§2 导数的概念及其几何意义
2.1 导数的概念
【课前预习】
知识点
1.=
2.
诊断分析
1.(1)× (2)× (3)√
2.解:导数可以反映函数在一点处变化的快慢程度.
【课中探究】
探究点一
例1 D [解析] =4=4f'(x0)=4×(-3)=-12.故选D.
变式 C [解析] 由已知得=-4·=-4f'(x0)=1,所以f'(x0)=-.故选C.
探究点二
例2 解:因为Δy=(1+Δx)+-(1+1)=Δx+-1,所以=1-,所以==0,即函数y=x+在x=1处的导数为0.
变式 20 [解析] 依题意,===20+4·Δx,
则=(20+4·Δx)=20,
所以函数y=(2x-1)2在x=3处的导数是20.
拓展 C [解析] 因为f'(-1)===3a,所以3a=3,解得a=1.
探究点三
例3 解:f'(2)====(-3+Δx)=-3(℃/时),其实际意义表示当x=2时原油温度的瞬时变化率,即原油温度的瞬时变化速度.也就是说,在第2小时附近,原油温度大约以每小时3 ℃的速率下降.
f'(6)====(5+Δx)=5(℃/时),其实际意义表示当x=6时原油温度的瞬时变化率,即原油温度的瞬时变化速度.也就是说,在第6小时附近,原油温度大约以每小时5 ℃的速率上升.
变式 解:(1)f'(a)===3.
(2)f'(a)的实际意义表示当t=a s时水量的瞬时变化率,即水流的瞬时速度.也就是说如果水管中的水以t=a s时的瞬时速度流动,每经过1 s,水管中流过的水量为3 m3.
(3)随着a取值的变化,f'(a)不发生变化,这是因为f'(a)=3是常数函数.§2 导数的概念及其几何意义
2.1 导数的概念
1.B [解析] 因为=f'(x0),所以结果仅与x0有关,而与h无关,故选B.
2.C [解析] 根据导数的定义知==f'(x0)=2.故选C.
3.C [解析] 因为f'(x0)=m,所以=m,所以= =2m.故选C.
4.D [解析] 由导数的意义知s'(4)=10表示物体在t=4 s时的瞬时速度为10 m/s.故选D.
5.A [解析] ==(-9.8-4.9Δt)=-9.8.故选A.
6.A [解析] 由函数y=2,得==,所以函数y=2在x=3处的瞬时变化率为.故选A.
7.AC [解析] 对于A,=
=f'(x0),A满足题意;对于B,=2=2f'(x0),B不满足题意;对于C,=f'(x0),C满足题意;对于D,=3=3f'(x0),D不满足题意.故选AC.
8.BD [解析] 由题意知要求运动员在t=1 s时的瞬时速度就是求函数h(t)在t=1处的导数h'(1),由导数定义知h'(1)==
=
=(-4.9Δt-3.3)=-3.3,这说明运动员在t=1 s附近以3.3 m/s的速度下降.所以可以判断只有B,D正确.故选BD.
9.- [解析] ∵f(2+Δx)-f(2)=-=,∴=,
∴==-.
10.9 [解析] 由题知,-8===4x0,得x0=-2,∴f(x0)=f(-2)=2×(-2)2+1=9.
11.3 [解析] ∵f'(x)===a,∴f'(1)=a=3,即a=3.
12.200a [解析] 由题意得f(t)=[10(1+at)]2=100(1+at)2,因为f'(0)===(200a+100a2Δt)=200a,所以0 ℃时,铁板面积的瞬时膨胀率为200a cm2/℃.
13.解:(1)因为==2+Δx,
所以f'(1)==(2+Δx)=2.
(2)因为==2a+Δx,
所以f'(a)==(2a+Δx)=2a.
14.解:(1)在0 min到10 min这段时间内,蜥蜴的体温的平均变化率为==-1.6(℃/min),它表示在0 min到10 min这段时间内,蜥蜴的体温平均每分钟下降1.6 ℃.
(2)T'(5)====-1.2,它表示太阳落山后5 min时,蜥蜴体温下降的速度为1.2 ℃/min.
15.B [解析] ∵f(x)的图象过原点,∴f(0)=0,∴f'(0)===-1.故选B.
16.解:(1)在1 s到5 s这段时间内,电量q的平均变化率为==15(C/s),它表示在1 s到5 s这段时间内,平均每秒通过该导体横截面的电量为15 C.
(2)q'(5)===(23+2Δt)=23,它表示在t=5 s时,每秒通过该导体横截面的电量为23 C.§2 导数的概念及其几何意义
2.1 导数的概念
【学习目标】
了解导数概念的实际背景,知道导数是关于瞬时变化率的数学表达,体会导数的内涵与思想.
◆ 知识点 导数的概念
1.平均变化率:设函数y=f(x),当自变量x从x0变到x1时,函数值y从f(x0)变到f(x1),函数值y关于x的平均变化率为= .
2.导数的概念:当x1趋于x0,即Δx趋于0时,如果平均变化率趋于一个固定的值,那么这个值就是函数y=f(x)在点x0的瞬时变化率.在数学中,称瞬时变化率为函数y=f(x)在点x0处的导数,通常用符号f'(x0)表示,记作f'(x0)== .
【诊断分析】 1.判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数y=sin x在区间,上的平均变化率相等. ( )
(2)函数f(x)在x=x0处的导数与Δx有关. ( )
(3)函数f(x)在x=x0处的导数f'(x0)是一个常数. ( )
2.导数可以反映函数变化的什么特征
◆ 探究点一 导数的概念
例1 已知函数y=f(x),若f'(x0)=-3,则等于 ( )
A.-3 B.-6
C.-9 D.-12
变式 [2023·江西萍乡高二期末] 已知函数f(x)在x=x0处可导,若=1,则f'(x0)=( )
A.1 B.-4
C.- D.-1
[素养小结]
1.在理解导数的概念时,应注意自变量的改变量Δx可正可负,但不可为0.
2.f'(x0)==,即Δx=x-x0.
◆ 探究点二 求函数在某点处的导数
例2 求函数y=x+在x=1处的导数.
变式 函数y=(2x-1)2在x=3处的导数是 .
[素养小结]
利用导数的定义求导数的步骤:
(1)求函数值的改变量Δy=f(x0+Δx)-f(x0);
(2)求平均变化率=;
(3)求极限.
拓展 设f(x)=ax3+2,若f'(-1)=3,则实数a=( )
A.-1 B.
C.1 D.
◆ 探究点三 导数在实际问题中的意义
例3 将原油精炼为汽油、柴油等各种不同产品,需要对原油进行冷却和加热.已知某厂在精炼过程中第x小时的原油温度(单位:℃)为f(x)=x2-7x+15(0≤x≤8),求f'(2)和f'(6),并说明它们的实际意义.
变式 某水管的流水量y(单位:m3)与时间t(单位:s)之间满足函数关系y=f(t),其中f(t)=3t.
(1)求f(t)在t=a处的导数f'(a).
(2)f'(a)的实际意义是什么
(3)随着a取值的变化,f'(a)是否发生变化 为什么
[素养小结]
导数是函数在某一点的瞬时变化率,是函数值在这一点附近增加或减小的大小.§2 导数的概念及其几何意义
2.1 导数的概念
一、选择题
1.若函数f(x)在x=x0处可导,则的结果 ( )
A.与x0,h均无关
B.仅与x0有关,而与h无关
C.仅与h有关,而与x0无关
D.与x0,h均有关
2.[2024·黑龙江饶河高级中学高二期末] 已知f'(x0)=3,的值是 ( )
A.3 B.1
C.2 D.
3.已知f'(x0)=m,则=( )
A.m B.m
C.2m D.4m
4.已知物体做直线运动,经过时间t(单位:s)该物体的位移为s(单位:m),s=s(t),则s'(4)=10表示的意义是 ( )
A.经过4 s后物体向前走了10 m
B.物体在前4 s内的平均速度为10 m/s
C.物体在第4 s内向前走了10 m
D.物体在t=4 s时的瞬时速度为10 m/s
5.一个小球从5米的高处自由下落,其运动方程为y(t)=-4.9t2,则t=1秒时小球的瞬时速度为( )
A.-9.8米/秒
B.-4.9米/秒
C.9.8米/秒
D.4.9米/秒
6.函数y=2在x=3处的瞬时变化率为 ( )
A. B.
C.2 D.
7.(多选题)设f(x)在x=x0处可导,则下列式子中与f'(x0)相等的是 ( )
A.
B.
C.
D.
8.(多选题)在高台跳水运动中,t s时运动员相对于水面的高度(单位:m)是h(t)=-4.9t2+6.5t+10,则下列说法正确的是 ( )
A.运动员在t=1 s时的瞬时速度是3.3 m/s
B. 运动员在t=1 s时的瞬时速度是-3.3 m/s
C. 运动员在t=1 s附近以3.3 m/s的速度上升
D. 运动员在t=1 s附近以3.3 m/s的速度下降
二、填空题
9.已知f(x)=,则 的值是 .
10.已知函数f(x)=2x2+1在x=x0处的瞬时变化率为-8,则f(x0)= .
11.设函数f(x)=ax+3,若f'(1)=3,则a=.
12.某正方形铁板(厚度忽略不计)在0 ℃时,边长为10 cm.当温度在很小范围内变化时,由于热胀冷缩,铁板的边长也会发生变化,而且已知温度为t ℃时正方形铁板的边长为10(1+at)cm,其中a为常数,设此时正方形铁板的面积为S cm2,且S=f(t),则0 ℃时,铁板面积的瞬时膨胀率为 cm2/℃.
三、解答题
13.已知f(x)=x2+3.
(1)求f(x)在x=1处的导数;
(2)求f(x)在x=a处的导数.
14.蜥蜴的体温与阳光的照射有关,已知关系式为T(t)=+15,其中T(t)为体温(单位:℃),t为太阳落山后的时间(单位:min).
(1)在0 min到10 min这段时间内,蜥蜴的体温的平均变化率是多少 它表示什么实际意义
(2)求T'(5),并解释它的实际意义.
15.若可导函数f(x)的图象过原点,且满足=-1,则f'(0)= ( )
A.-2 B.-1
C.1 D.2
16.通过某导体横截面的电量q(单位:C)关于时间t(单位:s)的函数关系式为q(t)=2t2+3t.
(1)求1 s到5 s这段时间内,电量q的平均变化率,并解释它的实际意义;
(2)求q'(5),并解释它的实际意义.(共20张PPT)
2.1 导数的概念
探究点一 导数的概念
探究点二 求函数在某点处的导数
探究点三 导数在实际问题中的意义
【学习目标】
了解导数概念的实际背景,知道导数是关于瞬时变化率的数学表达,体会导数
的内涵与思想.
知识点 导数的概念
1.平均变化率:设函数,当自变量从变到时，函数值从 变到
，函数值关于的平均变化率为 _ _______________________.
2.导数的概念:当趋于，即 趋于0时,如果平均变化率趋于一个固定的值，
那么这个值就是函数在点 的瞬时变化率.在数学中，称瞬时变化率为
函数在点处的导数,通常用符号 表示，记作
_________________.
【诊断分析】
1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）函数在区间,上的平均变化率相等.( )
×
（2）函数在处的导数与 有关.( )
×
（3）函数在处的导数 是一个常数.( )
√
2.导数可以反映函数变化的什么特征
解：导数可以反映函数在一点处变化的快慢程度.
探究点一 导数的概念
例1 已知函数，若，则 等于( )
D
A. B. C. D.
[解析]
.
故选D.
变式 [2023·江西萍乡高二期末] 已知函数在 处可导，若
，则 ( )
C
A.1 B. C. D.
[解析] 由已知得 ，
所以 .故选C.
［素养小结］
1.在理解导数的概念时，应注意自变量的改变量 可正可负，但不可为0.
2.,即 .
探究点二 求函数在某点处的导数
例2 求函数在 处的导数.
解：因为,所以 ,
所以,即函数在 处的导数为0.
变式 函数在 处的导数是____.
20
[解析] 依题意， ，
则 ，
所以函数在 处的导数是20.
［素养小结］
利用导数的定义求导数的步骤:
（1）求函数值的改变量 ;
（2）求平均变化率 ;
（3）求极限 .
拓展 设,若,则实数 ( )
C
A. B. C.1 D.
[解析] 因为,所以 ,解
得 .
探究点三 导数在实际问题中的意义
例3 将原油精炼为汽油、柴油等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热.
已知某厂在精炼过程中第小时的原油温度（单位： ）为
,求和 ，并说明它们的实际意义.
解：
/时，其实际意义表示当时原油温度的瞬时变化率，即原油温度的瞬时变化速度.
也就是说，在第2小时附近，原油温度大约以每小时 的速率下降.
/时，其实际意义表示当 时原油温度的瞬时变化率，即原油温度的瞬时变化速度.
也就是说，在第6小时附近，原油温度大约以每小时 的速率上升.
变式 某水管的流水量（单位：）与时间（单位： ）之间满足函数关系
，其中 ．
（1）求在处的导数 .
解： .
（2） 的实际意义是什么？
解：的实际意义表示当 时水量的瞬时变化率，即水流的瞬时速度.
也就是说如果水管中的水以时的瞬时速度流动，每经过 ，水管中流过的
水量为 .
（3）随着取值的变化， 是否发生变化？为什么？
解：随着取值的变化，不发生变化，这是因为 是常数函数.
［素养小结］
导数是函数在某一点的瞬时变化率,是函数值在这一点附近增加或减小的大小.
对于导数的概念的理解
（1） 函数在处的导数即为函数在 处的瞬时变化率;
（2）当趋于0时,若比值的极限存在,则函数在处可导;若比值 的
极限不存在,则函数在 处不可导;
（3）自变量的增量可正可负,但不为0,函数值的增量 可正可负,也可以为0;
（4）函数应在及其附近有意义,否则函数在 处的导数不存在.
例1 [2024·江西全南中学高二期末]已知函数 ，则
( )
D
A. B. C.9 D.12
[解析] ，故选D.
例2 用导数的定义求函数在 处的导数.
解：
，
所以，
当趋于0时，趋于 ，故函数在处的导数为 ．
例3 一杯的热红茶置于室温为 的房间里,红茶的温度会逐渐下降,温度
（单位:）与时间（单位:）之间的关系由函数 给出.
（1） 是正数还是负数 有什么实际意义
解：的意义为在第时红茶的温度的瞬时变化率,所以 为负数,说明
在第 时红茶的温度降低.
（2） 的实际意义是什么
解：的实际意义是在第时红茶的温度以 的速度下降.
