2026年安徽中考数学专题复习-专项训练四 三角形 课件（共40张PPT）

(共40张PPT)
2026年安徽中考数学专题复习-
4 专项训练四　三角形
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1. 在下列长度的四条线段中，能与长5cm，12cm的两条线段围成一个三角形的是（　C　）
A. 5cm B. 7cm C. 15cm D. 17cm
C
2. 将一把直尺和一块含30°角的三角板ABC按如图所示的位置放置，如果∠CED＝46°，那么∠BFA的度数为（　B　）
A. 128° B. 136° C. 144° D. 156°
第2题图
B
3. 如图，已知BF＝DE，AB∥DC，要使△ABF≌△CDE，添加的条件可以是（　C　）
A. BE＝DF B. AF＝CE
C. AB＝CD D. ∠B＝∠D
C
第3题图
4. 如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点D，E分别为AB，AC的中点，分别以点B，C为圆心，大于BC的长为半径画弧，两弧交于点P，Q，连接PQ交BC于点M，连接AM. 若AM＝12，则DE的长为（　D　）
A. 6 B. 8
C. 9 D. 12
D
第4题图
5. 如图，网格中的点A、B、C、D都在小正方形顶点上，连接AB、CD交于点P，则∠BPC的正切值是（　A　）
A. 2 B.
C. D.
A
第5题图
6. 如图，△ABC中，∠BAC＝90°，DE是△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB＝90°.若AB＝8，AC＝6，则EF长为（　A　）
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
第6题图
A
7. 如图△AOB≌△ADC，∠O＝∠D＝90°，记∠OAD＝α，∠ABO＝β，当AO∥BC时，α与β之间的数量关系为（　D　）
A. α＋β＝90° B. α＋2β＝180°
C. α＝β D. α＝2β
D
第7题图
[简析]∵ △AOB≌△ADC，
∴ AB＝AC，∠BAO＝∠CAD，
∴ ∠BAC＝∠OAD＝α，
在△ABC中，∠ABC＝，
∵AO∥BC，
∴ ∠OBC＝180°－∠O＝180°－90°＝90°，
∴β＋＝90°，
整理得α＝2β，
故选：D.
8. 如图，以∠AOB的顶点O为圆心任意长为半径作弧，分别交角的两边于M，N两点；再分别以点M，N为圆心大于MN长度的一半为半径作弧，两弧交于点P，连接OP. 若DP∥OB，DP＝2，∠DOP＝30°，那么点P到OB的距离是（　B　）
A. 3 B.
C. 2 D.
B
[简析]如图，过P作PE⊥OA于点E，
由作图可知，OP平分∠AOB，
∴∠DOP＝∠BOP＝30°，
∵PC⊥OB，
∴PC＝PE，
∵DP∥OB，
∴∠DPO＝∠BOP＝30°，
∴∠EDP＝60°，
∴PE＝DPsin60°＝2×＝，
∴PC＝PE＝，
∴点P到OB的距离是，
故选：B.
9. 如图，在△ABC中，AB＝4，点D，E在边BC上，∠BAD＝90°，AD＝2，BE＝DE＝CD，若点F是AC边的中点，则DF的长度为（　B　）
A. B.
C. 2 D. 1
B
[简析]∵AB＝4，AD＝2，∠BAD＝90°，
∴BD＝＝2，
∵BE＝DE＝CD，
∴AE＝BD＝，点D为CE中点，
∵点F是AC边的中点，
∴DF＝AE＝，
故选：B.
10. 如图，在等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D为斜边BC上的中点，点E，F分别在直角边AB，AC上运动（不与端点重合），且保持BE＝AF，连接DE，DF，EF；设BE＝a，CF＝b，EF＝c，在点E，F的运动过程中，给出下面三个结论：
①a＋b＞c；②a2＋b2＝c2；③c≥，且等号可以取到.
上述结论中，所有正确结论的序号是（　A　）
A. ①② B. ②③
C. ①③ D. ①②③
A
[简析]①∵AB＝AC，BE＝AF＝a，
∴AE＝CF＝b，
∵点E，F分别在直角边AB，AC上运动（不与端点重合），
∴AF＋AE＞EF，
即a＋b＞c，
故结论①正确；
②∵∠A＝90°，
∴在Rt△AFE中，AF＝a，AE＝b，EF＝c，
由勾股定理得：AF2＋AE2＝EF2，
即a2＋b2＝c2，
故结论②正确；
③连接AD，设AD＝h，如下图所示：
在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D为斜边BC上的中点，
∴AD⊥BC，AD＝CD＝BD＝h，
在Rt△ACD中，由勾股定理得：AD2＋CD2＝AC2，
∴2h2＝（a＋b）2，
∴h2＝（a＋b）2，
即h＝，
∴c2－h2＝（a2＋b2）－（a＋b）2＝（a－b）2≥0，
当且仅当a＝b时，即点E，F分别为AB，AC的中点时，（a－b）2＝0，
此时c＝h，即c＝，
当ab时，即点E，F不是AB，AC的中点时，（a－b）2≥0，
此时c＞h，即c＞，
∵c2＝a2＋b2，
∴c≥，且等号可以取到，
故结论③错误.
综上所述：正确的结论是①②.
故选：A
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，满分20分）
11. 如图，AD，AE分别是△ABC的高和中线，已知AD＝5cm，CE＝6cm，则△ABC的面积为 　30cm2　.
第11题图
30cm2　
12. 如图，依据尺规作图的痕迹，若∠ADE＝64°，∠BAC＝50°，则∠ACB的度数为 　66°　.
第12题图
66°　
13. 如图，一个等腰直角三角形ABC物件斜靠在墙角处，若OA＝40cm，OB＝30cm，则点C离墙的水平距离是 　70　cm.
第13题图
70　
14. 如图，△ABC中，AB＝AC＝5，cos∠ABC＝，点P为边AC上一点，则线段BP长的范围是 　≤BP≤6　.
第14题图
≤BP≤6　
[简析]过点A作AD⊥BC交BC于点D，如图，
∵AB＝AC＝5，cos∠ABC＝，
∴∠ABC＝∠ACB，BD＝DC，cos∠ABC＝＝，
∴DB＝3，BC＝6，
过点B作BE⊥AC交AC于点E，
则cos∠ACB＝cos∠ABC＝＝，解得CE＝，
在Rt△BEC中，BE＝＝
∵线段BP长最短为点B到AC的距离BE，最长为BC，
∴≤BP≤6，
故答案为：≤BP≤6.
15. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，D是BC上一点，连结AD，将AD绕点A逆时针旋转90°至AE，连结BE，BE交AD于G，交AC于点F.
（1）若CD＝CF，则tan∠FBC＝ 　　；
　
[简析]（1）如图，过点E作EH⊥AF于点H.
∵∠C＝∠DAE＝∠AHE＝90°，
∴∠DAC＋∠CAE＝90°，∠CAE＋∠AEH＝90°，
∴∠DAC＝∠AEH，
在△ACD和△EHA中，
，
∴△ACD≌△EHA，
∴AC＝EH，AH＝CD，
∵BC＝AC，
∴BC＝EH，
在△BCF和△EHF中，
，
∴△BCF≌△EHF，
∴CF＝FH，
∵CD＝CF，
∴CF＝FH＝AH，
∴BC＝3CF，
∴tan∠FBC＝＝；
故答案为：；
（2）若CD＝BD，则tan∠E＝ 　　.
[简析]（2）当BD＝CD时，过点A作AT⊥BE于点T.
同法可证△ACD≌△EHA，△BCF≌△EHF，
∴CD＝AH＝CH，CF＝FH，设CF＝FH＝m，则AC＝BC＝EH＝4m，
∴AE＝＝＝2m，BF＝EF＝＝m，
∵·AF·EH＝·EF·AT，
　
∴AT＝＝＝m，
∴ET＝＝＝m，
∴tanE＝＝＝.
故答案为：；
三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，满分40分）
16. 如图，在四边形ABCD中，BD同时平分∠ABC和∠ADC. 求证：△ABD≌△CBD.
证明∶ ∵BD同时平分.∠ABC和∠ADC，
∴∠ABD＝∠CBD，∠ADB＝∠CDB.
在△ABD和△CBD中，
，
∴△ABD≌△CBD.
17. 已知：如图，△ABC中，D是AB中点，DE⊥AC垂足为E，DF⊥BC垂足为F，且ED＝FD，求证：△ABC是等腰三角形.
证明：∵D是AB中点，∴AD＝BD，
∵DE⊥AC，DF⊥BC，
∴∠AED＝∠BFD＝90°，
在Rt△ADE和Rt△BDF中，
，
∴Rt△ADE≌Rt△BDF，
∴∠A＝∠B，∴CB＝AC，
即△ABC是等腰三角形.
18. 如图，在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝25°，过点A作AD⊥BC，垂足为D，延长DA至E. 使得AE＝AC. 在边AC上截取AF＝AB，连接EF.
（1）求∠EAF的度数.
（1）解：∵AD⊥BC.
∴∠ADC＝90°.
∵∠C＝25°，
∴∠EAF＝∠ADC＋∠C＝115°；
（2）求证：EF＝BC.
（2）证明：在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝25°，
∴∠CAB＝180°－∠B－∠C＝115°.
∴∠EAF＝∠CAB.
在△EAF和△CAB中，
，
∴△EAF≌△CAB，
∴EF＝CB.
19. 如图，在东西方向的海岸线l上有一长为2km的码头MN，在码头西端M的正西方向有一观察站A，AM＝28km，某时刻测得A处的北偏西15°且与A相距40km的B处，有一艘匀速直线航行的轮船，轮船从B沿南偏东45°的方向航行，经过2小时，又测得该轮船位于A处的北偏东45°方向的C处.（参考数据：≈1.414，≈1.732）
（1）填空：∠BAC＝ 　60　°；∠ABC＝ 　30　°；
（1）解：由题意可得：∠BAF＝15°，AB＝40km，EB∥AF，∠CAM＝45°，∠FAM＝90°，∠CBE＝45°，
∴∠FAC＝∠FAM－∠CAM＝45°，
∴∠BAC＝∠BAF＋∠FAC＝60°；
∵EB∥AF，
∴∠ABE＝∠FAB＝15°，
∵∠CBE＝45°，
∴∠ABC＝∠CBE－∠ABE＝30°.
故答案为：60°，30°.
60　
30　
（2）求轮船航行的速度（结果保留根号）；
（2）解：∵∠ABC＝30°，∠BAC＝60°，
∴∠C＝90°，
∴△ABC为直角三角形.
∵AB＝40km，
∴AC＝AB＝20km，
∴BC＝＝20，
∴轮船航行的速度20÷2＝10（km/h）.
（3）如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否正好航行至码头MN靠岸？请说明理由.
（3）解：能.理由如下：
如图：延长BC航线角直线l与点T.
∵∠CAM＝45°，∠C＝90°，
∴∠CTA＝∠CAM＝45°，∵AC＝20，
∴AT＝＝＝20≈28.28km，
∵AM＝28km，AN＝AM＋MN＝30km，
∴AM＜AT＜AN，∴轮船能够正好行至码头MN靠岸.
四、附加题（本题满分5分，计入总分，但总分不超过100分）
20. 如图，在边长为6的等边△ABC中，点E，F分别是边AC，BC上的动点，且AE＝CF，连接BE，AF交于点P，连接CP，则CP的最小值为 　2　.
2　
[简析]∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC，∠CAB＝∠ACB＝60°，
在△ABE和△CAF中，
，
∴△ABE≌△CAF，
∴∠ABE＝∠CAF，
∴∠BPF＝∠PAB＋∠ABP＝∠CAP＋∠BAP＝60°，
∴∠APB＝120°，
如图，过点A，点P，点B作☉O，连接CO，PO，
∴点P在上运动，
∵AO＝OP＝OB，
∴∠OAP＝∠OPA，∠OPB＝∠OBP，∠OAB＝∠OBA，
∴∠AOB＝360°－∠OAP－∠OPA－∠OPB－∠OBP＝120°，
∴∠OAB＝30°，
∴∠CAO＝90°，
∵AC＝BC，OA＝OB，
∴CO垂直平分AB，
∴∠ACO＝30°，
∴cos∠ACO＝＝，CO＝2AO，
∴CO＝4，
∴AO＝2，
在△CPO中，CP≥CO－OP，
∴当点P在CO上时，CP有最小值，
∴CP的最小值＝4－2＝2.