24.3 正多边形和圆 同步练习（含解析）2025-2026学年人教版九年级数学上册

24.3 正多边形和圆
练基础
知识点1 |正多边形的相关概念
1(上海浦东模拟)对于一个正多边形，下列四个命题中，错误的是 ( )
A.正多边形是轴对称图形，每条边的垂直平分线是它的对称轴
B.正多边形是中心对称图形，正多边形的中心是它的对称中心
C.正多边形每一个外角都等于正多边形的中心角
D.正多边形每一个内角都与正多边形的中心角互补
知识点2 与正多边形有关的计算
2(河北石家庄新华四模)下列正多边形的中心角最小的是 ( )
【变式】(内蒙古兴安盟中考)一个正多边形的中心角为30°，这个正多边形的边数是( )
A.3 B.6
C.8 D.12
3(宁夏中卫中宁模拟)已知圆内接正六边形的半径为2 ，则该内接正六边形的边心距为( )
A.
C.3
【变式】(辽宁大连期末)正六边形的边心距是 ，则它的面积是 ( )
4(贵州贵阳中考)如图，⊙O与正五边形ABCDE的两边AE,CD相切于A,C两点,则∠AOC的度数是 ( )
A.144° B.130°
C.129° D.108°
5新情境 生产生活(山东青岛市南期末)某装修公司拟用三种边长相同的正多边形地砖无缝隙、无重叠地铺满整个客厅，如图所示，已知点A周围有三块地砖，则第三块地砖的边数为 .
知识点3 正多边形的画法
6 新趋势 综合与实践如图，在8×8的网格纸中，点O和点A都是格点，以O为圆心，OA为半径作圆.请用无刻度的直尺和圆规完成以下画图：(不写画法，保留作图痕迹)
(1)在图1中画⊙O的一个内接正八边形ABCDEFGH;
(2)在图2中画⊙O的一个内接正六边形ABCDEF.
练提升
7(河北石家庄新华三模)如图，已知正六边形的边长为2，则它的内切圆的半径为 ( )
A.1 B. C.2
8(河北保定莲池二模)如图，点O是正六边形ABCDEF的中心,∠GOX的两边OG,OX分别与AB,CB相交于点M,N.当∠GOX+∠ABC=180°时，下列说法错误的是 ( )
A.∠GOX=60°
B. MB+NB=DC
正六边形ABCDEF
D.∠OMA与∠ONB相等
9(江苏常州期中)如图，若干相同正五边形排成环状.图中已经排好前3个五边形，完成这一圆环还需五边形的个数为 ( )
A.6 B.7 C.8 D.9
10(广东广州天河模拟)尺规作图特有的魅力曾使无数人沉湎其中.传说拿破仑通过下列尺规作图考他的大臣：
①将半径为r的⊙O六等分，依次得到A，B，C,D,E,F六个等分点;②分别以点A,D为圆心，AC长为半径画弧，G是两弧的一个交点；③连接OG.问：OG的长是多少 大臣给出的正确答案应是 ( )
11 (河南漯河校级阶段练习)如图，在正五边形ABCDE中,在AB,BC边上分别取点M,N,使AM=BN,连接AN,EM交于点O,则∠EOA= °.
12 一个正方形和一个正六边形的外接圆半径相等，则此正方形与正六边形的面积之比为 .
练素养
13刘徽在《九章算术注》中首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率，开创了中国数学发展史上圆周率研究的新纪元.某同学在学习“割圆术”的过程中，作了一个如图所示的圆内接正十二边形.若⊙O的半径为1，则这个圆内接正十二边形的面积为 ( )
A.1 B.3 C.π D.2π
14 如图，边长为2的正六边形ABCDEF的中心为原点O，顶点B，E在x轴上.将正六边形ABCDEF绕原点O逆时针旋转n次，每次旋转60°，当n=300时,顶点A的坐标为 .
24.3 正多边形和圆
1. B解析：正奇数多边形不是中心对称图形，故B选项说法错误，符合题意.
2. A 解析:解法一:A.中心角度数为360°÷ 8=45°;
B.中心角度数为：
C.中心角度数为360°÷ 5=72°;
D.中心角度数为360°÷4=90°,
故中心角最小的是A.
解法二：设正多边形的边数为n，则中心角的度数为 所以n越大，对应的中心角的度数越小，故选A.
【变式】D解析：这个正多边形的边数：
3. C 解析:如图,连接OA,作OM⊥AB,垂足为M,
易得∠AOM=30°,AB=2 ，则
∴正六边形的边心距是3.
【变式】B 解析:如图,连接OA,OB,过点O作OG⊥AB,垂足为点G.
在Rt△AOG中,OG= ,∠AOG=30°, 在Rt△AOG中, 解得AG=1,∴AB=2.
∴这个正六边形的面积
4. A解析：正五边形的每个内角： ∴∠E=∠D=108°.∵AE,CD分别与⊙O相切于A,C两点,∴∠OAE=∠OCD=90°,∴在五边形AOCDE中,∠AOC=
5.12 解析：正六边形的每个内角的度数为120°，正方形的每个内角的度数为90°，因此第三块地砖的每一个内角为 设第三块地砖的边数为n，则 解得n=12.故第三块地砖的边数为12.
解题关键点：点A周围三个正多边形地砖的三个内角的和为360°.
6.解:(1)如图1,正八边形ABCDEFGH即为所求.
(2)如图2,正六边形ABCDEF即为所求.
7. B解析：由题意得， ∴∠AOC=30°,∴OA=2AC=2,∴OC=√OA -AC =
8. C 解析:如图,连接OA,OB,OC.
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠ABC=120°,
又∵∠GOX+∠ABC=180°,
∴∠GOX=60°,因此选项A正确,不符合题意；
由六边形ABCDEF是正六边形,得∠OAB=∠OBC=60°.
∵∠GOX+∠ABC=180°,∴∠OMB+∠ONB=180°.
又∵∠OMB+∠OMA=180°,∴∠ONB=∠OMA.
因此选项D正确，不符合题意.
又∵OA=OB,∠OAB=∠OBC,∴△OAM≌△OBN(AAS),
∴AM=BN,∴MB+BN=MB+AM=AB=CD,
因此选项B正确，不符合题意；
正六边形ABCDEF,因此选项C错误，符合题意.
故选C.
9. B解析：如图，延长正五边形的两边，交于圆心O.
∵正五边形的一个外角：
∴∠OAB=∠OBA=72°,
∴排成圆环需要10个正五边形，故排成圆环还需7个五边形.
10. D 解析:如图,连接DA,CD,AC,DG,AG.
由题意可得AD=2r,CD=r.
∵AD是⊙O的直径,∴∠ACD=90°.
在Rt△ACD中,
∵DG=AG=CA,OD=OA,
∴OG⊥AD,∴∠GOA=90°,
11.72 解析:在正五边形ABCDE中,∠B=∠EAM=108°,AB=AE.
在△ABN与△EAM中,
∴△ABN≌△EAM(SAS),
∴∠BAN=∠AEM.
∴∠AEM+∠EAO=∠BAN+∠EAO=∠BAE=108°,
∴∠EOA=180°-(∠AEO+∠OAE)=72°.
12.4 ：9解析：设圆的半径为R，如图1，连接OB，OC，则△OBC是等腰直角三角形，
∴此正方形的面积为
如图2,连接OA,OB,过O作OG⊥AB,垂足为点G,则△OAB是等边三角形,∠AOG=30°,
∴AB=OA=R,
∴正六边形的面积为
∴此正方形与正六边形的面积之比为
13. B 解析:如图,连接OA,OB,过A作AC⊥OB,垂足为C.∵圆的内接正十二边形的圆心角为
∴这个圆的内接正十二边形的面积为
14.(-1, ) 解析：如图，连接OA，设AF与y轴的交点为H,则∠AOH=30°,
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴正六边形ABCDEF绕原点O逆时针旋转6次回到原位置,∵300÷6=50,∴当n=300时,顶点A的坐标为(-1, ).