§4 导数的四则运算法则
4.1 导数的加法与减法法则
【课前预习】
知识点
(1)f'(x)+g'(x) (2)f'(x)-g'(x)
诊断分析
(1)× (2)√ (3)×
【课中探究】
探究点一
例1 (1)D [解析] 由f(x)=x2-sin x,可得f'(x)=2x-cos x.故选D.
(2)解:①由题意得函数f(x)的定义域为(0,+∞), f'(x)=1-.
②由题意得函数f(x)的定义域为R,f'(x)=3x2-2x+1.
变式 解:因为f(x)=x3-x,
所以f'(x)=3x2-1,则f'(0)=3×02-1=-1.
拓展 C [解析] f'(x)=cos x-sin x,由f'(α)=3f(α),得cos α-sin α=3sin α+3cos α,即2sin α=-cos α,可得tan α=-.故选C.
探究点二
例2 (1)2x-y=0 (2)∪ [解析] (1) 由f(x)=ln x+x+1,x>0,得f(1)=2,f'(x)=+1,∴f'(1)=2,∴函数f(x)=ln x+x+1的图象在点(1,f(1))处的切线方程为y=2(x-1)+2,即2x-y=0.
(2)因为曲线C在点P处的切线的倾斜角的取值范围是,所以切线斜率的取值范围是[0,1].
由y=x3-x2+2得y'=3x2-2x,则0≤y'≤1,即0≤3x2-2x≤1.
由3x2-2x≥0,得x≤0或x≥;
由3x2-2x≤1,即3x2-2x-1≤0,解得-≤x≤1.
因此,点P横坐标的取值范围是∪.
变式 B [解析] 函数y=ex的导数为y'=ex,可得曲线y=ex在x=0处的切线斜率k=e0=1,切点坐标为(0,1),则切线的方程为y=x+1.设直线y=x+1与曲线y=ln x+2b相切于点(m,2b+ln m),由y=ln x+2b的导数为y'=,可得切线的斜率为,则=1,2b+ln m=m+1,解得m=1,b=1.故选B.§4 导数的四则运算法则
4.1 导数的加法与减法法则
1.B [解析] f'(x)=0-sin x=-sin x.故选B.
2.B [解析] 因为f(x)=sin x+cos ,所以f'(x)=cos x,故f'=cos =.故选B.
3.D [解析] 由f(x)=x2+2xf'(1),得f'(x)=2x+2f'(1),则f'(1)=2+2f'(1),所以f'(1)=-2,即f(x)=x2-4x,所以f(1)=-3.故选D.
4.A [解析] 设切点坐标为(x0,+x0),由y=ex+x得y'=ex+1,所以+1=2,解得x0=0,所以切点坐标为(0,1),代入直线方程y=2x+b得b=1,故选A.
5.B [解析] ∵曲线y=g(x)在点(1,g(1))处的切线方程是y=2x+1,∴g'(1)=2.又f'(x)=g'(x)+2x,∴所求切线的斜率k=f'(1)=g'(1)+2=4,故选B.
6.B [解析] 由题意可知,f'(x)=cos x+sin x,又f'(x0)=f(x0),所以cos x0+sin x0=(sin x0-cos x0),即sin x0=-3cos x0,所以tan x0=-3,故选B.
7.AB [解析] f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=+2x≥2,则直线l的斜率k≥2.设与l垂直的直线的斜率为m,则k=-,所以-≥2,所以-≤m<0.由选项可知,只有A,B中直线符合题意.故选AB.
8.BC [解析] 对于A,f(x)=cos x,则f'(x)=-sin x,为奇函数,不符合题意,所以选项A错误.对于B,f(x)=x3+x,则f'(x)=3x2+1,为偶函数,图象关于y轴对称,符合题意,所以选项B正确.对于C,f(x)=x+,则f'(x)=1-,为偶函数,图象关于y轴对称,符合题意,所以选项C正确.对于D,f(x)=ex+x,则f'(x)=ex+1,既不是奇函数也不是偶函数,图象不关于y轴对称,不符合题意,所以选项D错误.故选BC.
9.2xln 2+ [解析] 因为f(x)=2x+log2x,所以f'(x)=2xln 2+.
10.2x-y=0 [解析] 由f(x)=x+sin x,得f'(x)=1+cos x,则f'(0)=1+1=2,又f(0)=0,所以函数f(x)=x+sin x的图象在x=0处的切线方程为y-0=2(x-0),即2x-y=0.
11.0 [解析] 由函数f(x)=x+ln x,得f'(x)=1+,则有f'(1)=2,f(1)=1,所以f(x)的图象在x=1处的切线方程为y=2x-1,则a=2,b=-1,所以a+2b=0.
12. [解析] 易知平行于直线x-y-2=0的直线与曲线y=x2-ln x的切点到直线x-y-2=0的距离最短,y'=2x-.令2x-=1(x>0),可得x=1,∴切点坐标为(1,1),∴曲线y=x2-ln x上的点到直线x-y-2=0的最短距离是=.
13.解:(1)∵f(x)=x2+sin x,∴f'(x)=2x+cos x.
(2)∵g(x)=x3-x2-x+,∴g'(x)=3x2-2x-1+.
14.解:(1)由题知f'(x)=3x2+1.因为点(1,0)在曲线y=f(x)上,所以直线l1的斜率k1=f'(1)=4.所以直线l1的方程为y=4(x-1),即y=4x-4.设直线l2与曲线y=f(x)相切于点P(x0,y0),则直线l2的斜率k2=f'(x0)=3+1=1,解得x0=0,所以y0=+x0-2=-2,即P(0,-2),所以直线l2的方程为y+2=x,即y=x-2.
(2)由可得直线l1,l2的交点坐标为,又直线l1,l2和x轴的交点坐标分别为(1,0)和(2,0),所以所求的三角形面积S=×|2-1|×=.
15.∪ [解析] 由y=x3-x+,得y'=3x2-1.设P(x0,y0),则tan α=3-1≥-1,即tan α∈[-1,+∞).可知当tan α∈[0,+∞)时,α∈;当tan α∈[-1,0)时,α∈.∴α的取值范围是∪.
16.解:由y=x2-ln x,得y'=2x-,当x=1时,y'=1,则曲线y=x2-ln x在点(1,1)处的切线方程为y=x.因为曲线y=x2-ln x在点(1,1)处的切线与曲线y=x2+(a+2)x+1也相切,所以联立曲线y=x2+(a+2)x+1与切线y=x的方程,得x2+(a+2)x+1=x,即x2+(a+1)x+1=0,由题意得Δ=(a+1)2-4=0,解得a=1或-3.§4 导数的四则运算法则
4.1 导数的加法与减法法则
【学习目标】
能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的加法与减法法则,求简单函数的导数.
◆ 知识点 导数的加法与减法法则
已知f(x),g(x)为可导函数.
(1)[f(x)+g(x)]'= .
(2)[f(x)-g(x)]'= .
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)已知f(x)=x-cos x,则f'(x)=1-sin x. ( )
(2)已知f(x)=x3+ln x,则f'(x)=3x2+.( )
(3)若函数f(x)的导函数为f'(x)=2x,则f(x)=x2. ( )
◆ 探究点一 导数的加法与减法法则及运算
例1 (1)已知f(x)=x2-sin x,则f'(x)=( )
A.2x+cos x
B.2x+sin x
C.x+cos x
D.2x-cos x
(2)①求f(x)=x-ln x的导函数;
②求f(x)=x3-x2+x+1的导函数.
变式 求函数f(x)=x3-x在x=0处的导数.
[素养小结]
一般情况下,应用导数的运算法则和基本初等函数的导数公式求导数时,可先对函数解析式进行化简,再求导,这样可减少运算量,提高运算速度,避免出错.
拓展 设函数f(x)=sin x+cos x,f(x)的导函数记为f'(x),若f'(α)=3f(α),则tan α=( )
A.2 B.-2
C.- D.
◆ 探究点二 导数的加法与减法法则的应用
例2 (1)函数f(x)=ln x+x+1的图象在点(1,f(1))处的切线方程为 .
(2)已知P为曲线C:y=x3-x2+2上的点,且曲线C在点P处的切线的倾斜角的取值范围为,则点P横坐标的取值范围为 .
变式 若曲线y=ex在x=0处的切线也是曲线y=ln x+2b(b为常数)的切线,则实数b= ( )
A.-1 B.1
C.2 D.e
[素养小结]
在求两条曲线的公切线时,要抓住两点:第一点是两条曲线在切点处的导数相等;第二点是由两个切点求出的切线是同一条直线.§4 导数的四则运算法则
4.1 导数的加法与减法法则
一、选择题
1.函数f(x)=ln 2+cos x的导数f'(x)= ( )
A.-sin x B.-sin x
C.sin x D.+sin x
2.已知函数f(x)=sin x+cos ,则f'=( )
A. B.
C. D.
3.[2023·江西吉安永丰中学高二期末] 已知f(x)=x2+2xf'(1),则f(1)= ( )
A.0 B.-4
C.-2 D.-3
4.若直线y=2x+b为曲线y=ex+x的一条切线,则实数b的值是 ( )
A.1 B.-1
C.2 D.-2
5.设函数f(x)=g(x)+x2,曲线y=g(x)在点(1,g(1))处的切线方程为y=2x+1,则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处切线的斜率为 ( )
A.- B.4
C.2 D.-
6.已知函数f(x)=sin x-cos x,f(x)的导函数为f'(x).若f'(x0)=f(x0),则tan x0的值为 ( )
A.1 B.-3
C.-1 D.2
7.(多选题)[2023·江西上饶高二期末] 已知直线l与曲线f(x)=ln x+x2相切,则下列直线中可能与l垂直的是 ( )
A.x+4y=0
B.x+5y=0
C.x+3y=0
D.x-y=0
8.(多选题)若函数f(x)的导函数f'(x)的图象关于y轴对称,则f(x)的解析式可能为 ( )
A.f(x)=cos x
B.f(x)=x3+x
C.f(x)=x+
D.f(x)=ex+x
二、填空题
9.已知f(x)=2x+log2x,则f'(x)= .
10.函数f(x)=x+sin x的图象在x=0处的切线方程为 .
11.若函数f(x)=x+ln x的图象在x=1处的切线方程为y=ax+b,则a+2b= .
12.曲线y=x2-ln x上的点到直线x-y-2=0的最短距离是 .
三、解答题
13.求下列函数的导数:
(1)f(x)=x2+sin x;
(2)g(x)=x3-x2-x+.
14.已知f(x)=x3+x-2,直线l1为曲线y=f(x)在点(1,0)处的切线,直线l2为曲线y=f(x)的另一条切线,且l2的斜率为1.
(1)求直线l1,l2的方程;
(2)求由直线l1,l2和x轴所围成的三角形面积.
15.点P在曲线y=x3-x+上移动,设曲线在点P处的切线的倾斜角为α,则α的取值范围是 .
16.已知曲线y=x2-ln x在点(1,1)处的切线与曲线y=x2+(a+2)x+1也相切,求a的值.(共18张PPT)
4.1 导数的加法与减法法则
探究点一 导数的加法与减法法则及运算
探究点二 导数的加法与减法法则的应用
【学习目标】
能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的加法与减法法则,求简单函
数的导数.
知识点 导数的加法与减法法则
已知, 为可导函数.
（1） _____________.
（2） _____________.
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）已知,则 .( )
×
（2）已知，则 .( )
√
（3）若函数的导函数为,则 .( )
×
探究点一 导数的加法与减法法则及运算
例1（1） 已知，则 ( )
D
A. B. C. D.
[解析] 由，可得 .故选D.
（2）①求 的导函数；
解：由题意得函数的定义域为, .
②求 的导函数．
解：由题意得函数的定义域为， .
变式 求函数在 处的导数.
解：因为 ，
所以，则 .
［素养小结］
一般情况下,应用导数的运算法则和基本初等函数的导数公式求导数时,可先对函
数解析式进行化简,再求导,这样可减少运算量,提高运算速度,避免出错.
拓展 设函数,的导函数记为，若 ，
则 ( )
C
A.2 B. C. D.
[解析] ，由 ，得
，即 ，可得 .故选C.
探究点二 导数的加法与减法法则的应用
例2（1）函数的图象在点 处的切线方程为__ _______.
[解析] 由,,得,,,
函数的图象在点处的切线方程为 ,
即 .
（2）已知为曲线上的点,且曲线在点 处的切线的倾斜角
的取值范围为，则点 横坐标的取值范围为______________.
[解析] 因为曲线在点处的切线的倾斜角的取值范围是 ，所以切线斜率的
取值范围是 .
由得，则，即 .
由，得或 ；
由，即，解得 .
因此，点横坐标的取值范围是 .
变式 若曲线在处的切线也是曲线为常数 的切线，
则实数 ( )
B
A. B.1 C.2 D.
[解析] 函数的导数为，可得曲线在 处的切线斜率
，切点坐标为，则切线的方程为.
设直线 与曲线相切于点，
由的导数为 ，可得切线的斜率为，
则，，解得， .故选B.
［素养小结］
在求两条曲线的公切线时，要抓住两点：第一点是两条曲线在切点处的导数相
等；第二点是由两个切点求出的切线是同一条直线.
1.导数的加法与减法法则
（1）两个函数和（或差）的导数等于两个函数的导数的和（或差）,这一法则
可推广到多个函数的和（或差）,即
.
（2）两个函数和（或差）的导数公式还可推广为
,为常数 .
2.导数的加法与减法法则的推导
设 ,则
, ,
,
即 .
同理可证, .
例1 已知函数，其导函数记为 ，则
( )
B
A.2023 B.2 C.1 D.0
[解析] 由，得，显然 为偶函数.
令，则 为奇函数.
所以 ，
，
所以 .故选B.
例2 已知，是 的导函数，即
，， ， ，则
( )
C
A. B.
C. D.
[解析] 因为，所以 ，
， ，
， ，以此类推可知，对任意的 ，有
.
因为，所以 .故选C.
例3 设点是函数的图象上的任意一点，则点 到直线
的距离的最小值为( )
D
A. B.2 C. D.
[解析] 由，，得, .
设函数的图象在点处的切线与直线
平行，则，即，解得，所以点的坐标为.
易知当点 与点重合时，点到直线的距离取得最小值，
且点到直线 的距离，
所以点到直线的距离的最小值为 .故选D.
