专题7 圆中辅助线的添加方法（含解析）2025-2026学年人教版九年级数学上册

专题7 圆中辅助线的添加方法
类型1遇直径，造直角(或逆用)
典例1 (辽宁鞍山中考)如图，AB为⊙O的直径,C,D为⊙O上的两点,若∠ABD=54°,则∠C的度数为（ ）
A.34° B.36° C.46° D.54°
当遇到直径时，常构造直径所对的圆周角(或遇到90°的圆周角，构造直径)，利用直角三角形的相关性质解决问题.本题连接 ，根据圆周角定理的推论得到 =90°,∠C=∠A,然后计算出∠A的度数，从而得到∠C的度数.
【答案】
变式训练
1 如图,AB,AC是⊙O的两条弦,且∠CAB=90°,若AB=10,AC=8,求⊙O的半径.
类型2连圆心，造半径
典例2 如图，AB是半圆O的直径，E是半圆上一点，且OE⊥AB,点C为 的中点，则 °.
当题目中有圆心和圆上的点时，尝试连接这个点和圆心构造半径(或直径)来解决问题.本题连接 ，先根据点C为BE的中点,得∠BOC=45°,再由圆周角定理得∠A的度数.
【答案】
变式训练
2(山东临沂沂水二模)如图，AB是⊙O的弦,且AB=6,点C是AB中点，点D是优弧AB上的一点,∠ADC=30°,则⊙O的半径等于
类型3 作垂直等，构造垂径定理模型
典例3 (广西柳州中考)往水平放置的半径为13cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面图如图所示,若水面宽度AB=24 cm,则水的最大深度为
A.5cm B.8cm
C.10cm D.12cm
学霸说 解决与弦有关的问题时，常过圆心作弦的垂线，构造直角三角形或用垂径定理进行计算(证明).本题可连接OB，过点O作OC⊥ ，再利用垂径定理和勾股定理求解.
变式训练
3 “圆材埋壁”是《九章算术》中的一个问题.“今有圆材，埋壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何.”用现在的数学语言表达是：如图，CD为⊙O的直径,弦AB⊥CD,垂足为E,CE=1寸,AB=1尺,则直径CD 长为 寸.(1尺=10寸)
类型4遇切线，连半径得直角
典例4 (江苏镇江中考)如图,∠BAC=36°,点O在边AB上，⊙O与边AC相切于点D，交边AB于点E,F(AF>AE),连接FD,则∠AFD等于
A.27° B.29° C.35° D.37°
当题目中有切线时，一般会连接圆心和切点，构造直角，再利用直角三角形的相关性质解决问题.本题连接 ，由切线的性质得到∠ADO= °,进而求得∠AOD的度数，根据圆周角定理即可得到结论.
【答案】
变式训练
4(江苏泰州中考)如图，PA与⊙O相切于点A,PO与⊙O相交于点B，点 C在AmB上,且与点A,B不重合.若∠P=26°,则∠C的度数为 °.
类型5证切线，连半径或作垂直
典例5 (江苏淮安中考)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,点E是BC的中点,以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，连接DE.
(1)判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
(2)若 求⊙O的直径.
(1)当确定所证切线的切点在圆周上时，连接圆心与切点，证明垂直就可以证得切线；(2)当不确定所证切线的切点是否在圆周上时，先过圆心作直线的垂线，再证明垂线段的长度和半径相等即可证得切线.本题中连接 ，结合直角三角形斜边上的中线和等腰三角形的性质即可得证.
【规范解答】
变式训练
5(湖北武汉模拟)如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,∠BAC的平分线交BC于点D,E为AB上的一点，DE=DC，以D为圆心，DB长为半径作⊙D,AB=5,EB=3.
(1)求证:AC是⊙D的切线;
(2)求线段AC的长.
专题7 圆中辅助线的添加方法
典例1 AD ∠ADB
【答案】B解析：如图，连接AD.
∵AB为⊙O的直径,∴∠ADB=90°,
∴∠A=90°-∠ABD=90°-54°=36°,
∴∠C=∠A=36°.
变式训练
1.解：连接BC，如图所示.
∵∠CAB=90°,∴BC是⊙O的直径.在Rt△ABC中，由勾股定理，得 即⊙O的半径为
典例2 OC
【答案】22.5 解析:连接OC,如图.
∵OE⊥AB,∴∠EOB=90°,
∵点C为BE的中点,∴∠BOC=45°,
变式训练
2. B 解析:如图,连接OA,OC,OC交AB于点E.
∵点C是AB中点,∴OC⊥AB,
∵∠ADC=30°,∴∠AOC=2∠ADC=60°,
∴∠OAE=30°,设OA=r,则 由勾股定理，得 解得 (负值舍去)，即⊙O的半径等于2
典例3 AB
【答案】B 解析:连接OB,过点O作OC⊥AB,垂足为点D，交⊙O于点C，如图所示，易知OB=OC=13cm.
在Rt△OBD中, ∴CD=OC-OD=13-5=8(cm),即水的最大深度为8cm.
变式训练
3.26 解析:连接OA,如图.
∵AB⊥CD,且AB=10寸,∴AE=BE=5寸,设⊙O的半径OA的长为x寸,则OC=OD=x寸,∵CE=1寸,∴OE=(x-1)寸.
在Rt△AOE中，根据勾股定理，得 解得x=13,∴2x=26,即CD长为26寸.
典例4 OD 90
【答案】A解析：连接OD，如图.
∵⊙O与边AC相切于点D,
∴∠ADO=90°.
∵∠BAC=36°,∴∠AOD=90°-36°=54°,
变式训练
4.32 解析:如图,连接AO.
∵PA与⊙O相切于点A,
∴∠OAP=90°.
∵∠P=26°,
∵点C在 上，且与点A，B不重合，
典例5 OD
【规范解答】(1)直线DE与⊙O相切.理由如下：
连接OD，如图.
∵AC为⊙O的直径,∴∠ADC=∠BDC=90°.
∵E为BC的中点,∴DE=CE=BE,
∴∠EDC=∠ECD.
∵OD=OC,∴∠ODC=∠OCD.
∵∠OCD+∠ECD=∠ACB=90°,
∴∠ODC+∠EDC=90°,即∠EDO=90°,
∴DE⊥OD,∴直线DE与⊙O相切.
(2)由(1)得
在Rt△ACD中, 即
在Rt△ABC中, 即
解得
∴⊙O直径的长为-
变式训练
5.解:(1)证明:如图,过点D作DF⊥AC,垂足为F.
∵∠B=90°,∴AB⊥BC.
∵AD平分∠BAC,DF⊥AC,∴BD=DF,
∴AC是⊙D的切线.
(2)解:在Rt△BDE和Rt△DCF中,
∵BD=DF,DE=DC,
∴Rt△BDE≌Rt△FDC(HL),∴EB=FC=3.
∵∠B=90°,∴AB是⊙D的切线,
∴AF=AB=5,
∴AC=AF+FC=5+3=8.