§3 导数的计算
【课前预习】
知识点一
f'(x)= 导函数 y'
诊断分析
解:f'(x)与f'(x0)不相同.f'(x)是函数f(x)的导函数,f'(x0)是函数f(x)在x=x0处的导数值,是函数f'(x)在x=x0时的函数值.
知识点二
1.0 2.αxα-1 3.cos x 4.-sin x 5.
6.axln a ex 7.
诊断分析
(1)√ (2)× (3)× (4)× (5)×
【课中探究】
探究点一
例1 解:(1)设y=f(x),∵Δy=f(x+Δx)-f(x)=(Δx)2+2x·Δx-Δx,∴=2x+Δx-.
∴f'(x)==2x-.
(2)f'(1)=2×1-=.
变式 解:(1)根据定义可知f'(x)===0=0.
(2)根据定义可知f'(x)===1=1.
(3)根据定义可知f'(x)===[3x2+3xΔx+(Δx)2]=3x2.
(4)根据定义可知f'(x)====-.
(5)根据定义可知f'(x)====
=.
探究点二
例2 解:(1)因为y=x0=1,所以y'=0.
(2)因为y=,所以y'=ln =-ln 2.
(3)因为y== ,所以y'==.
(4)因为y=1-2sin2=cos x,所以y'=-sin x.
(5)因为y=x,所以y'==.
变式 (1)-1 (2)- [解析] (1)由题可得f'(x)=-sin x,所以f+f'=cos-sin=-1.
(2)由题意可得y'=,∴曲线y=ln x在点(2,ln 2)处的切线的斜率为,又该切线与直线ax+y+1=0平行,∴a=-.
拓展 -1 [解析] 由题意得y'=ex,令y'=1得x=0,故切点坐标为(0,1),切线方程为y=x+1.因为该切线过点(a,0),所以0=a+1,得a=-1.§3 导数的计算
1.D [解析] (sin x)'=cos x,A选项错误;'=-,B选项错误;(ax)'=axln a(其中a>0,a≠1),C选项错误;()'=,D选项正确.故选D.
2.B [解析] 由题意得,f'(x)=,故f'(e)=.故选B.
3.C [解析] 因为f(x)=sin x,所以f'(x)=cos x,所以f'(1)=cos 1,[f(1)]'=(sin 1)'=0,故选C.
4.B [解析] 设点A的坐标为(x0,y0).由题可知y'=ex,因为曲线y=ex在点A处的切线与直线x+ey-1=0垂直,所以当x=x0时,y'=e,即=e,所以x0=1,则y0=e,所以点A的坐标为(1,e).故选B.
5.A [解析] 由y=x2+ax+b及导数的定义可求得y'=2x+a,因为曲线y=x2+ax+b在点(0,b)处的切线方程为x-y+1=0,所以当x=0时,y'=a=1.又点(0,b)在直线x-y+1=0上,所以b=1,故a+b=2.故选A.
6.B [解析] 在(x2)'=2x中,函数y=x2为偶函数,导函数y'=2x为奇函数;在(x4)'=4x3中,函数y=x4为偶函数,导函数y'=4x3为奇函数;在(cos x)'=-sin x中,函数y=cos x为偶函数,导函数y'=-sin x为奇函数.由上述分析,我们可以推断,偶函数的导函数为奇函数.若定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=f(x),则函数f(x)为偶函数,又g(x)为f(x)的导函数,所以g(x)为奇函数,故g(-x)=-g(x).故选B.
7.AD [解析] (x)'=x1-1=1, A正确;(sin 2)'=0,B错误;'=(x-2)'=-2x-3=-,C错误;(ln x)'=,D正确.故选AD.
8.ABD [解析] 对于A,函数y=的导数为y'=-,令y'=-1,可得-=-1,解得x=±1,故函数y=的图象与直线y=-x+b可能相切.对于B,函数y=sin x的导数为y'=cos x,令y'=-1,可得cos x=-1,解得x=2kπ+π(k∈Z),故函数y=sin x的图象与直线y=-x+b可能相切.对于C,函数y=ln x的定义域为(0,+∞),导数为y'=,令y'=-1,可得=-1,该方程在(0,+∞)上无解,故函数y=ln x的图象与直线y=-x+b不可能相切.对于D,函数y=x2的导数为y'=2x,令y'=-1,可得2x=-1,解得x=-,故函数y=x2的图象与直线y=-x+b可能相切.故选 ABD.
9.-1 [解析] 由题意得f'(x)=-sin x,则=f'=-sin =-1.
10. [解析] 因为y'=,所以曲线y=log2x在点(1,0)处的切线斜率为,所以切线方程为y=(x-1),则切线与两坐标轴交点的坐标分别为,(1,0),所以切线与坐标轴所围成的三角形的面积等于××1=.
11.3x-y-4=0 [解析] 因为f(4)=4α=8,所以α=log48=,则f(x)=,所以f'(x)=,所以曲线y=f(x)在点P处的切线的斜率为f'(4)=3,所以所求切线方程为y-8=3(x-4),即3x-y-4=0.
12.- [解析] 因为f1(x)=sin x,fn+1(x)=f'n(x),n∈N*,所以f2(x)=cos x,f3(x)=-sin x,f4(x)=-cos x,f5(x)=sin x,所以fn+4(x)=fn(x),故f2024(x)=f4(x)=-cos x,所以f2024=f4=-cos =-.
13.解:(1)y'=(x12)'=12x11.
(2)y'='=(x-4)'=-4x-5=-.
(3)y'=()'=()'= .
(4)y'=(3x)'=3xln 3 .
(5)y'=(log5x)'=.
(6) 因为y=sin=cos x,所以y'=-sin x.
14.解:(1)f'(x)=(x3)'=3x2.因为f'(1)=3,所以曲线C在点(1,1)处切线的斜率为3,切线方程为y-1=3(x-1),即y=3x-2.因为f'(0)=0,所以曲线C在点(0,0)处切线的斜率为0,切线方程为y=0.
(2)由得(x-1)2(x+2)=0,所以x=1或x=-2,所以点(1,1)与点(-2,-8)为切线y=3x-2与曲线C的公共点.故切线y=3x-2与曲线C除切点(1,1)外还有另一公共点(-2,-8).由得所以切线y=0与曲线C只有一个公共点(0,0),没有其他公共点.
15.B [解析] 设函数y=f(x)的图象上存在两点(x1,y1),(x2,y2),图象在这两点的切线的斜率分别为k1,k2,则由函数的特性P的定义知,k1·k2=f'(x1)·f'(x2)=-1.对于A,y'=3x2≥0恒成立,则k1·k2=3·3≠-1,故A不符合题意;对于B,y'=cos x,则k1·k2=cos x1·cos x2,因为cos x∈[-1,1],所以存在x1,x2满足cos x1·cos x2=-1,故B符合题意;对于C,y'=ex>0恒成立,则k1·k2=·≠-1,故C不符合题意;对于D,函数y=ln x的定义域为(0,+∞),所以y'=>0恒成立,则k1·k2=·≠-1,故D不符合题意.故选B.
16.解:对于y=x3,y'=3x2,设过点(1,0)的直线与曲线y=x3相切于点(x0,),所以切线方程为y-=3(x-x0),即y=3x-2,又点(1,0)在切线上,所以x0=0或x0=.当x0=0时,切线方程为y=0,由直线y=0与曲线y=ax2+x-9相切,联立方程可得ax2+x-9=0,显然a≠0,则Δ=+4×9a=0,可得a=-.当x0=时,切线方程为y=x-,由直线y=x-与曲线y=ax2+x-9相切,联立方程可得ax2-3x-=0,显然a≠0,则Δ'=9+4×a=0,可得a=-1.综上,a的值为-或-1.§3 导数的计算
【学习目标】
能根据导数的定义求基本初等函数的导数.
◆ 知识点一 导函数的定义
一般地,如果一个函数y=f(x)在区间(a,b)的每一点x处都有导数 ,那么f'(x)是关于x的函数,称f'(x)为y=f(x)的 ,也简称为导数,有时也将导数记作 .
【诊断分析】 f'(x)与f'(x0)相同吗 它们之间有何关系
◆ 知识点二 基本初等函数的导数公式
1.若f(x)=c(c为常数),则f'(x)= .
2.若f(x)=xα(α∈R),则f'(x)= .
3.若f(x)=sin x,则f'(x)= .
4.若f(x)=cos x,则f'(x)= .
5.若f(x)=tan x,则f'(x)= .
6.若f(x)=ax(a>0,且a≠1),则f'(x)= ;
特别地,若f(x)=ex,则f'(x)= .
7.若f(x)=logax(a>0,且a≠1),则f'(x)= ;
特别地,若f(x)=ln x,则f'(x)= .
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若y=ex,则y'=ex. ( )
(2)(2x)'=2xlog2e. ( )
(3)已知y=cos,则y'='=-sin=-. ( )
(4)若y=,则y'=-. ( )
(5)若y=ln 2,则y'=. ( )
◆ 探究点一 定义法求函数的导数
例1 已知函数f(x)=x2-x.
(1)求f'(x);
(2)求f(x)在x=1处的导数.
变式 分别求出下列函数的导数:
(1)f(x)=C,其中C是常数;(2)f(x)=x;
(3)f(x)=x3;(4)f(x)=;
(5)f(x)=(x>0).
[素养小结]
利用定义求函数y=f(x)的导函数的一般步骤:
(1)确定函数y=f(x)在其对应区间上每一点处是否都有导数;
(2)计算Δy=f(x+Δx)-f(x);
(3)计算;
(4)当Δx趋于0时,得到导函数f'(x)=.
◆ 探究点二 利用公式求函数的导数
例2 用公式法求下列函数的导数:
(1)y=x0(x≠0);
(2) y=;
(3)y=(x>0);
(4) y=1-2sin2;
(5)y=x.
变式 (1)[2023·江西铜鼓中学高二期末] 已知函数f(x)=cos x,则f+f'= .
(2)已知曲线y=ln x在点(2,ln 2)处的切线与直线ax+y+1=0平行,则实数a的值为 .
[素养小结]
(1)求导时,一定要先对解析式进行化简,再求导.
(2)函数y=ln x,y=ex的导数公式是特例,可以帮助记忆一般的对数、指数函数的导数公式.
拓展 过点(a,0)作曲线y=ex的切线使之与直线y=x-2平行,则a= . §3 导数的计算
一、选择题
1.下列求导运算正确的是 ( )
A.(sin x)'=-cos x
B.'=ln x
C.(ax)'=xax-1(其中a>0,a≠1)
D.()'=
2.已知函数f(x)=ln x,则f'(e)= ( )
A.1 B. C.e D.-
3.已知f(x)=sin x,则f'(1)与[f(1)]'的值分别为 ( )
A.cos 1与cos 1 B.cos 1与sin 1
C.cos 1与0 D.0与cos 1
4.曲线y=ex在点A处的切线与直线x+ey-1=0垂直,则点A的坐标为 ( )
A.(-1,e-1) B.(1,e)
C.(0,1) D.(1,e-1)
5.[2023·北京北师大附中高二期中] 若曲线y=x2+ax+b在点(0,b)处的切线方程为x-y+1=0,则a+b= ( )
A.2 B.0 C.-1 D.-2
6.已知(x2)'=2x,(x4)'=4x3,(cos x)'=-sin x,由归纳推理可得:若定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=f(x),记g(x)为f(x)的导函数,则g(-x)= ( )
A.f(x) B.-g(x)
C.g(x) D.-f(x)
7.(多选题)[2023·江西吉安高二期末] 下列函数求导结果正确的有 ( )
A.(x)'=1
B.(sin 2)'=cos 2
C.'=
D.(ln x)'=
8.(多选题)下列函数的图象中,与直线y=-x+b可能相切的是( )
A.y= B.y=sin x
C.y=ln x D.y=x2
二、填空题
9.已知函数f(x)=cos x,则= .
10.曲线y=log2x在点(1,0)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积等于 .
11.若函数f(x)=xα的图象过点P(4,8),则曲线y=f(x)在点P处的切线方程为 .
12.已知函数f1(x)=sin x,fn+1(x)=f'n(x),n∈N*,则f2024= .
三、解答题
13.求下列函数的导数.
(1)y=x12;(2)y=;
(3)y=;(4)y=3x;
(5)y=log5x;(6) y=sin.
14.已知曲线C的方程为f(x)=x3.
(1)分别求该曲线在点(1,1),(0,0)处的切线方程.
(2)上述切线与曲线C是否还有其他的公共点 若有,求出公共点;若没有,说明理由.
15.设函数的特性P的定义为“函数的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直”,则下列函数中满足特性P的函数为( )
A.y=x3 B.y=sin x
C.y=ex D.y=ln x
16.若存在过点(1,0)的直线与曲线y=x3和曲线y=ax2+x-9都相切,求a的值.(共23张PPT)
§3 导数的计算
探究点一 定义法求函数的导数
探究点二 利用公式求函数的导数
【学习目标】
能根据导数的定义求基本初等函数的导数.
知识点一 导函数的定义
一般地，如果一个函数在区间的每一点 处都有导数
_______________________,那么是关于的函数，称为 的
________，也简称为导数，有时也将导数记作___.
导函数
【诊断分析】
与 相同吗 它们之间有何关系
解：与不相同.是函数的导函数,是函数在
处的导数值,是函数在 时的函数值.
知识点二 基本初等函数的导数公式
1.若（为常数）,则 ___.
2.若,则 _______.
3.若,则 ______.
4.若,则 _______.
0
5.若,则 ______.
6.若,且,则 _______；
特别地,若,则 ____.
7.若,且,则 _____;
特别地,若,则 __.
【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）若,则 .( )
√
（2） .( )
×
（3）已知,则 .( )
×
（4）若,则 .( )
×
（5）若,则 .( )
×
探究点一 定义法求函数的导数
例1 已知函数 .
（1）求 ；
解：设, ,
.
.
（2）求在 处的导数.
解： .
变式 分别求出下列函数的导数：
（1），其中 是常数；
解：根据定义可知 .
（2） ；
解：根据定义可知 .
（3） ；
解：根据定义可知
.
（4） ；
解：根据定义可知 .
（5） .
解：根据定义可知
.
［素养小结］
利用定义求函数 的导函数的一般步骤：
（1）确定函数 在其对应区间上每一点处是否都有导数；
（2）计算 ;
（3）计算 ；
（4）当趋于0时，得到导函数 .
探究点二 利用公式求函数的导数
例2 用公式法求下列函数的导数：
（1） ；
解：因为，所以 .
（2） ;
解：因为，所以 .
（3） ；
解：因为 ，所以 .
（4） ；
解：因为，所以 .
（5） .
解：因为，所以 .
变式（1） [2023·江西铜鼓中学高二期末] 已知函数 ，则
____.
[解析] 由题可得,所以 .
（2）已知曲线在点处的切线与直线 平行，则实
数 的值为____.
[解析] 由题意可得， 曲线在点处的切线的斜率为 ，
又该切线与直线平行， .
［素养小结］
（1）求导时，一定要先对解析式进行化简,再求导.
（2）函数, 的导数公式是特例,可以帮助记忆一般的对数、指数函
数的导数公式.
拓展 过点作曲线的切线使之与直线平行，则 _____.
[解析] 由题意得，令得，故切点坐标为 ，切线方程为
.因为该切线过点，所以，得 .
1.函数在某点处的导数与函数的导函数概念不同.函数在 处的导数为
.函数的导函数是在某一区间 内的函数，
对任意,,导函数是以内任一点 为自变量,
以处的导数值为函数值的函数.导函数反映的是一般规律,而 等于某一数值时的
导数是此规律中的特殊性.在不至于发生混淆时,导函数也简称为导数.
2.基本初等函数的导数公式,除了常函数,可分为三类:第一类为幂函数,
;第二类为三角函数,可记为正弦函数的导数为余弦函数,余
弦函数的导数为正弦函数的相反数;第三类为指对数函数,对于公式 和
很好记,但对于公式和 的记忆就较难,应
区分公式的结构特征,找出差异,记忆公式.
例1 已知函数及其导数，若存在使得，则称 是
的一个“巧值点”.则下列四个函数中，没有“巧值点”的是( )
D
A. B. C. D.
[解析] 对于A，，由，解得 或
，所以 存在“巧值点”；
对于B，，作出函数与 的大致图象，
如图所示,由图可知 存在“巧值点”；
对于C，，由得 ，
解得 ，，所以存在“巧值点”；
对于D， ，因为,所以无实数解，
所以 不存在“巧值点”.故选D.
例2（1） 求曲线在点,， 处的切线方程．
解：因为，所以，所以当时，；
当 时， .
所以曲线在点,处的切线方程为 ；
曲线在点处的切线方程为，即 .
（2）曲线在哪些点处的切线的斜率为1？在哪些点处的切线平行于 轴？
解：因为，所以 ，
令，解得 , ，
此时, ，
所以曲线在点 ,, 处的切线的斜率为1.
令，解得 ,或 , .
当 ,时，, ；
当 ,时，, .
所以曲线在点,或点,处的切线平行于 轴.
例3 已知函数若，则 ____.
[解析] 由题意可得当时，可得 ，解得
,满足条件;
当时，可得,解得 ,不满足条件.故 .
