24.1.2 垂直于弦的直径 同步练习（含解析）2025-2026学年人教版九年级数学上册

24.1.2 垂直于弦的直径
练基础
知识点1 圆的对称性
1 下列说法中，不正确的是 ( )
A.圆既是轴对称图形，又是中心对称图形
B.圆绕着它的圆心旋转任意角度，都能与自身重合
C.圆的对称轴有无数条，对称中心只有一个
D.圆的每一条直径都是它的对称轴
知识点2 垂径定理
2(黑龙江大庆杜尔伯特期末)如图，AB是⊙O的直径,CD为弦,CD⊥AB,垂足为点E,则下列结论中不一定成立的是 ( )
C. OE=BE D. CE=DE
3(四川凉山州中考)点P是⊙O内一点，过点P的最长弦的长为10cm，最短弦的长为6cm，则OP的长为 ( )
A.3cm B.4cm C.5cm D.6cm
4 (教材P83第2题改编)如图,CD为⊙O的直径,弦AB⊥CD,垂足为点E,DE=2,AB=8,则⊙O的半径为 ( )
A.5 B.8 C.3 D.10
知识点3 垂径定理的推论
5 如图,AB是⊙O的直径,且AB平分弦CD,若∠COD=80°,则∠OCD= °,∠BOD= °.
6如图,在⊙O中,已知弦AB长为16cm,C为 的中点,OC交AB于点M,且OM:MC=3:2,则CM的长为 .
知识点4垂径定理的应用
7 如图1，筒车是我国一种古老而传统的农业灌溉工具，是珍贵的历史文化遗产.如图2，圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得的弦AB长为8m，半径为5m，则圆心O到水面AB的距离是 m.
练提升
8(广西河池环江期末)如图，⊙O的半径为5，弦AB长为8，P为弦AB上的动点，则线段OP长的取值范围是 ( )
A.3C.49如图，⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，已知AE=6,EB=2,∠CEA=30°,则弦CD的长为 ( )
A.8 B.4
10.如图，公路的某转弯处是一段圆弧(AB)，点O是这段弧所在圆的圆心,∠AOB=60°,点C是AB白的中点,点D是AB的中点,且CD=5m,则这段弯路所在圆的半径为 ( )
B.20m
C.30m
11 (易错题)已知半径为10的⊙O中,AB,CD是⊙O的两条互相平行的弦.若AB=8，CD=10,则AB,CD之间的距离为 .
反思：本题易错点是
12(浙江宁波鄞州阶段练习)如图，隧道的截面由圆弧AED和矩形ABCD构成，矩形的长BC为12m,宽AB为3m,隧道的顶端E(圆弧AED的中点)高出道路(BC)7m.
(1)求圆弧AED所在圆的半径；
(2)如果该隧道内设双行道，现有一辆超高货运卡车高6.5m，宽2.3m，问这辆货运卡车能否通过该隧道.
练素养
13 《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章计算弧田面积所用的经验公式是：弧田面积= (弦x矢+矢 ).弧田是由圆弧和其所对的弦围成(如图中的阴影部分)，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.现已知弦AB=8m,半径等于5m的弧田，按照上述公式计算出弧田的面积为 m .
微专题6垂径定理与勾股定理的综合应用
【方法总结】在如图所示的直角三角形中，根据垂径定理与勾股定理有：r = 据此公式，知道a，r，d中的任意两个量，即可求出第三个量.
类型① 直接应用勾股定理进行计算
1.在⊙O中,直径AB=15,弦DE⊥AB,垂足为点C,若OC:OB=3:5,则DE的长为 ( )
A.6 B.9 C.12 D.15
类型2 根据勾股定理列方程进行计算
2.(江苏南京秦淮期中)如图，在⊙O中，直径EF与弦CD相交于点M，F为 的中点.若CD=2,EM=5,，则⊙O的半径长为( )
A.4 B.3
24.1.2 垂直于弦的直径
1. D解析：圆的每一条直径所在的直线都是它的对称轴，原说法错误，故D选项符合题意.
2. C 解析:∵AB是⊙O的直径,CD为弦,CD⊥AB,∴AC= ,但OE不一定等于BE,故选项A,B,D结论成立，选项C结论不一定成立.
3. B 解析:如图所示,AB为⊙O的直径,CD⊥AB,垂足为点P.根据题意,得AB=10cm,CD=6cm.
∵AB是直径,且CD⊥AB,
根据勾股定理，得
解题关键点：在圆中过某一点的最长的弦为直径，最短的弦与过该点的直径垂直.
4. A 解析:如图,连接OA.
∵AB⊥CD,AB=8,∴AE=BE=4.设半径为r,∵DE=2,∴OE=r-2,由 得 解得r=5,即⊙O的半径为5.
5.50 40 解析:∵OC=OD,
∵直径AB平分弦CD,∴AB⊥CD,
6.4cm 解析:连接OA,如图.
∵C为AB的中点,
设OM=3a,则(CM=2a,∴OC=5a,
由勾股定理,得OA =AM +OM ,
即
解得a=2(负值舍去)，
则CM=2a=4cm.
7.3 解析:过点O作OC⊥AB,垂足为点C,连接OA,如图所示，则
在Rt△AOC中，由勾股定理，得
即圆心O到水面AB的距离为3m.
8. B 解析:如图,过点O作OH⊥AB,垂足为H,连接OB,则 在Rt△OBH中, ∴线段OP长的取值范围是3≤OP≤5.
9. C 解析:如图,过点O作OM⊥CD,垂足为M,连接OC,
则CD=2CM. ∵AE=6,EB=2,∴AB=8,
∴OC=OB=4,∴OE=4-2=2.
10. D 解析:连接OD,如图.
∵点O是这段弧所在圆的圆心，
∴OA=OB.∵∠AOB=60°,
∴△AOB是等边三角形，
∵D是AB的中点, ∴OD⊥AB.
设AB=OB=OA=r,则
∴在Rt△AOD中,
∵点C是AB的中点,∴OC⊥AB,
∴C,D,O三点共线,∴OD+CD=OC,
解得
∴这段弯路所在圆的半径为 故选D.
或
解析：如图1，当AB与CD在圆心O异侧时，过O点作OE⊥AB,垂足为点E,延长EO交CD于点F,连接OA,OC.
∵AB∥CD,∴OF⊥CD,
在Rt△OAE中,
在Rt△OCF中,
如图2，当AB与CD在圆心O同侧时，同理可得
综上所述，AB，CD之间的距离为： 或
易错点 AB与CD可能在圆心同侧，也可能在圆心异侧，需分情况讨论.
12.解:(1)设圆心为点O,半径为R,连接OE交AD于F点,连接OA,OD,如图.
由题意,得EF=7-3=4(m),∴OF=(R-4)m.
由垂径定理,得OF垂直平分AD,∴AF=6m,
由勾股定理，得
即 解得R=6.5,
∴圆弧AED所在圆的半径为6.5m.
(2)能通过，但要小心.
如图,在ED上取H,过H作GH⊥OE,垂足为点G,且GH=
2.3m,圆的半径OH=6.5m,由勾股定理，得
G点与BC的距离为7-6.5+6.1=6.6(m),
6.6>6.5,故能通过.
13.10 解析:∵弦AB=8m,半径OC⊥弦AB,
∴CD=OC-OD=2m,
∴弧田面积= (弦×矢+矢
微专题6
1. C 解析:如图,连接OD.
∵直径AB=15,∴DO=BO=7.5.
∵OC:OB=3:5,∴CO=4.5,
2. C 解析:如图,连接OC,设OC=OE=OF=r.
∵F为CD的中点,EF是直径,OM=5-r.
∴EF⊥CD,∴CM=MD=1.
在Rt△COM中,∵OC =OM +CM ,