4.2 导数的乘法与除法法则
【课前预习】
知识点
(1)f'(x)g(x)+f(x)g'(x) kf'(x)
(2)
诊断分析
(1)× (2)×
【课中探究】
探究点一
例1 解:(1)y'=(excos x)'=(ex)'cos x+ex(cos x)'=ex(cos x-sin x).
(2)y'='==.
(3)y'=(2x2-1)'(3x+1)+(2x2-1)(3x+1)'=4x(3x+1)+3(2x2-1)=18x2+4x-3.
(4)y'===.
变式 (1)B (2) [解析] (1)易知f'(x)=sin x+xcos x,则f'=sin-cos=-1,f'(0)=0,f'=sin +cos =1,f'(π)=sin π+πcos π=-π,故选B.
(2)f'(x)='==.
拓展 A [解析] 由题意得f'(x)==,由f'(2)==0,得a=±2,因为a>0,所以a=2.故选A.
探究点二
例2 (1)2 (2)A [解析] (1)∵f'(x)=x(x-2)(x-3)+(x-1)[x(x-2)(x-3)]',∴f'(1)=1×(-1)×(-2)=2.
(2)由题意得f'(x)=ln x+1+2f'(1)x,所以f'(1)=1+2f'(1),解得f'(1)=-1.故选A.
变式 3 [解析] 由题意得f(1)=g(1)+1-1=1,解得g(1)=1.由f(x)=x·g(x)+x2-1,得f'(x)=g(x)+x·g'(x)+2x,则f'(1)=g(1)+g'(1)+2,所以f'(1)-g'(1)=3.
探究点三
例3 解:(1)因为函数f(x)=exln x+3x,
所以f'(x)=exln x+ex·+3=ex+3.
(2)由(1)知,f'(1)=e+3,又f(1)=3,所以函数f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线方程是y-3=(e+3)(x-1),即y=(e+3)x-e.
变式 (1)-4 (2)y=2x+1 [解析] (1)由题可得y'=aex+(ax+3)ex=(ax+3+a)ex,∵当x=0时,y'=a+3=-1,∴a=-4.
(2)由题意可得点不在曲线y=2xln x+3上,设切点坐标为(x0,y0),因为y'=2ln x+2,所以所求切线的斜率k=2ln x0+2==,所以y0=2x0ln x0+2x0+ln x0+1.因为点(x0,y0)是切点,所以y0=2x0ln x0+3,所以2x0ln x0+2x0+ln x0+1=2x0ln x0+3,即2x0+ln x0-2=0.设f(x)=2x+ln x-2,显然f(x)在定义域(0,+∞)上为增函数,且f(1)=0,所以方程2x0+ln x0-2=0有唯一解x0=1,则所求切线的斜率k=2,所以所求切线方程为y=2,即y=2x+1.4.2 导数的乘法与除法法则
1.B [解析] 因为f(x)=xsin x,所以f'(x)=sin x+xcos x,因此f'=1.故选B.
2.B [解析] 选项A中,f'(x)='=-,故A不符合题意;选项B中,f'(x)='=,故B符合题意;选项C中,f'(x)=(-2x-3)'=6x-4,故C不符合题意;选项D中,f'(x)='=x-4,故D不符合题意.故选B.
3.A [解析] 由f(x)=xln x-3x,得f'(x)=ln x-2,则f'(e)=-1,而f(e)=-2e,所以曲线y=f(x)在点(e,f(e))处的切线方程为y+2e=-1×(x-e),即x+y+e=0.故选A.
4.B [解析] 由题得f'(x)=2023+ln x+1=2024+ln x,∵f'(x0)=2024,∴2024+ln x0=2024,解得x0=1.故选B.
5.A [解析] 令g(x)=(x+1)(x+2)…(x+n),则f(x)=xg(x),求导得f'(x)=x'g(x)+xg'(x)=g(x)+xg'(x),所以f'(0)=g(0)+0×g'(0)=g(0)=1×2×3×…×n=n!,故选A.
6.B [解析] 因为y=,所以y'=.设切点为,所以当x=x0时,y'= ,此时切线方程为y-=(x-x0).又切线过原点,所以-=(-x0),解得x0=,所以切线方程的斜率k===.故选B.
7.BD [解析] 对于A选项,'=-,故错误;对于B选项,(ln 2+log2x)'=,故正确;对于C选项,(x2ex)'=2xex+x2ex=(x2+2x)ex,故错误;对于D选项,(3xcos x)'=3xln 3·cos x-3xsin x=3x(ln 3·cos x-sin x),故正确.故选BD.
8.BC [解析] 对于A,由f(x)=sin x-cos x,得f'(x)=cos x+sin x,所以f″(x)=-sin x+cos x=cos,取x=,则f″=cos =0,不满足凸函数的定义,故A不符合题意;
对于B,由f(x)=ln x-2x,得f'(x)=-2,所以f″(x)=-,当x∈时,f″(x)<0恒成立,满足凸函数的定义,故B符合题意;对于C,由f(x)=-x3+2x-1,得f'(x)=-3x2+2,所以f″(x)=-6x,当x∈时,f″(x)=-6x<0恒成立,满足凸函数的定义,故C符合题意;对于D,由f(x)=-,得f'(x)=,所以f″(x)=,当x∈时,2-x>0,ex>0,所以f″(x)>0在上恒成立,不满足凸函数的定义,故D不符合题意.故选BC.
9. [解析] 因为y=,所以y'=.
10. [解析] 由f(x)=(x2+2x),得f'(x)=(2x+2)+(x2+2x)·,所以f'(1)=4+=.
11. [解析] 因为f(x)=,所以f'(x)=,所以f'(a)=.由题意可得f'(a)=-f(a),所以=-,因为a≠0,ea>0,所以=-1,可得a=.
12.[2,+∞) [解析] 由f(x)=ln x+2x2-ax,得f'(x)=+4x-a.因为函数f(x)=ln x+2x2-ax的图象在某点的切线中存在与直线2x-y=0平行的切线,
所以f'(x)=2在(0,+∞)上有解,
即+4x-a=2在(0,+∞)上有解,
即a=+4x-2在(0,+∞)上有解.
因为x>0,所以+4x≥2=4,当且仅当x=时等号成立,
所以a≥4-2=2,
所以a的取值范围是[2,+∞).
13.解:(1)f'(x)=(ex)'ln x+(ln x)'ex=ex.
(2)f'(x)='===.
(3)因为f(x)=x=x3+1+,所以f'(x)=3x2-.
(4)f'(x)=(4x-x)'(ex+1)+(4x-x)(ex+1)'=(4xln 4-1)(ex+1)+(4x-x)ex=ex(4xln 4+4x-x-1)+4xln 4-1.
14.解:(1)因为f(x)=2xln x+2f'(1)x,
所以f'(x)=2ln x+2+2f'(1),
则f'(1)=2ln 1+2+2f'(1)=2+2f'(1),所以f'(1)=-2.
(2)由(1)可得f(x)=2xln x-4x,则f'(x)=2ln x-2,
所以f(e2)=2e2ln e2-4e2=0,f'(e2)=2ln e2-2=2,
所以所求切线方程为y-0=2(x-e2),即2x-y-2e2=0.
15.-1或 [解析] 因为f(x)=2x3+x2-4x+1,所以f'(x)=6x2+2x-4,f'(a)=6a2+2a-4.又因为f(x)-f(a)=(x-a)2(2x-b),所以f'(x)=2(x-a)(2x-b)+2(x-a)2,则f'(a)=0,故6a2+2a-4=0,即3a2+a-2=0,解得a=-1或a=.
16.解:(1)由题意得f'(x)=(1-x)ex-ex=-xex,则f'(1)=-e,f(1)=0,
故曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=-e(x-1),令x=0,得y=e,令y=0,得x=1,则该切线与两坐标轴的交点坐标分别为(1,0),(0,e),故所求三角形的面积为×1×e=.
(2)设切点坐标为(x0,(1-x0)),因为f'(x)=-xex,所以过点A的切线的斜率k=-x0,切线方程为y-(1-x0)=-x0(x-x0).因为切线过点A(a,0),所以-(1-x0)=-x0(a-x0),化简得-(a+1)x0+1=0,因为切线有且仅有1条,所以Δ=(a+1)2-4=0,解得a=-3或1.4.2 导数的乘法与除法法则
【学习目标】
能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则,求简单函数的导数.
◆ 知识点 导数的乘法与除法法则
一般地,若两个函数f(x)和g(x)的导数分别是f'(x)和g'(x),则
(1)[f(x)g(x)]'= ,
特别地,[kf(x)]'= .
(2)'= (g(x)≠0).
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)已知f(x)=xcos x,则f'(x)=cos x+xsin x. ( )
(2)已知f(x)=,则f'(x)=. ( )
◆ 探究点一 导数的乘法与除法法则及运算
例1 求下列函数的导数.
(1)y=excos x;
(2)y=;
(3)y=(2x2-1)(3x+1);
(4)y=.
变式 (1)已知f(x)=xsin x,若f'(x0)=0,则x0的值可以为 ( )
A.- B.0 C. D.π
(2)已知f(x)=,则f'(x)= .
[素养小结]
导数的乘法和除法法则注意对比区分,特别注意符号不要混淆.
拓展 已知函数f(x)= (a>0),且f'(2)=0,则a= ( )
A.2 B.1 C.4 D.3
◆ 探究点二 求较复杂函数的导数
例2 (1)已知函数f(x)=x(x-1)(x-2)(x-3),则f'(1)= .
(2)[2023·江西南昌高二期末] 已知函数f(x)=xln x+f'(1)x2+2,则f'(1)= ( )
A.-1 B.1 C.-2 D.2
变式 [2023·江西景德镇高二期末] 已知可导函数f(x),g(x)的定义域均为R,对任意的x均满足f(x)=x·g(x)+x2-1,且f(1)=1,则f'(1)-g'(1)= .
[素养小结]
(1)对于一些较复杂的求导问题,要利用转化思想,转化为我们熟悉的导数运算法则与导数公式去处理.
(2)函数的导函数是一个函数,函数在某点处的导数为一个具体的数值,注意两者的区别与联系.
◆ 探究点三 导数的乘法与除法法则的应用
例3 已知函数f(x)=exln x+3x.
(1)求f(x)的导数f'(x);
(2)求函数f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线方程.
变式 (1)若曲线y=(ax+3)ex(a为常数)在点(0,3)处的切线的斜率为-1,则a的值为 .
(2)曲线y=2xln x+3过点的切线的方程是 .
[素养小结]
函数解析式中含有参数时需要注意参数和自变量x的区别,否则求导数时容易用错公式.求解与切线方程相关的问题时,正确求导非常重要.4.2 导数的乘法与除法法则
一、选择题
1.已知f'(x)是函数f(x)=xsin x的导函数,则f'= ( )
A.0 B.1 C. D.π
2.已知f(x)的导函数为f'(x),若f'(x)=,则f(x)的解析式可能是 ( )
A.f(x)= B.f(x)=-
C.f(x)=-2x-3 D.f(x)=-
3.已知函数f(x)=xln x-3x,则曲线y=f(x)在点(e,f(e))处的切线方程为 ( )
A.x+y+e=0 B.y-x+e=0
C.x-y+e=0 D.x+y-e=0
4.已知函数f(x)=x(2023+ln x),若f'(x0)=2024,则x0等于 ( )
A.ln 2 B.1
C.e D.e2
5.设f(x)=x(x+1)(x+2)…(x+n),则f'(0)= ( )
A.n! B.1
C.(n-1)! D.0
6.[2023·江西丰城拖船中学高二期末] 若直线l过原点,且与函数y=的图象相切,则该直线的斜率为 ( )
A.1 B.
C. D.
7.(多选题)下列求导运算正确的是 ( )
A.'=+
B.'=
C.(x2ex)'=2xex
D.(3xcos x)'=3x(ln 3·cos x-sin x)
8.(多选题)若函数f(x)在D上可导,且导函数f'(x)在D上也可导,则称f(x)在D上存在二阶导函数,记f″(x)=[f'(x)]',若f″(x)<0在D上恒成立,则称f(x)在D上为凸函数.以下四个函数在上为凸函数的是( )
A.f(x)=sin x-cos x
B.f(x)=ln x-2x
C.f(x)=-x3+2x-1
D.f(x)=-
二、填空题
9.函数y=的导数为y'= .
10.已知函数f(x)=(x2+2x),则f'(1)= .
11.若函数f(x)=在x=a(a≠0)处的导数值与函数值互为相反数,则a的值为 .
12.若函数f(x)=ln x+2x2-ax的图象在某点的切线中存在与直线2x-y=0平行的切线,则实数a的取值范围是 .
三、解答题
13.求下列函数的导数.
(1)f(x)=exln x;
(2)f(x)=;
(3)f(x)=x;
(4)f(x)=(4x-x)(ex+1).
14.[2023·江西景德镇高二期末] 已知函数f(x)=2xln x+2f'(1)x.
(1)求f'(1)的值;
(2)求f(x)的图象在点(e2,f(e2))处的切线方程.
15.已知函数f(x)=2x3+x2-4x+1(x∈R),且f(x)-f(a)=(x-a)2(2x-b),则实数a= .
16.已知函数f(x)=(1-x)ex.
(1)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积;
(2)过点A(a,0)作曲线y=f(x)的切线,若切线有且仅有1条,求实数a的值.(共22张PPT)
4.2 导数的乘法与除法法则
探究点一 导数的乘法与除法法则及运算
探究点二 求较复杂函数的导数
探究点三 导数的乘法与除法法则的应用
【学习目标】
能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则,求简单函数
的导数.
知识点 导数的乘法与除法法则
一般地，若两个函数和的导数分别是和 ，则
（1） _____________________,
特别地, _______.
（2）________________ .
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）已知,则 .( )
×
（2）已知,则 .( )
×
探究点一 导数的乘法与除法法则及运算
例1 求下列函数的导数.
（1） ；
解： .
（2） ;
解： .
（3） ；
解： .
（4） .
解： .
变式（1） 已知，若，则 的值可以为( )
B
A. B.0 C. D.
[解析] 易知,则 ，
，， ,故选B.
（2）已知，则 ______.
[解析] .
［素养小结］
导数的乘法和除法法则注意对比区分，特别注意符号不要混淆.
拓展 已知函数，且，则 ( )
A
A.2 B.1 C.4 D.3
[解析] 由题意得，由，得 ，
因为,所以 .故选A.
探究点二 求较复杂函数的导数
例2（1） 已知函数，则 ___.
2
[解析] ，
.
（2）[2023·江西南昌高二期末]已知函数，则
( )
A
A. B.1 C. D.2
[解析] 由题意得，所以 ，解得
.故选A.
变式 [2023·江西景德镇高二期末] 已知可导函数，的定义域均为 ，
对任意的均满足，且，则 ___.
3
[解析] 由题意得，解得 .
由，得 ，
则，所以 .
［素养小结］
（1）对于一些较复杂的求导问题，要利用转化思想，转化为我们熟悉的导数运
算法则与导数公式去处理.
（2）函数的导函数是一个函数，函数在某点处的导数为一个具体的数值，注意
两者的区别与联系.
探究点三 导数的乘法与除法法则的应用
例3 已知函数 .
（1）求的导数 ；
解：因为函数 ，
所以 .
（2）求函数的图象在点 处的切线方程.
解：由（1）知，，又，所以函数 的图象在点
处的切线方程是，即 .
变式（1） 若曲线为常数在点处的切线的斜率为 ，
则 的值为____.
[解析] 由题可得，
当 时，， .
（2）曲线过点 的切线的方程是___________.
[解析] 由题意可得点不在曲线上，设切点坐标为 ，
因为，所以所求切线的斜率 ，所以
.
因为点是切点，所以 ，
所以，即 .
设，显然在定义域上为增函数，且 ，
所以方程有唯一解，则所求切线的斜率 ，
所以所求切线方程为，即 .
［素养小结］
函数解析式中含有参数时需要注意参数和自变量 的区别，否则求导数时容易用
错公式.求解与切线方程相关的问题时，正确求导非常重要.
导数的乘法法则的推导
设,则
例1 曲线在点, 处的切线方程为( )
C
A. B. C. D.
[解析] 由题意知，,则当时， ,所以曲线
在点,处的切线方程为，即 .故选C.
例2 [2023·河南驻马店高二期中]已知点在曲线上， 为曲线在点
处的切线的倾斜角，则 的取值范围是( )
A
A. B. C. D.
[解析] 因为，所以 ，
因为，当且仅当，即 时取等号，
所以，所以，即 ，
即，又，所以, .
故选A.
例3 已知函数，，曲线与 在
公共点处有共同的切线，则实数 的值为__.
[解析] 函数的定义域为，， 的定义域为
,.
设曲线与曲线的公共点的坐标为 ，
两曲线在公共点处有共同的切线，，， .
由，可得.由解得 .
