24.1.4圆周角 同步练习（含解析）2025-2026学年人教版九年级数学上册

24.1.4圆周角
第1课时圆周角定理及其推论
练基础
知识点1 圆周角的定义
1 (教材P88第1题改编)下列图形中的角是圆周角的是 ( )
知识点2 圆周角定理
2(湖南长沙中考)如图,点A,B,C在⊙O上,∠BAC=54°,则∠BOC的度数为 ( )
A.27° B.108° C.116° D.128°
【变式】(辽宁大连沙河口阶段练习)如图，点A,B,C在⊙O上,∠ACB=54°,则∠BAO的度数是 ( )
A.54° B.27° C.108° D.36°
3(教材P89第5题改编)如图,已知AB是⊙O的直径,C,D两点在⊙O上,∠ACD=35°,则∠BOD的度数是 ( )
A.105° B.110° C.115° D.120°
知识点3 圆周角定理的推论1
4(广西柳州中考)如图，A，B，C，D是⊙O上的点，则图中与∠A相等的角是 ( )
A.∠B B.∠C C.∠DEB D.∠D
知识点4 圆周角定理的推论2
5 (教材P89第6题改编)从下列直角三角尺与圆弧的位置关系中，可判断圆弧为半圆的是( )
6(广西桂林中考)如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，连接AC，BC，则∠C的度数是( )
A.60° B.90° C.120° D.150°
7(河北石家庄校级阶段练习)如图，小华同学设计了一个圆直径的测量器，标有刻度的尺子OA，OB在O点钉在一起，并使它们保持垂直.在测直径时，把O点靠在圆周上，读得刻度OE=8个单位，OF=6个单位，则圆的直径为 ( )
A.12个单位 B.10个单位
C.4个单位 D.5个单位
练提升
8(山东聊城中考)如图，A，B，C是半径为1的⊙O上的三个点，若AB= ,∠CAB=30°,.则∠ABC的度数为 ( )
A.95° B.100° C.105° D.110°
9(江苏南京玄武阶段练习)如图，AB是⊙O的直径,弦CD交AB于点 E,连接AC,AD.若∠BAC=28°,则∠D的度数是 ( )
A.56° B.58° C.60° D.62°
【变式】(江苏江阴阶段练习)如图，AB是⊙O的直径,若AC=2,∠D=60°,则BC的长等于 ( )
A.4 B.5 C.
10(黑龙江哈尔滨南岗阶段练习)如图，在⊙O中,半径OC垂直于弦AB,∠OBA=26°,D为⊙O上一点，则∠ADC的度数是 ( )
A.52° B.64° C.37° D.32°
11 (辽宁大连期末)如图,AB是⊙O的直径,AB=2,点C在⊙O上,∠CAB=30°,D为BC的中点，E是直径AB上一动点，则CE+DE最小值为( )
A.1 B.
C. D.2
12(浙江温州永嘉模拟)如图，AB是⊙O的直径，C是 的中点,CE⊥AB,垂足为E,BD交CE于点F.
(1)求证:CF=BF;
(2)若AD=6,⊙O的半径为5,求BC的长.
练素养
13 新情境 生产生活(山东日照中考)一圆形玻璃镜面损坏了一部分，为得到同样大小的镜面，工人师傅用直角尺作如图所示的测量,测得AB=12cm,BC=5cm,则圆形镜面的半径为 .
14 新趋势 动点探究题如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(4，0)，点B是第一象限内的一个动点并且使∠OBA=90°,点C(0,3),则BC的最小值为 .
第2课时 圆内接四边形
练基础
知识点 |圆内接四边形
1(江苏泰州兴化阶段练习)如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形,若∠D=85°,则∠B的度数为 ( )
A.95° B.105° C.115° D.125°
【变式】(教材P88第5题改编)如图，四边形ABCD内接于⊙O，若它的一个外角∠DCE=46°,则∠A的度数为 .
2下列说法正确的有 ( )
①圆内接四边形的任何一个外角都等于它的内对角；②圆内接四边形对角相等；③圆内接四边形中不相邻的两个内角互补；④在圆内部的四边形叫圆内接四边形.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3(江苏无锡惠山期中)如图，已知四边形AB-DC内接于⊙O,∠BDC=130°,则∠BOC的度数为 ( )
A.130° B.120° C.110° D.100°
4(福建龙岩校级期中)如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形,∠ADC=90°,AB=6,CB=8,则⊙O的直径为 .
练提升
5(吉林长春宽城期末)如图，在圆内接五边形ABCDE中,∠C+∠CDE+∠E+∠EAB=425°,则∠CDA的度数为 ( )
A.75° B.65° C.55° D.45°
6 新趋势 多模块综合如图，在平面直角坐标系中，⊙C经过坐标原点O，且与两坐标轴分别交于点A,点B,点A的坐标为(0,3),M是 上一点，且在第三象限内.若∠BMO=120°,则⊙C的半径长为 ( )
A.6 B.5
D.3
7(易错题)(江苏盐城东台阶段练习)如图，菱形OABC的顶点A,B,C在圆O上,且∠OAB=60°，若点P是圆周上任意一点且不与A，B，C重合，则∠APC的度数为 .
【变式】(吉林吉林市期中)如图，四边形ABCD内接于⊙O,∠CBE是它的一个外角,若∠CBE=58°,则∠AOC= °.
24.1.4 圆周角
第1课时 圆周角定理及其推论
1. A 2. B
【变式】D解析:∵∠ACB=54°,∴∠AOB=2∠ACB=108°.
3. B 解析:由题意知∠AOD=2∠ACD=2×35°=70°,∴∠BOD=180°-70°=110°.
4. D
5. C解析：根据90°的圆周角所对的弦是直径得到只有C选项正确，其他均不正确.
6. B
7. B 解析:连接EF,如图.∵OE⊥OF,即∠EOF=90°,∴EF是直径,
8. C 解析:如图,连接OB.在△OAB中,· ∴△OAB是等腰直角三角形，∠AOB=90°,∴∠ACB=45°,∴∠ABC=180°-∠ACB-∠CAB=105°.
9. D 解析:连接BC,如图.
∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=90°,
∵∠BAC=28°,∴∠B=90°-∠BAC=62°,
∴∠D=∠B=62°.
【变式】D 解析:∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=90°.∵∠BAC=∠D=60°,
10. D 解析:·
11. B 解析:作点D关于AB的对称点D',连接OC,OD,OD',连接CD'交AB于点E,如图.
∴DE=D'E,∴CE+DE=CE+D'E=CD',此时CE+DE有最小值.
∵∠CAB=30°,∴∠COB=2∠CAB=60°.
∵D为 的中点，
∴∠COD=∠DOB=∠BOD'=30°,
∴∠COD'=90°.
∵AB=2,∴OC=OD'=1,
∴CE+DE最小值为 故选B.
12.解:(1)证明:连接AC,如图1所示.
∵C是BD的中点,∴∠DBC=∠BAC.
在△ABC中,∠ACB=90°,CE⊥AB,
∴∠BCE+∠ECA=∠BAC+∠ECA=90°,∴∠BCE=∠BAC,
∴∠BCE=∠DBC,∴CF=BF.
(2)解:连接OC交BD于G,如图2所示.
∵AB是⊙O的直径,∴AB=2OC=10,∠ADB=90°,
∵C是 的中点，.
又∵OA=OB,∴OG是△ABD的中位线,∴OG= 4D=3,∴CG=OC-OG=5-3=2.在Rt△BCG中，由勾股定理，得
解析：连接AC，如图.
∵∠ABC=90°,且∠ABC是圆周角,
∴AC是圆形镜面的直径.
由勾股定理，得
∴圆形镜面的半径为
解析:∵∠OBA=90°,∴点B在以OA为直径的圆上.如图，以OA为直径作⊙D，连接CD,交⊙D于B,此时BC长最小.
∵A(4,0),C(0,3),∴OC=3,OA=4,
第2课时 圆内接四边形
1. A 解析:∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形,∴∠D+∠B=180°,∵∠D=85°,∴∠B=180°-∠D=180°-85°=95°.
【变式】46° 解析:∵四边形ABCD内接于⊙O,
∴∠A+∠BCD=180°,∵∠BCD+∠DCE=180°,
∴∠A=∠DCE=46°.
2. B解析：①正确；圆内接四边形对角互补，故②错误；③正确；四个顶点在圆上的四边形叫圆内接四边形，故④错误.正确的有2个.
3. D 解析:∵四边形ABDC内接于⊙O,
∴∠BAC+∠BDC=180°,而∠BDC=130°,
∴∠BAC=180°-∠BDC=50°,∴∠BOC=2∠BAC=100°.
4.10 解析:如图,连接AC.
∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠ADC=90°,
∴AC是⊙O的直径,∴∠ABC=90°.
∵AB=6,CB=8,
∴在Rt△ABC中,
5. B 解析:∵五边形ABCDE的内角和为(5-2)×180°=540°,
∴∠B+∠C+∠CDE+∠E+∠EAB=540°.
∵∠C+∠CDE+∠E+∠EAB=425°,
∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴∠B+∠CDA=180°,∴∠CDA=180°-115°=65°.
6. D 解析:∵四边形ABMO是圆内接四边形,∠BMO=120°,
∴∠BAO=60°.∵∠AOB=90°,
∴AB是⊙C的直径,
∵点A的坐标为(0,3),∴OA=3,
∴AB=2OA=6,∴⊙C的半径长
7.60°或120° 解析:在菱形OABC中,∵∠OAB=60°,∴∠AOC=∠ABC=120°.
如图，分两种情况：
①当点P在优弧AC上时，由圆周角定理，得
②当点P'在劣弧AC上时,由①得∠APC=60°,
. 也可根据∠AP'C=∠ABC综上所述,∠APC为60°或120°. 求得.
易错点 本题易因为忽略点P的位置存在两种情况而漏解.
【变式】116 解析:∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形,
∴∠ADC+∠ABC=180°,
∵∠CBE+∠ABC=180°,∠CBE=58°,
∴∠ADC=∠CBE=58°,
由圆周角定理,得∠AOC=2∠ADC=116°.