§5 简单复合函数的求导法则
【课前预习】
知识点
2.y'x=[f(φ(x))]'=f'(u)φ'(x) 乘积
诊断分析
1.(1)× (2)× (3)×
2.解:y=ex+2可以看作由u=x+2及y=eu复合得到的,也可写成y=e2·ex,即看成常数e2与指数函数y=ex的乘积.y=ln(x+2)是由u=x+2(x>-2)与y=ln u经过复合得到的,即y可以通过中间变量u表示成自变量x的函数.
【课中探究】
探究点一
例1 解:(1)是,原函数可看作y=u2,u=2x-1的复合函数(也可去除括号,变成二次函数形式,则不是复合函数).
(2)是,原函数可看作y=sin u,u=-2x+的复合函数.
(3)是,原函数可看作y=10u,u=2x+3的复合函数(也可将原式写成y=103×100x,则不是复合函数).
变式 解:(1)是,原函数可以看作y=ln u,u=的复合函数.
(2)是,y==(1-2x可看作y=,u=1-2x的复合函数.
探究点二
例2 解:(1)函数y=e-2x+1可以看作函数y=eu和u=-2x+1的复合函数,由复合函数的求导法则可得y'x=y'u·u'x=(eu)'·(-2x+1)'=eu·(-2)=-2e-2x+1.
(2)因为y=cos,所以y'='=-sin.
(3)因为y==2(3x+1,所以y'=[2(3x+1]'=-3(3x+1.
变式 解:(1) 因为f(x)=ln=ln(1+2x),
所以f'(x)=×2×=.
(2)因为y=(1+cos 2x)3,所以y'=3(1+cos 2x)2·(1+cos 2x)'=3·
(-sin 2x)×2=-6×4cos 4x×2sin xcos x=-48sin xcos 5x.
(3)因为f(x)=cos 2x·ln x,所以f'(x)=(cos 2x)'·ln x+cos 2x·(ln x)'=-2sin 2x·ln x+.
探究点三
例3 π [解析] ∵x'(t)=2πcos,∴x'(2)=2πcos=2πcos=π,根据导数的几何意义得小球在t=2 s时的瞬时速度为π cm/s.
例4 A [解析] 因为f(x)=ln(2x)-,所以f'(x)=+,所以f=ln 1-2=-2,f'=6,则所求切线方程为y-(-2)=6,即y=6x-5,故选A.
变式 (1) -2 [解析] 由题意得y'=-2sin,当x=时,y'=-2,即曲线y=cos在x=处的切线的斜率为-2.
(2)解:因为r(V)=,所以r'(V)=·,
所以气球的半径在V=1 L时的瞬时变化率为r'(1)=·=×(dm/L).§5 简单复合函数的求导法则
1.A [解析] A中函数不可以看成复合函数;B中函数可以看成y=,u=ln x的复合函数;C中函数可以看成y=u4,u=2x+3的复合函数;D中函数可以看成y=sin u,u=-x的复合函数.故选A.
2.C [解析] f'(x)=·(3x)'=×3=,故f'(3)=,故选C.
3.D [解析] 因为y=x+e2x,所以y'=1+2e2x,则当x=0时,y=1,y'=3,故曲线y=x+e2x在x=0处的切线方程为y-1=3(x-0),即y=3x+1.故选D.
4.A [解析] 因为f(x)=x2ln(2x),所以f'(x)=2xln(2x)+x,又f'(x0)=x0,所以2x0ln(2x0)=0,因为x0>0,所以ln(2x0)=0,所以x0=.故选A.
5.B [解析] f(x)=e2x-2xf'(0),则f'(x)=2e2x-2f'(0),所以f'(0)=2-2f'(0),得f'(0)=,所以f'(x)=2e2x-,f'(1)=2e2-.故选B.
6.C [解析] 由N(t)=N0,得N'(t)=N0×ln 2×,由N'(24)=N0×ln 2×=-8ln 2,解得N0=2×8×24=384,∴N(t)=384×,∴N(96)=384×=384×2-4=24.故选C.
7.AC [解析] [ln(2x+1)]'=,(e5x-4)'=5e5x-4,()'=··(2x-1)'=,'=2cos.故选AC.
8.AB [解析] 由题设,y'=e2x(2cos 3x-3sin 3x),∴当x=0时,y'=2,则曲线y=e2xcos 3x在点(0,1)处的切线方程为y=2x+1.设直线l的方程为y=2x+b,则=,解得b=6或b=-4,∴直线l的方程为y=2x+6或y=2x-4.故选AB.
9.-2 [解析] 由题意知f'(x)=2cos 2x-2sin 2x,故f'=2cos-2sin=0-2=-2.
10.-2e [解析] 因为f'(x)=-2e-2x+3,所以f'(1)=-2e,即所求斜率k=-2e.
11. [解析] 因为f(x)=f'sin 2x-cos 2x,所以f'(x)=2f'cos 2x+2sin 2x,则f'=2f'cos +2sin =-f'+,即f'=.
12.2x+y+14=0 [解析] 因为定义在R上的偶函数f(x)满足f(2-x)+f(x)=0,所以f(1)=0,且 x∈R,有f(x-2)=f(2-x)=-f(x),于是得f(x-4)=-f(x-2)=f(x),即f(x)是周期函数,周期为4,则有f(-7)=f(1)=0.对f(x-8)=f(x)两边求导得f'(x-8)·(x-8)'=f'(x),即f'(x-8)=f'(x),于是当x=1时,f'(-7)=f'(1)=-2,则曲线y=f(x)在点(-7,f(-7))处的切线方程为y-0=-2(x+7),即2x+y+14=0.
13.解:(1)y=可看作y=u-4及u=1-3x复合而成,由复合函数的求导法则,得y'x=y'uu'x=(u-4)'(1-3x)'=-4u-5×(-3)=12(1-3x)-5.
(2)因为y=ln,所以y'=·'=·=·=·=.
(3)y=sin2可看作y=u2,u=sin v及v=2x+复合而成,由复合函数的求导法则,得y'x=y'u·u'v·v'x=2u·cos v·2=4sin vcos v=2sin 2v=2sin.
14.解:(1)当a=1时,f(x)=xe2x-2x-ln x,则f'(x)=(xe2x)'-2-=e2x+2xe2x-2-,
所以f'(1)=e2×1+2×1×e2×1-2-=3e2-3.
(2)f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=e2x+2xe2x-a=(2x+1),
则f'(1)=3(e2-a).
又f(1)=e2-2a,
所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-(e2-2a)=3(e2-a)(x-1),
即y-(e2-2a)=3(e2-a)x+3a-3e2,
由题可知解得a=e2.
15.B [解析] ∵F(x)=f(x2-4)+f(4-x2),∴F'(x)=2xf'(x2-4)-2xf'(4-x2),∴F'(2)=4f'(0)-4f'(0)=0.故选B.
16.B [解析] 设直线y=2x+b与曲线y=f(x),y=g(x)的切点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),因为f'(x)=+1,所以f'(x1)=+1=2,解得x1=1.又f(1)=ln e+1=2,所以直线y=2x+b与曲线y=f(x)的切点坐标为(1,2),所以2=2+b,解得b=0,所以该直线方程为y=2x.又g'(x)=(x≠1),所以解得故选B.§5 简单复合函数的求导法则
【学习目标】
能求简单的复合函数(限于形如f(ax+b))的导数.
◆ 知识点 简单复合函数的求导法则
1.复合函数
一般地,对于两个函数y=f(u)和u=φ(x)=ax+b,如果给定x的一个值,就得到了u的值,进而确定了y的值,那么y可以表示成x的函数,称这个函数为函数y=f(u)和u=φ(x)的复合函数,记作y=f(φ(x)),其中u为中间变量.
2.复合函数的求导法则
一般地,对于两个函数y=f(u)和u=φ(x)复合而成的函数y=f(φ(x)),它的导数与函数y=f(u), u=φ(x)的导数间的关系为 ,即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的 .
【诊断分析】 1.判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数y=2x2- 是复合函数. ( )
(2)函数y=(2x+1)2的导数是y'=4x+2.( )
(3)函数y=ln(2x+1)的导数是y'=. ( )
2.观察函数y=ex+2及y=ln(x+2)的结构特点,说明它们分别是由哪些函数复合得到的
◆ 探究点一 复合函数的概念
例1 判断下列函数是否是复合函数,若是复合函数,写出它是由哪些函数复合得到的.
(1)y=(2x-1)2;(2)y=sin;
(3)y=102x+3.
变式 判断下列函数是否是复合函数,若是复合函数,写出它是由哪些函数复合得到的.
(1)y=ln;(2)y=.
[素养小结]
1.判断一个函数是不是复合函数时,应观察其是否满足复合函数的定义;
2.在解决函数问题时,要时刻牢记定义域优先原则;
3.对于同一个函数,经过适当变形后,可能就不是复合函数了,但变形前后的导数一定相等.
◆ 探究点二 求复合函数的导数
例2 求下列函数的导数:
(1)y=e-2x+1;(2)y=cos;
(3)y=.
变式 求下列函数的导数:
(1)f(x)=ln;
(2)y=(1+cos 2x)3;
(3)f(x)=cos 2x·ln x.
[素养小结]
应用复合函数的求导法则求导时,应把握好以下环节:
(1)选取恰当的中间变量,使构成复合函数的基本初等函数符合求导法则中的函数结构;
(2)从外到内,层层“剥皮”,依次求导;
(3)把中间变量转换成自变量的表达式.
◆ 探究点三 复合函数的导数应用
例3 一个小球做简谐振动,小球相对于平衡点的位移x(单位:cm)关于时间t(单位:s)的函数解析式为x(t)=2sin,则小球在t=2 s时的瞬时速度为 cm/s.
例4 函数f(x)=ln(2x)-的图象在点处的切线方程为 ( )
A.y=6x-5
B.y=8x-6
C.y=4x-4
D.y=10x-7
变式 (1)曲线y=cos在x=处的切线的斜率为 .
(2)吹气球时,气球的半径r(单位:dm)与体积V(单位:L)之间的函数关系式是r(V)=(0≤V≤5),求气球的半径在V=1 L时的瞬时变化率.
[素养小结]
复合函数应用问题的注意点
(1)正确求导是关键.
(2)涉及切线问题,若切点已知,则求出切线斜率及切线方程;若切点未知,则先设出切点,用切点表示切线斜率,再根据条件求切点坐标.
(3)实际问题中,函数在某点处的导数反映了函数在该点的瞬时变化率,体现了函数描述的对象在自变量取某个值时的变化状况.§5 简单复合函数的求导法则
一、选择题
1.下列函数不可以看成复合函数的是 ( )
A.y=xcos x
B.y=
C.y=(2x+3)4
D.y=sin
2.已知函数f(x)=ln(3x),则f'(3)= ( )
A.3 B.1 C. D.
3.[2023·江西吉安高二期末] 曲线y=x+e2x在x=0处的切线方程为 ( )
A.y=x
B.y=x+1
C.y=2x+1
D.y=3x+1
4.已知f(x)=x2ln(2x),若f'(x0)=x0,则x0等于 ( )
A. B.
C.ln 2 D.1
5.已知f(x)的导函数为f'(x),且f(x)=e2x-2xf'(0),则f'(1)= ( )
A.e2- B.2e2-
C.e+ln 2 D.2e2-1
6.随着科学技术的发展,放射性同位素技术已经广泛应用于医学、农业等众多领域,并取得了显著的经济效益.假设在放射性同位素钍234的衰变过程中,其含量N(单位:贝克)与时间t(单位:天)满足函数关系N(t)=N0,其中N0为t=0时钍234的含量,且当t=24时,钍234含量的瞬时变化率为-8ln 2,则N(96)= ( )
A.12 B.12ln 2
C.24 D.24ln 2
7.(多选题)下列求导运算中正确的是 ( )
A.[ln(2x+1)]'=
B.(e5x-4)'=e5x-4
C.()'=
D.'=-2cos
8.(多选题)曲线y=e2xcos 3x在点(0,1)处的切线与其平行直线l之间的距离为,则直线l的方程可能为 ( )
A.y=2x+6 B.y=2x-4
C.y=3x+1 D.y=3x-4
二、填空题
9.[2023·江西吉安高二期末] 已知f(x)=sin 2x+cos 2x,则f'= .
10.函数f(x)=e-2x+3的图象在点(1,f(1))处的切线的斜率是 .
11.已知函数f(x)=f'sin 2x-cos 2x,则f'= .
12.定义在R上的偶函数f(x)满足f(2-x)+f(x)=0,且在x=1处的导数f'(1)=-2,则曲线y=f(x)在点(-7,f(-7))处的切线方程为 .
三、解答题
13.求下列函数的导数:
(1)y=;
(2)y=ln;
(3)y=sin 2.
14.[2023·江西乐安二中高二期末] 已知函数f(x)=xe2x-a(2x+ln x)(a∈R).
(1)当a=1时,求f'(1);
(2)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=-e2,求a的值.
15.已知函数f(x)在R上可导,函数F(x)=f(x2-4)+f(4-x2),则F'(2)等于 ( )
A.-1 B.0
C.1 D.2
16.已知函数f(x)=ln(ex)+x,g(x)=3-,若直线y=2x+b与曲线y=f(x),y=g(x)都相切,则实数a的值为 ( )
A. B.
C. D.(共22张PPT)
§5 简单复合函数的求导法则
探究点一 复合函数的概念
探究点二 求复合函数的导数
探究点三 复合函数的导数应用
【学习目标】
能求简单的复合函数限于形如 的导数.
知识点 简单复合函数的求导法则
1.复合函数
一般地,对于两个函数和,如果给定 的一个值，就得
到了的值，进而确定了的值，那么可以表示成 的函数，称这个函数为函数
和的复合函数,记作,其中 为中间变量.
2.复合函数的求导法则
一般地,对于两个函数和复合而成的函数 ,它的导
数与函数, 的导数间的关系为____________________________,
即对的导数等于对的导数与对 的导数的______.
乘积
【诊断分析】
1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）函数 是复合函数.( )
×
（2）函数的导数是 .( )
×
（3）函数的导数是 .( )
×
2.观察函数及 的结构特点,说明它们分别是由哪些函数复
合得到的
解：可以看作由及复合得到的，也可写成 ，
即看成常数与指数函数的乘积.是由 与
经过复合得到的,即可以通过中间变量表示成自变量 的函数.
探究点一 复合函数的概念
例1 判断下列函数是否是复合函数，若是复合函数，写出它是由哪些函数复合
得到的.
（1） ;
解：是，原函数可看作, 的复合函数（也可去除括号，变成二
次函数形式，则不是复合函数）.
（2） ;
解：是，原函数可看作, 的复合函数.
（3） .
解：是，原函数可看作, 的复合函数（也可将原式写成
，则不是复合函数）.
变式 判断下列函数是否是复合函数，若是复合函数，写出它是由哪些函数复
合得到的.
（1） ;
解：是，原函数可以看作, 的复合函数
.
（2） .
解：是，可看作, 的复合函数.
［素养小结］
1.判断一个函数是不是复合函数时，应观察其是否满足复合函数的定义；
2.在解决函数问题时，要时刻牢记定义域优先原则；
3.对于同一个函数，经过适当变形后，可能就不是复合函数了，但变形前后的
导数一定相等.
探究点二 求复合函数的导数
例2 求下列函数的导数：
（1） ；
解：函数可以看作函数和 的复合函数，由复合函
数的求导法则可得 .
（2） ;
解：因为，所以 .
（3） .
解：因为 ，
所以 .
变式 求下列函数的导数：
（1） ；
解: 因为 ，
所以 .
（2） ；
解:因为 ，所以
.
（3） .
解:因为 ，
所以 .
［素养小结］
应用复合函数的求导法则求导时,应把握好以下环节:
（1）选取恰当的中间变量,使构成复合函数的基本初等函数符合求导法则中的
函数结构;
（2）从外到内,层层“剥皮”,依次求导;
（3）把中间变量转换成自变量的表达式.
探究点三 复合函数的导数应用
例3 一个小球做简谐振动，小球相对于平衡点的位移（单位： ）关于时
间（单位：）的函数解析式为，则小球在 时的瞬
时速度为___ .
[解析] ， ，
根据导数的几何意义得小球在时的瞬时速度为 .
例4 函数的图象在点 处的切线方程为( )
A
A. B. C. D.
[解析] 因为，所以 ，
所以，，
则所求切线方程为 ，即 ，故选A.
变式（1） 曲线在 处的切线的斜率为_____.
[解析] 由题意得，当时， ，
即曲线在处的切线的斜率为 .
（2）吹气球时，气球的半径（单位：）与体积（单位： ）之间的函数关
系式是，求气球的半径在 时的瞬时变化率.
解：因为,所以 ,
所以气球的半径在 时的瞬时变化率为
.
［素养小结］
复合函数应用问题的注意点
（1）正确求导是关键.
（2）涉及切线问题，若切点已知，则求出切线斜率及切线方程；若切点未知，
则先设出切点，用切点表示切线斜率，再根据条件求切点坐标.
（3）实际问题中，函数在某点处的导数反映了函数在该点的瞬时变化率，体现
了函数描述的对象在自变量取某个值时的变化状况.
1.利用复合函数的求导法则求复合函数的导数的步骤:
（1）分解：选定中间变量，正确分解复合关系；
（2）求导：分步求导（弄清每一步求导是哪个变量对哪个变量求导）,要特别
注意中间变量对自变量求导,即先求，再求 ；
（3）回代：计算 ，并把中间变量转化为自变量的函数.
2.熟记链式法则
若，，即，则 ;
若，，，即 ，则
.
例1 下列关于函数 的复合过程与导数运算正确的是( )
C
A.，，
B.，，
C.，，
D.，，
[解析] 函数由基本初等函数， 复合而成，
所以 .故选C.
例2 已知函数，则 ( )
C
A. B.1 C. D.
[解析] ，
，
.故选C.
例3 [2023·上海普陀区桃浦中学高二期中] 已知曲线在
处的切线为，则过点且与切线 垂直的直线方程为__________．
[解析] 由函数，可得，
则当 时，，即切线的斜率 ，
所以所求直线的斜率为1，则所求直线的方程为，即 ．
