3.1.2函数的表示法第1课时函数的表示法(1)（含解析）-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

3.1.2　函数的表示法
第1课时　函数的表示法(1)
一、基础巩固
1．购买某种饮料x听,所需钱数为y元,若每听2元,用解析法将y表示成x(x∈{1,2,3,4})的函数为
A．y=2x
B．y=2x(x∈R)
C．y=2x(x∈{1,2,3,…})
D．y=2x(x∈{1,2,3,4})
2．函数，的值域为（ ）
A． B． C． D．
3．已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
4．如图所示的容器中装有燃料，假设燃烧时燃料以均匀的速度消耗，记剩余燃料的高度为，则关于时间的函数的大致图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知且，则实数a的值为（ ）
A． B．0 C．1 D．2
6．下列命题中是假命题的是（ ）
A．函数有意义
B．函数的图象是一直线
C．函数是其定义域到值域的对应关系
D．函数的图象是抛物线
7．若，则的取值范围 ．
8．若函数满足，试写出一个的解析式： ．
9．已知函数
(1)求的值；
(2)若，求的值；
(3)请在给定的坐标系中画出此函数的图象（画到答题卡上的坐标系中），并根据图象写出函数的值域
10．某商店计划每天购进某商品若干件，商店每销售一件该商品可获利润60元，若供大于求，剩余商品全部退回，但每件商品亏损10元；若供不应求，则从外部调剂，此时每件调剂商品可获利40元.
（1）若商品一天购进该商品10件，求当天的利润（单位：元）关于当天需求量（单位：件，）的函数解析式；
（2）商店记录了50天该商品的日需求量（单位：件，），整理得下表：
日需求量 7 8 9 10 11 12
频数 4 8 10 14 9 5
若商店一天购进10件该商品，以50天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润在区间内的概率.
二、综合提升
11．学校宿舍与办公室相距．某同学有重要材料要送交给老师，从宿舍出发，先匀速跑步来到办公室，停留，然后匀速步行返回宿舍．在这个过程中，这位同学行进的速度和行走的路程都是关于时间（单位：min）的函数，则和的图象分别是下面四个图象中的（ ）
A．①② B．③④ C．①④ D．③②
12．如图，是边长为2的等边三角形，点E由A沿线段向B移动，过点E作的垂线l，设，记位于直线l左侧的图形的面积为y，那么y与x的函数关系的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
13．已知一个函数的解析式为y＝x2，它的值域为{1,4}，这样的函数有 个.
14．已知函数在闭区间上的值域为，则的最大值为 .
15．已知函数的值域为，则k的取值范围是 ．
16．若函数的值域为，则函数的值域为 ．
17．已知函数f（x）＝x2+1，g（x）＝4x+1，的定义域都是集合A，函数f（x）和g（x）的值域分别为S和T，
（1）若A＝[1，2]，求S∩T
（2）若A＝[0，m]且S＝T，求实数m的值
（3）若对于集合A的任意一个数x的值都有f（x）＝g（x），求集合A．
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参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 11 12
答案 D D A A AC ABD A C
1．D
【分析】各选项的解析式都一样，由题可得函数的定义域，从而能选出正确答案.
【详解】题中已给出自变量的取值范围,x∈{1,2,3,4},故选D.
【点睛】本题主要考查用解析式来表示函数关系，注意别弄错函数的定义域.
2．D
【分析】由反比例函数的单调性求值域即可.
【详解】因为函数是反比例函数，在上单调递减，所以，
所以值域为．
故选：D
3．A
【分析】根据题意，利用函数的定义域与值域的求法，求得和，结合集合交集的运算，即可求解.
【详解】由函数，可得，
又由函数有意义，可得，解得，所以，
所以.
故选：A.
4．A
【分析】根据容器特征可分析燃料燃烧时剩余燃料高度的变化规律，根据所给图象的变化情况可得高度变化的规律.
【详解】图中容器中间细，上下渐粗，且上长下短。燃料燃烧时以均匀的速度消耗，但燃料高度下降不是匀速变化，所以C、D错误.
因为容器上半部分先粗后细，所以开始燃烧后，剩余燃料高度下降得越来越快，当燃料液面到达容器最细处时，剩余燃料高度下降速度达到最快，然后又因为容器逐渐变粗，且高度较上部短，所以燃料高度下降速度又越来越慢，且高度变化到零用时较上部短.A选项图象随时间的增大而减小的速度先由慢到快，再由快到慢，且第二段用时较第一段短.所以A选项较为合适．
B选项显示的变化规律正好与A选项变化规律相反.所以B选项错误.
故选：A.
5．AC
【分析】由题知，再解方程即可得答案.
【详解】解：因为，
∴，
∵，
∴或.
故选：AC
6．ABD
【分析】求出的取值范围可判断A选项的正误；由函数图象的特征可判断BD选项的正误；利用函数定义域与值域的关系可判断C选项的正误.
【详解】A选项，且，不存在，A错；
B选项，函数的图象是由离散的点组成的，B错，
C选项，函数是其定义域到值域的对应关系，C对，
D选项，函数的图象是由两个不同的抛物线的两部分组成的，不是抛物线，D错.
故选：ABD.
7．
【分析】解出集合，可知，即可解出的取值范围
【详解】表示的值域，即
所以
所以
故填
【点睛】本题考查综合函数的值域，元素与集合之间的关系，属于基础题．
8．（答案不唯一）
【分析】取，验证该函数满足不等式即可.
【详解】不妨取，
当时，，
，
所以，函数满足，
故答案为：（答案不唯一）.
9．(1)；
(2)或；
(3)图象见详解，值域为.
【分析】（1）根据解析式逐层求解即可；
（2）分段解方程可得；
（3）根据一次函数，二次函数和反比例函数图象特征作图，然后根据图象可得值域.
【详解】（1）由题知，，
所以.
（2）当时，由解得（舍去）；
当时，由解得或（舍去）；
当时，由解得.
综上，的值为或.
（3）作出函数图象如图所示：
由图可知，函数的值域为.
10．(1) (2)
【分析】（1）根据题意分和两段，求分段函数；
（2）根据表格计算不同的日需求量对应的利润，并且计算利润在时，对应的频数，并计算频率，就是所求概率.
【详解】解：（1）当日需求量时，利润为；
当日需求量时，利润为.
所以利润关于需求量的函数解析式为
.
（2）50天内有4天获得的利润为390元，有8天获得的利润为460元，有10天获得的利润为530元，有14天获得的利润为600元，有9天获得的利润为640元，有5天获得的利润为680元. 若利润在区间内，日需求量为9、10、11，其对应的频数分别为10、14、9. 则利润在区间内的概率为
【点睛】本题考查分段函数和统计结合的综合问题，意在考查分析问题和解决问题的能力，属于中档题型.
11．A
【分析】方法1：需要分别根据同学在不同阶段的运动情况求出速度函数和路程函数的表达式，再根据表达式判断对应的图象；方法2：分别分析速度函数和路程函数关系结合图象判断即可
【详解】方法1：由题意可得，且，
由及的解析式可知，其图象分别为①②．
方法2：根据题意，对于速度函数，该同学先匀速跑步来到办公室，速度保持不变，都为，
停留，速度为，再匀速步行，速度保持不变，都为，与①相符；
对于路程函数，该同学先匀速跑步来到办公室，路程由增加到，停留，路程不变，
再匀速步行，总路程也是增加的，由增加到，与②相符．
故选：A
12．C
【分析】建立关于的关系式，分为点在中点左侧和右侧分类讨论，结合函数图象变化情况即可求解.
【详解】因为是边长为2的等边三角形，所以当时，设直线与交点为，当点在中点左侧时，，，此时函数为下凸函数；当点在中点右侧时，，此时左侧部分面积为：，此时函数为上凸函数，C项符合.
故选：C
13．9
【分析】根据解析式、值域判断定义域的可能种数，由不同定义域与值域的映射关系确定函数的个数.
【详解】由函数的解析式为y＝x2，值域为{1,4}，
∴函数的定义域可以为{1,2}，{－1,2}，{1，－2}，{－1，－2}，{1，－1,2}，{－1,1，－2}，{1,2，－2}，{－1，2，－2}，{1，－1，－2,2}，共9种可能，
∴这样的函数共9个.
故答案为：9.
14．3
【分析】画出函数图像,分析要使函数在闭区间上的值域为,必有,,或,再根据求的最大值最好是正值,可得, ,即的最大值为.
【详解】
画出函数的图像可知,要使其在闭区间上的值域为,
由于有且仅有,所以,
而,所以有,或,
又∵,的最大值为正值时,,
∴,
所以,当取最小值时,,有最大值.
又∵,
∴的最大值为；
故答案为：3.
【点睛】本题考查了二次函数的图像和定义域与值域之间的关系,分析双变量的最值时,可先确定正负,再看是否有办法将其中一值取到定值,以此消元.本题为中等题.
15．
【分析】问题等价于函数的值域包含，利用二次函数的性质求解即可.
【详解】函数的值域为，则函数的值域包含，
∴，且，解得．
故答案为：．
16．
【分析】依题意可得，再根据二次函数的性质计算可得.
【详解】解：依题意要使的值域为，必有．于是，
所以，则的值域为．
故答案为：
17．（1）S∩T＝{5}．（2）m＝4（3）{0]，或{4}或{0，4}．
【分析】（1）根据定义域，求得两个函数的值域，再求交集即可；
（2）根据函数单调性，得，解方程即可；
（3）由题意，解方程f（x）＝g（x）即可.
【详解】（1）若A＝[1，2]，
则函数f（x）＝x2+1的值域是S＝[2，5]，
g（x）＝4x+1的值域T＝[5，9]，
∴S∩T＝{5}．
（2）若A＝[0，m]，则S＝[1，m2+1]，T＝[1，4m+1]，
由S＝T得m2+1＝4m+1，
解得m＝4或m＝0（舍去）．
故.
（3）若对于A中的每一个x值，都有f（x）＝g（x），
即x2+1＝4x+1，
∴x2＝4x，
解得x＝4或x＝0，
∴满足题意的集合是{0]，或{4}或{0，4}．
【点睛】本题考查函数的定义域、值域、以及集合的运算，属综合基础题.
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