2026年高考一轮数学复习 一元二次方程根的分布 专题课件(共41张PPT)

(共41张PPT)
一元二次方程根的分布
2026年高考数学复习专题课件★★
1．一元二次方程的根的基本分布——零分布
所谓一元二次方程根的零分布，指的是方程的根相对于零的关系．比如一元二次方程有一正根，有一负根，其实就是指这个一元二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说，这两个根分布在零的两侧．
设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个实根为x1，x2，且x1≤x2.
2．一元二次方程的根的非零分布——k分布
设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两实根为x1，x2，且x1≤x2.k为常数．则一元二次方程根的k分布(即x1，x2相对于k的位置)有以下若干定理．
【定理4】　有且仅有k1√
专题讲解
02
PART TWO
若关于x的一元二次方程(m－1)x2＋2(m＋1)x－m＝0分别满足下列条件时，求m的取值范围．
(1)两根都大于0；
(2)一根大于－1，另一根小于－1；
【解析】　(2)一根大于－1，另一根小于－1，应满足(m－1)f(－1)<0，即(m－1)(－2m－3)<0，
若关于x的一元二次方程(m－1)x2＋2(m＋1)x－m＝0分别满足下列条件时，求m的取值范围．
(3)一根在(1，2)内，另一根在(－1，0)内；
若关于x的一元二次方程(m－1)x2＋2(m＋1)x－m＝0分别满足下列条件时，求m的取值范围．
(4)一根在(－1，1)内，另一根不在(－1，1)内；
若关于x的一元二次方程(m－1)x2＋2(m＋1)x－m＝0分别满足下列条件时，求m的取值范围．
(5)一根小于1，另一根大于2；
若关于x的一元二次方程(m－1)x2＋2(m＋1)x－m＝0分别满足下列条件时，求m的取值范围．
(6)两根都在区间[－1，3)内；
若关于x的一元二次方程(m－1)x2＋2(m＋1)x－m＝0分别满足下列条件时，求m的取值范围．
(7)两根都小于1；
若关于x的一元二次方程(m－1)x2＋2(m＋1)x－m＝0分别满足下列条件时，求m的取值范围．
(8)在(1，2)内有解．
若关于x的一元二次方程(m－1)x2＋2(m＋1)x－m＝0分别满足下列条件时，求m的取值范围．
思考题　关于x的方程x2＋(m－3)x＋m＝0满足下列条件，求m的取值范围．
(1)有两个正根；
(2)一个根大于1，一个根小于1；
【解析】　(2)若方程x2＋(m－3)x＋m＝0的一个根大于1，一个根小于1，则f(1)＝2m－2<0，解得m<1.
思考题　关于x的方程x2＋(m－3)x＋m＝0满足下列条件，求m的取值范围．
(3)一个根在(－2，0)内，另一个根在(0，4)内；
思考题　关于x的方程x2＋(m－3)x＋m＝0满足下列条件，求m的取值范围．
(4)一个根小于2，一个根大于4；
思考题　关于x的方程x2＋(m－3)x＋m＝0满足下列条件，求m的取值范围．
(5)两个根都在(0，2)内．
思考题　关于x的方程x2＋(m－3)x＋m＝0满足下列条件，求m的取值范围．
√
专题训练
03
PART THREE
一、单项选择题
1．(2025·四川乐山调研)已知a，b，c，d都是常数，a＞b，c＞d.若f (x)＝2 024－(x－a)(x－b)的零点为c，d，则下列不等式正确的是(　　)
A．a＞c＞b＞d　 　　　 B．a＞b＞c＞d
C．c＞d＞a＞b D．c＞a＞b＞d
√
解析　f (x)＝2 024－(x－a)(x－b)＝－x2＋(a＋b)x－ab＋2 024，
又f(a)＝f(b)＝2 024，c，d为函数f (x)的零点，且a＞b，c＞d，所以可在平面直角坐标系中作出函数f (x)的大致图象，如图所示．由图可知c＞a＞b＞d.故选D.
2．函数f (x)＝ax2＋bx＋c满足f(1)>0，f(2)<0，则f (x)在(1，2)上的零点(　　)
A．至多有一个 B．有一个或两个
C．有且仅有一个 D．一个也没有
√
解析　若a＝0，则f (x)＝bx＋c是一次函数，∵f(1)>0，f(2)<0，∴f(1)f(2)<0，可得f (x)在(1，2)上的零点只有一个，若a≠0，则f (x)＝ax2＋bx＋c是二次函数，若f (x)在(1，2)上有两个零点或一个也没有，则必有f(1)f(2)>0，与已知矛盾．故f (x)在(1，2)上有且只有一个零点．综上所述，f (x)在(1，2)上的零点有且只有一个．故选C.
3．已知a∈R，则“a≤2”是“方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负根”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
√
当a>0时，方程有根的条件是Δ＝4－4a≥0，∴0＜a≤1.由根与系数
∴两根都为负根．综上可得，方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负根的充要条件为a≤1，故“a≤2”是“方程至少有一个负根”的必要不充分条件．
4．若方程x2＋ax＋a＝0的一根小于－2，另一根大于－2，则实数a的取值范围是(　　)
A．(4，＋∞) B．(0，4)
C．(－∞，0) D．(－∞，0)∪(4，＋∞)
√
解析　令f (x)＝x2＋ax＋a，∵方程x2＋ax＋a＝0的一根小于－2，另一根大于－2，∴f(－2)<0，即(－2)2－2a＋a<0，解得a>4，即实数a的取值范围是a>4，故选A.
5．已知函数f (x)＝2mx2－x－1在区间(－2，2)上恰有一个零点，则实数m的取值范围是(　　)
√
解析　当m＝0时，函数f (x)＝－x－1有一个零点x＝－1，满足条件．当m≠0时，函数f (x)＝2mx2－x－1在区间(－2，2)上恰有一个零点，
二、填空题
6．已知方程2x2－(m＋1)x＋m＝0有两个不相等的正实数根，则实数m的取值范围是___________________________．
7．若一元二次方程kx2＋3kx＋k－3＝0的两根都是负数，则k的取

值范围为_________________________；若它有一个正根和一个负根，则k的取值范围为________．
(0，3)
8．(2025·西安五校联考)若关于x的方程9x＋(a＋4)·3x＋4＝0有实数解，则实数a的取值范围是_____________．
(－∞，－8]
解析　方法一：令3x＝t(t＞0)，则关于x的方程9x＋(a＋4)·3x＋4＝0可化为t2＋(a＋4)t＋4＝0，即关于t的一元二次方程t2＋(a＋4)t＋4＝0
方法二：令3x＝t(t＞0)，则关于x的方程9x＋(a＋4)·3x＋4＝0可化为t2＋(a＋4)t＋4＝0，即关于t的一元二次方程t2＋(a＋4)t＋4＝0有正实
9．(2025·山西吕梁月考)已知关于x的不等式x2－(a＋4)x＋2a＋5≥0在(－∞，2)上恒成立，则实数a的最小值为________．
－2
解析　设f (x)＝x2－(a＋4)x＋2a＋5，则f (x)≥0在(－∞，2)上恒成立 f (x)＝0在R上至多一个解或有两个大于等于2的不等实根．
∴Δ＝(a＋4)2－4(2a＋5)≤0或


解得－2≤a≤2或a＞2.
综上，a≥－2.∴实数a的最小值为－2.