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第十五章 轴对称
15.3.1 等腰三角形
（第1课时）
1．探索并证明等腰三角形的两个性质．
2．能利用等腰三角形的性质证明两个角相等或两条线段相等．
3．结合等腰三角形性质的探索与证明过程，体会轴对称在研究几何问题中的作用．
1．轴对称的性质是什么？
（1）成轴对称的两个图形全等．
（2）成轴对称的两个图形中，连接对称点的线段被对称轴垂直平分．
腰
腰
顶角
底角
底角
底边
有两边相等的三角形叫作等腰三角形．
其中相等的两边叫作腰，另一边叫作底边，两腰的夹角叫作顶角，腰和底边的夹角叫作底角．
2．说一说什么是等腰三角形？并指出它的腰、底边、顶角、底角．
有些几何图形是轴对称图形，利用它们的轴对称性，可以帮助我们研究图形的性质．本节我们利用轴对称研究等腰三角形．
我们知道，有两边相等的三角形是等腰三角形．等腰三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质，还有一些特殊的性质．
探究：如图所示，在纸上画一个等腰三角形，把它剪下来．将这个等腰三角形对折，使它的两腰重合，再展开，找出其中重合的线段和角．
由这些重合的线段和角，你能发现 等腰三角形的性质吗？说一说你的猜想．
探究：如图所示，在纸上画一个等腰三角形，把它剪下来．将这个等腰三角形对折，使它的两腰重合，再展开，找出其中重合的线段和角．
由这些重合的线段和角，你能发现 等腰三角形的性质吗？说一说你的猜想．
重合的线段
AB=AC
BD=CD
AD=AD
重合的角
∠B=∠C
∠BAD=∠CAD
∠ADB=∠ADC
由这些重合的线段和角，你能发现 等腰三角形的性质吗？说一说你的猜想．
（1）等腰三角形是轴对称图形．
（2）∠B＝∠C．
等腰三角形的两个底角相等．
由这些重合的线段和角，你能发现 等腰三角形的性质吗？说一说你的猜想．
（3）∠BAD＝∠CAD，AD 为顶角平分线．
（4）BD＝CD，AD 为底边上的中线．
（5）∠ADB＝∠ADC＝90°，AD 为底边上的高．
等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．
等腰三角形的性质
等腰三角形的两个底角相等 （简写成 “等边对等角”）；
等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合 （简写成 “三线合一”）．
根据上面的探究过程，可以利用三角形的全等证明等腰三角形的这些性质吗？
等边对等角
三线合一
如图所示，在△ABC中，AB＝AC，作底边BC的中线AD，则BD＝CD．
在△ABD和△ACD中，
∴△ABD≌△ACD（SSS）．
∴∠B＝∠C．
∠BAD＝∠CAD，∠BDA＝∠CDA，
∴AD⊥BC．
从以上证明也可以得出，沿底边上的中线翻折等腰三角形，两部分重合，等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线（顶角的平分线、底边上的高）所在直线就是它的对称轴．
等腰三角形的性质
等腰三角形的两个底角相等 （简写成 “等边对等角”）；
符号语言：
在△ABC中，
∵AB＝AC，
∴ ∠B＝∠C．
等腰三角形的性质
等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合 （简写成 “三线合一”）．
符号语言：
在△ABC中，
∵AB＝AC，BD＝CD，
∴∠BAD＝∠CAD，AD⊥BC（三线合一）．
等腰三角形的性质
等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合 （简写成 “三线合一”）．
符号语言：
在△ABC中，
∵AB＝AC，∠BAD＝∠CAD，
∴BD＝CD，AD⊥BC（三线合一）．
等腰三角形的性质
等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合 （简写成 “三线合一”）．
符号语言：
在△ABC中，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝CD，∠BAD＝∠CAD（三线合一）．
解：∵AB＝AC，BD＝BC＝AD，
∴∠ABC＝∠C＝∠BDC，
∠A＝∠ABD（等边对等角）．
设∠A＝x，
则∠BDC＝∠A＋∠ABD＝2x，
从而∠ABC＝∠C＝∠BDC＝2x．
于是在△ABC中，有
∠A＋∠ABC＋∠C＝x＋2x＋2x＝180°．
解得x＝36°．
所以，在△ABC中，∠A＝36°，∠ABC＝∠C＝72°．
例：如图所示，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，BD＝BC＝AD．求△ABC各角的度数．
【知识技能类练习】必做题：
1．如图，AD平分∠BAC，AD//EC，则下列三角形中一定是等腰三角形的是( )
A．△ABD B．△ACD C．△ACE D．△ABC
C
【知识技能类练习】必做题：
2．如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD是△ABC的角平分线．若在边AB上截取BE＝BC，连接DE，则图中等腰三角形共有( )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
D
【知识技能类练习】必做题：
3．如图，点B、C、D在同一条直线上，，，，．
(1)求证：．
(2)若，则_____．
证明：（1）∵，，，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴
【知识技能类练习】选做题：
4．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN//BC交AB于M，交AC于N，若BM＋CN＝9，则线段MN的长为____．
9
【综合拓展类练习】
5．如图，在中，，为的角平分线．
，连接，．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
证明：（1）是的角平分线，
，
在和中，
，
．
【综合拓展类练习】
5．如图，在中，，为的角平分线．
，连接，．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
（2），为的角平分线，
，
∵．
，
，
为的角平分线，
．
．
等腰三角形的性质
等边对等角
三线合一
顶角平分线
底边上的中线
底边上的高
【知识技能类作业】必做题：
1．在△ABC中，不能判定是等腰三角形的是( )
A．∠A∶∠B∶∠C＝1∶1∶3 B．a∶b∶c＝2∶2∶3
C．∠B＝50°，∠C＝80° D．2∠A＝∠B＋∠C
D
【知识技能类作业】必做题：
2．如图，在△ABC中，BD⊥AC，∠A＝50°，∠CBD＝25°，若AC＝5 cm，则AB＝________．
5 cm
【知识技能类作业】必做题：
3．如图，点C在线段上，，，，平分．求证：(1)；(2)．
证明：（1）∵，
．
在和中
，
，
；
（2）证明： ，平分，
．
【知识技能类作业】选做题：
4．如图，将一张长方形纸片ABCD沿BD折叠，若AE＝3，AB＝4，BE＝5，则重叠部分的面积为( )
A．6 B．8 C．10 D．12
C
【综合拓展类作业】
5.如图，AD是△ABC的角平分线，BE⊥AD交AD的延长线于点E，EF//AC交AB于点F. 求证：AF＝FB.
证明：∵AD平分∠BAC，∴∠BAE＝∠EAC，
∵EF//AC，
∴∠FEA＝∠EAC，
∴∠FEA＝∠DAF，
∴AF＝FE.
∵BE⊥AE，
∴∠FEA+∠BEF＝90°,∠BAE+∠FBE＝90°,
∴∠FBE＝∠BEF，
∴BF＝EF，
∴AF＝BF.中小学教育资源及组卷应用平台
分课时教学设计
第六课时《15.3.1 等腰三角形（第1课时）》教学设计
课型 新授课 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本课是人教版八年级上册第15章“轴对称”的第三小节第一课时，在整个教材知识体系中起着承上启下的关键作用．从知识衔接角度看，它建立在学生已掌握轴对称图形概念与全等三角形判定等知识的基础之上——学生此前已能识别轴对称图形、利用全等三角形证明线段或角相等，而本课将通过轴对称的特性深入探究等腰三角形的特殊性质，是对轴对称知识的深化应用，也是对全等三角形判定方法的进一步实践，让学生从“认识轴对称图形”过渡到“运用轴对称研究图形性质”． 从后续学习来看，本课内容是学好等边三角形、特殊四边形（如菱形、正方形）性质的重要铺垫．等边三角形作为特殊的等腰三角形，其性质推导需以等腰三角形“等边对等角”“三线合一”为基础；而菱形、正方形等图形的对称轴分析、边角关系证明，也常需借助等腰三角形的相关性质，因此本课知识是构建初中几何“特殊图形性质”知识网络的关键节点． 此外，本课的探究与证明过程，还为学生后续学习几何证明的逻辑推理思路提供了范例——通过“折叠操作（直观感知）→发现重合线段与角（提出猜想）→利用全等证明（理性验证）”的流程，帮助学生建立“直观操作与逻辑推理相结合”的几何学习方法，这种方法将贯穿于整个初中几何学习过程中，对提升学生的几何素养具有重要意义．
学习者分析 从知识基础来看，八年级上册学生已学习轴对称图形的概念，能识别并判断简单图形是否为轴对称图形，也掌握了全等三角形的判定定理（如SSS）及性质，这为探究等腰三角形性质奠定了前提——学生可借助轴对称的“重合”特征发现等腰三角形的角与线段关系，利用全等三角形完成性质的严谨证明，符合教材中“利用轴对称研究等腰三角形”“通过SSS证明‘等边对等角’”的设计逻辑． 从认知能力来看，此阶段学生的抽象思维虽有发展，但仍依赖直观感知，动手操作是其理解几何性质的重要途径．教材中“折叠等腰三角形找重合线段和角”的探究活动，契合学生“从具体操作到抽象猜想”的认知规律，不过学生在将操作发现转化为几何语言、构建证明思路时可能存在困难，例如难以自主关联“折叠重合”与“全等三角形条件”，这也使得“探索并证明等腰三角形性质”的重难点需要教师进一步引导． 从学习经验来看，学生此前多通过直接观察或简单推理学习几何知识，而本课首次系统结合“轴对称”与“全等证明”研究特殊三角形性质，需要学生建立“图形对称性—性质猜想—逻辑证明”的完整思维链．部分学生可能在理解“三线合一”的多重属性（中线、高、角平分线的重合）时出现混淆，需通过具体练习强化对性质应用场景的认知．
教学目标 1．探索并证明等腰三角形的两个性质． 2．能利用等腰三角形的性质证明两个角相等或两条线段相等． 3．结合等腰三角形性质的探索与证明过程，体会轴对称在研究几何问题中的作用．
教学重点 探索并证明等腰三角形的性质．
教学难点 探索并证明等腰三角形的性质．
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：学习目标教师活动1： 师出示学习目标： 1．探索并证明等腰三角形的两个性质． 2．能利用等腰三角形的性质证明两个角相等或两条线段相等． 3．结合等腰三角形性质的探索与证明过程，体会轴对称在研究几何问题中的作用．学生活动1： 学生齐声读本课的学习目标活动意图说明： 明确本节课的学习目标，使教师的教和学生的学有效结合在一起，激发学生的学习动力，提高学生课堂参与的兴趣与积极性．环节二：新知导入教师活动2： 问题： 1．轴对称的性质是什么？ 答案：（1）成轴对称的两个图形全等． （2）成轴对称的两个图形中，连接对称点的线段被对称轴垂直平分． 2．说一说什么是等腰三角形？并指出它的腰、底边、顶角、底角． 答案：有两边相等的三角形叫作等腰三角形． 其中相等的两边叫作腰，另一边叫作底边，两腰的夹角叫作顶角，腰和底边的夹角叫作底角． 导言：有些几何图形是轴对称图形，利用它们的轴对称性，可以帮助我们研究图形的性质．本节我们利用轴对称研究等腰三角形． 我们知道，有两边相等的三角形是等腰三角形．等腰三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质，还有一些特殊的性质．学生活动2： 学生积极回答问题活动意图说明： 通过回顾轴对称的性质及等腰三角形的概念，为探究等腰三角形的性质做好准备环节三：新知讲解教师活动3： 探究：如图所示，在纸上画一个等腰三角形，把它剪下来．将这个等腰三角形对折，使它的两腰重合，再展开，找出其中重合的线段和角． 由这些重合的线段和角，你能发现 等腰三角形的性质吗？说一说你的猜想． 预设： 重合的线段： AB=AC BD=CD AD=AD 重合的角： ∠B=∠C ∠BAD=∠CAD ∠ADB=∠ADC 发现： （1）等腰三角形是轴对称图形． （2）∠B＝∠C． （即：等腰三角形的两个底角相等．） （3）∠BAD＝∠CAD，AD 为顶角平分线． （4）BD＝CD，AD 为底边上的中线． （5）∠ADB＝∠ADC＝90°，AD 为底边上的高． （即：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．） 归纳：等腰三角形的性质 等腰三角形的两个底角相等 （简写成 “等边对等角”）； 等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合 （简写成 “三线合一”）． 追问：根据上面的探究过程，可以利用三角形的全等证明等腰三角形的这些性质吗？ 预设：如图所示，在△ABC中，AB＝AC，作底边BC的中线AD，则BD＝CD． 如图所示，在△ABC中，AB＝AC，作底边BC的中线AD，则BD＝CD． 在△ABD和△ACD中， ∴△ABD≌△ACD（SSS）． ∴∠B＝∠C． 讲解：这样就证明了“等边对等角”． 由△ABD≌△ACD，还可得出∠BAD＝∠CAD，∠BDA＝∠CDA，从而AD⊥BC．这也就证明了等腰三角形ABC底边上的中线AD平分顶角∠A并垂直于底边BC．用类似的方法，还可以证明等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，底边上的高平分顶角并且平分底边．这也就证明了等腰三角形“三线合一”． 从以上证明也可以得出，沿底边上的中线翻折等腰三角形，两部分重合，等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线（顶角的平分线、底边上的高）所在直线就是它的对称轴． 归纳：等腰三角形的性质 等腰三角形的两个底角相等 （简写成 “等边对等角”）； 符号语言： 在△ABC中， ∵AB＝AC， ∴ ∠B＝∠C． 等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合 （简写成 “三线合一”）． 符号语言： 在△ABC中， ∵AB＝AC，BD＝CD， ∴∠BAD＝∠CAD，AD⊥BC（三线合一）． 或 在△ABC中， ∵AB＝AC，∠BAD＝∠CAD， ∴BD＝CD，AD⊥BC（三线合一）． 或 在△ABC中， ∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴BD＝CD，∠BAD＝∠CAD（三线合一）． 例：如图所示，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，BD＝BC＝AD．求△ABC各角的度数． 解：∵AB＝AC，BD＝BC＝AD， ∴∠ABC＝∠C＝∠BDC， ∠A＝∠ABD（等边对等角）． 设∠A＝x， 则∠BDC＝∠A＋∠ABD＝2x， 从而∠ABC＝∠C＝∠BDC＝2x． 于是在△ABC中，有 ∠A＋∠ABC＋∠C＝x＋2x＋2x＝180°． 解得x＝36°． 所以，在△ABC中，∠A＝36°，∠ABC＝∠C＝72°．学生活动3： 学生动手操作，剪出等腰三角形，按要求操作后小组合作探究，班内交流，然后认真听老师的讲解活动意图说明： 让学生利用轴对称性剪出等腰三角形，并通过丰富的感性材料，让学生在反复比较的过程中，发现等腰三角形共同的、本质的特征；体会认识事物的一般方法——由特殊到一般，进一步培养学生的抽象概括能力．并在让学生在运用不同方法证明等腰三角形性质及应用等腰三角形的性质解决例题的过程中提高思维的深刻性和广阔性，巩固等腰三角形的性质．环节四：课堂小结教师活动4： 问题：本节课你都学习到了哪些知识？ 教师通过学生的回答，进行归纳 学生活动4： 学生积极回顾本节课学习到的知识活动意图说明： 通过学生自己回顾、总结、梳理所学的知识，将所学的知识与以前学过的知识进行紧密联系，完善认知结构和知识体系．
板书设计 课题：15.3.1等腰三角形（第1课时）一、等边对等角 二、三线合一教师板演区学生展示区
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．如图，AD平分∠BAC，AD∥EC，则下列三角形中一定是等腰三角形的是( ) A．△ABD B．△ACD C．△ACE D．△ABC 答案：C 2．如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD是△ABC的角平分线．若在边AB上截取BE＝BC，连接DE，则图中等腰三角形共有( ) A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 答案：D 3．如图，点B、C、D在同一条直线上，，，，． (1)求证：． (2)若，则____________． 证明：（1）∵，，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴； （2）∵， ∴， ∴， ∴． 选做题： 4．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM＋CN＝9，则线段MN的长为________． 答案：9 【综合拓展类练习】 5．如图，在中，，为的角平分线．，连接，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 证明：（1）是的角平分线， ， 在和中， ， ． （2），为的角平分线， ， ∵． ， ， 为的角平分线， ． ．
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．在△ABC中，不能判定是等腰三角形的是( ) A．∠A∶∠B∶∠C＝1∶1∶3 B．a∶b∶c＝2∶2∶3 C．∠B＝50°，∠C＝80° D．2∠A＝∠B＋∠C 答案：D 2．如图，在△ABC中，BD⊥AC，∠A＝50°，∠CBD＝25°，若AC＝5 cm，则AB＝________． 答案：5 cm 3．如图，点C在线段上，，，，平分．求证： (1)； (2)． 证明：（1）∵， ． 在和中 ， ， ； （2）证明： ，平分， ． 选做题： 4．如图，将一张长方形纸片ABCD沿BD折叠，若AE＝3，AB＝4，BE＝5，则重叠部分的面积为( ) A．6 B．8 C．10 D．12 答案：C 【综合拓展类作业】 5.如图，AD是△ABC的角平分线，BE⊥AD交AD的延长线于点E，EF∥AC交AB于点F. 求证：AF＝FB. 证明：∵AD平分∠BAC， ∴∠BAE＝∠EAC， ∵EF∥AC， ∴∠FEA＝∠EAC， ∴∠FEA＝∠DAF， ∴AF＝FE. ∵BE⊥AE， ∴∠FEA+∠BEF＝90°,∠BAE+∠FBE＝90°, ∴∠FBE＝∠BEF， ∴BF＝EF， ∴AF＝BF.
教学反思 本课围绕等腰三角形性质展开教学，通过引导学生折叠等腰三角形探究重合线段与角，多数学生能顺利猜想“等边对等角”和“三线合一”，并借助SSS判定完成“等边对等角”的证明，达成本课的教学目标．但部分学生在理解“三线合一”的多重属性时仍有混淆，且将折叠操作转化为几何证明语言的能力不足．后续需加强对证明思路的分步引导，增加“三线合一”不同应用场景的练习，同时优化动手操作与理论推导的衔接环节，帮助学生更好地突破重难点．
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同步探究学案
课题 15.3.1 等腰三角形（第1课时） 单元 第十五章 学科 数学 年级 八年级
学习 目标 1．探索并证明等腰三角形的两个性质． 2．能利用等腰三角形的性质证明两个角相等或两条线段相等． 3．结合等腰三角形性质的探索与证明过程，体会轴对称在研究几何问题中的作用．
重点 探索并证明等腰三角形的性质．
难点 探索并证明等腰三角形的性质．
探究过程
导入新课 【引入思考】 1．轴对称的性质是什么？ 2．说一说什么是等腰三角形？并指出它的腰、底边、顶角、底角．
新知探究 本节课来研究： 本节我们利用轴对称研究等腰三角形。 探究：如图所示，在纸上画一个等腰三角形，把它剪下来．将这个等腰三角形对折，使它的两腰重合，再展开，找出其中重合的线段和角． 由这些重合的线段和角，你能发现 等腰三角形的性质吗？说一说你的猜想．并根据上面的探究过程，利用三角形的全等证明等腰三角形的这些性质． 归纳：等腰三角形的性质 （1）等腰三角形的两个底角______ （简写成 “等边对等角”）； 符号语言： 在△ABC中， ∵AB＝AC， ∴ ∠B＝____． （2）等腰三角形底边上的中线、____及顶角平分线______（简写成 “三线合一”）． 符号语言： 在△ABC中， ∵AB＝AC，BD＝____， ∴_______＝∠CAD，AD⊥_____（三线合一）． 或： 在△ABC中， ∵AB＝AC，∠BAD＝_____， ∴_____＝CD，_____⊥BC（三线合一）． 或： 在△ABC中， ∵AB＝AC，AD⊥____， ∴BD＝_____，_______＝∠CAD（三线合一）． 例：如图所示，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，BD＝BC＝AD．求△ABC各角的度数．
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．如图，AD平分∠BAC，AD∥EC，则下列三角形中一定是等腰三角形的是( ) A．△ABD B．△ACD C．△ACE D．△ABC 2．如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD是△ABC的角平分线．若在边AB上截取BE＝BC，连接DE，则图中等腰三角形共有( ) A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．如图，点B、C、D在同一条直线上，，，，． (1)求证：． (2)若，则____________． 选做题： 4．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM＋CN＝9，则线段MN的长为________． 【综合拓展类练习】 5．如图，在中，，为的角平分线．，连接，． (1)求证：； (2)若，求的度数．
课堂小结 说一说：今天这节课，你都有哪些收获？
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．在△ABC中，不能判定是等腰三角形的是( ) A．∠A∶∠B∶∠C＝1∶1∶3 B．a∶b∶c＝2∶2∶3 C．∠B＝50°，∠C＝80° D．2∠A＝∠B＋∠C 2．如图，在△ABC中，BD⊥AC，∠A＝50°，∠CBD＝25°，若AC＝5 cm，则AB＝________． 3．如图，点C在线段上，，，，平分．求证： (1)； (2)． 选做题： 4．如图，将一张长方形纸片ABCD沿BD折叠，若AE＝3，AB＝4，BE＝5，则重叠部分的面积为( ) A．6 B．8 C．10 D．12 【综合拓展类作业】 5.如图，AD是△ABC的角平分线，BE⊥AD交AD的延长线于点E，EF∥AC交AB于点F. 求证：AF＝FB.
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