2.2 导数的几何意义
【课前预习】
知识点一
1.斜率 割线 2.切线 相切 斜率
知识点二
斜率 y-f(x0)=f'(x0)(x-x0)
诊断分析
(1)× (2)× (3)√ (4)×
【课中探究】
探究点一
例1 (1)B (2)A [解析] (1)设f(x)=x2,则=f'(1),根据导数的几何意义知f'(1)表示曲线y=f(x),即曲线y=x2在点(1,1)处切线的斜率,故选B.
(2)由函数f(x)的图象可知,f(x)的图象在点(1,f(1)),(2,f(2)),(3,f(3))处切线的倾斜角都是锐角,∴切线的斜率均大于0,∴f'(1)>0,f'(2)>0,f'(3)>0,
又f(x)的图象在点(1,f(1)),(2,f(2)),(3,f(3))处切线的倾斜角依次减小,∴切线的斜率依次减小,
∴f'(1)>f'(2)>f'(3)>0.故选A.
变式 B [解析] 由题图可知,=a表示点(1,f(1))与点(2,f(2))连线的斜率,f'(1),f'(2)分别表示曲线y=f(x)在x=1和x=2处的切线的斜率.观察图象,曲线y=f(x)的切线斜率在1≤x≤2时随着x的增大而增大,根据导数的几何意义,可得f'(1)
探究点二
例2 解:(1)kPQ====4+2Δx,从而割线PQ的斜率为4+2Δx.
(2)(4+2Δx)=4,所以函数f(x)的图象在点P处切线的斜率为4.
变式 (1)2 (2)135° [解析] (1)Δy=(x+Δx)2+2(x+Δx)-x2-2x=x·Δx+(Δx)2+2Δx,所以=x+Δx+2,所以=x+2.当x=x0时,=x0+2.由已知得,x0+2=4,所以x0=2.
(2)f'(1)====-1,即函数f(x)的图象在点(1,1)处的切线的斜率为-1,所以该切线的倾斜角α=135°.
探究点三
探索 解:对于曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线,点(x0,f(x0))一定是切点;而对于曲线y=f(x)过点(x0,y0)的切线,点(x0,y0)不一定在曲线上,即使在曲线上也不一定是切点.
例3 解:(1)设B(1+Δx,3(1+Δx)2-(1+Δx))为曲线y=3x2-x上一点,则kAB==5+3Δx,
当Δx无限趋于0时,5+3Δx无限趋于5,
所以曲线y=3x2-x在点A(1,2)处的切线斜率是5,
切线方程为y-2=5(x-1),即5x-y-3=0.
(2)由题可知,==[2-3x2-3xΔx-(Δx)2]=2-3x2.
设切点坐标为(x0,2x0-),则切线斜率为2-3,切线方程为y-2x0+=(2-3)(x-x0),因为切线过点(-1,-2),所以-2-2x0+=(2-3)(-1-x0),
则2+3=0,解得x0=0或x0=-,所以切点坐标为(0,0)或.当切点坐标为(0,0)时,切线的斜率为2-3×02=2,切线方程为y=2x,即2x-y=0;当切点坐标为时,切线的斜率为2-3×=-,
切线方程为y+2=-(x+1),即19x+4y+27=0.
综上可知,过点(-1,-2)且与曲线y=2x-x3相切的直线方程为2x-y=0或19x+4y+27=0.
变式 AD [解析] 因为点A(1,2)在函数f(x)=ax3的图象上,所以a=2,则f(x)=2x3.设切点为P(x0,2),则f'(x0)===[6x0·Δx+6+2(Δx)2]=6,即切线的斜率k=6,所以曲线y=f(x)在点P处的切线方程为y-2=6(x-x0),即y=6x-4.因为点A(1,2)在切线上,所以2=6-4, 即2(x0-1)-(-1)=(x0-1)2(2x0+1)=0,解得x0=1或x0=-.当x0=1时,切线方程为6x-y-4=0;当x0=-时,切线方程为3x-2y+1=0.故选AD.2.2 导数的几何意义
1.D [解析] 对于A,曲线的切线和曲线除有一个公共切点外,还可能有其他的公共点,故A错误;对于B,过曲线上的一点作曲线的切线,因为曲线的切线和曲线除有一个公共切点外,还可能有其他的公共点,所以这个点不一定是切点,故B错误;对于C,f'(x0)不存在,说明曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处切线的斜率不存在,但切线可能存在,故C错误;对于D,曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处有切线,但切线斜率可能不存在,所以f'(x0)不一定存在,故D正确.故选D.
2.C [解析] 因为曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程为2x+y+1=0,所以f'(x0)=-2<0,故选C.
3.D [解析] ∵y=2x3,∴y'===[2(Δx)2+6xΔx+6x2]=6x2,∴当x=2时,y'=24,即曲线y=2x3在点(2,16)处的切线的斜率是24.故选D.
4.B [解析] 由题意得,曲线y=f(x)与l的切点为(0,1),所以切线l的方程为y-1=f'(0)(x-0),即y=f'(0)x+1,又l过点(1,0),所以f'(0)=-1.结合题中图象知,曲线y=f(x)在x=-1处的切线斜率等于0,所以f'(-1)=0,所以f'(0)+f'(-1)=-1.故选B.
5.B [解析] 由题中图可知函数f(x)的图象在A点处的切线斜率小于0,即f'(x1)<0,在B点处的切线斜率等于0,即f'(x2)=0,在C点处的切线斜率大于0,即f'(x3)>0,所以f'(x3)>f'(x2)>f'(x1).故选B.
6.A [解析] 由题意得,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率为f'(1)==·=-1,故选A.
7.AB [解析] 由图象可知,对任意的t1∈(0,t0),曲线W=W1(t)在t=t1处的切线比曲线W=W2(t)在t=t1处的切线要“陡”,所以甲校比乙校的节能效果好,A正确,C错误;由图象可知,<,则甲校的用电量在[0,t0]上的平均变化率比乙校的用电量在[0,t0]上的平均变化率小,B正确;当t∈[0,t0)时,曲线W=W1(t)和曲线W=W1(t)无交点,D错误.故选AB.
8.ABC [解析] ∵直线y=kx-7与曲线y=x3+ax2+b相切于点A(2,1),∴点A(2,1)在直线y=kx-7上,可得k=4.令f(x)=x3+ax2+b,∵==(Δx)2+(6+a)Δx+12+4a,∴f'(2)==12+4a,∴12+4a=4,解得a=-2,即f(x)=x3-2x2+b.∵曲线y=f(x)过点A(2,1),∴f(2)=23-2×22+b=1,解得b=1,∴kab=-8.故选ABC.
9.120° [解析] ∵==-1,∴=-,即f'(1)=-.∴曲线y=f(x)在点(1,f(1))处切线的斜率k=f'(1)=-,故所求切线的倾斜角为120°.
10.2x+y-6=0 [解析] ∵===-2,∴函数f(x)在x=2处的切线斜率k=-2,
又∵f(2)=2,∴切线过点(2,2),∴所求切线方程为y-2=-2(x-2),即2x+y-6=0.
11.4 [解析] =
=2x-1,因为P(-2,6+c),所以曲线y=x2-x+c在点P处切线的斜率为2×(-2)-1=-5.又切线过坐标原点,所以-=-5,解得c=4.
12. [解析] 设点P(x0,y0),则曲线C在点P处切线的斜率为==(2x0+2+Δx)=2x0+2.又切线斜率的取值范围为[0,1],所以0≤2x0+2≤1,解得-1≤x0≤-.
13.解:(1)∵Δy=2+Δx+-=+Δx,∴=+=+1.当Δx无限趋于0时,无限趋于,即曲线在点A处的切线的斜率是.
(2)曲线在点A处的切线方程为y-=(x-2),即3x-4y+4=0.
14.解:因为===3xΔx+3x2+(Δx)2,所以=3x2.
设过点M(1,1)的直线与曲线y=x3+1相切于点P(x0,+1),则曲线y=x3+1在点P处的切线的斜率k=3,因为切线过点M(1,1)与点P,所以k=,所以3=,解得x0=0或x0=,所以k=0或k=.因此过点M(1,1)且与曲线y=x3+1相切的直线方程为y-1=(x-1)或y=1,即27x-4y-23=0或y-1=0.
15.B [解析] 连接AB,分别过点A,B作曲线y=f(x)的切线l1,l2,且设l1,l2的斜率分别为k1,k2,如图所示,由图可知k1故f'(2)<16.解:==2x+Δx,则=(2x+Δx)=2x.假设存在实数a满足题意,设切点为P(x0,y0),则曲线在点P处的切线的斜率k=2x0,切线方程为y-y0=2x0(x-x0).因为切线过点(1,a),且y0=+1,所以a-(+1)=2x0(1-x0),即-2x0+a-1=0.因为切线有两条,所以Δ=(-2)2-4(a-1)>0,解得a<2,故存在实数a,使得过点(1,a)能够作出该曲线的两条切线,且a的取值范围是(-∞,2).2.2 导数的几何意义
【学习目标】
通过函数图象直观理解导数的几何意义.
◆ 知识点一 曲线在某点处的割线与切线
1.割线的定义:
设函数y=f(x)的图象是一条光滑的曲线,且函数y=f(x)在区间[x0,x0+Δx]的平均变化率为,如图①,它是经过A(x0,f(x0))和B(x0+Δx,f(x0+Δx))两点的直线的 .这条直线称为曲线y=f(x)在点A处的一条 .
2.切线与割线的关系:
如图②,设函数y=f(x)的图象是一条光滑的曲线,从图象上可以看出:当Δx取不同的值时,可以得到不同的割线;当Δx趋于0时,点B将沿着曲线y=f(x)趋于点A,割线AB将绕点A转动趋于直线l,称直线l为曲线y=f(x)在点A处的 ,或称直线l和曲线y=f(x)在点A处 .该切线的 就是函数y=f(x)在x0处的导数f'(x0).
◆ 知识点二 导数的几何意义
函数y=f(x)在x0处的导数f'(x0)是曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线的 ,切线方程为 .
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若直线与曲线相切,则直线与曲线只有一个交点. ( )
(2)已知函数f(x)=-x2,若曲线y=f(x)在点P处的切线的斜率为-2,则点P的坐标为(2,-4). ( )
(3)若f'(x0)>0,则切线的倾斜角为锐角;若f'(x0)<0,则切线的倾斜角为钝角;若f'(x0)=0,则切线与x轴平行或重合. ( )
(4)由导数的几何意义可知,函数变化越快,导数值越大. ( )
◆ 探究点一 导数的几何意义
例1 (1)表示 ( )
A.曲线y=x2的切线的斜率
B.曲线y=x2在点(1,1)处切线的斜率
C.曲线y=-x2的切线的斜率
D.曲线y=-x2在点(1,-1)处切线的斜率
(2)函数f(x)的图象如图所示,则下列结论正确的是 ( )
A.f'(1)>f'(2)>f'(3)>0
B.f'(1)C.0D.f'(1)>f'(2)>0>f'(3)
变式 已知函数f(x)在R上可导,其部分图象如图所示,设=a,则下列不等式正确的是 ( )
A.f'(1)B.f'(1)C.f'(2)D.a[素养小结]
导数f'(x0)的几何意义就是曲线y=f(x)在x=x0处的切线的斜率,因此比较导数大小的问题可以转化为比较切线的斜率大小,数形结合来解决.
◆ 探究点二 求切线的斜率
例2 已知函数f(x)=2x2-1的图象上一点P(1,1)及邻近一点Q(1+Δx,f(1+Δx)).求:
(1)割线PQ的斜率;
(2)函数f(x)的图象在点P处切线的斜率.
变式 (1)已知曲线y=x2+2x在点P处的切线的斜率是4,则x0的值为 .
(2)函数f(x)=的图象在点(1,1)处的切线的倾斜角的大小为 .
[素养小结]
(1)求曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率,即求函数f(x)在x=x0处的导数;
(2)直线倾斜角的取值范围为[0,π).
◆ 探究点三 求切线方程
[探索] 曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线与曲线y=f(x)过点(x0,y0)的切线有何不同
例3 (1)已知曲线y=3x2-x,求曲线在点A(1,2)处的切线的斜率及切线方程.
(2)求过点(-1,-2)且与曲线y=2x-x3相切的直线方程.
变式 (多选题)已知点A(1,2)在函数f(x)=ax3的图象上,则过点A的曲线y=f(x)的切线方程可能是 ( )
A.6x-y-4=0 B.x-4y+7=0 C.4x-y+7=0 D.3x-2y+1=0
[素养小结]
1.求曲线y=f(x)在点P(x0,y0)处的切线方程的步骤:
(1)求函数y=f(x)在x=x0处的导数f'(x0),即求曲线y=f(x)在点P(x0,y0)处切线的斜率;
(2)写出切线方程,切线方程为y=f'(x0)(x-x0)+y0.
2.求曲线y=f(x)过点P(x0,y0)的切线方程的步骤:
(1)设切点为A(xA,f(xA)),求切线的斜率k=f'(xA),写出切线方程(含参);
(2)把点P(x0,y0)的坐标代入切线方程,建立关于xA的方程,解得xA的值,即可得出切线方程.
注意:要检验直线x=x0是否符合题意.2.2 导数的几何意义
一、选择题
1.下列说法正确的是 ( )
A.曲线的切线和曲线有且只有一个交点
B.过曲线上的一点作曲线的切线,这点一定是切点
C.若f'(x0)不存在,则曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处无切线
D.若曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处有切线,则f'(x0)不一定存在
2.若曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程为2x+y+1=0,则 ( )
A.f'(x0)>0
B.f'(x0)=0
C.f'(x0)<0
D.f'(x0)不存在
3.曲线y=2x3在点(2,16)处的切线的斜率为( )
A.0 B.14 C.4 D.24
4.曲线y=f(x)在x=0处的切线l经过点(1,0),如图所示,则f'(0)+f'(-1)= ( )
A.0 B.-1 C.1 D.2
5.已知函数f(x)的部分图象如图所示,其中A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2)),C(x3,f(x3))为该图象上三个不同的点,则下列结论正确的是( )
A.f'(x1)>f'(x2)>f'(x3)
B.f'(x3)>f'(x2)>f'(x1)
C.f'(x3)>f'(x1)>f'(x2)
D.f'(x1)>f'(x3)>f'(x2)
6.设函数f(x)在R上可导,且满足=-2,则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率为 ( )
A.-1 B.-2 C.1 D.2
7.(多选题)甲、乙两校开展节能活动,活动开始后,甲、乙两校的用电量W1(t),W2(t)与时间t(单位:天)的关系如图所示,则一定有( )
A.甲校比乙校的节能效果好
B.甲校的用电量在[0,t0]上的平均变化率比乙校的用电量在[0,t0]上的平均变化率小
C.两个学校的节能效果一样好
D.甲校与乙校自节能以来用电量总是一样大
8.(多选题)直线y=kx-7与曲线y=x3+ax2+b相切于点A(2,1),则下列结论正确的是 ( )
A.k=4 B.a=-2
C.b=1 D.kab=8
二、填空题
9.设函数y=f(x)为可导函数,且满足=-1,则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处切线的倾斜角为 .
10.[2023·陕西西安高二期末] 已知函数y=f(x)为可导函数,且满足=-2,f(2)=2,则f(x)的图象在(2,f(2))处的切线方程为 .
11.若曲线y=x2-x+c上一点P的横坐标是-2,该曲线在点P处的切线恰好过坐标原点,则实数c的值为 .
12.设P为曲线C:y=x2+2x+3上的点,且曲线C在点P处的切线斜率的取值范围是[0,1],则点P横坐标的取值范围为 .
三、解答题
13.已知曲线y=x+上的一点A,用切线斜率的定义求:
(1)曲线在点A处的切线的斜率;
(2)曲线在点A处的切线方程.
14.试求过点M(1,1)且与曲线y=x3+1相切的直线方程.
15.函数y=f(x)的图象如图所示,f'(x)是函数f(x)的导函数,则下列大小关系正确的是( )
A.2f'(4)B.2f'(2)C.2f'(4)<2f'(2)D.f(4)-f(2)<2f'(4)<2f'(2)
16.已知曲线y=x2+1,是否存在实数a,使得过点(1,a)能够作出该曲线的两条切线 若存在,求出实数a的取值范围;若不存在,请说明理由.(共28张PPT)
2.2 导数的几何意义
探究点一 导数的几何意义
探究点二 求切线的斜率
探究点三 求切线方程
【学习目标】
通过函数图象直观理解导数的几何意义.
知识点一 曲线在某点处的割线与切线
1.割线的定义：
设函数 的图象是一条光滑的曲线，且函数
在区间的平均变化率为 ，如图①，
它是经过和 两点的
直线的______.这条直线称为曲线在点 处的一条
______.
斜率
割线
2.切线与割线的关系：
如图②,设函数 的图象是一条光滑的曲线，从图象
上可以看出：当 取不同的值时，可以得到不同的割线；
当趋于0时，点将沿着曲线趋于点,割线
将绕点转动趋于直线,称直线为曲线在点 处的
______，或称直线和曲线在点 处______.该切线
的______就是函数在处的导数 .
切线
相切
斜率
知识点二 导数的几何意义
函数在处的导数是曲线在点 处的切线的
______,切线方程为_________________________.
斜率
【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）若直线与曲线相切,则直线与曲线只有一个交点.( )
×
（2）已知函数,若曲线在点处的切线的斜率为,则点
的坐标为 .( )
×
（3）若,则切线的倾斜角为锐角;若 ,则切线的倾斜角为钝
角;若,则切线与 轴平行或重合.( )
√
（4）由导数的几何意义可知,函数变化越快,导数值越大.( )
×
探究点一 导数的几何意义
例1（1） 表示( )
B
A.曲线 的切线的斜率
B.曲线在点 处切线的斜率
C.曲线 的切线的斜率
D.曲线在点 处切线的斜率
[解析] 设，则，根据导数的几何意义知 表
示曲线，即曲线在点 处切线的斜率，故选B.
（2）函数 的图象如图所示，则下列结论正确的是( )
A
A. B.
C. D.
[解析] 由函数的图象可知，的图象在点，，
处切线的倾斜角都是锐角， 切线的斜率均大于0,， ，
，
又的图象在点，，处切线的倾斜角依次减小，
切线的斜率依次减小， .故选A.
变式 已知函数在 上可导，其部分图象如图所示，
设 ，则下列不等式正确的是( )
B
A. B.
C. D.
[解析] 由题图可知，表示点与点 连线的斜率，
,分别表示曲线在和 处的切线的斜率.观察图象，
曲线的切线斜率在时随着 的增大而增大，
根据导数的几何意义，可得 ，故选B.
［素养小结］
导数的几何意义就是曲线在 处的切线的斜率,因此比较导数
大小的问题可以转化为比较切线的斜率大小,数形结合来解决.
探究点二 求切线的斜率
例2 已知函数的图象上一点 及邻近一点
.求：
（1）割线 的斜率;
解：，从而割线 的斜
率为 .
（2）函数的图象在点 处切线的斜率.
解：，所以函数的图象在点 处切线的斜率为4.
变式（1） 已知曲线在点 处的切线的斜率是4，
则 的值为___.
2
[解析] ，
所以，所以.当时， .
由已知得，，所以 .
（2）函数的图象在点 处的切线的倾斜角的大小为______.
[解析] ，
即函数的图象在点处的切线的斜率为，所以该切线的倾斜角 .
［素养小结］
（1）求曲线在点处的切线的斜率，即求函数在
处的导数；
（2）直线倾斜角的取值范围为 .
探究点三 求切线方程
［探索］ 曲线在点处的切线与曲线过点
的切线有何不同
解：对于曲线在点处的切线,点 一定是切点;
而对于曲线过点的切线,点 不一定在曲线上,
即使在曲线上也不一定是切点.
例3（1） 已知曲线，求曲线在点 处的切线的斜率及切线方程.
解：设为曲线 上一点，
则 ，
当无限趋于0时， 无限趋于5，
所以曲线在点 处的切线斜率是5，
切线方程为，即 .
（2）求过点且与曲线 相切的直线方程.
解：由题可知，
.
设切点坐标为,则切线斜率为 ，切线方程为
,
因为切线过点 ,所以 ,
则,解得或,所以切点坐标为或 .
当切点坐标为时,切线的斜率为,切线方程为，
即 ;
当切点坐标为时,切线的斜率为 ,
切线方程为,即 .
综上可知,过点且与曲线相切的直线方程为 或
.
变式 （多选题）已知点在函数的图象上,则过点 的曲线
的切线方程可能是( )
AD
A. B.
C. D.
[解析] 因为点在函数的图象上,所以,则 .
设切点为 ,则
,即切线的斜率,
所以曲线在点 处的切线方程为,
即.
因为点 在切线上,所以,
即,解得 或.
当时，切线方程为；
当 时，切线方程为.故选 .
［素养小结］
1.求曲线在点 处的切线方程的步骤:
（1）求函数在处的导数,即求曲线在点
处切线的斜率;
（2）写出切线方程,切线方程为 .
2.求曲线过点 的切线方程的步骤:
（1）设切点为,求切线的斜率 ,写出切线方程（含参）;
（2）把点的坐标代入切线方程,建立关于的方程,解得 的值,即可得
出切线方程.
注意:要检验直线 是否符合题意.
1.割线斜率与切线斜率的几何意义
由函数的图象（如图）可知,的几何意义是函数
图象上的两点, 所在直线的斜率.割线斜率可以看作是曲
线陡峭程度的“数量化”,曲线陡峭程度是割线斜率的“视觉化”,利用割线斜率可以
刻画变量平均变化的趋势和快慢程度,但效果是“粗糙不精确的”,只有当
无限变小，即割线斜率逐渐转化为切线斜率时,这种量化才由“粗糙”
逐渐变得“精确”.
2.函数在处的导数的几何意义是曲线在点 处的
切线的斜率,也就是说,曲线在点处的切线的斜率是 .相
应地,切线方程为.若函数在 处的导数不存
在,则说明切线的斜率不存在.
3.切点问题的处理方法
（1）借斜率先求横坐标:由条件得到直线的倾斜角或斜率,由这些信息求出点的
横坐标.
（2）与几何知识相联系:解决这些问题要注意和解析几何的知识联系起来,如直
线的倾斜角和斜率的关系,两直线平行或垂直与斜率之间的关系等.
例1 已知，为曲线上的点，且曲线在点 处
的切线的倾斜角的取值范围为,，则点 的横坐标的取值范围为( )
D
A. , B. C. D.,
[解析] 设点的横坐标为，则曲线C在点处的切线的倾斜角 与 的关系为
，即
, ，，，即，
点 的横坐标的取值范围为, ．故选D.
例2 函数的图象在点 处的切线的倾斜角为( )
C
A. B. C. D.
[解析] ，
且切线的倾斜角的取值范围为 ，
所求切线的倾斜角为 ．故选C.
例3 （多选题）已知曲线在点处的切线平行于直线 ，那
么点 的坐标可能为( )
BC
A. B. C. D.
[解析] 设，则函数在 处的导数为
，
令，解得 ，
又, ，
所以点的坐标为或．故选 .