第二章 导数及其应用
§1 平均变化率与瞬时变化率
1.1 平均变化率
1.2 瞬时变化率
【课前预习】
知识点一
1.
2. 改变量 Δx 改变量 Δy
=
诊断分析
1.(1)× (2)√
2.解:因为Δh=5(1+Δt)2-5=10Δt+5(Δt)2,所以平均速度==10+5Δt.
知识点二
1.==
2.瞬时变化率
诊断分析
1.(1)√ (2)×
2.解:因为Δh=5(1+Δt)2-5=10Δt+5(Δt)2,所以平均速度==10+5Δt.当Δt趋于0时,趋于10,所以物体在t=1时的瞬时速度为10.
【课中探究】
探究点一
例1 (1)B (2)B [解析] (1)平均速度===4.1,故选B.
(2)因为f(x)=x2+x,所以f(-1)=(-1)2-1=0,f(3)=32+3=12,则函数f(x)在[-1,3]上的平均变化率为===3,故选B.
变式 (1)A (2)2 [解析] (1)m1==2,m2==2,所以m1=m2.故选A.
(2)设y=f(x),由题得===m+1=3,所以m=2.
拓展 BC [解析] 由函数图象可得,在区间[4,7]上,<0,即函数在区间[4,7]上的平均变化率小于0;在区间[1,2],[2,3],[3,4]上,>0,即平均变化率都大于0,且在区间[3,4]上的平均变化率最大.故选BC.
探究点二
例2 解:设y=f(t),则从2 s到(2+Δt)s这段时间内水量y的平均变化率为====Δt+11(m3/s),
当Δt无限趋近于0时,无限趋近于11 m3/s.
同理可得从6 s到(6+Δt)s这段时间内水量y的平均变化率为=Δt+19(m3/s),当Δt无限趋近于0时,无限趋近于19 m3/s.
故当t=2 s与t=6 s时,流过的水量y的瞬时变化率分别为11 m3/s与19 m3/s.
变式 (1)C [解析] 由平均速度的概念知表示的是物体在1 s到(1+Δt)s这一段时间内的平均速度,因为当Δt无限趋于0时,无限趋于9.8 m/s,所以9.8 m/s表示物体在t=1 s这一时刻的瞬时速度.故选C.
(2)解:①前2秒点P转过的角度为φ(2)=4×2-0.3×22=8-1.2=6.8(弧度).
②在2秒到(2+Δt)秒这一时间段内点P的平均角速度为===4-1.2-0.3Δt=2.8-0.3Δt(弧度/秒),
则当Δt=1时,平均角速度为2.8-0.3×1=2.5(弧度/秒);
当Δt=0.1时,平均角速度为2.8-0.3×0.1=2.77(弧度/秒);
当Δt=0.01时,平均角速度为2.8-0.3×0.01=2.797(弧度/秒).
③由②知,在2秒到(2+Δt)秒这一时间段内点P的平均角速度为=2.8-0.3Δt(弧度/秒),当Δt趋于0时,趋于2.8弧度/秒,则t=2秒这一时刻点P的瞬时角速度为2.8弧度/秒.
拓展 0 [解析] 设y=f(x),由题意可知原油温度的平均变化率为===x2-2x+Δx·x+(Δx)2-Δx(℃/时).当Δx趋于0时,趋于x2-2x,可得x2-2x=(x-1)2-1(2≤x≤4),因此当x=2时,原油温度的瞬时变化率取得最小值0.第二章 导数及其应用
§1 平均变化率与瞬时变化率
1.1 平均变化率
1.2 瞬时变化率
【学习目标】
1.通过实例分析,经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程.
2.体会极限思想.
◆ 知识点一 平均速度与平均变化率
1.平均速度:用一段时间内物体的平均速度刻画物体运动的快慢,当时间从t0变为t1时,物体的位移从s(t0)变为s(t1),这段时间内物体的平均速度= .
2.平均变化率:对一般的函数y=f(x)来说,当自变量x从x1变为x2时,函数值从f(x1)变为f(x2),它在区间[x1,x2]的平均变化率= .
通常我们把自变量的变化x2-x1称作自变量x的 ,记作 ,函数值的变化f(x2)-f(x1)称作函数值y的 ,记作 .这样,函数的平均变化率就可以表示为函数值的改变量与自变量的改变量之比,即 .用它来刻画函数值在区间[x1,x2]上变化的快慢.
【诊断分析】 1.判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)某物体在一段时间内的平均速度为0,则该物体在这段时间内是静止的. ( )
(2)平均变化率越大,说明物体在同一时间段内运动越快. ( )
2.物体的位移h与时间t的函数关系是h=5t2,试求物体在[1,1+Δt]这段时间内的平均速度.
◆ 知识点二 瞬时变化率
1.瞬时变化率:对于一般的函数y=f(x),在自变量x从x0变为x1的过程中,若设Δx=x1-x0,Δy=f(x1)-f(x0),则该函数的平均变化率为 .
2.如果当Δx趋于0时,平均变化率趋于某个值,那么这个值就是f(x)在点x0的 .瞬时变化率刻画的是函数在某一点处变化的快慢.
【诊断分析】 1.判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)瞬时速度是物体在某一时刻的速度. ( )
(2)瞬时变化率越大,则该物体在同一时间段内运动越快. ( )
2.物体的位移h与时间t的函数关系是h=5t2,试求物体在t=1时的瞬时速度.
◆ 探究点一 平均变化率
例1 (1)一物体的运动方程是s=3+t2,则该物体在[2,2.1]这段时间内的平均速度为 ( )
A.0.41 B.4.1 C.0.3 D.3
(2)[2023·辽宁阜新二中高二期末] 若函数f(x)=x2+x,则函数f(x)在[-1,3]上的平均变化率为 ( )
A.6 B.3 C.2 D.1
变式 (1)函数f(x)=2x,g(x)=x2在[0,2]上的平均变化率分别记为m1,m2,则下列结论正确的是 ( )
A.m1=m2 B.m1>m2
C.m2>m1 D.m1,m2的大小无法判断
(2)若函数f(x)=x2-t在[1,m]上的平均变化率为3,则m= .
[素养小结]
(1)平均速度反映了物体的位移随时间变化而变化的情况,平均速度等于物体在一个时间段内位移的改变量与此时间段时长的比值.
(2)求函数平均变化率的步骤:
①由函数关系式求出函数值的改变量Δy=f(x0+Δx)-f(x0);
②计算的值,即为函数的平均变化率.
拓展 (多选题)已知函数y=f(x)的图象如图所示,则下列关于函数y=f(x)在区间[1,7]上的平均变化率的说法正确的是 ( )
A.在区间[1,2]上的平均变化率最小
B.在区间[2,3]上的平均变化率大于0
C.在区间[3,4]上的平均变化率比在区间[2,3]上的大
D.在区间[4,7]上的平均变化率最大
◆ 探究点二 瞬时变化率
例2 一条水管中流过的水量y(单位:m3)关于时间t(单位:s)的函数为y=t2+7t+15(0≤t≤8),求当t=2 s和t=6 s时,流过的水量y的瞬时变化率.
变式 (1)已知物体做自由落体的运动方程为s(t)=gt2,且Δt无限趋于0时,无限趋于9.8 m/s,那么下列关于9.8 m/s的说法正确是( )
A.是物体在0 s到1 s这一段时间内的速度
B.是物体在1 s到(1+Δt)s这一段时间内的速度
C.是物体在t=1 s这一时刻的瞬时速度
D.是物体在1 s到(1+Δt)s这一段时间内的平均速度
(2)一个飞轮上一点P在受到制动后旋转过的角度φ(t)(单位:弧度)与时间t(单位:秒)的函数是φ(t)=4t-0.3t2.
①求前2秒点P转过的角度;
②求在2秒到(2+Δt)秒这一时间段内点P的平均角速度,其中Δt分别为1,0.1,0.01;
③求t=2秒这一时刻点P的瞬时角速度.
[素养小结]
1.求运动物体的瞬时速度的步骤:
①由运动物体的位移s(t)与时间t的函数关系式求出位移的改变量Δs=s(t0+Δt)-s(t0);
②求时间从t0到t0+Δt的平均速度=;
③求Δt趋于0时趋近的值,即得t=t0时的瞬时速度.
2.在计算瞬时变化率时关键需要对进行化简,将Δy化成含有Δx的式子,再计算当Δx趋于0时趋近的值.
拓展 某厂将原油精炼为汽油,需对原油进行冷却和加热,如果第x小时的原油温度(单位:℃)为f(x)=x3-x2+8(2≤x≤4),那么原油温度的瞬时变化率的最小值为 . 第二章 导数及其应用
§1 平均变化率与瞬时变化率
1.1 平均变化率
1.2 瞬时变化率
一、选择题
1.我们常用函数y=f(x)的函数值的改变量与自变量的改变量的比值来表示平均变化率,当自变量x从x0改变到x0+Δx时,函数值的改变量Δy=( )
A.f(x0+Δx)
B.f(x0)+Δx
C.f(x0)·Δx
D.f(x0+Δx)-f(x0)
2.函数y=x2+2在[x0,x0+Δx]上的平均变化率为k1,在[x0-Δx,x0]上的平均变化率为k2,则( )
A.k1B.k1>k2
C.k1=k2
D.k1与k2的大小关系不确定
3.[2024·江西萍乡高二期中] 某物体沿直线运动,其位移s(单位:m)与时间t(单位:s)之间的关系为s(t)=t2+t,则该物体在时间段[1,4]内的平均速度为 ( )
A.2 m/s B. m/s
C. m/s D.3 m/s
4.函数f(x)=x2在区间[0,2]上的平均变化率等于该函数在x=m处的瞬时变化率,则m=( )
A. B.1
C.2 D.
5.小球做自由落体运动的方程为s(t)=gt2(g为重力加速度),该小球从t=1到t=3的平均速度为,在t=2时的瞬时速度为v1,则和v1的大小关系为 ( )
A.>v1 B.6.某铁球在0 ℃时,半径为1 dm.当温度在很小的范围内变化时,由于热胀冷缩,铁球的半径会发生变化,且当温度为t ℃时铁球的半径为(1+at)dm,其中a为常数,则铁球的体积在t=0时的瞬时变化率(单位:dm3/℃)为( )
A.0 B.πa
C.πa D.4πa
7.(多选题)已知函数y=f(x),下列说法正确的是( )
A.Δy=f(x0+Δx)-f(x0)叫作函数值的增量
B.=叫作函数在[x0,x0+Δx]上的平均变化率
C.f(x)在x=x0处的瞬时变化率为=
D.f(x)在x=x0处的瞬时变化率为=当Δx趋于0时趋近的值
8.(多选题)某一个质点做直线运动,其位移s(单位:m)与时间t(单位:s)满足函数关系式s=t4-4t3+10t2(t≥0),则 ( )
A.该质点在前2 s内的平均速度为24 m/s
B.该质点在t=1 s时的瞬时速度为12 m/s
C.该质点在t=2 s时的瞬时速度为20 m/s
D.该质点在t=2 s时的瞬时速度为24 m/s
二、填空题
9.物体做匀速直线运动,其运动方程是s=vt,则该物体在运动过程中的平均速度与任何时刻的瞬时速度的大小关系是 .
10.已知一质点运动的方程为s=5t2,则该质点在时间段[3,3+Δt]内的平均速度等于 .
11.设C是成本,q是产量,且C(q)=3q2+10,若q=q0,则当产量增加量为10时,成本增加量为 .
12.如图所示,水波的半径以1 m/s的速度向外扩张,当半径为5 m时,该水波面积的瞬时膨胀率是 m2/s.
三、解答题
13.已知二次函数f(x)=x2-2x+a.
(1)判断f(0)与f(3)的大小;
(2)判断f(x)在区间[0,1]与[1,3]上的平均变化率的大小.
14.若一物体的运动方程为s=f(t)=(位移s的单位:m;时间t的单位:s),求:
(1)该物体在时间段[3,5]内的平均速度;
(2)该物体在t=1 s时的瞬时速度.
15.已知车轮旋转的角度与时间的平方成正比.若车轮开始转动后,旋转第一圈需要1 s,则车轮转动开始后第2 s时的瞬时角速度为 ( )
A.π B.2π C.4π D.8π
16.已知a>1,函数f(x)=ln x,则下面结论中正确的有 .(填上所有正确结论的序号)
①函数f(x)在区间[a,a+1]上的平均变化率总是大于1;
②函数f(x)在区间[a,a+1]上的平均变化率总是小于1;
③函数f(x)在区间[a,a+1]上的平均变化率随着a的增大而增大;
④函数f(x)在区间[a,a+1]上的平均变化率随着a的增大而减小.(共25张PPT)
1.1 平均变化率 1.2 瞬时变化率
探究点一 平均变化率
探究点二 瞬时变化率
【学习目标】
1.通过实例分析,经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程.
2.体会极限思想.
知识点一 平均速度与平均变化率
1.平均速度：用一段时间内物体的平均速度刻画物体运动的快慢，当时间从
变为时，物体的位移从变为，这段时间内物体的平均速度
_ ________.
2.平均变化率：对一般的函数来说，当自变量从变为 时，函数值
从变为，它在区间的平均变化率 _ _________.
通常我们把自变量的变化称作自变量 的________，记作____，函数值的
变化称作函数值 的________，记作____.这样，函数的平均变化
率就可以表示为函数值的改变量与自变量的改变量之比,即_______________.用
它来刻画函数值在区间 上变化的快慢.
改变量
改变量
【诊断分析】
1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）某物体在一段时间内的平均速度为0,则该物体在这段时间内是静止的.( )
×
（2）平均变化率越大，说明物体在同一时间段内运动越快.( )
√
2.物体的位移与时间的函数关系是,试求物体在 这段时间
内的平均速度.
解：因为,所以平均速度 .
知识点二 瞬时变化率
1.瞬时变化率：对于一般的函数，在自变量从变为 的过程中，若
设， ,则该函数的平均变化率为
________ _____________________.
2.如果当趋于0时，平均变化率趋于某个值，那么这个值就是在点 的
____________.瞬时变化率刻画的是函数在某一点处变化的快慢.
瞬时变化率
【诊断分析】
1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）瞬时速度是物体在某一时刻的速度.( )
√
（2）瞬时变化率越大，则该物体在同一时间段内运动越快.( )
×
2.物体的位移与时间的函数关系是,试求物体在 时的瞬时速度.
解：因为,所以平均速度 .
当趋于0时,趋于10,所以物体在 时的瞬时速度为10.
探究点一 平均变化率
例1（1） 一物体的运动方程是，则该物体在 这段时间内的
平均速度为( )
B
A.0.41 B.4.1 C.0.3 D.3
[解析] 平均速度 ，故选B.
（2）[2023·辽宁阜新二中高二期末]若函数，则函数在
上的平均变化率为( )
B
A.6 B.3 C.2 D.1
[解析] 因为，所以， ，
则函数在上的平均变化率为 ，故选B.
变式（1） 函数，在 上的平均变化率分别记为
， ，则下列结论正确的是( )
A
A. B.
C. D.， 的大小无法判断
[解析] ，，所以 .故选A.
（2）若函数在上的平均变化率为3，则 ___.
[解析] 设，由题得，所以 .
［素养小结］
（1）平均速度反映了物体的位移随时间变化而变化的情况,平均速度等于物体
在一个时间段内位移的改变量与此时间段时长的比值.
（2）求函数平均变化率的步骤:
①由函数关系式求出函数值的改变量 ;
②计算 的值，即为函数的平均变化率.
拓展 （多选题）已知函数 的图象如图所示，
则下列关于函数在区间 上的平均变化率的
说法正确的是( )
BC
A.在区间 上的平均变化率最小
B.在区间 上的平均变化率大于0
C.在区间上的平均变化率比在区间 上的大
D.在区间 上的平均变化率最大
[解析] 由函数图象可得，在区间上，，即函数在区间 上的平均
变化率小于0；在区间，，上， ，即平均变化率都大于0，
且在区间上的平均变化率最大.故选 .
探究点二 瞬时变化率
例2 一条水管中流过的水量（单位：）关于时间（单位： ）的函数为
，求当和时，流过的水量 的瞬时变化率.
解：设，则从到这段时间内水量 的平均变化率为
，
当无限趋近于0时，无限趋近于 .
同理可得从到这段时间内水量的平均变化率为 ，
当无限趋近于0时，无限趋近于 .
故当与时，流过的水量的瞬时变化率分别为与 .
变式（1） 已知物体做自由落体的运动方程为，且 无限趋于0
时，无限趋于，那么下列关于 的说法正确是( )
C
A.是物体在到 这一段时间内的速度
B.是物体在到 这一段时间内的速度
C.是物体在 这一时刻的瞬时速度
D.是物体在到 这一段时间内的平均速度
[解析] 由平均速度的概念知表示的是物体在到 这一段时
间内的平均速度，因为当无限趋于0时，无限趋于 ，所以
表示物体在 这一时刻的瞬时速度.故选C.
（2）一个飞轮上一点在受到制动后旋转过的角度（单位：弧度）与时间
（单位：秒）的函数是 .
①求前2秒点 转过的角度；
解：前2秒点转过的角度为 （弧度）.
②求在2秒到秒这一时间段内点的平均角速度，其中分别为1， ，
；
解：在2秒到秒这一时间段内点 的平均角速度为
（弧度/秒），
则当时，平均角速度为 （弧度/秒）；
当时，平均角速度为 （弧度/秒）；
当时，平均角速度为 （弧度/秒）.
③求秒这一时刻点 的瞬时角速度.
解：由②知，在2秒到秒这一时间段内点 的平均角速度为
（弧度/秒），当趋于0时，趋于2.8弧度/秒，则 秒这
一时刻点 的瞬时角速度为2.8弧度/秒.
［素养小结］
1.求运动物体的瞬时速度的步骤:
①由运动物体的位移与时间 的函数关系式求出位移的改变量
;
②求时间从到的平均速度 ;
③求趋于0时趋近的值,即得 时的瞬时速度.
2.在计算瞬时变化率时关键需要对进行化简，将化成含有 的式子，再计
算当趋于0时 趋近的值.
拓展 某厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第 小时的原
油温度（单位：）为 ，那么原油温度的瞬时
变化率的最小值为___.
0
[解析] 设 ,由题意可知原油温度的平均变化率为
/时.
当趋于0时，趋于 ，可得，
因此当 时，原油温度的瞬时变化率取得最小值0.
1.平均速度
设跳高运动员在跳高过程中,离地面的高度与时间的关系是,则在 到
这段时间内,运动员的平均速度 .
注意:在匀速直线运动中,比值是恒定的;在非匀速直线运动中,比值 不是恒定
的.要想精确地描述非匀速直线运动,就要知道物体在每一时刻运动的快慢程度,
即瞬时速度.
2.关于瞬时速度的理解
（1）瞬时速度的实质是平均速度在 无限趋近于0时的极限值.
（2）瞬时速度的计算必须先求出平均速度 ,再对平均速度取极限.
（3）趋近于0,是指时间间隔 越来越短,能比任意小的时间间隔更小,但始终
不能为零.
（4）, 在变化中都趋近于0,但它们的比值却趋近于一个确定的常数.
例1 一个物体做直线运动，其位移（单位：）与时间（单位： ）之间的
函数关系为，且这一物体在这段时间内的平均速度为 ，
则实数 的值为( )
A
A.2 B.1 C. D.
[解析] ，
，
因为这一物体在这段时间内的平均速度为 ，
所以，解得 ，
故选A.
例2 某物体做直线运动，其运动规律是（时间的单位：；位移 的
单位：），则它在 时的瞬时速度为( )
B
A. B. C. D.
[解析] ，
当趋于0时,趋于，则该物体在时的瞬时速度为 .
故选B.第二章 导数及其应用
§1 平均变化率与瞬时变化率
1.1 平均变化率
1.2 瞬时变化率
1.D [解析] 由题意知,当x=x0时,y=f(x0);当x=x0+Δx时,y=f(x0+Δx).故Δy=f(x0+Δx)-f(x0).故选D.
2.D [解析] 由题得k1==2x0+Δx,k2==2x0-Δx,所以k1-k2=2Δx,因为Δx的正负不确定,所以k1与k2的大小关系也不确定.故选D.
3.B [解析] 因为位移s与时间t之间的关系为s(t)=t2+t,所以该物体在时间段[1,4]内的平均速度为=(m/s).故选B.
4.B [解析] 函数f(x)=x2在区间[0,2]上的平均变化率为==2.==Δx+2m,当Δx趋于0时,Δx+2m趋于2m,所以f(x)=x2在x=m处的瞬时变化率为2m,由2=2m,解得m=1.故选B.
5.C [解析] 由题意知===2g.∵s(t)=gt2,∴==gt+gΔt,当Δt趋于0时,gt+gΔt趋于gt.又小球在t=2时的瞬时速度为v1,∴v1=2g,∴=v1.故选C.
6.D [解析] 当温度为t ℃时,铁球的半径为(1+at)dm,所以铁球的体积为V(t)=π(1+at)3(dm3),则=(aΔt)[(1+at+aΔt)2+(1+at+aΔt)(1+at)+(1+at)2]=4πa[(1+at)2+a(1+at)Δt+a2(Δt)2],当Δt趋于0时,上式趋于4πa(1+at)2,所以铁球的体积在t=0时的瞬时变化率为4πa(1+a×0)2=4πa(dm3/℃),故选D.
7.ABD [解析] A中,Δy=f(x0+Δx)-f(x0)叫作函数值的改变量,即函数值的增量,A正确;B中,=称为函数f(x)在自变量x从x0变到x0+Δx的平均变化率,即f(x)在[x0,x0+Δx]上的平均变化率,B正确;由瞬时变化率的定义可知,C错误,D正确.故选ABD.
8.BD [解析] 因为该质点在前2 s内的位移为24-4×23+10×22=24(m),所以该质点在前2 s内的平均速度为12 m/s,A错误.
s(1+Δt)-s(1)=(1+Δt)4-4(1+Δt)3+10(1+Δt)2-7=(Δt)4+4(Δt)2+12·Δt,则=(Δt)3+4·Δt+12,当Δt趋于0时,(Δt)3+4·Δt+12趋于12,所以该质点在t=1 s时的瞬时速度为12 m/s,B正确.
s(2+Δt)-s(2)=(2+Δt)4-4(2+Δt)3+10(2+Δt)2-24=(Δt)4+4(Δt)3+10(Δt)2+24·Δt,则=(Δt)3+4(Δt)2+10·Δt+24,当Δt趋于0时,(Δt)3+4(Δt)2+10·Δt+24趋于24,
所以该质点在t=2 s时的瞬时速度为24 m/s,C错误,D正确.故选BD.
9.相等 [解析] 该物体在[t0,t0+Δt]上的平均速度为===v,当Δx趋于0时,上式仍为v,所以瞬时速度也为v,则该物体在运动过程中的平均速度与任何时刻的瞬时速度相等.
10.30+5Δt [解析] 依题意,质点在[3,3+Δt]内运动的位移增量为Δs=5×(3+Δt)2-5×32=5[6Δt+(Δt)2]=30Δt+5(Δt)2,得平均速度==30+5Δt,所以所求平均速度为30+5Δt.
11.60q0+300 [解析] 由题意,ΔC=C(q0+10)-C(q0)=3(q0+10)2+10-(3+10)=3(+20q0+100)-3=60q0+300.
12.10π [解析] 因为水波的半径以v=1 m/s的速度向外扩张,所以t s时水波的半径r=vt=t(m),水波面积S=πr2=πt2(m2),所以水波面积在[t0,t0+Δt]上的平均膨胀率为=2πt0+πΔt(m2/s).当Δt趋于0时,上式趋于2πt0.当半径为5 m时,t=5,此时该水波面积的瞬时膨胀率为2π×5=10π(m2/s).
13.解:(1)因为f(x)=x2-2x+a,所以f(0)=a,f(3)=3+a,所以f(0)(2)f(x)在区间[0,1]上的平均变化率为=f(1)-f(0)=a-1-a=-1,f(x)在区间[1,3]上的平均变化率为==2,所以f(x)在区间[0,1]上的平均变化率小于在区间[1,3]上的平均变化率.
14.解:(1)在时间段[3,5]内,时间改变量为Δt=5-3=2(s),位移改变量为Δs=f(5)-f(3)=3×25+2-(3×9+2)=48(m),故所求平均速度为==24(m/s).
(2)该物体在时间段[1,1+Δt](0<Δt<2)内位移的平均变化率为==3Δt-12(m/s),当Δt趋于0时,3Δt-12趋于-12,所以该物体在t=1 s时的瞬时速度为-12 m/s.
15.D [解析] 设车轮旋转的角度θ关于时间t的函数关系式为θ(t)=kt2(k>0),由已知得2π=k·12,即k=2π,故θ(t)=2πt2.可知旋转的角度在[2,2+Δt]上的平均变化率为==2πΔt+8π,当Δt趋于0时,趋于8π,则第2 s时的瞬时角速度为8π.故选D.
16.②④ [解析] 令y=f(x),则==ln(a+1)-ln a=ln=ln,因为a>1,所以ln1时,1+随着a的增大而减小,ln随着1+的减小而减小,所以随着a的增大而减小,所以③错误,④正确.故填②④.
