《探索勾股定理》习题
一、填空题.
1、勾股定理说的是 .
2、直角三角形的两边长分别是3cm、4cm，则第三边长是 .
3、直角三角形的周长是24cm，斜边上的中线长为5cm，则此三角形的面积是 .
4、如图，△ABC是Rt△，BC是斜边，P是三角形内一点，将△ABP绕点A逆时针旋转后，能与△ACP′重合，如果AP=3，那么PP′的长等于 .
二、选择题.
1、已知有不重合的两点A和B，以点A和点B为其中两个顶点作位置不同的等腰直角三角形，一共可以作出( )
A、2个 B、4个 C、6个 D、8个
三、解答题.
1、在△ABC中，∠C=90°，BC=a，AC=b，AB=c.
(1)a=9，b=12，求c； (2)a=9，c=41，求b；
(3)a=11，b=13，求以c为边的正方形的面积.
2、如图，在四边形ABCD中，AB=8，BC=1，∠DAB=30°，∠ABC=60°，四边形ABCD的面积为5，求AD的长.
3、在直角三角形中，如果两直角边之和为17，两直角边之平方差为119，求斜边的长.
4、如图，在△ABC中，D是BC上一点，且满足AC=AD，请你说明AB2=AC2+BC·BD.
《探勾股定理》教案
教学目标
1、知识与技能目标：经历探索勾股定理及验证勾股定理的过程；运用勾股定理解决实际问题；了解有关勾股定理的历史.
2、过程与方法目标：在探索勾股定理的过程中培养学生的思维能力和语言表达能力；通过问题的解决，提高学生的运算能力.
3、情感态度与价值观目标：通过自主学习的发展体验获取数学知识的感受；通过有关勾股定理的历史讲解，对学生进行德育教育.
教学重点难点
1、重点：勾股定理.
2、难点：勾股定理的探索过程.
教学方法
讲授法、启发式教学法.
学习方法
讨论交流法、自主探索法.
教学工具
多媒体、三角板
教学过程
一、导入新课
俄罗斯的伟大作家托尔斯泰在作品《一个人需要很多的土地吗？》中写出一个故事：
有一个叫巴河姆的人到草原上去购买土地.卖地的人提出了一个非常奇怪的地价：“每天1000卢布.”意思是：谁出1000卢布，那么他从日出到日落走过的路所围成的土地都归他；不过，如果日落之前买地的人回不到原来的出发点，那么他就一点土地也得不到.巴河姆觉得条件对自己有利，于是付了1000卢布.第二天太阳刚刚从地平线升起，就连忙在草原上大步走去.他走了足足10俄了里才左拐弯，接着又走了许久，才再向左拐弯，这样又走了2俄里，这时他发现天色已经不早，而自己离出发点还足足有17俄里，于是只得改变方向，拼命朝出发点跑去，总算在日落之前赶回了出发点.可是，他还未站稳，两脚一软，就倒地口吐鲜血而死.
你能算出巴河姆这一天共走了多少路？走过的路所围成的土地面积有多大吗？
二、合作探索，讲授新课
1、探索思考
(如图1-1)想一想:(图中每个小方格代表一个单位面积)
(1)观察图1－1.
正方形A中含有__________个小方格，即A的面积是__________个单位面积； 正方形B中含有__________个小方格，即B的面积是_______个单位面积；
正方形C中含有__________个小方格，即C的面积是__________个单位面积.
(2)在图1－2中，正方形A，B，C中各含有多少个小方格？它们的面积各是多少？
(3)你能发现图1－1中三个正方形A，B，C的面积之间有什么关系吗？图1－2中的呢？
三、勾股定理
直角三角边的两直角边的平方和等于斜边的平方.这就是著名的“勾股定理”.
也就是说：如果直角三角形的两直角边为a、b，斜边为c.那么.
我国古代称直角三角形的较短的直角边为勾，较长的直角边为股，斜边为弦，这就是勾股定理的由来.
四、组织学生做练习
六、作业
习题3.1的1、2、.
课件19张PPT。勾 股 定 理如图，一根电线杆在离地面5米处断裂，电线杆顶部落在离电线杆底部12米处，电线杆折断之前有多高？5米BAC12米一、情景引入电线杆折断之前的高度=BC+AB=5米+AB的长448SA+SB=SCC图甲1.观察图甲，小方格
的边长为1.
⑴正方形A、B、C的
面积各为多少？⑵正方形A、B、C的
面积有什么关系？C图乙2.观察图乙，小方格
的边长为1.
⑴正方形A、B、C的
面积各为多少？91625SA+SB=SC⑵正方形A、B、C的
面积有什么关系？448SA+SB=SC图甲图乙2.观察图乙，小方格
的边长为1.91625SA+SB=SC⑵正方形A、B、C的
面积有什么关系？448SA+SB=SC图甲abcabc3.猜想a、b、c 之间的关系？a2 +b2 =c2 在方格纸上，画
一个顶点都在格点
上的直角三角形；并分别以这个直角三角形的各边为一边向三角形外作正方
形，仿照上面的方法
计算以斜边为一边的正方形的面积. 在方格纸上，画
一个顶点都在格点
上的直角三角形；并分别以这个直角三角形的各边为一边向三角形外作正方
形，仿照上面的方法
计算以斜边为一边的正方形的面积.勾股定理(毕达哥拉斯定理) （gou－gu theorem） 如果直角三角形两直角边分别为a， b，斜边为c，那么 即直角三角形两直角边的平方和等于
斜边的平方.ac勾弦b股 两千多年前，古希腊有个哥拉 斯学派，他们首先发现了勾股定理，因此在国外人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯年希腊曾经发行了一枚纪念票.定理.为了纪念毕达哥拉斯学派，1955勾 股 世 界国家之一.早在三千多年前，国家之一.早在三千多年前，国家之一.早在三千多年前，国家之一.早在三千多年前，国家之一.早在三千多年前，国家之一.早在三千多年前，国家之一.早在三千多年前，国家之一.早在三千多年前 两千多年前，古希腊有个毕达哥拉斯学派，他们首先发现了勾股定理，因此在国外人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯定理.为了纪念毕达哥拉斯学派，1955年希腊曾经发行了一枚纪念邮票. 我国是最早了解勾股定理的国家之一.早在三千多年前，周朝数学家商高就提出，将一根直尺折成一个直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即“勾三、股四、弦五”，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中.邮票赏析这是1955年希腊曾经发行的纪念一位数学家的邮票.2002年世界数学家大会会标 在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为“勾”，下半部分称为 “股”.我国古代学者把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”.勾股勾股弦勾股定理：勾股史话如图，一根电线杆在离地面5米处断裂，电线杆顶部落在离电线杆底部12米处，电线杆折断之前有多高？ ∴电线杆折断之前的高度
=BC+AB=5米+１３米＝１８米解：∵ＢＣ⊥ＡC，
∴在Ｒt△ＡＢＣ中，
ＡＣ＝１２，ＢＣ＝５，
根据勾股定理，1.求下列图中表示边的未知数x、y、z的值.①81144xyz②③做一做比一比看看谁算得快！2.求下列直角三角形中未知边的长:可用勾股定理建立方程.方法小结:8x171620x125x做一做１、如图，一个高3 米，宽4 米的大门，需在相对角的顶点间加一个加固木条，则木条的长为( )A.3米 B.4米 C.5米 D.6米C３４２、湖的两端有A、Ｂ两点，从与ＢA方向成直角的BC方向上的点C测得CA=130米，CB=120米，则AB为( )A.50米 B.120米 C.100米 D.130米130120？A3、在波平如静的湖面上，有一朵美丽的红莲 ，它高出水面1米 ，一阵大风吹过，红莲被吹至一边，花朵齐及水面，如果知道红莲移动的水平距离为2米 ，问这里水深多少？x+1BCAH12？┓xx2+22=(x+1)2盛开的水莲《勾股定理的验证》教案
教学目标
1、经历探索直角三角形三边间的数量关系，培养学生的说理和简单推理的意识和能力.
2、通过探索过程，使学生理解并掌握勾股定理，并能利用勾股定理解决一些实际问题.
3、培养学生的动手操作能力、合作交流意识.
教学方法
采用“引导——探究——发现——应用”法来进行教学.在学生现有的知识基础上引导学生“自主探究与合作交流”完成新知识的学习.
教学重难点
勾股定理的验证是本节课的重点，如何验证勾股定理和勾股定理的应用是难点.引导学生进行自主探究，若仍有疑问可以相互间交流得到需要的结果，这样可以锻炼学生的探究能力、交流能力等.
课前准备
相同规格的直角三角形、直尺、三角板、实物投影.
教学过程
一、创设问题情景，引入新课
1、上节课我们通过测量和数格子的方法发现了直角三角形三边的关系（即勾股定理），那么谁能叙述一下勾股定理呢？
（学生回答，教师适当评价鼓励）
2、大家对勾股定理理解掌握的很好，但是同学们知道吗，严格意义来讲，通过测量和数格子的方法验证的勾股定理，只能是一些特殊值.今天我们一起继续学习勾股定理的验证.
同学们，在6000多年前三国时期的数学家赵爽已经完成了勾股定理的验证，大家有没有信心完成？
（学生回答：有）
接着大家一起来看这幅图，知道他的名字吗？
弦图，也是2002年世界数学家大会会标.大家别小看这幅图，三国时期的数学家赵爽就是用这幅图完成了勾股定理的验证.
同学们观察一下是如何拼成的？
（学生回答）
回答的太棒了，今天我们就通过拼图，来完成勾股定理的验证.
（学生组内讨论交流一下，有验证的方向或思路，并保留等待验证）
3、追溯到很久很久的上学期，我们就用拼图的方法验证了一个公式，大家还记得吗？
完全平方公式的验证：
大的正方形的面积可以表示为 ；
又可以表示为 ；
所以 ＝ .
大家完成的很棒，我们能不能把这种方法，应用到“弦图”中，验证勾股定理呢？
二、大家一起来
四个同学一组拿出自己的直角三角形，拼成弦图进行勾股定理的验证.
正方形的面积也有两种表示方法：
既可以表示为c2，又可以表示为ab×4＋(b－a)2.
对比两种表示方法可得c2＝ab×4＋(b－a)2.化简得c2＝a2＋b2.
鼓励学生大胆展示本组的验证过程，找一组好的作模本投影展示，讲解同时也要找出几组有问题的进行展示，明确问题，解决问题，引以为戒.
让学生说说与自己与之前课刚开始时的思路有何异同，自己有什么感想.
三、思绪飞扬
真棒！同学们利用拼图的方法验证勾股定理.同学们知道吗？在所有的几何定理中，勾股定理的证明方法也许是最多的有人做过统计，说有五百余种，大家能不能利用手中的直角三角形继续验证呢？大家试一试4个直角三角形，还能拼成正方形吗？还可以验证勾股定理吗？
学生组内讨论交流，学生拼出来的图形一定会很多，教师注意巡查，发现不足及时指导，鼓励学生进行展示.
我拼出了如下图所示的图形，中间是一个边长为c的正方形.观察图形我们不难发现，大的正方形的边长是(a＋b).要利用这个图说明勾股定理，我们只要用两种方法表示这个大正方形的面积即可.
大正方形面积可以表示为：(a＋b)2，又可以表示为：ab×4(b－a).
对比这两种表示方法，可得出c2＝ab×4＋(b－a).
化简、整理得c2＝a2＋b2，因此我们得到了勾股定理.
三、随堂练习
课本第82页.
四、课后作业
布置课后作业习题3.1的第4题，让学生自主完成.
课件19张PPT。3.1 勾股定理（2）八年级(上册)初中数学3.1 勾股定理（2）活动一 活动准备：用硬纸板各剪4个完全相同的直角三角形（不妨设两直角边分别为a、b ，且a≤b ，斜边为 c），再剪4个边长分别为a、b、 c 和（b－a） 的正方形．
活动要求：你能选用这些中的部分图形拼成一个大正方形吗？bac3.1 勾股定理（2）cb－a3.1 勾股定理（2）弦图赵爽
东汉末至三国时代吴国
人，为《周髀算经》作注，
并著有《勾股圆方圆说》．3.1 勾股定理（2）a2b2? a2＋b2＝c23.1 勾股定理（2）活动二：你能根据下面的图形验证勾股定理吗？aabbcc3.1 勾股定理（2）两个证明基本上完全相同！ 3.1 勾股定理（2）a2b2活动三：请同学们按照演示程序剪纸．3.1 勾股定理（2）3.1 勾股定理（2）3.1 勾股定理（2）3.1 勾股定理（2）c2? a2＋b2＝c23.1 勾股定理（2） 如图，把火柴盒放倒，在这个过程中，也能验证勾股定理，你能利用这个图验证勾股定理吗？把你的想法与大家交流一下．3.1 勾股定理（2）想一想 1．观察下图的△ABC 和△DEF，它们是直角三角形吗？
2．观察图，并分别以△ABC和 △DEF的各边为边向外作正方形，其中2个小正方形的面积的和等于大正方形的面积吗？
3.1 勾股定理（2）3.1 勾股定理（2）巩固练习 如图，长2.5m的梯子靠在墙上，梯子的底部离墙角1.5m，求梯子的顶端与地面的距离h.
3.1 勾股定理（2）本课小结 本节课我们用两种方法证明了这个定理，在应用此定理解决问题时，应注意只有直角三角形的三边才有这样的关系，如果不是直角三角形应该构造直角三角形来解决． 3.1 勾股定理（2）谢 谢！课件2张PPT。1.在Rt△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b，
∠C=90°.（1）已知a=6，c=10，求b；
（2）已知a=24，c=25，求b.解：勾股定理a2+b2=c2，得：b2=c2-a2.（1）b2=102-62=64， b=8（2）b2=252-242=49， b=72.如果一个直角三角形的两条边长分别是3厘
米和4厘米，那么这个三角形的周长是多少
厘米？（精确到0.1厘米）解：（1）当已知边长都为直角边时，斜边长c2=a2+b2=32+42=25， c=5(厘米)l=a+b+c=3+4+5=12(厘米)（2）当已知边长为斜边和一条直角边时另一直角边a2=c2-b2=42-32=7课件3张PPT。1.求下列直角三角形中未知的边长.2.求下列图中x、y、z的值.3.如图，△ABC和△DEF都不是直角三角形，分别以△ABC和△DEF的各边为一边向三角形外部作正方形，其中两个小正方形面积的和等于大正方形的面积吗？解：不等于.
课件1张PPT。Rt△ABC中，∠C=90°.
（1）如果BC=9，AC=12，那么AB= ；
（2）如果BC=8，AB=10，那么AC= ；
（3）如果AB=13，AC=12，那么BC= ；
（4）如果AB=61，BC=11，那么AC= .
