24.2.2 直线和圆的位置关系 同步练习（含解析）2025-2026学年人教版九年级数学上册

24.2.2 直线和圆的位置关系
第1课时 直线和圆的位置关系
练基础
知识点1 由图形直观判断直线与圆的位置关系
1 “拒绝浪费，珍惜粮食”，如图是“光盘行动”的宣传海报(部分)，将图中的餐盘与筷子分别抽象成圆和直线，则它们的位置关系是 ( )
A.相交 B.相切 C.相离 D.平行
知识点2 由数量关系判断直线与圆的位置关系
2(河北邢台信都期末)半径为5的四个圆按如图所示位置摆放，若其中有一个圆的圆心到直线l的距离为4，则这个圆可以是 ( )
A.⊙O B.⊙O C.⊙O D.⊙O
3(江苏扬州高邮期末)若直线l与半径为5的⊙O相交，则圆心O到直线l的距离d满足( )
A. d<5 B. d>5 C. d=5 D. d≤5
【变式】(福建三明永安阶段练面内，⊙O的半径为3，若直线l与⊙O相离，圆心O到直线l的距离可能为 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
4(浙江嘉兴中考)已知平面内有⊙O和点A，B,若⊙O的半径为2cm,线段OA=3cm,OB=2cm，则直线AB与⊙O的位置关系为( )
A.相离 B.相交
C.相切 D.相交或相切
练提升
5 新趋势 多模块综合在平面直角坐标系中，以点(2，1)为圆心，1为半径的圆与坐标轴的位置关系为 ( )
A.与x轴相离、与y轴相切
B.与x轴、y轴都相离
C.与x轴相切、与y轴相离
D.与x轴、y轴都相切
6(易错题)在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=8，若以点C为圆心，r为半径的圆与边AB所在直线相离，则r的取值范围为 ；若⊙C与AB边只有一个公共点，则r的取值范围为 .
反思：本题易错点是
7 (教材P96练习改编)如图，在等边三角形ABC中, 垂足为点D，判断以点D为圆心，下列r为半径的⊙D与AB的位置关系.
(1)r=3cm;
(2)r=4.5cm;
(3)r=6cm.
第2课时 切线的性质与判定
练基础
知识点1 |切线的判定
1 下列说法中，不正确的是 ( )
A.与圆只有一个交点的直线是圆的切线
B.经过半径的外端，且垂直于这条半径的直线是圆的切线
C.与圆心的距离等于这个圆的半径的直线是圆的切线
D.垂直于半径的直线是圆的切线
2如图，点A在⊙O上，下列条件不能说明PA是⊙O的切线的是 ( )
B. PA⊥OA
C.∠P=30°,∠O=60° D. OP=2OA
3 如图，A，B是⊙O上的两点，AC是过A点的一条直线,如果∠AOB=120°,那么当∠CAB的度数等于 °时，AC才能成为⊙O的切线.
4(广东云浮新兴二模)如图，AD是⊙O的弦，AB经过圆心O,交⊙O于点C,连接BD,∠DAB=∠B=30°.求证:直线BD是⊙O的切线.
知识点2 切线的性质
5(吉林长春中考)如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线,若∠BAC=35°,则∠ACB的大小为 ( )
A.35° B.45° C.55° D.65°
【变式】(重庆巴南阶段练习)如图，△ABC内接于⊙O,AB是⊙O的直径,BD是⊙O的切线，点B为切点，BD与线段AC的延长线相交于点D,若∠ABC=65°,则∠D等于 ( )
A.65° B.55°
C.45° D.35°
6(海南中考)如图，射线AB与⊙O相切于点B，经过圆心O的射线AC与⊙O相交于点D,C,连接BC,若∠A=40°,则∠ACB= °.
7 (教材P98例1改编)如图,AB为⊙D的切线,BD是∠ABC的平分线,AC过圆心D.求证:BC是⊙D的切线.
练提升
8 新趋势 多模块综合如图，在平面直角坐标系中，以M(2，3)为圆心，AB为直径的圆与x轴相切，与y轴交于A，C两点，则AC的长为( )
A.4 B.2 D.6
9(黑龙江齐齐哈尔铁锋期末)如图，直线AB，CD相交于点O,∠AOC=30°,圆P的半径为1cm，动点P在直线AB上从点O左侧且距离O点6cm处，以1cm/s的速度向右运动，当圆P与直线CD相切时，圆心P的运动时间为 s.
10(易错题)如图,∠ABC=90°,O为射线BC上一点，以点O为圆心， OB为半径作⊙O，将射线BA绕点B按顺时针方向旋转至BA'，若BA'与⊙O相切,则旋转的角度α(0°<α<180°)等于 .
11 (河北承德一模)一张圆形光盘如图所示，已知光盘内直径为2cm，一个宽为2cm的刻度尺在圆形光盘上移动，当刻度尺的一边与光盘相切时，另一边与光盘边缘两个交点处的读数恰好是“2”和“10”(单位：cm)，那么该光盘的外直径是 cm，该光盘的面积是 cm .
12(湖南张家界模拟)已知：如图，△ABC中，AC=BC,以BC为直径的⊙O交AB于点D,过点D作DE⊥AC,垂足为点E,交BC的延长线于点F.求证：
(1)AD=BD;
(2)DF是⊙O的切线.
练素养
13 新情境 数学文化(湖南株洲中考)中国元代数学家朱世杰所著《四元玉鉴》记载有“锁套吞容”之“方田圆池结角池图”.“方田一段，一角圆池占之.”意思是说：“一块正方形田地，在其一角有一个圆形的水池(其中圆与正方形一角的两边均相切).”如图所示.问题：此图中，正方形一条对角线AB与⊙O相交于点M，N(点N在点M的右上方)，若AB的长度为10丈，⊙O的半径为2丈，则BN的长度为 丈(丈为古代长度单位,1丈≈3.3m).
第3课时 切线长定理与内切圆
练基础
知识点1 |切线长定理
1 平面内,⊙O的半径为2,PO=3,过点P可作⊙O的切线 ( )
A.0条 B.1条
C.2条 D.无数条
【变式】 平面内,⊙O的半径为2,PO=2,则过点P可作⊙O的 条切线.
2(湖南益阳中考)如图，PA，PB为圆O的切线，切点分别为A，B，PO交AB于点C，PO的延长线交圆O于点D，下列结论不一定成立的是( )
A. PA=PB B.∠BPD=∠APD
C. AB⊥PD D. AB平分PD
3(福建泉州南安一模)如图，PA，PB是⊙O的两条切线,A,B是切点,若∠APB=60°,PO=2,则⊙O的半径等于 .
4 如图,AB是⊙O的直径,点C为⊙O外一点,CA,CD是⊙O的切线,A,D为切点,连接BD,AD.若∠ACD=48°,则∠DBA= °.
5(福建泉州校级模拟)如图，PA，PB是⊙O的切线,A,B为切点,点C,D在⊙O上.若∠P=102°,则∠A+∠C= .
知识点2 三角形的内切圆
6(贵州兴义期末)已知△ABC的内心为P，则下列说法错误的是 ( )
A. PA=PB=PC
B. P在△ABC的内部
C. P为△ABC三个内角平分线的交点
D. P到三边距离相等
7(广东广州天河阶段练习)如图所示，△ABC的内切圆⊙O与AB,BC,AC分别相切于点D,E,F,若∠DEF=55°,则∠A的度数是 ( )
A.35° B.55° C.70° D.125°
8 (教材P100第2题改编)已知三角形的周长为12，面积为6，则该三角形内切圆的半径为( )
A.4 B.3 C.2 D.1
9(教材P100第1题改编)如图,点I是△ABC的内心,若∠I=116°,则∠A等于 ( )
A.50° B.52° C.54° D.56°
10 如图,已知⊙O是Rt△ABC的内切圆,∠C=90°.若AC=12cm,BC=9cm,求⊙O的半径r.
练提升
11 如图,PA,PB,CD分别切⊙O于A,B,E,CD交PA,PB于C,D两点,若∠P=40°,则∠PAE+∠PBE的度数为 ( )
A.50° B.62° C.66° D.70°
12(河北保定高阳期末)如图，△ABC是一张周长为17cm的三角形的纸片,BC=5cm,⊙O是它的内切圆，小明准备用剪刀在⊙O的右侧沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下△AMN，则剪下的三角形的周长为 ( )
A.12cm
B.7cm
C.6cm
D.随直线MN的变化而变化
13 (天津南开期末)如图,在 Rt△ABC中,∠ACB=90°,⊙O是△ABC的内切圆，三个切点分别为D,E,F,若BF=2,AF=3,则△ABC的面积是 .
14 如图,PA,PB分别与⊙O相切于点A,B,BC为⊙O的直径,OP交⊙O于点E,交AB于点F.求证:
(1)AC∥OP;
(2)点E是△ABP的内心.
15如图,直线AB,BC,CD分别与⊙O相切于E,F,G,且AB∥CD,OB=6cm,OC=8cm.求:
(1)∠BOC的度数;
(2)BE+CG的长;
(3)⊙O的半径.
练素养
16 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有下列问题：“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何.”其意思是：今有直角三角形，勾(短直角边)长为8步，股(长直角边)长为15步，问该直角三角形能容纳的圆形(内切圆)直径是 步.
17 如图，把Rt△OAB置于平面直角坐标系中，点A的坐标为(0，4)，点B的坐标为(3,0),点P是Rt△OAB内切圆的圆心.将Rt△OAB沿x轴的正方向作无滑动滚动，使它的三边依次与x轴重合，第一次滚动后圆心为P ，第二次滚动后圆心为P ,…,依此规律,第99次滚动后,Rt△OAB内切圆的圆心P 的坐标是 .
24.2.2直线和圆的位置关系
第1课时 直线和圆的位置关系
1. A
2. C解析：∵圆的半径为5，圆心到直线l的距离为4，∴直线与圆相交，且不经过圆心，只有⊙O 符合题意.
3. A解析：圆心O到直线l的距离d小于半径时，直线与圆相交,∴d<5.
解题关键点：直线l和⊙O相交时，dr.
【变式】D 解析：∵⊙O的半径为3，若直线l与⊙O相离，则圆心O到直线l的距离大于3，故选D.
4. D 解析:⊙O的半径为2cm,线段OA=3cm,OB=2cm,∴点A在⊙O外,点B在⊙O上,∴直线AB与⊙O的位置关系为相交或相切.
易错点 此题容易忽略直线与圆相切的情况.
5. C 解析:∵此圆的圆心为点(2,1),半径为1,有1=1,2>1,∴这个圆与x轴相切,与y轴相离.
或
解析:如图,作CH⊥AB,垂足为H.
在Rt△ABC中,∵∠ACB=90°,AC=6,BC=8,
∵以点C为圆心，r为半径的圆与边AB所在直线相离，
∴r的取值范围为
∵⊙C与AB边只有一个公共点，
∴r的取值范围为(6易错点 ⊙C与AB有一个公共点时，易忽略相交的情况.
7.解:如图,过点D作DE⊥AB,垂足为点E.
∵等边三角形ABC的边长为6 cm,AD是高,
∴DE=4.5cm.
故当(1)r=3cm时,⊙D与AB相离;
(2)r=4.5cm时,⊙D与AB相切;
(3)r=6cm时,⊙D与AB相交.
第2课时 切线的性质与判定
1. D解析：垂直于半径的直线可能是圆的切线，也有可能是圆的割线，故D选项说法不正确.
2. D 解析:·
∴△OAP为直角三角形,即OA⊥PA,
∴PA为⊙O的切线，∴A，B选项不符合题意；
∵∠P=30°,∠O=60°,∴∠OAP=90°,∴OA⊥PA,
∴PA为⊙O的切线，∴C选项不符合题意；
∵OP=2OA不能确定∠OAP=90°,∴D选项符合题意.
3.60 解析:∵△AOB中,OA=OB,∠AOB=120°,∴∠OAB=30°,∴当∠CAB的度数等于60°时,OA⊥AC,AC才能成为⊙O的切线.
4.证明:如图,连接OD.
∵∠DAB=30°,
∴∠BOD=2∠DAB=60°,
又∵∠B=30°,
即OD⊥BD.∴直线BD是⊙O的切线.
5. C 解析:由题意,得∠ABC=90°.又∠BAC=35°,则∠ACB=90°-35°=55°.
【变式】A 解析:∵BD是⊙O的切线,点B为切点,
∴AB⊥BD,∴∠ABD=90°,∴∠A+∠D=90°.
∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=90°,
∴∠A+∠ABC=90°,
∴∠D=∠ABC=65°.
6.25 解析:连接OB,如图.
∵射线AB与⊙O相切于点B，
∴OB⊥AB,∴∠ABO=90°.
∵∠A=40°,∴∠AOB=50°,
7.证明:如图,过点D作DE⊥BC,垂足为点E.
∵AB为⊙D的切线,∴DA⊥AB.
∵BD是∠ABC的平分线,
∴DA=DE,
∴DE是⊙D的半径.
∵DE⊥BC,∴BC是⊙D的切线.
8. B 解析：如图，设⊙M与x轴相切于点D，连接MD，过点M作ME⊥AC,垂足为E,∴AC=2AE.
∵⊙M与x轴相切于点D，
∴∠MDO=90°.
∵M(2,3),∴ME=2,MD=3,
∴MA=MD=3.
在Rt△AEM中,
9.4或8 解析：当点P在射线OA上且⊙P与CD相切时，如图1,过P作PE⊥CD,垂足为E,∴PE=1cm.
∵∠AOC=30°,∴OP=2PE=2cm,
∴⊙P的圆心在直线AB上向右移动了(6-2)cm后与CD相切，∴圆心P移动所用的时间
当点P在射线OB上且⊙P与CD相切时，如图2，过P作PF⊥CD,垂足为F,∴PF=1cm.
∵∠DOB=∠AOC=30°,∴OP=2PF=2cm,
∴⊙P的圆心在直线AB上向右移动了(6+2)cm后与CD相切，∴圆心P移动所用的时间
综上，当⊙P与直线CD相切时，圆心P的运动时间为4s或8s.
10.60°或120° 解析:如图.
①当BA'与⊙O相切,且BA'位于BC上方时，设切点为 P，连接OP，则∠OPB=90°.
在Rt△OPB中,OB=2OP,∴∠A'BO=30°.∴∠ABA'=60°;
②当BA'与⊙O相切,且BA'位于BC下方时.
同①,可求得∠A'BO=30°.此时
故旋转角α的度数为60°或120°.
易错点 过圆外一点的切线有两条，本题易忽略多解的情况.
11.10 24π 解析:设圆心为O,弦为AB,切点为C,连接OC,交AB于D点，连接OA，如图所示.
由题意,得AB=8cm,CD=2cm.
∵刻度尺的对边平行，光盘与外边缘相切，
设半径为R cm,在Rt△AOD中,由勾股定理,得R =4 +(R-2) ,解得R=5,
∴该光盘的外直径是10cm.
∴该光盘的面积是(
12.证明:(1)如图,连接CD.
∵BC为⊙O的直径,∴CD⊥AB.
∵AC=BC,∴AD=BD.
(2)如图,连接OD.
∵AD=BD,OB=OC,
∴OD是△BCA的中位线,∴OD∥AC.
∵DE⊥AC,∴DF⊥OD.
∵OD为半径,∴DF是⊙O的切线.
解析：如图，设正方形的一边与⊙O的切点为C，连接OC，则OC⊥AC.
∵四边形是正方形，AB是对角线，
∴∠OAC=45°,
丈，
丈.
第3课时 切线长定理与内切圆
1. C解析：由题意，知点P在⊙O外，从圆外一点可以引圆的两条切线.
【变式】1
2. D 解析:∵PA,PB是⊙O的切线,∴PA=PB,∠BPD=∠APD,∴AB⊥PD,
∴选项A，B，C成立，选项D不一定成立.
3.1 解析:∵PA,PB是⊙O的两条切线,
∵PO=2,∴AO=1.
4.66 解析:∵CA,CD是⊙O的切线,∴CA=CD,
∵∠ACD=48°,∴∠CAD=∠CDA=66°.
∵CA⊥AB,AB是直径,∴∠ADB=∠CAB=90°,
∴∠DBA+∠DAB=90°,∠CAD+∠DAB=90°,
∴∠DBA=∠CAD=66°.
5.219° 解析:如图,连接AB.∵PA,PB是⊙O的切线,∴PA=PB.∵∠P=102°,
∵∠DAB+∠C=180°,
∴∠PAD+∠C=∠PAB+∠DAB+∠C=39°+180°=219°.
6. A解析：三角形内心是三角形三个内角的平分线的交点，到三角形三条边的距离相等，故A选项说法错误.
7. C 解析:连接OD,OF,如图所示.
∵∠DEF=55°,∴∠DOF=2∠DEF=110°.
∵AD,AF是⊙O的切线,
∴∠ADO=∠AFO=90°,
解题关键点：综合运用切线的性质与圆周角定理进行角的转化.
8. D解析：设这个三角形的内切圆半径是r，
∵三角形周长为12，面积为6，. 解得r=1.
9. B 解析:∵∠I=116°,∴∠IBC+∠ICB=64°.
∵点I是△ABC的内心,
∴∠ABC+∠ACB=128°,∴∠A=180°-(∠ABC+∠ACB)=52°.
10.解:如图,连接OD,OF.
在Rt△ABC中，由勾股定理，得
∵⊙O是Rt△ABC的内切圆,
∴∠ODC=∠OFC=∠C=90°,OD=OF,
∴四边形OFCD是正方形,∴CD=OD=r.
由切线长定理,得AD=AE,CD=CF,BE=BF,
=3(cm),
即⊙O的半径r为3cm.
11. D 解析:由切线长定理,可知CE=CA,DE=DB,
∴∠CEA=∠PAE,∠DEB=∠PBE,
∴∠PCD=∠PAE+∠CEA=2∠PAE,
∠PDC=∠DEB+∠PBE=2∠PBE,
∵∠P=40°,
12. B 解析:如图,设D,E,F,G均是⊙O的切点,
∵⊙O是△ABC的内切圆,BC=5cm,
∴BD+CE=BG+CG=BC=5cm,
则AD+AE=17-2BC=7(cm),易知DM=MF,FN=EN,
∴AM+AN+MN=AD+AE=7(cm).
13.6 解析:连接DO,EO,如图.∵⊙O是△ABC的内切圆,切点分别为D,E,F,∴OE⊥AC,OD⊥BC,CD=CE,BD=BF=2,AE=AF=3,又∵∠C=90°,∴四边形OECD是正方形,设EC=CD=x,在Rt△ABC中, 故 ,解得x=1(负值舍去),
解题关键点：运用切线长定理表示出△ABC的各边长，利用勾股定理求解.
14.证明:(1)∵PA,PB是⊙O的切线,
∴PA=PB,∠APO=∠BPO,∴PO⊥AB,∴∠AFP=90°.
∵BC为⊙O的直径,∴∠BAC=90°,
∴∠BAC=∠AFP,∴AC∥OP.
(2)如图,连接BE.
∵PB是⊙O的切线,∴∠PBO=90°,
∴∠PBE+∠OBE=90°.
∵PF⊥AB,∴∠EBF+∠BEF=90°,
∵OB=OE,∴∠BEF=∠OBE.
∴∠PBE=∠EBF,∴BE平分∠PBF.
∵PA,PB是⊙O的切线,∴PO平分∠APB.
∴点E是△ABP的内心.
15.解：(1)根据切线长定理，得BE=BF,CF=CG,∠OBF=∠OBE,∠OCF=∠OCG.
∵AB∥CD,∴∠ABC+∠BCD=180°,
∴∠OBF+∠OCF=90°,∴∠BOC=90°.
(2)由(1)知,∠BOC=90°,
∵OB=6cm,OC=8cm,
∴BE+CG=BF+CF=BC=10cm.
(3)如图,连接OF.
∵OF⊥BC,∠BOC=90°,
16.6 解析:如图,设三角形为△ABC,∠C=90°,AC=8,BC=
设内切圆的半径为r，则 即 解得r=3,∴内切圆的直径是6步.
17.(397,1) 解析:∵点A的坐标为(0,4),点B的坐标为(3,0),∴OA=4,OB=3,∴AB=√OA +OB =5,
∴Rt△OAB内切圆的半径
∴P的坐标为(1,1).
∵将Rt△OAB沿x轴的正方向作无滑动滚动，使它的三边依次与x轴重合,∴可得P (5,1),P (11,1),P (13,1),∴每滚动3次一个循环，每个循环圆心前进4+6+2=12.
∵99÷3=33,∴第99次滚动后,Rt△OAB内切圆的圆心P 的横坐标是33×12+1=397,即P 的横坐标是397,∴P 的坐标是(397,1).