24.4 弧长和扇形面积 同步练习（含解析）2025-2026学年人教版九年级数学上册

24.4 弧长和扇形面积
第1课时 弧长和扇形面积
练基础
知识点1 |弧长公式及其应用
1 (教材P113第2题改编)已知一个扇形的圆心角为120°，半径是6cm，则这个扇形的弧长是 ( )
A.8πcm B.6πcm C.4πcmD.2πcm
【变式1】(黑龙江绥化中考)一条弧所对的圆心角为135°，弧长等于半径为5cm的圆的周长的3倍，则这条弧的半径为 cm.
【变式2】新趋势五育文化如图，《掷铁饼者》是希腊雕刻家米隆于约公元前450年雕刻的青铜雕塑，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中具有表现力的瞬间.掷铁饼者张开的双臂与肩宽可以近似看作一张拉满弦的弓，弧长约为 “弓”所在的圆的半径约 m，则“弓”所对的圆心角度数为
2(四川成都都江堰模拟)如图，已知某一条传送带的转动轮的半径为30cm.如果该转动轮转动120°，那么传送带上的物品A被传送 cm.(结果保留π)
知识点2 扇形面积公式及其应用
3(浙江衢州中考)已知扇形的半径为6，圆心角为150°，则它的面积是 ( )
A. B.3π C.5π D.15π
【变式】(黑龙江哈尔滨南岗二模)已知扇形的面积为16π，半径为6，则此扇形的圆心角的度数为 .
4(浙江杭州上城一模)如图是第19届亚运会徽标的示意图,若AO=5,BO=2,∠AOD=120°,则阴影部分面积为 ( )
A.14π B.7π D.2π
5(湖北宜昌枝江一模)如图，从一块直径为 的圆形铁皮上剪出一圆心角为90°的扇形，则此扇形的面积为 ( )
6(贵州毕节中考)如图，已知点C，D是以AB为直径的半圆的三等分点，弧CD的长为 π，则图中阴影部分的面积为( )
7 新我国古代数学专著《九章算术》中记载：今有宛田，下周三十步，径十六步，问为田几何.注释：宛田是指扇形的田，下周是指弧长，径是指扇形所在圆的直径.那么，此宛田的面积是 平方步.
练提升
8(山东泰安泰山一模)如图，在边长为1的正方形ABCD中，对角线AC的中点为O，分别以点A，C为圆心，以AO的长为半径画弧，分别与正方形的边相交，则图中的阴影部分的面积为 ( )
C.4-π
9(辽宁盘锦中考)如图,⊙A,⊙B,⊙C两两不相交，且半径都等于2，则圆中三个扇形(即阴影部分)的面积之和为 (结果保留π).
10 (教材P115第6题改编)自由式滑雪女子U型场地技巧赛是冬奥会的运动项目之一，U型场地的竖截面可简化为如图所示轴对称模型，数据如图所示，则该U型场地竖截面的总长为 m.
11 莱洛三角形是工业生产中加工零件时广泛使用的一种图形.如图是一个由三条等弧围成的莱洛三角形，其中BC的圆心为点A,∠BAC=60°.若AB=1cm，则该莱洛三角形的周长是 cm.
12 如图，一只羊被4m长的绳子拴在长为3m、宽为2m的长方形封闭围墙的一个顶点上，则这只羊活动范围的最大面积是 m .
13(山东济宁任城期末)如图，在Rt△ABC中，∠BCA=90°,∠BAC=30°,AB=6.将△ABC以点B为中心，逆时针旋转，使BC落在AB的延长线上.在图上画出直角边AC扫过的图形(用阴影表示)，并求出它的面积.
练素养
14 抖空竹在我国有着悠久的历史，是国家级的非物质文化遗产之一.如示意图，AC，BD分别与⊙O相切于点C，D,延长AC,BD交于点 P.若∠P=120°,⊙O的半径为5cm，则图中 的长为 ( )
15 如图，用一个半径为6cm的定滑轮带动重物上升，滑轮上一点P绕定滑轮中心O逆时针旋转120°，假设绳索(粗细不计)与滑轮之间没有滑动，则重物上升了 cm.(结果保留π)
第2课时 圆锥的侧面积
练基础
知识点1 圆锥的侧面积
1 如图，冰淇淋外壳(不计厚度)是一个无底的圆锥，已知其母线长为12cm，底面圆半径为3cm，则这个冰淇淋外壳的侧面积(结果保留π)为 ( )
D.48πcm
【变式1】(湖南长沙望城期末)如图，圆锥的底面圆半径r为5cm，高h为12cm，则圆锥的侧面积为 ( )
【变式2】(贵州铜仁德江模拟)已知圆锥底面圆的半径为6cm，它的侧面积为60πcm ，则这个圆锥的高是 ( )
A.6cm B.8cm
C.10cm D.12cm
2(教材P115第1(2)题改编)如图，要用一个扇形纸片围成一个无底盖的圆锥(接缝处忽略不计)，若该圆锥的底面圆周长为20πcm，侧面积为240πcm ，则这个扇形的圆心角的度数是 ( )
A.120°
B.135°
C.150°
D.160°
3(广东东莞二模)在数学实践活动中，某同学用一张如图1所示的矩形纸板制作了一个扇形，并用这个扇形围成一个圆锥模型(如图2所示).若扇形的圆心角为120°，圆锥的底面半径为6，则此圆锥的母线长为 .
4(河北唐山路北期末)如图所示，扇形AOB的面积为4πcm ,∠AOB=90°,用这个扇形围成一个圆锥的侧面.求这个圆锥的底面圆的半径.
知识点2 圆锥的全面积
5若一个圆锥的底面直径为6，母线长为5，则该圆锥的全面积为 ( )
A.15π B.24π
C.20π D.10π
6如图，圆锥体的高 底面圆半径r=2cm，则圆锥体的全面积为 ( )
练提升
7(江苏无锡中考)在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,以AC所在直线为轴,把△ABC旋转1周，得到圆锥，则该圆锥的侧面积为 ( )
A.12π B.15π
C.20π D.24π
8一个圆锥的侧面积是底面积的3倍，则这个圆锥的侧面展开图的圆心角的度数为( )
A.180° B.120°
C.90° D.60°
9(山东德州禹城模拟)如图所示，矩形纸片ABCD中,AD=6cm,把它分割成正方形纸片ABFE 和矩形纸片EFCD后，分别裁出扇形ABF和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的底面和侧面，则圆锥的全面积为 ( )
A.4πcm
D.8πcm
10 “北斗”是中国自行研制的全球卫星导航系统，以“智能时空 创新引领”为主题的2022中国北斗应用大会暨中国卫星导航与位置服务第十一届年会在郑州国际会展中心开幕.如图1是“北斗”的标识，表示太空的部分可以抽象出一条长为10π的弧，所对应扇形的圆心角为135°，若该扇形可围成高为12的圆锥(如图2)，则该圆锥的母线长AB为 .
11 如图，纸片ABCD是一个菱形，其边长为2，∠BAD=120°.以点A为圆心的扇形与边BC相切于点E，与AB，AD分别相交于点F，G.
(1)请你判断所作的扇形与边CD的位置关系，并说明理由；
(2)若以所作出的扇形为侧面围成一个圆锥，求该圆锥的全面积.
练素养
12 原创题 教育文化学校为鼓励学生全面发展，特意举办才艺展示晚会.如图，展示舞台上的照明灯P射出的光线成“圆锥体”，其锥体截面图(图中的△PAC)的“锥角”是60°(∠APC=60°),已知舞台ABCD是边长为8m的正方形，要使灯光能照射到整个舞台，则灯P悬挂的最低高度为 m，此时所形成的“圆锥体”的侧面积为 m (结果保留π).
24.4 弧长和扇形面积
第1课时 弧长和扇形面积
1. C解析：根据弧长的公式
得到
【变式1】40 解析：设弧所在圆的半径为r，由题意，得 解得r=40cm.
【变式2】90° 解析：设“弓”所对的圆心角度数为n°，∵弧长 即“弓”所对的圆心角度数约为90°.
2.20π 解析：传送带上的物品A被传送的距离 20π(cm).
D解析：扇形面积
【变式】160° 解析：设此扇形的圆心角为n°，由题意可得 解得n=160.
4. B 解析:S阴影=S扇形AOD-S扇
5. A 解析:如图,连接AB.∵∠C=90°,∴AB是圆的直径，即 由勾股定理，得 即 ,解得AC=BC=4dm,∴阴影部分的面积是
6. A 解析:如图,连接CD,OC,OD.
∵C，D是以AB为直径的半圆的三等分点，
∴∠AOC=∠COD=∠DOB=60°,OC=OD,
∴△OCD是等边三角形，
∴∠OCD=∠AOC,∴CD∥AB,
弧CD的长为 π,
解得r=1,
解题关键点：将图中不规则阴影部分的面积转化为扇形的面积.
7.120 解析：∵扇形的田的弧长为30步，其所在圆的直径是16步，∴这块田的面积 (平方步).
8. A 解析:∵四边形ABCD为正方形,
∴AB=BC=1,∠DAB=∠DCB=90°,
由勾股定理，得
∴图中的阴影部分的面积
9.2π 解析：∵三个扇形的半径都是2，三个扇形圆心角之和为180°，∴图中的三个扇形(即阴影部分)的面积之和为
10.5π+13.4 解析:竖截面的总长=
11.π 解析：题图中BC所在的圆的半径AB=1cm，相应的圆心角的度数为60°，
∴BC的长为
∴该莱洛三角形的周长是
解析：根据题意可知，该羊的活动范围由三部分构成(图中阴影部分)，则这只羊活动范围的最大面积：
13.解：直角边AC扫过的图形如图中阴影部分.
∵∠BCA=90°,∠BAC=30°, 由旋转可知△ABC≌△A'BC',∴直角边AC扫过的图形的面积==S扇S扇形CBC,=S扇形ABA,-S扇形
14. A 解析:连接OC,OD,如图.
∵AC,BD分别与⊙O相切于点C,D,
∴∠OCP=∠ODP=90°.
由四边形内角和为360°，得∠COD=360°-∠OCP-∠ODP- ∴CD的长为
15.4π 解析：根据题意，重物上升的高度为
第2课时 圆锥的侧面积
1. C 解析:这个冰淇淋外壳的侧面积=π×3×12=36π(cm ).
【变式1】A解析:由圆锥底面圆半径r=5cm,高h=12cm,根据勾股定理得到母线长 所以圆锥的侧面积S=πrl=π×5×13=65π(cm ).
【变式2】B解析：设这个圆锥的母线长为 lcm，根据题意得π×6×l=60π,解得l=10,所以圆锥的高 8(cm).
2. C 解析:设圆锥的母线长为 lcm,则 解得l=24.
设这个扇形的圆心角的度数是n°，
根据题意得
解得n=150，即这个扇形的圆心角的度数是150°.
解题关键点：利用扇形面积公式求出母线长，再利用弧长公式求圆心角的度数.
3.18 解析：设此圆锥的母线长为l，根据题意得 解得l=18，即此圆锥的母线长为18.
4.解：设扇形的半径为 Rcm，根据题意，得 解得R=4(负值舍去).
设这个圆锥的底面圆的半径为 rcm，
则 解得r=1,
所以这个圆锥的底面圆的半径为1cm.
5. B解析：因为圆锥的母线长为5，底面圆的直径为6，所以圆锥的底面圆的面积 圆锥的侧面积=π× 所以圆锥的全面积=9π+15π=24π.
6. A 解析:∵底面圆的半径为2cm,高为22√3cm,
∴圆锥的母线长为
∴圆锥的侧面积为π×2×4=8π(cm ),底面积为4πcm ,
∴全面积为
7. C 解析:在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,
由题意得母线长l=5，半径r为4，
∴圆锥的侧面积=πrl=π×4×5=20π.
8. B解析：设底面圆的半径为r，侧面展开扇形的半径为R，扇形的圆心角为n°.由题意得 由 扇形弧长×R,得 故R=3r.由 得2πr= 解得n=120,故圆心角的度数为120°.
9. B 解析:设AB= xcm,则DE=(6-x) cm.
根据题意，得 解得x=4,
∴AB=4cm,DE=2cm,∴底面圆的半径为1cm.
∴圆锥的全面积
10.13 解析:∵圆锥底面周长=扇形的弧长=10π,
在Rt△AOB中,
∴该圆锥的母线长AB为13.
11.解:(1)相切.理由如下:如图,连接AE,AC,过点A作AH⊥CD,垂足为H.
∵CB与⊙A相切,∴AE⊥BC.
∵四边形ABCD为菱形,∴AC平分∠BCD,
∴AE=AH,∴扇形与边CD相切.
(2)∵四边形ABCD为菱形,∠BAD=120°,
∴△ABC是等边三角形，又其边长为2，
的长为
则圆锥的侧面积为
设圆锥的底面半径为r，则 解得
则圆锥的底面积为
∴该圆锥的全面积
12.4 64π 解析：如图，设圆锥体底面圆的圆心为O，连接OP,OC.
在正方形ABCD中，
易得
在Rt△POC中,∠POC=90°,
∠CPO=30°,∴PC=2OC=8 m,
即灯P悬挂的最低高度为4 m，此时所形成的“圆锥体”的侧面积为(64πm .