《一元二次方程的解法》习题
一、填空题：
1．关于x的方程mx-3x=x-mx+2是一元二次方程，则m___________．
2．方程3x(x-1)=2(x+2)+8化成一般形式是____________________，二次项系数是____，一次项系数是____，常数项是______.
3．方程x=x的解为______________.
4．方程3 x=27的解为______________.
5．x+6x+____=(x+____)， a±____+=(a±____)
6．关于x的一元二次方程(m+3) x+4x+ m- 9=0有一个解为0 ， 则m=______.
二、选择题：
7．在下列各式中①x+3=y； ②2x- 3x=2x(x-1)–1 ； ③3 x-4x–5；④x=-+2
是一元二次方程的共有( )
A 0个 B 1个 C 2个 D 3个
8．一元二次方程的一般形式是( )
A x+bx+c=0 B a x+c=0 (a≠0 ) C a x+bx+c=0 D a x+bx+c=0 (a≠0)
9．方程3 x+27=0的解是( )
A x=±3 B x= -3 C 无实数根 D 以上都不对
10．方程6 x- 5=0的一次项系数是( )
A 6 B 5 C -5 D 0
11．将方程x- 4x- 1=0的左边变成平方的形式是( )
A (x- 2)=1 B (x- 4)=1 C (x- 2)= 5 D (x- 1)= 4
三、将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项
一般形式
二次项系数
一次项系数
常数项
t(t + 3) =28
2 x+3=7x
x(3x +2)=6(3x +2)
(3–t)+ t=9
四、用直接开平方法或因式分解法解方程：
(1)x2=64 (2)5x2-=0 (3)(x+5)2=16
(4)8(3 -x)2 –72=0 (5)2y=3y2 (6)2(2x－1)－x(1－2x)=0
(7)3x(x+2)=5(x+2) (8)(1－3y)2+2(3y－1)=0
五、用配方法或公式法解下列方程.：
(1)x+2x +3=0 (2)x+6x－5=0 (3)x－4x+3=0 (4)x－2x－1=0
(5)2x+3x+1=0 (6)3x+2x－1=0 (7)5x－3x+2=0
(8)7x－4x－3=0 (9)-x-x+12=0 (10)x－6x+9=0
《一元二次方程的解法》习题
一、填空题
1．如果是方程的两个根，那么____________．
2．已知一元二次方程的两根分别为，那么的值是____．
3．若方程的两根的倒数和是，则____________．
4．已知关于x的方程(2k+1)x2－kx+3=0，当k______时，方程为一元二次方程，
当k______时，方程为一元一次方程，其根为______．
5.关于x方程(m+3)x+(m－3)x+2=0是一元二次方程，则m的值为________．
6．方程x2－=0的两根为x1=______，x2=______．
7．如果是方程的两个根，那么的值等于________
8．若方程(x－2)2=a－4有实数根，则a的取值范围是________
二、选择题
1．下列方程中，两实数根之和等于2的方程是( )
A. B. C. D.
2．若方程两实数根的平方差为16，则m的值等于( )
A．3 B．5 C．15 D．
3．对于任意实数m，关于x的方程一定( )
A．有两个正的实数根 B．有两个负的实数根
C．有一个正实数根、一个负实数根 D．没有实数根
4．若x=1是方程(k－1)x2+(k2－1)x－k+1=0的一个根，则k值满足( )．
A．k=±1 B．k=1 C．k=－1 D．k≠±1
5．用直接开平方法解方程3(x－3)2－24=0，得方程的根是( )．
A．x=3+2 B．x=3－2 C．x1=3+2，x2=3－2 D．x=－3±2
三、用配方法解一元二次方程：
． ．
四、用适当方法解下列方程
y2+2y-3=0 4x2+x-5=0
4x2-3x=0 3(x+1)2=3.63
五. 解答题
1．已知关于x的方程的两个实数根的平方和等于4，求实数k的值．
2．已知一元二次方程
(1)当m取何值时，方程有两个不相等的实数根？
(2)设是方程的两个实数根，且满足，求m的值．
3．已知关于x的方程，k取什么值时，方程有两个实数根？
4．已知关于x的一元二次方程
求证：对于任意非零实数a，该方程恒有两个异号的实数根．
《一元二次方程的解法》教案
教学内容
1.给出配方法的概念，然后运用配方法解一元二次方程．
2.理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念．
3.因式分解的探究及其方法．
教学目标
1.了解配方法的概念，掌握运用配方法解一元二次方程的步骤．
2.通过复习上一节课的解题方法，给出配方法的概念，然后运用配方法解决一些具体题目．
3.会熟练应用公式法解一元二次方程．
4.会利用因式分解法解某些简单数字系数的一元二次方程．
重难点关键
重点：
1.讲清配方法的解题步骤．
2.求根公式的推导和公式法的应用．
3.应用因式分解法解一元二次方程．
难点与关键：
1.把常数项移到方程右边后，两边加上的常数是一次项系数一半的平方．
2.一元二次方程求根公式法的推导．
3.将方程化为一般形式后，对方程左侧二次三项式的因式分解．
教学过程
一、复习引入
(学生活动)解下列方程：
(1)x2-8x+7=0 (2)x2+4x+1=0
老师点评：我们前一节课，已经学习了如何解左边含有x的完全平方形式，右边是非负数，不可以直接开方降次解方程的转化问题，那么这两道题也可以用上面的方法进行解题．
解：(1)x2-8x+(-4)2+7-(-4)2=0
(x-4)2=9
x-4=±3即x1=7，x2=1
(2)x2+4x=-1
x2+4x+22=-1+22
(x+2)2=3即x+2=±
x1=-2，x2=--2
二、探索新知
像上面的解题方法，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫配方法．
可以看出，配方法是为了降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解．
例：解下列方程：
(1)x2＝2 (2)4x2－1＝0
分析：第1题直接用开平方法解；第2题可先将－1移项，再两边同时除以4化为x2＝a的形式，再用直接开平方法解之.
例：解下列方程：
(1)x2+6x+5=0 (2)2x2+6x-2=0 (3)(1+x)2+2(1+x)-4=0
分析：我们已经介绍了配方法，因此，我们解这些方程就可以用配方法来完成，即配一个含有x的完全平方．
解：(1)移项，得：x2+6x=-5
配方：x2+6x+32=-5+32(x+3)2=4
由此可得：x+3=±2，即x1=-1，x2=-5
(2)移项，得：2x2+6x=-2
二次项系数化为1，得：x2+3x=-1
配方x2+3x+()2=-1+()2(x+)2=
由此可得x+=±，即x1=-，x2=--
(3)去括号，整理得：x2+4x-1=0
移项，得x2+4x=1
配方，得(x+2)2=5
x+2=±，即x1=-2，x2=--2
三、应用拓展
用配方法解方程(6x+7)2(3x+4)(x+1)=6
分析：因为如果展开(6x+7)2，那么方程就变得很复杂，如果把(6x+7)看为一个数y，那么(6x+7)2=y2，其它的3x+4=(6x+7)+，x+1=(6x+7)-，因此，方程就转化为y的方程，像这样的转化，我们把它称为换元法．
解：设6x+7=y
则3x+4=y+，x+1=y-
依题意，得：y2(y+)(y-)=6
去分母，得：y2(y+1)(y-1)=72
y2(y2-1)=72， y4-y2=72
(y2-)2=
y2-=±
y2=9或y2=-8(舍)
∴y=±3
当y=3时，6x+7=3 6x=-4 x=-
当y=-3时，6x+7=-3 6x=-10 x=-
所以，原方程的根为x1=-，x2=-
用配方法解一般形式的一元二次方程：ax2+bx+b=0(a≠0)
用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法．
1．当b2-4ab>0时，一元二次方程ax2+bx+b=0(a≠0)有两个不等实数根；
2．当b2-4ab=0时，一元二次方程ax2+bx+b=0(a≠0)有两个相等实数根；
3．当b2-4ab<0时，一元二次方程ax2+bx+b=0(a≠0)没有实数根．
一般的，式子b2-4ab叫方程ax+bx+b=0(a≠0)根的判别式.用字母△表示.即△=b2-4ab.
一元二次方程的判别式与根的情况有何关系？
(1)当方程有两个不相等的实数根时，b2-4ab>0
(2)当方程有两个相等的实数根时，b2-4ab=0
(3)当方程没有实数根时，b2-4ab<0
你能用公式法解方程2x2-9x=-8吗？
解：2x2-9x+8=0 1.变形：化已知方程为一般形式；
∵a=2，b=-9，b=8 2.确定系数：用a，b写出各项系数；
△=b2-4ab=(-9)2-4×2×8=27>0
3.计算：b2-4ab的值；4．代入：把有关数值代入公式计算；
5．定根：写出原方程的根.
用公式法解一元二次方程的一般步骤：
1、把方程化成一般形式，并写出a、b的值；
2、求出△=b2-4ab的值；
3、代入求根公式；
4、写出方程的解；
定义：先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解法叫做因式分解法．
例：解下列方程
(1) (2)
解：(1)把方程因式分解得
→或
∴
(2)
移项，合并同类项，得→
因式分解，得
于是得或
∴
归纳：配方法要先配方，再降次；通过配方法可以退出求根公式，公式法直接利用求根公式；因式分解法要先使方程一边为两个一次因式相乘，另一边为0．配方法，公式法适用于所有一元二次方程，因式分解法用于某些一元二次方程．总之，解一元二次方程的基本思路是：将二次方程化为一次方程．
四、归纳小结
本节课应掌握：配方法、公式法、因式分解法的概念及用配方法解一元二次方程的步骤．
课件38张PPT。一元二次方程的解法一元二次方程的解法
用配方法解一元二次方程问题1 :什么叫做平方根？如果 ，那么x叫做a的平方根.问题2 :什么叫做开平方运算？求一个数平方根的运算叫做开平方运算.问题3 :根据平方根的意义你能解方程 吗？ 像这种用直接开平方求一元二次方程解的方法叫做直接开平方法.能利用直接开平方法解的一元二次方程应满足的形式为_____________例：解方程：一元二次方程如果有解，则解的个数一定为____ 2个方程 解为
方程 无解思考：对照上面解方程的过程，你认为应怎样解方程例：解方程：用直接开平方法还可以解形如______________方程从
实质上由以上解方程的经验你能解方程 吗？ 归纳：直接开平方法
配方法的步骤：1、看方程的二次项系数是否为1？2、移项：将常数项移到方程的另一边；3、配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方；4、左边写成完全平方的形式；5、开平方：将方程化为一元一次方程；（降次）6、解一元一次方程.配成完全平方的形式来解方程的方法叫做配方法.练习：1.解下列方程：2.解下列方程：一元二次方程的解法
用公式法解一元二次方程用配方法解一般形式的一元二次方程移项，得配方，得即(a≠0)即即因为a≠0，所以4 >0式子此时，方程有两个不等的实数根.即即因为a≠0，所以4 >0式子此时，方程有两个相等的实数根.=0即因为a≠0，所以4 >0式子而x取任何实数都不可能使 ，
因此方程无实数根.一般地，式子 叫做方程 根的判别式，通常用希腊字母△表示它 △＝一元二次方程的求根公式(a≠0)当△>0时，方程的实根可写为用求根公式解一元二次方程的方法
叫做公式法.例 解方程：解：即 ：>0方程有两个不等的实数根用公式法解一元二次方程的一般步骤：3、代入求根公式 :2、求出 的值，1、把方程化成一般形式，并写出 的值.4、写出方程的解：特别注意:当 时无解例 解方程：化简为一般式：这里解：即 ：解：去括号，化简为一般式：例 解方程：这里 方程没有实数解.练习：用公式法解下列方程：用公式法解下列方程：（1）2x2-9x+8=0；（2）9x2+6x+1=0；（3）16x2+8x=3.1、 m取什么值时，方程 x2+(2m+1)x+m2-4=0有两个相等的实数解2、关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0). 当a，b，c 满足什么条件时，方程的两根为互为相反数？一元二次方程的解法
用因式分解法解一元二次方程重点 难点重点：
用因式分解法解一元二次方程
难点：
正确理解AB=0〈=〉A=0或B=0（ A、B表示两个因式） 例、解下列方程 x+2=0或3x－5=0 ∴ x1=-2 ，x2= 提公因式法（2）(3x+1)2－5=0 解：原方程可变形为 (3x+1+)(3x+1－)=0 3x+1+=0或3x+1－=0 ∴ x1= ，x2= 公式法用因式分解法解一元二次方程的步骤1方程右边化为 .
2将方程左边分解成两个 的乘积.
3至少 因式为零，得到两个一元一次方程.
4两个 就是原方程的解. 零一次因式有一个一元一次方程的解快速回答：下列各方程的根分别是多少？下面的解法正确吗？如果不正确，错误在哪？( )2.解一元二次方程的方法：
直接开平方法 配方法 公式法
因式分解法小 结：1)方程右边化为 .
2)将方程左边分解成两个 的乘积.
3)至少 因式为零，得到两个一元一次方程.
4)两个 就是原方程的解 零一次因式有一个一元一次方程的解1.用因式分解法解一元二次方程的步骤：课件1张PPT。试用两种方法解方程：方法1：方法2：x2-900=0x2-900=0
解：移项，得x2=900
直接开方，得x=±30
即 x1=30，x2=-30
x2-900=0
解：利用平方差公式，
得(x+30)(x-30)=0
x+30=0 或x-30=0
即 x1=30，x2=-30
