第2课时 函数单调性的应用
一、选择题
1.已知函数f(x)=(a2+1)x+b,则下列说法正确的是 ( )
A.函数f(x)在R上是增函数
B.函数f(x)在R上是减函数
C.函数f(x)在R上有增有减
D.函数f(x)的单调性与a,b有关
2.如果函数y=x3+ax2+x+b有单调递减区间,那么 ( )
A. B.
C. D.
3.若函数f(x)=ln(x+1)-mx在区间(0,+∞)上单调递减,则实数m的取值范围是 ( )
A.(-∞,-1] B.(-∞,-1)
C.(1,+∞) D.[1,+∞)
4.[2023·江西赣州高二期末] 设a∈R,则“a<”是“f(x)=-x3+2ax在(-∞,1)上单调递减”的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
5.若函数f(x)=bx+2sin x在上单调递增,则实数b的取值范围是 ( )
A.b>- B.b≥-
C.b>0 D.b≥0
6.若函数f(x)=ln x+ax2-2在区间内存在单调递增区间,则实数a的取值范围是 ( )
A.(-∞,-2] B.
C. D.(-2,+∞)
7.(多选题)若函数f(x)=ax3-3x2+x+1恰好有三个单调区间,则实数a的值可以是 ( )
A.-3 B.-1 C.0 D.3
8.(多选题)已知函数f(x)的导函数为f'(x)=ax2-2ax,若a≠0,则函数f(x)的图象不可能是 ( )
A B C D
二、填空题
9.[2023·江西宜春东煌中学高二月考] 已知f(x)=x3-ax在(1,+∞)上单调递增,则实数a的最大值是 .
10.已知f(x)=x2-aln x,若在区间(1,2)上存在x1,x2(x1≠x2),使得f(x1)=f(x2),则实数a的取值范围是 .
11.已知函数f(x)=ax-ln x.若对任意的x1>x2>0,都有f(x1)
12.设函数f(x)=x2-ln x在区间[a-1,a+1]上单调递减,则实数a的取值范围是 .
三、解答题
13.求函数f(x)=x2-2aln x-1(a∈R,a≠0)的单调区间.
14.已知函数f(x)=x3-x2+ax+1,a∈R,讨论f(x)的单调性.
15.若函数f(x)=在(a,a+1)上单调递增,则实数a的取值范围为 .
16.已知函数f(x)=-2x2+ln x(a>0),若函数f(x)在[1,2]上单调,求实数a的取值范围.(共27张PPT)
6.1 函数的单调性
第2课时 函数单调性的应用
探究点一 讨论含参函数的单调性
探究点二 已知函数的单调性求参数范围
【学习目标】
1.结合实例,借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.
2.对于多项式函数,能求不超过三次的多项式函数的单调区间.
探究点一 讨论含参函数的单调性
角度1 对“△”进行讨论
例1 [2023·辽宁辽阳高二期末] 已知函数 ，讨
论 的单调性．
解：因为 ，所以 ，
则 的判别式
.
令，解得或 .
①若，则 .
当，即时，由，解得或，
由 ，解得.
此时，的单调递增区间为和 ，单调递减区间为 .
当，即时，由，解得或，由 ，解
得.此时，的单调递增区间为和 ，单调递减区
间为 .
②若，则 ，
可得恒成立.此时，的单调递增区间为 ，无单调递减区间.
综上所述，当时，的单调递增区间为和 ，单调递减
区间为 ；
当时，的单调递增区间为 ，无单调递减区间；
当时，的单调递增区间为和 ，单调递减区间为
.
变式 讨论函数， 的单调性.
解：由题意知的定义域为，，， 的判别式
.
①当，即时，恒成立且不恒为0，所以函数在 上
是增函数；
②当，即时，令，得或 ，
由，得或，由，得 ，所以函数
在和上单调递增，在 上单调递减.
综上可知，当时，函数在 上是增函数；
当时，函数在和上单调递增，在 上单调
递减.
角度2 对“根的大小”进行讨论
例2 已知函数 ,讨论函数 的单调性.
解：函数的定义域为，且 .
①当时，，由，得；由，得 .
则函数的单调递增区间为，单调递减区间为 .
②当，即时，由，得或 ；
由，得 .
则函数的单调递增区间为，，单调递减区间为 .
③当，即时，恒成立且不恒为0，则函数 的单调递
增区间为 .
④当，即 时，
由，得或；由，得.则函数 的单
调递增区间为，，单调递减区间为 .
综上所述，当时，函数在上单调递增，在 上单调递减；
当时，函数在和上单调递增，在 上单调递减；
当时，函数在 上单调递增；
当时，函数在和上单调递增，在 上单调递减.
变式 讨论函数 的单调性.
解：由题知，令，解得或 .
当时，且不恒为0，此时函数在 上单调递增；
当时，令，得或，令，得 ，
所以函数在，上单调递增，在 上单调递减；
当时，令，得或，令，得 ，
所以函数在，上单调递增，在 上单调递减.
［素养小结］
分类讨论含参函数的单调性的步骤：
第一步：求定义域;
第二步：求导，令导数为0解出根（先考虑因式分解）;
第三步：比较各根的大小关系，进行分类讨论;
第四步：根据导数正负分类写出单调区间;
第五步：综述，把单调性相同的情况合并在一起.
拓展 已知函数，讨论函数 的单调性.
解：函数的定义域为，由 ，得
.
①当时， ，
令，得，令，得 ，
则的单调递减区间为，单调递增区间为 .
②当时，令，解得或 （舍去）.
则当时，，当时， ，
则的单调递减区间为，单调递增区间为 .
③当时，令，解得或 ，
则当时，，当时， ，
则的单调递减区间为和，单调递增区间为 .
④当时，且不恒为0，则 的单调递减区间为
，无单调递增区间.
⑤当时，令，解得或 ，
则当时，，当时， ，
则的单调递减区间为和，单调递增区间为 .
综上，当时，的单调递减区间为，单调递增区间为 ;
当时，的单调递减区间为和 ，单调递增区间为
;
当时，的单调递减区间为 ，无单调递增区间;
当时，的单调递减区间为和 ，单调递增区间为
.
探究点二 已知函数的单调性求参数范围
例3（1） 已知函数为增函数，则实数
的取值范围为( )
D
A. B. C. D
[解析] 因为在 上为增函数，所以
在上恒成立，即当 时恒
成立.
因为当时，，当且仅当 时，
等号成立，所以，即，所以实数的取值范围为 .故选D.
（2）若函数在区间 上存在单调递减区间，则
实数 的取值范围是( )
A
A. B. C. D.
[解析] 由题意得.当时， 恒成立，不符合
题意；
当时，令，可得，所以 ，解得 .故选A.
（3）[2023·吉林辽源高二期末] 已知函数在 上不单调，
则整数 的一个取值可能是_________________．
1（答案不唯一）
[解析] 由，得 ，
因为函数在上不单调，所以在 上有变号零点，
即在上有实数解，即在 上有实数解.
当时，，，所以.
不妨取 ，代入式得 ，此时，当时，，
当时，，即在 上单调递减，在,上单调递增，
即函数在 上不单调，故 的一个取值可以为1.（答案不唯一）
变式 已知函数 .
（1）若函数存在单调递减区间，求实数 的取值范围；
解：因为， ，
所以， .
因为在 上存在单调递减区间，
所以当时，有解，即 有解.
设，所以只要 即可.
因为，所以，所以 ，
所以实数的取值范围为 .
（2）若函数在上单调递减，求实数 的取值范围.
解：因为在 上单调递减，
所以当时，恒成立，即 恒成立，
即当时， .
，当时，，
所以当，即时，取得最大值 ，
所以 ，所以实数的取值范围是 .
［素养小结］
已知函数的单调性求参数的取值范围是一种常见的题型,常利用导数与函数单调
性的关系,即若函数在某个区间内单调递增,则在这个区间内 ,若函
数在某个区间内单调递减,则在这个区间内 来求解.注意不等式中的
等号不能省略,否则会漏解.
1.对于含参函数的单调性问题，一类是求解该函数的单调区间，此时需要对参
数进行分类讨论，分类讨论时应在定义域内进行考虑；另一类是已知函数的单
调性求参数范围，这类问题一般可以转化为不等式恒成立问题解决.
2.利用导数研究函数单调性的注意事项
（1）在利用导数研究函数的单调性时,首先要确定函数的定义域,在定义域内,通
过讨论导数的符号来判断函数的单调性.
（2）如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个,那么这些单调区间之
间不能用“ ”连接,可用“,”隔开或用“和”连接.
（3）在对函数划分单调区间时,除了注意使导数等于零的点外,还要注意在定义
域内不连续的点和不可导的点.
（4）当不等式或不易求解时,可通过列表的方法求函数
的单调区间.
（5）若函数在区间端点处有定义，则区间的端点可以属于单调区间,也可以不
属于单调区间,对结论没有影响.
例1 若函数在区间上单调递增，则实数 的取值
范围是( )
A
A. B. C. D.
[解析] 因为在区间 上单调递增，
所以在 上恒成立.
因为，所以,令，，则 ，
所以对任意恒成立，
所以对任意 恒成立.
令，，则，
所以 在上单调递减，所以，即 ，故选A.
例2 讨论函数 的单调性.
解:由函数，可得 ，
当时，令，解得，所以在 上单调递减，
令，解得，所以在 上单调递增；
当时，令，得 ，
令，得 ，
所以在上单调递减，在， 上单调递增；
当时，，且不恒为0,所以在 上是增函数；
当时，令，得 ，
则在 上单调递减，
令，得 ，
则在， 上单调递增.
综上，当时，在上单调递减，在 上单调递增；
当时，在上单调递减，在， 上单调递增；
当时，在 上是增函数；
当时，在上单调递减，在， 上单调递增.
例3 若函数在区间上单调，则实数 的取值范围是 ( )
B
A. B.
C. D.
[解析] 由题意得，
时，；当时，
在，上单调递减，在上单调递增.
在 上单调，或或
可得或 ，即实数的取值范围为, .故选B.
例4 [2023· 石家庄师大附中高二期中] 已知是定义在上的函数 的导
函数，对任意的，恒成立，且 ，则不等式
的解集是________．
[解析] 设，则．
因为 ，，所以，则在上单调递增.
因为 ，所以，
由可得，即 ，解得，
故不等式的解集是 .第2课时 函数单调性的应用
【课中探究】
探究点一
例1 解:因为f(x)=2x3+3(a-2)x2-12ax,
所以f'(x)=6x2+6(a-2)x-12a,
则f'(x)=0的判别式Δ=36(a-2)2-4×6×(-12a)=36a2+144a+144=36(a+2)2.
令f'(x)=6x2+6(a-2)x-12a=6(x+a)(x-2)=0,解得x=-a或x=2.
①若Δ>0,则a≠-2.
当-a<2,即a>-2时,由f'(x)>0,解得x<-a或x>2,由f'(x)<0,解得-a当-a>2,即a<-2时,由f'(x)>0,解得x<2或x>-a,由f'(x)<0,解得2②若Δ=0,则a=-2,
可得f'(x)≥0恒成立.此时,f(x)的单调递增区间为(-∞,+∞),无单调递减区间.
综上所述,当a>-2时,f(x)的单调递增区间为(-∞,-a)和(2,+∞),单调递减区间为(-a,2);
当a=-2时,f(x)的单调递增区间为(-∞,+∞),无单调递减区间;
当a<-2时,f(x)的单调递增区间为(-∞,2)和(-a,+∞),单调递减区间为(2,-a).
变式 解:由题意知f(x)的定义域为R,f'(x)=x2-a,a∈R,f'(x)=0的判别式Δ=4a.
①当Δ≤0,即a≤0时,f'(x)≥0恒成立且f'(x)不恒为0,所以函数f(x)在R上是增函数;
②当Δ>0,即a>0时,令f'(x)=0,得x=-或x=,
由f'(x)>0,得x<-或x>,由f'(x)<0,得-综上可知,当a≤0时,函数f(x)在R上是增函数;
当a>0时,函数f(x)在(-∞,-)和(,+∞)上单调递增,在(-,)上单调递减.
例2 解:函数f(x)的定义域为(0,+∞),且f'(x)=2x-(a+2)+=.
①当a≤0时,2x-a>0,由f'(x)>0,得x>1;由f'(x)<0,得0②当0<<1,即00,得01;由f'(x)<0,得则函数f(x)的单调递增区间为,(1,+∞),单调递减区间为.
③当=1,即a=2时,f'(x)≥0恒成立且f'(x)不恒为0,则函数f(x)的单调递增区间为(0,+∞).
④当>1,即a>2时,
由f'(x)>0,得0;由f'(x)<0,得1综上所述,当a≤0时,函数f(x)在(1,+∞)上单调递增,在(0,1)上单调递减;
当0当a=2时,函数f(x)在(0,+∞)上单调递增;
当a>2时,函数f(x)在(0,1)和上单调递增,在上单调递减.
变式 解:由题知f'(x)=3x2-6ax,令f'(x)=0,解得x=0或x=2a.
当a=0时,f'(x)=3x2≥0且f'(x)不恒为0,此时函数f(x)在R上单调递增;当a>0时,令f'(x)>0,得x<0或x>2a,令f'(x)<0,得0当a<0时,令f'(x)>0,得x<2a或x>0,令f'(x)<0,得2a拓展 解:函数f(x)的定义域为(0,+∞),由f(x)=ax2+2(1-a)x-2ln x,得f'(x)=2ax+2(1-a)-=.
①当a=0时,f'(x)=,
令f'(x)<0,得x∈(0,1),令f'(x)>0,得x∈(1,+∞),
则f(x)的单调递减区间为(0,1),单调递增区间为(1,+∞).
②当a>0时,令f'(x)=0,解得x=1或x=-(舍去).
则当x∈(0,1)时,f'(x)<0,当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0,
则f(x)的单调递减区间为(0,1),单调递增区间为(1,+∞).
③当a<-1时,令f'(x)=0,解得x=1或x=-,
则当x∈∪(1,+∞)时,f'(x)<0,当x∈时,f'(x)>0,
则f(x)的单调递减区间为和(1,+∞),单调递增区间为.
④当a=-1时,f'(x)=≤0且f'(x)不恒为0,则f(x)的单调递减区间为(0,+∞),无单调递增区间.
⑤当-1则当x∈(0,1)∪时,f'(x)<0,当x∈时,f'(x)>0,
则f(x)的单调递减区间为(0,1)和,单调递增区间为.
综上,当a≥0时,f(x)的单调递减区间为(0,1),单调递增区间为(1,+∞);
当a<-1时,f(x)的单调递减区间为和(1,+∞),单调递增区间为;
当a=-1时,f(x)的单调递减区间为(0,+∞),无单调递增区间;
当-1探究点二
例3 (1)D (2)A (3)1(答案不唯一) [解析] (1)因为g(x)=x2-2aln x-2x在(0,+∞)上为增函数,所以g'(x)=x--2≥0在(0,+∞)上恒成立,即2a≤x(x-2)当x∈(0,+∞)时恒成立.因为当x∈(0,+∞)时,y=x(x-2)=(x-1)2-1≥-1,当且仅当x=1时,等号成立,所以2a≤-1,即a≤-,所以实数a的取值范围为.故选D.
(2)由题意得f'(x)=+2x=.当a≥0时,f'(x)>0恒成立,不符合题意;当a<0时,令f'(x)<0,可得0(3)由f(x)=ax2+,得f'(x)=2ax-=,因为函数f(x)=ax2+在(1,+∞)上不单调,所以f'(x)在(1,+∞)上有变号零点,即2ax3-8=0在(1,+∞)上有实数解,即a=(*)在(1,+∞)上有实数解.当x∈(1,+∞)时,x3∈(1,+∞),∈(0,4),所以a∈(0,4).不妨取a=1,代入(*)式得x=,
此时,当1时,f'(x)>0,即f(x)在(1,)上单调递减,在(,+∞)上单调递增,即函数f(x)=ax2+在(1,+∞)上不单调,故a的一个取值可以为1.(答案不唯一)
变式 解:(1)因为f(x)=ln x-ax2-2x,x∈(0,+∞),
所以f'(x)=-ax-2,x∈(0,+∞).
因为f(x)在(0,+∞)上存在单调递减区间,
所以当x∈(0,+∞)时,-ax-2<0有解,即a>-有解.
设g(x)=-(x>0),所以只要a>g(x)min即可.
因为g(x)=-1,所以g(x)min=g(1)=-1,所以a>-1,
所以实数a的取值范围为(-1,+∞).
(2)因为f(x)在[1,4]上单调递减,
所以当x∈[1,4]时,f'(x)=-ax-2≤0恒成立,即a≥-恒成立,即当x∈[1,4]时,a≥.
-=-1,
当x∈[1,4]时,∈,所以当=,即x=4时,-取得最大值-,所以a≥-,
所以实数a的取值范围是.第2课时 函数单调性的应用
1.A [解析] 因为f'(x)=a2+1>0,所以f(x)在R上是增函数,其单调性与a,b无关.故选A.
2.D [解析] 由题意知y'=x2+ax+1,因为函数y=x3+ax2+x+b有单调递减区间,所以y'=x2+ax+1<0有解,所以Δ=a2-4>0,即a2>4,b∈R,故选D.
3.D [解析] 由f(x)=ln(x+1)-mx,得f'(x)=-m,由题可知f'(x)=-m≤0在(0,+∞)上恒成立,即m≥在(0,+∞)上恒成立.因为函数y=在(0,+∞)上单调递减,所以<1,故m≥1.当m=1时,导数f'(x)不恒为0,符合题意,故选D.
4.B [解析] 由f(x)=-x3+2ax,得f'(x)=-3x2+2a,令f'(x)≤0,得a≤,由x∈(-∞,1),可得a≤0,则f(x)=-x3+2ax在(-∞,1)上单调递减等价于a≤0.当a≤0时,显然a<,反之不成立,故“a<”是“f(x)=-x3+2ax在(-∞,1)上单调递减”的必要不充分条件.故选B.
5.D [解析] 由题意可得当x∈时,f'(x)≥0恒成立,即b≥-2cos x恒成立.当x∈时,-2cos x∈(-,0),故b≥0.当b=0时,导数不恒为0,符合题意.故选D.
6.D [解析] ∵f(x)=ln x+ax2-2,∴f'(x)=+2ax.若f(x)在区间内存在单调递增区间,则f'(x)>0在区间上有解,故当x∈时,a>-有解.令g(x)=-,x∈(0,+∞),则易知g(x)=-在上单调递增,∴当x∈时,g(x)>g=-2,故a>-2.故选D.
7.AB [解析] 当a=0时,f(x)=-3x2+x+1,显然不满足题意.当a≠0时,f'(x)=3ax2-6x+1,因为f(x)恰好有三个单调区间,所以f'(x)=3ax2-6x+1有两个变号零点,则Δ=36-12a>0,可得a<3且a≠0,故a的取值范围为(-∞,0)∪(0,3).故选AB.
8.AC [解析] 函数f(x)的导函数为f'(x)=ax2-2ax=ax(x-2),当a<0时,函数f(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,2)上单调递增,在(2,+∞)上单调递减,所以D可能是f(x)的图象;当a>0时,函数f(x)在(-∞,0)上单调递增,在(0,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增,所以B可能是f(x)的图象.故选AC.
9.3 [解析] ∵f(x)=x3-ax在(1,+∞)上单调递增,∴f'(x)=3x2-a≥0在(1,+∞)上恒成立,即a≤3x2在(1,+∞)上恒成立,∵当x∈(1,+∞)时,3x2≥3恒成立,∴a≤3,∴a的最大值是3.
10.(1,4) [解析] 由题可得f'(x)=x-=,因为在区间(1,2)上存在x1,x2(x1≠x2),使得f(x1)=f(x2),所以函数f(x)=x2-aln x在区间(1,2)上不是单调函数,所以f'(x)=0在(1,2)上有解,所以x2-a=0在(1,2)上有解,所以a∈(1,4).
11.a≤0 [解析] 因为对任意的x1>x2>0,都有f(x1)0),所以a-≤0对任意x∈(0,+∞)恒成立,即当x>0时,a≤恒成立,又>0,所以a≤0.
12.(1,2] [解析] 函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=x-=,令f'(x)≤0,得013.解:函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=2x-=,因为a∈R,a≠0,所以当a<0时,f'(x)>0在(0,+∞)上恒成立,所以函数f(x)的单调递增区间为(0,+∞),无单调递减区间.当a>0时,由得x>,由得00时,f(x)的单调递增区间为(,+∞),单调递减区间为(0,).
14.解:由题意得f'(x)=3x2-2x+a,则导函数f'(x)的判别式Δ=4-12a.
当Δ=4-12a≤0,即a≥时,f'(x)≥0恒成立,则f(x)在R上单调递增.
当Δ=4-12a>0,即a<时,令f'(x)=0,解得x1=,x2=,
所以当x∈时,f'(x)>0,f(x)单调递增;
当x∈时,f'(x)<0,f(x)单调递减;
当x∈时,f'(x)>0,f(x)单调递增.
综上可得,当a≥时,f(x)在R上单调递增,
当a<时,f(x)在,上单调递增,在上单调递减.
15.[0,e-1] [解析] 由题意得f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=,由f'(x)>0,得016.解:由函数f(x)=-2x2+ln x,得f'(x)=-4x+(x>0),∵函数f(x)在[1,2]上单调,∴当x∈[1,2]时,f'(x)≥0或f'(x)≤0恒成立,即≥4x-或≤4x-对任意x∈[1,2]恒成立,且a>0.设h(x)=4x-,∵函数h(x)在[1,2]上单调递增,∴≥h(2)=4×2-=或≤h(1)=3,可得0【学习目标】
1.结合实例,借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.
2.对于多项式函数,能求不超过三次的多项式函数的单调区间.
◆ 探究点一 讨论含参函数的单调性
角度1 对“Δ”进行讨论
例1 [2023·辽宁辽阳高二期末] 已知函数f(x)=2x3+3(a-2)x2-12ax,讨论f(x)的单调性.
变式 讨论函数f(x)=x3-ax+a,a∈R的单调性.
角度2 对“根的大小”进行讨论
例2 已知函数f(x)=x2-(a+2)x+aln x(x>0,a∈R),讨论函数f(x)的单调性.
变式 讨论函数f(x)=x3-3ax2+b的单调性.
[素养小结]
分类讨论含参函数的单调性的步骤:
第一步:求定义域;
第二步:求导,令导数为0解出根(先考虑因式分解);
第三步:比较各根的大小关系,进行分类讨论;
第四步:根据导数正负分类写出单调区间;
第五步:综述,把单调性相同的情况合并在一起.
拓展 已知函数f(x)=ax2+2(1-a)x-2ln x(a∈R),讨论函数f(x)的单调性.
◆ 探究点二 已知函数的单调性求参数范围
例3 (1)已知函数g(x)=x2-2aln x-2x(x∈(0,+∞))为增函数,则实数a的取值范围为( )
A. B.
C. D.
(2)若函数f(x)=aln x+x2-4(x>0)在区间上存在单调递减区间,则实数a的取值范围是 ( )
A. B.
C.(-∞,-18] D.
(3)[2023·吉林辽源高二期末] 已知函数f(x)=ax2+在(1,+∞)上不单调,则整数a的一个取值可能是 .
变式 已知函数f(x)=ln x-ax2-2x.
(1)若函数f(x)存在单调递减区间,求实数a的取值范围;
(2)若函数f(x)在[1,4]上单调递减,求实数a的取值范围.
[素养小结]
已知函数的单调性求参数的取值范围是一种常见的题型,常利用导数与函数单调性的关系,即若函数f(x)在某个区间内单调递增,则在这个区间内f'(x)≥0,若函数f(x)在某个区间内单调递减,则在这个区间内f'(x)≤0来求解.注意不等式中的等号不能省略,否则会漏解.