第二十四章圆 章末复习（含解析）2025-2026学年人教版九年级数学上册

第二十四章圆章末复习
体验中考
1(贵州铜仁中考)如图，OA，OB是⊙O的两条半径,点C在⊙O上,若∠AOB=80°,则∠C的度数为 ( )
A.30° B.40° C.50° D.60°
2(吉林中考)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AB=5,BC=4.以点A为圆心,r为半径作圆,当点C在⊙A内且点B在⊙A外时，r的值可能是 ( )
A.2 B.3 C.4 D.5
3(四川眉山中考)如图是不倒翁的正面透视图，不倒翁的圆形脸恰好与帽子边沿PA，PB分别相切于点A，B，不倒翁的鼻尖正好是圆心O,若∠OAB=28°,则∠APB的度数为 ( )
A.28° B.50° C.56° D.62°
4(四川巴中中考)如图，AB为⊙O的直径，弦CD 交AB 于点 E,BC=BD,∠CDB=30°,AC= 则OE= ( )
B. C.1 D.2
5(山东枣庄中考)在活动课上，“雄鹰组”用含30°角的直角三角尺设计风车.如图，∠C=90°,∠ABC=30°,AC=2,将直角三角尺绕点A逆时针旋转得到△AB'C'，使点C'落在AB边上，以此方法做下去……则B点通过一次旋转至B'所经过的路径长为 .(结果保留π)
6(贵州黔西南州中考)如图，边长为4的正方形ABCD的对角线交于点O，以OC为半径的扇形的圆心角∠FOH=90°.则图中阴影部分面积是 .
7(江苏徐州中考)如图，点A，B，C在圆O上，∠ABC=60°,直线AD∥BC,AB=AD,点 O 在BD上.
(1)判断直线AD与圆O的位置关系，并说明理由；
(2)若圆O的半径为6，求图中阴影部分的面积.
达标训练
一、选择题
1(重庆中考)如图,AB是⊙O的直径,AC,BC是⊙O的弦,若∠A=20°,则∠B的度数为 ( )
A.70° B.90° C.40° D.60°
2(湖南长沙期中)如图，在⊙O中，半径OC与弦AB垂直于点D,且AB=8,OC=5,则CD的长是 ( )
A.1 B.2 C.2.5 D.3
3(湖北十堰丹江口期中)若⊙A的半径为5，圆心A的坐标是(3,4),点P的坐标是(6,8),你认为点P的位置为 ( )
A.在⊙A内 B.在⊙A上
C.在⊙A外 D.不能确定
4(浙江杭州校级期中)下列说法：①三点确定一个圆；②平分弦(不是直径)的直径垂直于弦；③相等的圆心角所对的弦相等；④三角形的外心到三个顶点的距离相等.其中正确的有 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
5(广西南宁西乡塘期中)如图，AB，AC，BD是⊙O的切线,切点分别为P,C,D.若AB=4,AC=3,则BD的长是 ( )
A.2.5 B.2 C.1.5 D.1
6(重庆中考)如图,AB是⊙O的直径,C为⊙O上一点，过点C的切线与AB的延长线交于点P,若 ，则PB的长为 ( )
B3/2 D.3
7(山东青岛中考)如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O,点M在AB上,则∠CME的度数为 ( )
A.30° B.36° C.45° D.60°
8(四川德阳中考)半径为R的圆内接正三角形、正方形、正六边形的边心距分别为a，b，c，则a，b，c的大小关系是 ( )
A. a二、填空题
9(黑龙江龙东中考)若一个圆锥的母线长为5cm，它的侧面展开图的圆心角为120°，则这个圆锥的底面半径为 cm.
10(浙江台州温岭期末)把一个球放入长方体纸盒，球的一部分露出盒外，球与纸盒内壁都刚好相切，其截面如图所示，若露出部分的高度为6cm,AF=DE=3cm,则这个球的半径是 cm.
11 如图,扇形的圆心角为90°,半径OC=2,∠AOC=30°,CD⊥OB,垂足为点D,则阴影部分的面积是 .
12 新趋势 动点探究题如图，正方形ABCD的边长为8，M是AB的中点，P是BC边上的动点，连接PM,以点P为圆心,PM长为半径作⊙P.当⊙P与正方形ABCD的边相切时，BP的长为 .
三、解答题
13(江苏南京秦淮模拟)如图，在⊙O中，弦AB,CD相交于点P,且PB=PD.
求证:AB=CD.
14 如图，⊙O为四边形ABCD的外接圆，圆心O在AD上,OC∥AB.
(1)求证:AC平分∠DAB;
(2)若AC=8,AC:CD=2:1,试求⊙O的半径.
15(江西景德镇模拟)如图，以△ABC的一边AB为直径的半圆O与边AC，BC的交点分别为点E，点D，且D是BE的中点.
(1)若∠A=80°,求∠DBE的度数;
(2)求证:AB=AC;
(3)若⊙O的半径为5cm,BC=12cm,求线段BE的长.
16 如图，以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆，经过A，B两点，且与BC边交于点E，D为BE的下半圆弧的中点，连接AD交BC于F,若AC=FC.
(1)求证:AC是⊙O的切线;
(2)若1 ，求⊙O的半径；
(3)若∠ADB=60°,BD=1,求阴影部分的面积.(结果保留根号)
章末复习
体验中考
1. B 解析:∵∠AOB=80°,∴
2. C 解析:∵在△ABC中,∠ACB=90°,AB=5,BC=4,
∵点C在⊙A内且点B在⊙A外,∴AC3. C 解析:连接OB,如图.∵OA=OB,
∴∠OBA=∠OAB=28°,∴∠AOB=124°.
∵PA,PB分别切⊙O于点A,B,
∴OA⊥PA,OB⊥PB,
∴∠OAP+∠OBP=180°,
∴∠APB+∠AOB=180°,
∴∠APB=56°.
4. C 解析:如图,连接BC.
∵AB为⊙O的直径,
∴AB⊥CD.
∵∠BAC=∠CDB=30°,AC=2
∵AB为⊙O的直径,∴∠ACB=90°,
解得AB=4.
∴OA=2,∴OE=AE-OA=1.
解析:∵∠C=90°,∠ABC=30°,AC=2,∴AB=2AC=4,∠BAC=60°.
由旋转的性质,得∠BAB'=∠BAC=60°,
∴B点通过一次旋转至B'所经过的路径长为
6.2π-4 解析:∵四边形ABCD是正方形,∴AC⊥BD,OA=OC=OB=OD,∠OBE=∠OCG=45°,
∵∠BOC=∠EOG=90°,∴∠BOE=∠COG.
在△OBE和△OCG中
∴△OBE≌△OCG(ASA),∴S△OBE=S△occ,
∵△OBC是等腰直角三角形,BC=4,
7.解：(1)直线AD与圆O相切.理由如下：连接OA，如图.
∵AD∥BC,∴∠D=∠DBC.
∵AD=AB,∴∠D=∠ABD.
∴∠DBC=∠ABD=30°,∠BAD=120°.
∵OA=OB,∴∠BAO=∠ABD=30°,
∴∠OAD=90°,∴OA⊥AD.
∵OA是圆O的半径，∴直线AD与圆O相切.
(2)如图,连接OC,作OH⊥BC,垂足为H.
∵OB=OC,
∴∠OCB=∠OBC=30°,∴∠BOC=120°,OH= OB=3,
∴扇形OBC的面积为
∴阴影部分的面积为
达标训练
1. A 解析:∵AB是⊙O的直径,∴∠C=90°.
∵∠A=20°,∴∠B=90°-∠A=70°.
2. B 解析:连接OA,如图.
∴CD=OC-OD=5-3=2.
3. B解析：画图结合勾股定理，易求 ∴点P在⊙A上.
4. B解析：不在同一直线上的三点确定一个圆，故①错误；在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，故③错误；②正确；④正确，∴正确的共2个.
5. D 解析:∵AP,AC是⊙O的切线,∴AP=AC=3.
∵AB=4,∴PB=AB-AP=4-3=1.
∵BP,BD是⊙O的切线,∴BD=BP=1.
6. D 解析:如图,连接OC.
∵PC是⊙O的切线,∴∠PCO=90°.
∵OC=OA,∴∠A=∠OCA.
∵AC=PC,∴∠P=∠A,
设∠A=∠OCA=∠P=x°,⊙O半径为r,
在△APC中,∠A+∠P+∠PCA=180°,
∴x+x+90+x=180,解得x=30,∴∠P=30°.
∵∠PCO=90°,∴OP=2OC=2r,在Rt△POC中, ∴r=3(负值舍去),∴PB=OP-OB=2r-r=r=3.
7. D 解析:连接OC,OD,OE,如图∵正六边形ABCDEF内接于⊙O, 则∠COE=120°,
8. A解析：设圆的半径为R，则正三角形的边心距为a= R；正方形的边心距为( 正六边形的边心距为c=
9. 解析：圆锥侧面展开图(扇形)的弧长为
设圆锥的底面半径为r，则
10.15 解析:过O作OG⊥AD,垂足为G,交⊙O于H,连接OE,如图.设半径为 rcm,则OG=(r-6) cm,OE=r cm,EG=(r-3) cm,根据勾股定理，得((r-3) +(r-6) =r ,解得r=15或r=3(舍),即这个球的半径为15cm.
解析:∵∠AOB=90°,∠AOC=30°,∴∠BOC=60°.
∵CD⊥OB,∴∠CDO=90°,∴∠OCD=30°,
∴阴影部分的面积
12.3或4 解析：如图1，当⊙P与CD边相切时，设PC=PM=x.∵M是AB的中点,
在Rt△PBM中,有 即 ∴x=5,∴PC=5,BP=BC-PC=8-5=3.
如图2，当⊙P与AD边相切时，设切点为K，连接PK，则PK⊥AD,四边形PKDC是矩形,
∴PM=PK=CD=8.
∴在Rt△PBM中,
综上所述，BP的长为3或4
13.证明:如图,连接BD.
∵PB=PD,
解题关键点：在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，其余各组量都分别相等.
14.解:(1)证明:∵OC∥AB,∴∠OCA=∠CAB,
∵OA=OC,∴∠OAC=∠OCA,
∴∠OAC=∠CAB,即AC平分∠DAB.
(2)解:∵AD是⊙O的直径,∴∠ACD=90°,
∵AC=8,AC:CD=2:1,∴CD=4,
在Rt△ACD中,
即⊙O的半径为2
15.解:(1)解:连接AD,如图.
∵D是BE的中点,.
∴∠DBE=∠EAD=40°.
(2)证明:∵AB是直径,∴∠ADB=90°.
∴∠C+∠CAD=90°,∠ABC+∠BAD=90°,
∵∠CAD=∠BAD,
∴∠C=∠ABC,∴AB=AC.
(3)解:∵⊙O的半径为5cm,
∴AB=10cm.
∵AB是直径,∴∠AEB=90°.
∵AC=AB,AD⊥BC,∴BD=CD= BC=6cm,
16.解:(1)证明:连接OA,OD,如图.
∵D为BE的下半圆弧的中点，
∴OD⊥BE,
∴∠ODF+∠OFD=90°.
∵CA=CF,∴∠CAF=∠CFA,而∠CFA=∠OFD,∴∠ODF+∠CAF=90°.
∵OA=OD,∴∠ODA=∠OAD,
∴∠OAD+∠CAF=90°,即∠OAC=90°,
∴OA⊥AC,∴AC是⊙O的切线.
(2)解:设⊙O的半径为r,则OF=8-r.在Rt△ODF中, 解得r =6,r =2(舍去),即⊙O的半径为6.
(3)解:∵∠BOD=90°,OB=OD,
∴△BOD为等腰直角三角形，
∵∠AOB=2∠ADB=120°,∴∠AOE=60°.
在Rt△OAC中,
∴阴影部分的面积