(0,-2) D.(0,2)
3抛物线 的图象大致是 ( )
4(黑龙江大庆龙凤期末)抛物线 的图象经过点A(-3,y ),B(1,y ),C(4,y ),则y ,y ，y 大小关系是 ( )
5(广东汕头澄海期末)二次函数 有最 值为 .
6(教材P32例2改编)二次函数 的图象顶点坐标是(0，2)，且形状及开口方向与抛物线 相同.
(1)确定a,k的值;
(2)在如图所示的平面直角坐标系中画出二次函数 的图象.
知识点2抛物线 与y=ax 的关系
7抛物线 与抛物线 的形状相同，开口方向相反，且其顶点坐标为(0，5)，该抛物线对应的函数解析式是 ( )
8(山东泰安校级阶段练习)函数 的图象可由 的图象向 平移 个单位长度得到；函数 的图象可由 的图象向 平移 个单位长度得到.
9(浙江湖州长兴阶段练习)抛物线y=2x 向下平移m个单位长度后，经过点(2，3)，求m的值.
练提升
10(青海西宁中考)函数 和y= ax+a(a为常数，且a≠0)，在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是 ( )
11(易错题)在平面直角坐标系中，抛物线y=2x 保持不动，将x轴向上平移1个单位长度(y轴不动)，则在新坐标系下抛物线对应的函数解析式是 ( )
12(湖北荆门中考)抛物线 上有两点A(x ,y ),B(x ,y ),若y 或 D.以上都不对
13(吉林长春南关一模)如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线交抛物线 于点B,C,则线段BC的长为 .
14已知二次函数 当x分别取x ,x (x ≠x )时，函数值相等，则当x取 时，函数值为 .
15将二次函数 的图象沿y轴向下平移4个单位长度后，与直线y=kx-2相交于A(-1,-1),B两点.
(1)求a,k的值;
(2)求点B的坐标.
练素养
16 (山东青岛莱西期末)如图，抛物线 与x轴交于A，B两点，其中点A在x轴的正半轴上，点B在x轴的负半轴上.
(1)试写出该抛物线的对称轴和顶点C的坐标.
(2)在抛物线上是否存在一点M，使△MAC≌△OAC 若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.
第2课时 二次函数y=a(x-h) 的图象和性质
练基础
知识点1 二次函数 的图象和性质
1(北京校级期中)抛物线 和 的对称轴分别是 ( )
A. y轴,x=2 B. x=2,x=-2
C. x=-2,x=2 D. y轴,x=-2
2(河北廊坊霸州期末)抛物线y=-(x+1) 的顶点坐标为 ( )
A.(-1,0) B.(1,0) C.(1,1) D.(-1,-1)
3在平面直角坐标系中，二次函数 (a≠0)的图象可能是 ( )
4(甘肃平凉校级期中)已知函数 当函数y随x的增大而减小时，x的取值范围是 .
5已知当x=2时,二次函数y=a(x-h) 有最大值，且函数图象经过点(1，-3)，则该二次函数的解析式为 .
6 (教材P35练习改编)(1)先填表，并在同一平面直角坐标系中画出二次函数 和y=(x+1) 的图象;
x -3 -2 -1 0 1 2 3
(2)分别写出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标.
知识点2 抛物线y=a(x-h) 与 的关系
7 (教材P35思考改编)对于任何非零实数h，抛物线 与抛物线 的相同点是( )
A.顶点相同 B.对称轴相同
C.开口方向相同 D.都有最低点
8(浙江杭州校级阶段练习)把函数 的图象向右平移1个单位长度，所得函数解析式为 ( )
9顶点坐标为(-5，0)，且与抛物线 的形状、开口方向相同的抛物线对应的函数解析式为 .它可以看作是由抛物线 向 平移 个单位长度得到的.
练提升
10(天津校级期末)对于二次函数 的图象，下列说法正确的是 ( )
A.开口向上
B.对称轴是x=-3
C.当x>-4时，y随x的增大而减小
D.顶点坐标为(-2,-3)
11 (贵州黔南州惠水期中)在同一平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b与二次函数y= 的图象大致为 ( )
12(山东烟台龙口期末)关于抛物线 与 下列说法不正确的是 （ ）
A.抛物线y 与y 的开口方向相同
B.抛物线y 与y 关于y轴对称
C.抛物线y 向左平移2个单位长度可得到抛物线y
D.抛物线y 绕原点旋转180°可得到抛物线y
13(易错题)已知二次函数y=-(x-h) (h为常数),当2≤x≤5时,函数的最大值为-1,则h的值为 ( )
A.1或3 B.4或6
C.3或6 D.1或6
14 已知二次函数y=3(x-5) ,当x分别取:x ,x (x ≠x )时，函数的值相等，则当x取 时，函数的值是 .
15(山东滨州校级阶段练习)已知抛物线y= 的顶点为A，抛物线与y轴交于点B，过点B作x轴的平行线交抛物线于另外一点C.
(1)求A,B,C三点的坐标;
(2)求△ABC的面积;
(3)试判断△ABC的形状，并说明理由.
练素养
16 新趋势 探究性问题小刚同学学习二次函数后，对函数 的图象和性质进行了探究.在经历列表、描点、连线后，得到如图的函数图象.请根据函数图象，回答下列问题：
x -3 -2 -1 0 1 2 3
y -4 -1 0 -1 a b -4
(1)表格中a= ,b= ,把坐标系中的函数图象补充完整.
(2)写出该函数的三条性质：
① ;
② ;
③ .
(3)若函数y=-(|x|-1) 与直线y=a有四个交点，则a的取值范围是 .
第3课时 二次函数 的图象和性质
练基础
知识点1二次函数 的图象和性质
1 抛物线 的对称轴是 ( )
A. x=3 B. x=7
C. x=-7 D. x=2
2(黑龙江哈尔滨中考)抛物线 的顶点坐标是 ( )
A.(9,-3) B.(-9,-3)
C.(9,3) D.(-9,3)
3(吉林长春期末)二次函数 的图象大致是 ( )
4在二次函数 中,当x>2时,y随x的增大而 (填“增大”或“减小”).
5 (教材P35例3改编)(1)画出函数y=-(x-1) +5的图象.
(2)根据图象回答下列问题，该函数的图象是一条 ，对称轴为 ，顶点坐标为 值是 ；有最 ；当 时，y随x的增大而减小.
知识点2抛物线 与 的关系
6(福建莆田校级阶段练习)在平面直角坐标系中，将抛物线 先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的新抛物线对应的函数解析式为 ( )
A. y=-(x-1) -2
【变式】(山东滨州滨城期末)把抛物线y= 先向右平移1个单位长度，再向上平移n个单位长度后，得到抛物线 则n的值是 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
7(广东东莞期中)把二次函数 的图象先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到二次函数 的图象.
(1)试确定a,h,k的值;
(2)指出二次函数 图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.
练提升
8(广西南宁期中)关于抛物线 下列结论不正确的是 ( )
A.开口向上
B. x<2时,y随x的增大而减小
C.对称轴是x=2
D.与y轴交于点(0,6)
9已知二次函数 的图象上有三个点，分别为A(2,y ),B(3,y ),C(-4,y ),则y ,y ,y 的大小关系是 ( )
【变式】(易错题)若二次函数 当x≤3时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是 ( )
A. m=3 B. m>3 C. m≥3 D. m≤3
10 在平面直角坐标系中，点A是抛物线y=a(x-3) +k与y轴的交点，点B是这条抛物线上的另一点，且AB∥x轴，则以AB为边的等边三角形ABC的周长为 .
11 新定义 新概念问题定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”.如图，在正方形OABC中,点A(0,2),点C(2,0),则“互异二次函数” 与正方形OABC有公共点时，m的最大值是 .
12(浙江杭州校级阶段练习)已知二次函数 (m是常数)的图象经过点P(a,b).
(1)若a=3,b=6,求m的值;
(2)若点P到对称轴的距离为1，求b的值.
练素养
13 新趋势 探究性问题二次函数y=(x+m) +k的图象如图所示，其顶点为M(1，-4).
(1)求出图象与x轴的交点A，B的坐标.
(2)在二次函数的图象上是否存在点P，使 若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由.
22.1.3 二次函数 的图象和性质第1课时 二次函数 的图象和性质
1. D 2. D
3. C解析：抛物线 开口向上，且顶点坐标为(0，1).故选C.
4. C 解析:∵抛物线 的对称轴为y轴，有最低点，A(-3,y ),B(1,y ),C(4,y ),
∴点C离y轴最远，点B离y轴最近，
故选C.
5.大 5 解析:∵抛物线 开口向下，顶点坐标为(0,5),∴二次函数 有最大值为5.
6.解:(1)由 图象的形状及开口方向与抛物线 相同，得 由 图象的顶点是(0,2),得k=2.(2)函数 的图象如下.
7. C解析：由“抛物线形状相同，开口方向相反”得a=5，由“顶点坐标为(0，5)”得k=5，故抛物线对应的函数解析式为
8.上 5 上 16
9.解：抛物线y=2x 向下平移m个单位长度后得到新的抛物线
把(2,3)代入,得3=8-m,解得m=5.
10. D 解析:∵二次函数 ∴抛物线的顶点为(0，1)，故A，B不符合题意；当a<0时，抛物线开口向下，直线经过第二、三、四象限，故C不符合题意，D符合题意.故选D.
11. B 解析:抛物线 的顶点坐标为(0，0)，∵将x轴向上平移1个单位长度(y轴不动)，∴新平面直角坐标系中抛物线的顶点坐标为(0，-1)，∴新坐标系下抛物线对应的函数解析式是 故选B.
易错点 易将平移坐标轴与平移抛物线混淆.
12. D 解析:∵抛物线 上有两点/A(x ,y ),B(x ,y ),且 或 或 或0 故选D.
解题关键点：抛物线开口向上时有最低点，抛物线上的点与对称轴距离越近，对应的函数值越小.
13.2 解析：将x=0代入 得y=3,
∴点A坐标为(0,3).
∵BC∥x轴,∴点B,C的纵坐标为3.
将y=3代入 得
解得
14. k 解析:∵二次函数 图象的对称轴为y轴，x分别取x ，x 时函数值相等， .当x取. 即x取0时,函数值y=k.
15.解:(1)函数 的图象沿y轴向下平移4个单位长度后，变为 的图象，
将(-1,-1)代入 得a=-1.
将(-1,-1)代入y= kx-2,得-1=-k-2,解得k=-1.
(2)∵a=-1,k=-1,
∴两函数的解析式分别为y=-x-2,y=-x ,
令 解得
当x=2时,y=-4.
故点B的坐标为(2,-4).
16.解:(1)抛物线 的对称轴为y轴，顶点C的坐标为(0,2).
(2)不存在.理由如下：
当y=0时,x=±2,∴A(2,0),∴OA=2.
又C(0,2),∴OC=OA=2,∴△OAC是等腰直角三角形.
假设存在一点M,使△MAC≌△OAC.
∵AC是公共边,OA=OC,
∴点M与点O关于直线AC对称，即四边形OAMC是正方形,∴M(2,2).
当x=2时,
即点M不在抛物线 上，
∴在抛物线上不存在一点M,使△MAC≌△OAC.
解题关键点：求出△MAC≌△OAC时点M的坐标，代入解析式判断该点是否在抛物线上.
第2课时 二次函数y=a(x-h) 的图象和性质
1. D 2. A
3. D解析：二次函数 的图象顶点坐标为(h，0)，即顶点在x轴上，只有D项符合题意，故选D.
4. x>-3 解析:∵函数 ∴该函数图象开口向下,对称轴为x=-3,∴当x>-3时,y随x的增大而减小.
5. y=-3(x-2) 解析:∵x=2时,二次函数 有最大值，∴该抛物线的顶点坐标为(2，0)，开口向下，∴a<0,h=2,∴y=a(x-2) .
将点(1,-3)代入,得a=-3,
故该二次函数的解析式为y=-3(x-2) .
6.解:(1)填表如下:
x -3 -2 -1 0 1 2 3
9 4 1 0 1 4 9
4 1 0 1 4 9 16
在同一平面直角坐标系中画出二次函数 和 的图象如图：
(2)二次函数 的图象开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为(0,0);y=(x+1) 的图象开口向上,对称轴为x=-1,顶点坐标为(-1,0).
7. C 解析:∵抛物线 是由抛物线 向左平移h个单位得到，
∴抛物线 与抛物线 的开口方向及形状相同，故选C.
左5
10. B 解析:y=-2(x+3) 的图象开口向下,对称轴是x=-3,当x>-3时，y随x的增大而减小，顶点坐标为(-3，0)，故选B.
11. A 解析：选项A，B，C中抛物线开口向上，对称轴x=a在y轴的右侧，则a>0，b>0，此时一次函数y=ax+b的图象经过第一、二、三象限，故只有A项符合题意，B，C项不符合题意.D项，由直线经过第一、三、四象限可知，a>0，b<0；由抛物线开口向下，对称轴x=a在y轴的左侧可知，b<0，a<0，不一致.故选A.
12. D 解析:∵抛物线 抛物线 =(x-1) ,
∴抛物线y 的开口向上,顶点为(-1,0),对称轴为x=-1,抛物线y 的开口向上，顶点为(1，0)，对称轴为x=1，故A正确；
∵抛物线y 与y 的顶点关于y轴对称，故B正确；
抛物线y 向左平移2个单位长度可得到抛物线y ，故C正确；
∵抛物线y 绕原点旋转180°得到的抛物线为y=-(x+1) ,与y 开口方向不同，∴抛物线y 绕原点旋转180°不能得到抛物线y ，故D不正确，故选D.
13. D 解析:∵y=-(x-h) ,∴抛物线开口向下,对称轴为x=h,顶点坐标为(h,0).
又∵当2≤x≤5时,函数的最大值为-1,∴h<2或h>5.
若h<2,当2≤x≤5时,y随x的增大而减小,∴x=2时,y取得最大值.
将x=2,y=-1代入y=-(x-h) ,得-1=-(2-h) ,解得h=3(舍去)或h=1.
若h>5,当2≤x≤5时,y随x的增大而增大,∴x=5时,y取得最大值.
将x=5,y=-1代入y=-(x-h) ,得-1=-(5-h) ,解得h=6或h=4(舍去).
∴h=1或6.
易错点 需由函数取得最值的情况推出h取值的两种情况，再分类讨论.
14.27 解析:∵二次函数y=3(x-5) ,
∴该函数图象的对称轴为x=5.
∵当x分别取 时，函数值相等，
∴当x取 时,函数值为3×(2-5) =27.
解题关键点：在二次函数图象上的两点纵坐标相等，则这两点关于图象的对称轴对称.
15.解:(1)如图,抛物线 的顶点为A(5,0).
x=0时,y=5,∴点B的坐标为(0,5).
∵BC∥x轴,
∴点C纵坐标为5,将y=5代入y= 解得
∴点C的坐标为(10,5).
(2)如图，连接AB,
(3)△ABC是等腰直角三角形.理由如下：
∵A(5,0),B(0,5),C(10,5),
∴△ABC是等腰直角三角形.
16.解:(1)0 - 1
补充完整函数图象如图.
(2)(答案不固定，合理即可)
①图象关于y轴对称；
②函数有最大值，最大值为0；
③当x>1时，y随x的增大而减小.
(3)-1第3课时 二次函数y=a(x-h) +k的图象和性质
1. B 2. B
3. C解析：二次函数y=(x+1) -2白的图象开口向上，对称轴为x=-1,与y轴的交点为(0,-1),在y轴的负半轴,故选C.
4.增大 解析：根据二次函数解析式为y=(x-1) +5可知，抛物线开口向上，对称轴是x=1，所以当x>2时，y随x的增大而增大.
5.解:(1)列表:
x -1 0 1 2 3
y 1 4 5 4 1
描点、连线，画出图象如图：
(2)抛物线 x=1 (1,5) 大 5 x>1
6. A解析：将抛物线 先向右平移1个单位长度，得到抛物线y=-(x-1) ，再向下平移2个单位长度，得到抛物线y=-(x-1) -2,故选A.
【变式】B解析：把抛物线 先向右平移1个单位长度，再向上平移n个单位长度后，得到 2+n,即 由题意可知-2+n=0,∴n=2,故选B.
7.解：(1)把二次函数 的图象先向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度得到原二次函数的图象，对应的函数解析式为
所以
(2)二次函数 图象的开口向上，对称轴为x=1，顶点坐标为(1,-5).
8. D 解析:抛物线y=(x-2) +6的开口向上,对称轴是x=2,当x<2时,y随x的增大而减小,当x=0时,y=10,即抛物线与y轴交于点(0，10)，故D选项不正确，符合题意.故选D.
9. D解析：∵二次函数的解析式
∴该二次函数的图象开口向上，对称轴为x=1.
∵A(2,y ),B(3,y ),C(-4,y )为二次函数y=2(x-1) +m的图象上三个点，且三点与对称轴x=1的距离由远到近顺序为(C(-4,y ),B(3,y ),A(2,y ),∴三点纵坐标的大小关系为 .故选D.
解题关键点：抛物线有最低点时，距离对称轴越近，函数值越小.也可以画出大致的函数图象，通过图象求解.
【变式】C解析：∵二次函数的解析式y=(x-m) -1的二次项系数是1，∴该二次函数的图象开口向上.又该二次函数的图象的对称轴为x=m，∴当x易错点 易忽略m>3时也符合题意.
10.18 解析:∵抛物线 的对称轴为x=3，且AB∥x轴,∴A,B关于x=3对称,∴AB=2×3=6,∴等边三角形ABC的周长=3×6=18.
解析：·
∴抛物线顶点坐标为(m，-m)，
∴抛物线顶点在直线y=-x上.
∵四边形OABC为正方形,点A(0,2),点C(2,0),
∴点B坐标为(2,2),
易知当抛物线经过点B时，m取得最大值，将(2，2)代入 得 解得 或m= (舍去).故m的最大值是
12.解:(1)把点P(3,6)代入解析式,得 解得m =5,m =1,∴m|的值为5或1.
(2)∵二次函数 的图象的对称轴为x=m，点P到对称轴的距离为1，
∴a=m+1或a=m-1.
当a=m+1时,
当a=m-1时,
∴b的值为0.
13.解:(1)∵M(1,-4)是二次函数 的顶点，
令y=0,解得
∴A,B两点的坐标分别为(-1,0),(3,0).
(2)存在.设P(x,y).∵A(-1,0),B(3,0),∴AB=4,
则
又
解得y=±5.
∵二次函数的最小值为-4，∴y=5.
当y=5时,x=-2或x=4.故P点坐标为(-2,5)或(4,5).
解题关键点：设出点P的坐标，依据 列方程求解，并根据二次函数的最值作出取舍.