专项突破练三 裂项相消求和、错位相减求和
题型一
例1 解:(1)设等差数列{an}的公差为d,d>0,等比数列{bn}的公比为q,则an=1+(n-1)d,bn=qn-1.
依题意有解得或(舍去),故an=n,bn=2n-1.
(2)由(1)可得Sn=1+2+…+n=n(n+1),∴=2,∴++…+=2=2=.
变式 解:(1)由题知{an}是等差数列,设其公差为d,
∵a3+a5=20,S5=35,
∴解得故an=3n-2.
(2)由(1)知an=3n-2,故bn===,
∴Tn=b1+b2+b3+…+bn-1+bn===-,即Tn=-.
题型二
例2 解:设Sn=1×21+2×22+3×23+…+n×2n,
则2Sn=1×22+2×23+3×24+…+(n-1)×2n+n×2n+1,
两式相减得-Sn=21+22+23+…+2n-n×2n+1=-n×2n+1=2n+1-2-n×2n+1=(1-n)×2n+1-2,
所以Sn=(n-1)·2n+1+2.
变式 解:(1)当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(2an-2)-(2an-1-2)=2an-2an-1,所以an=2an-1.当n=1时,由S1=a1=2a1-2,得a1=2.由等比数列的定义知,数列{an}是首项为2,公比为2的等比数列,
所以数列{an}的通项公式为an=2×2n-1=2n,n∈N*.
(2)由(1)知cn==,所以Tn=+++…++①,Tn=+++…++②,
①-②,得Tn=+++…+-=-=1--=1-,所以Tn=2-.专项突破练三 裂项相消求和、错位相减求和
1.A [解析] 由Sn=+++…+,可得Sn=++…++,两式相减可得Sn=+++…+-=-=,所以Sn=.故选A.
2.B [解析] 由题意得nan=n·2n,Sn=1×21+2×22+3×23+…+(n-1)·2n-1+n·2n①,则2Sn=1×22+2×23+3×24+…+(n-1)·2n+n·2n+1②,①-②,得-Sn=21+22+23+…+2n-n·2n+1=2n+1-n·2n+1-2,所以Sn=n·2n+1-2n+1+2=(n-1)·2n+1+2.当n=6时,Sn=642,当n=7时,Sn=1538,所以使得Sn<1000成立的正整数n的最大值为6.故选B.
3.D [解析] 因为an===-,所以数列{an}的前10项和为-+-+-+…+-=-=.故选D.
4.A [解析] 设数列{an}的前n项和为Sn,因为an==-,所以Sn=a1+a2+…+an=-+-+…+- =-1.由Sm=-1=9,解得m=99,故选A.
5.B [解析] 设数列{an}的前n项和为Sn,则=2n+1,得Sn=2n2+n.当n=1时,a1=3,当n≥2时,=2n2-3n+1,所以an=Sn-=4n-1(n≥2),因为a1=3也满足上式,所以an=4n-1(n∈N*),则=4n+3.可得an+1=4n,+1=4(n+1),所以===-,所以数列的前2023项和为1-+-+…+-=1-=.故选B.
6.D [解析] 依题意得an==,∴==4,∴数列的前n项和为++…+=4×=4×=,故选D.
7.BC [解析] 依题意知a1=1,a2-a1=2,a3-a2=3,…,an-an-1=n(n≥2),将以上n个式子相加可得an=1+2+3+…+n=(n≥2),又a1=1满足上式,所以an=,a5=15,故A错误;因为a1=1,a2=3,a3=6,a4=10,a5=15,所以S5=a1+a2+a3+a4+a5=1+3+6+10+15=35,故B正确;因为an-an-1=n(n≥2),所以an+1-an=n+1,故C正确;=2,则+++…+=2×=2×=,故D错误.故选BC.
8.BCD [解析] 因为S2=a1+a2=4a1,所以a2=3a1,数列{an}的公比q==3,又2a2=a3+(a1+1),所以6a1=a1+(a1+1),所以a1=2,所以an=2×3n-1,A错误;Sn==3n-1,B正确;bn==-,则Tn=++…+=-,C正确;易知y=-在(0,+∞)上单调递增,所以Tn≥T1=,又Tn<,n∈N*,所以Tn的取值在区间内,D正确.故选BCD.
9.10 [解析] 因为an===-,所以Sn=1-+-+…+-=1-=,得n=10.
10.n·2n+1 [解析] 因为an=(n+1)2n,所以Sn=2×21+3×22+4×23+…+(n+1)2n,
2Sn=2×22+3×23+…+n×2n+(n+1)2n+1,两式相减得-Sn=2×21+22+23+…+2n-(n+1)2n+1=2+-(n+1)2n+1=-n·2n+1,
所以Sn=n·2n+1.
11. [解析] 由题得S10==5(a1+a10)=210,则a1+a10=42,设等差数列{an}的公差为d,则2a1+9d=42,又a8=a1+7d=31,∴a1=3,d=4,则an=4n-1,∴bn==,则{bn}的前n项和Tn=×=×=.
12.18 379 [解析] an=1+2+22+23+…+2n-1==2n-1,所以a1+2a2+…+10a10=1×(2-1)+2×(22-1)+…+10×(210-1)=1×2+2×22+3×23+…+10×210-(1+2+3+…+10).设S=1×2+2×22+3×23+…+10×210,则2S=1×22+2×23+3×24+…+10×211,两式作差得,-S=2+22+23+…+210-10×211=-10×211=-9×211-2, 故S=1×2+2×22+…+10×210=9×211+2.又1+2+3+…+10==55,所以a1+2a2+…+10a10=9×211+2-55=9×2048+2-55=18 379.
13.解:(1)当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(-n2)+(n-1)2=-(2n-1),
又a1=S1=-1,满足上式,
所以数列{an}的通项公式为an=1-2n.
(2)==.
设数列的前n项和为Tn,则
Tn=×=×=.
14.解:(1)当n=1时,a1=S1=2.
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n.
因为a1=2满足上式,所以an=2n.
(2)bn=3nan=2n·3n,
则Tn=b1+b2+b3+…+bn=2×3+4×32+6×33+…+2(n-1)×3n-1+2n×3n,
3Tn=2×32+4×33+6×34+…+2(n-1)×3n+2n×3n+1,
以上两式相减得
-2Tn=2×3+2×32+2×33+…+2×3n-2n×3n+1=-2n·3n+1=-3+(1-2n)·3n+1,
所以Tn=.
15.C [解析] 依题意得an+1+1=2(an+1),a1+1=2,所以数列{an+1}是首项为2,公比为2的等比数列,所以an+1=2n,即an=2n-1.因为==-,所以Tn=-+-+…+-=-<,所以k的取值范围是.故选C.
16.解:(1)证明:因为f(x)=x2-x在上单调递增,且n∈N+,所以f(x)在区间[n,n+1]上单调递增.因为f(n+1)-f(n)=(n+1)2-(n+1)-n2+n=2n,所以an=2n+1,即数列{an}的通项公式为an=2n+1.
(2)因为=(2n+1),所以Sn=3×+5×+7×+…+(2n+1)·,Sn=3×+5×+…+(2n-1)·+(2n+1)·,两式相减得Sn=3×+2×+2×+…+2·-(2n+1)·=+2·-(2n+1)·=-(2n+5)·,所以Sn=5-.因为-=<0,所以数列为递减数列,又>0,所以Sn<5恒成立,则整数λ的最小值为5.专项突破练三 裂项相消求和、错位相减求和
【学习目标】
掌握常见数列的求和方法:裂项相消法、错位相减法.
◆ 题型一 裂项相消求和
例1 等差数列{an}的各项均为正数,a1=1,前n项和为Sn.在等比数列{bn}中,b1=1,且b2S2=6,b2+S3=8.
(1)求数列{an}与{bn}的通项公式;
(2)求++…+.
变式 设等差数列{an}的前n项和是Sn,a3+a5=20,S5=35.
(1)求{an}的通项公式;
(2)若bn=,求数列{bn}的前n项和Tn.
[素养小结]
在用裂项相消法求和的过程中应注意以下事项:
(1)抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项,也有可能前面剩两项,后面也剩两项;
(2)将通项公式裂项后要反向检验,调整前面的系数,使裂开的两项之差和系数之积与原通项公式相等.
◆ 题型二 错位相减求和
例2 求数列1×21,2×22,3×23,…,n×2n,n∈N*的前n项和.
变式 设数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2an-2,n∈N*.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设cn=,求数列{cn}的前n项和Tn.
[素养小结]
应用错位相减法求和的四个注意点:
(1)使用条件:所给要求和的数列的通项公式是形如an·bn的形式,数列{an}和{bn}中一个是等差数列,一个是等比数列;
(2)所乘系数:在等式两边同乘的是等比数列的公比;
(3)书写格式:两个等式可以错一位再上下对齐,便于对应相减;
(4)差的特点:相减后的差共有(n+1)项,去掉前后两项,中间的(n-1)项一定是等比数列.专项突破练三 裂项相消求和、错位相减求和
一、选择题
1.Sn=+++…+等于 ( )
A. B.
C. D.
2.设数列{nan}的前n项和为Sn,且an=2n,则使得Sn<1000成立的正整数n的最大值为 ( )
A.5 B.6
C.7 D.8
3.[2024·广东东莞高二期末] 数列{an}的通项公式为an=(n∈N*),则数列{an}的前10项和为 ( )
A. B.
C. D.
4.已知数列{an}的通项公式为an=(n∈N*),若{an}的前m项和为9,则m的值为 ( )
A.99 B.100
C.101 D.102
5.已知数列{an}的前n项的平均数为2n+1,其中n∈N*,则数列的前2023项和等于 ( )
A. B.
C. D.
6.数列{an}满足an=,则数列的前n项和为( )
A. B.
C. D.
7.(多选题)如图所示的图形出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中,后人称为“三角垛”.已知“三角垛”最上层有1个球,第二层有3个球,第三层有6个球……第n层有an个球,设从上往下n层球的总数为Sn,则 ( )
A.a5=35
B.S5=35
C.an+1-an=n+1
D.+++…+=
8.(多选题)已知等比数列{an}的前n项和为Sn,且S2=4a1,a2是a1+1与a3的等差中项,数列{bn}满足bn=,数列{bn}的前n项和为Tn,则下列说法正确的是 ( )
A.数列{an}的通项公式为an=3n-1
B.Sn=3n-1
C.Tn=-
D.Tn的取值在区间内
二、填空题
9.已知数列{an}满足an=,n∈N*,且数列{an}的前n项和Sn=,则n的值为 .
10.[2024·江苏连云港高二期末] 已知数列{an}的前n项和为Sn,且an=(n+1)2n,则Sn= .
11.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a8=31,S10=210,若bn=,则数列{bn}的前n项和为 .
12.已知数列{an}的通项公式为an=1+2+22+23+…+2n-1,则a1+2a2+3a3+…+10a10= .
三、解答题
13.[2024·河北张家口高二期末] 已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=-n2.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)求数列的前n项和.
14.[2024·贵州铜仁高二期末] 已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=n(n+1),n∈N*.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若bn=3nan,求数列{bn}的前n项和Tn.
15.已知数列{an}满足a1=1,an+1=2an+1(n∈N*),记数列的前n项和为Tn,若对于任意n∈N*,不等式k>Tn恒成立,则实数k的取值范围为 ( )
A. B.
C. D.
16.已知函数f(x)=x2-x,当x∈[n,n+1](n∈N+)时,记函数f(x)的取值范围中整数的个数为an.
(1)证明:数列{an}的通项公式为an=2n+1.
(2)记数列的前n项和为Sn,若Sn≤λ恒成立,求整数λ的最小值.(共18张PPT)
专项突破练三 裂项相消求和、错位
相减求和
题型一 裂项相消求和
题型二 错位相减求和
【学习目标】
掌握常见数列的求和方法：裂项相消法、错位相减法.
题型一 裂项相消求和
例1 等差数列的各项均为正数,,前项和为.在等比数列 中,
,且, .
（1）求数列与 的通项公式;
解:设等差数列的公差为,,等比数列的公比为 ,
则, .
依题意有解得或（舍去）,故, .
（2）求 .
解:由（1）可得, ,
.
变式 设等差数列的前项和是,, .
（1）求 的通项公式;
解:由题知是等差数列,设其公差为 ,, ,
解得故 .
（2）若,求数列的前项和 .
解:由（1）知,故 ,
,即 .
［素养小结］
在用裂项相消法求和的过程中应注意以下事项:
（1）抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项,也有可能前面剩两项,后面也剩两项;
（2）将通项公式裂项后要反向检验,调整前面的系数,使裂开的两项之差和系数
之积与原通项公式相等.
题型二 错位相减求和
例2 求数列，，， ，,的前 项和.
解:设 ，
则 ，
两式相减得
，
所以 .
变式 设数列的前项和为,且, .
（1）求数列 的通项公式;
解:当时, ，
所以.
当时,由,得 .
由等比数列的定义知,数列 是首项为2,公比为2的等比数列,
所以数列的通项公式为, .
（2）设,求数列的前项和 .
解:由（1）知,所以 ,
,
,得
,
所以 .
［素养小结］
应用错位相减法求和的四个注意点:
（1）使用条件:所给要求和的数列的通项公式是形如的形式,数列 和
中一个是等差数列,一个是等比数列;
（2）所乘系数:在等式两边同乘的是等比数列的公比;
（3）书写格式:两个等式可以错一位再上下对齐,便于对应相减;
（4）差的特点:相减后的差共有项,去掉前后两项,中间的 项一定是
等比数列.
1.错位相减法
错位相减法是一种重要的数列求和方法,等比数列前 项和公式的推导用的就是
错位相减法.当一个数列由等差数列与等比数列对应项的乘积构成时,可使用此法
求数列的前 项和.
设数列为等差数列,公差为,数列为等比数列,公比为 ,数列
的前项和为,则 的求解步骤如下:
（1）列出和式 .
（2）两边同乘公比 ,
.
（3）两式相减（错位相减）并求和,
.
（4）两边同除以即得数列的前项和 .
注意:在上述过程中,我们已知是等比数列的公比,所以 ,但当求
的值时,就应分,,且 三种情况进
行讨论.
2.裂项相消法
常见的裂项公式
数列 裂项方法
数列 裂项方法
续表
例1 设数列的通项公式为,求其前项和 .
解:当时,, .
当时, ,
,
,得 ,
, .
综上所述,当时, ;
当时, .
例2 [2024·广东惠州高二期末] 已知是数列的前项和， ．
（1）求数列 的通项公式；
解:因为，所以当时， ，
得，因为 ，符合上式，
所以数列的通项公式为 .
（2）设，求数列的前项和 ．
解:由（1）可知，所以 ，
则 ．
