广东省清远市连州中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题
一、单选题：本小题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的
1．（2025高二上·连州期中）已知向量，若，则（ ）
A．2 B． C．-2 D．
【答案】D
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】解：因为向量，且，
所以，解得.
故答案为：D.
【分析】由向量平行的充要条件列出方程即可求解，，，若，则.
2．（2025高二上·连州期中）设集合，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】并集及其运算
【解析】【解答】解：由，
所以．
所以．
故答案为：A.
【分析】先根据一元二次函数、方程、不等式间的关系求解一元二次不等式得出集合B，再应用并集定义，若A和B是集合，则A和B并集是有所有A的元素和所有B的元素，计算求解.
3．（2025高二上·连州期中）如图中的直线，，的斜率分别为，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】直线的倾斜角；直线的斜率
【解析】【解答】解：设直线，的倾斜角为，由图可知，
所以，即，，所以．
故答案为：D.
【分析】设直线的倾斜角为，斜率存在且为，斜率及倾斜角的关系即为，由正切函数图象和性质可知，当时，函数单调递增且；当，函数单调递增且.
4．（2025高二上·连州期中）已知空间直角坐标系中，点关于坐标原点的对称点为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】空间中两点间的距离公式
【解析】【解答】解：点关于坐标原点的对称点为，
.
故答案为：B.
【分析】根据空间直角坐标系中关于原点对称的点的坐标特征可求得，结合空间中两点间距离公式可求得结果，
若，，则.
5．（2025高二上·连州期中）已知直线，则下列结论正确的是（ ）
A．直线的倾斜角是钝角 B．的一个方向向量为
C．点到直线的距离为 D．与直线垂直
【答案】B
【知识点】直线的倾斜角；用斜率判定两直线垂直；平面内点到直线的距离公式
【解析】【解答】解：A：由，得直线，所以直线的斜率，
所以直线的倾斜角是锐角，故A错误；
B：由A可知直线的一个方向向量为，又直线的一个方向向量也可为，故B正确；
C：点到直线的距离，故C错误；
D：直线的斜率为，所以，
所以直线与直线不垂直，故D错误.
故答案为：B.
【分析】将直线一般式方程化为斜截式，求得斜率判断A；求得直线的一个方向量，再根据两向量平行的充要条件判断B；由点到直线的距离公式，求得点到直线的距离判断C；求得两直线的斜率之积判断D.
6．（2025高二上·连州期中）棱长为的正方体的顶点都在球面上，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；球内接多面体
【解析】【解答】解：球的直径即为正方体的体对角线，设球的半径为，
则，所以球的表面积为S=.
故答案为：B.
【分析】先根据正方体结构特征求出球的半径，再结合球的表面积公式即可求解.
7．（2025高二上·连州期中）直线：与直线：的距离是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平面内两条平行直线间的距离
【解析】【解答】解：设 与的距离为d，
则 .
故答案为：B.
【分析】利用平行线间的距离公式可直接求解，直线方程，，则两平行直线的距离.
8．（2025高二上·连州期中）已知三棱锥平面，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】异面直线所成的角；直线与平面垂直的性质
【解析】【解答】解：
如图，令
分别取的中点，并连接，
所以
，
所以异面直线与所成角等于，
因为三棱锥平面，又平面，平面
所以，
因为三棱锥平面，
所以
所以
又因为三棱锥平面，
所以，又
所以，所以
所以在三角形中，，
即异面直线与所成角的余弦值为，
故答案为：B.
【分析】通过三角形中位线性质平移直线与，将异面直线所成角转化为，然后根据已知条件求出三角形的三条边长，利用余弦定理即可求解.
二、多选题：本题共3小题，每题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．（2025高二上·连州期中）对于直线，下列选项正确的是（ ）
A．直线l恒过点
B．当时，直线l在y轴上的截距为3
C．若直线l不经过第二象限，则
D．坐标原点到直线l的距离的最大值为
【答案】A,D
【知识点】直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系；恒过定点的直线；平面内点到直线的距离公式
【解析】【解答】解：已知直线，则，
由，得，
A：由分析知直线恒过点，故A正确；
B：当时，直线，令，，故在轴上的截距为，B错误，
C：当时，直线的方程为，直线不经过第二象限，故C不正确；
D：因为直线过定点，所以坐标原点到直线的距离的最大值为，故D正确．
故答案为：AD．
【分析】将方程变形为，保证参数系数为0和等式成立即可列方程求解定点判断A，令，，轴上的截距为，即可判断B，取，即可判断C，根据直线恒过定点，判断点到直线的最大距离为原点和定点的距离，即可判断D.
10．（2025高二上·连州期中）在空间直角坐标系中，已知，则以下正确的是（ ）
A． B．夹角的余弦值为
C．A，B，C，D共面 D．点O到直线的距离是
【答案】A,C,D
【知识点】共面向量定理；点、线、面间的距离计算；用空间向量求直线间的夹角、距离；空间向量的数量积运算的坐标表示
【解析】【解答】解：，
A、易知，则，故A正确；
B、由A选项可知：夹角的余弦值为，
故B错误；
C、易知，，则A，B，C，D共面，故C正确；
D、，，则点O到直线AB的距离是，故D正确．
故答案为：ACD．
【分析】由题意，先求相应向量的坐标，根据空间向量数量积的坐标运算以及夹角公式求解即可判断AB；根据共面向量基本定理即可判断C；利用空间向量法求点线距离即可判断D.
11．（2025高二上·连州期中）如图，在棱长为2的正方体中，，分别是棱，的中点，点在上，点在上，且，点在线段上运动，下列说法正确的有（ ）
A．当点是中点时，直线平面；
B．直线到平面的距离是；
C．存在点，使得；
D．面积的最小值是
【答案】A,C
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面平行的性质；用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【解答】解：A：由是中点，，得点是的中点，连接，显然也是的中点，连接，
于是，而平面，平面，所以直线平面，故A正确；
B：分别是棱的中点，则，平面，平面，于是平面，因此直线到平面的距离等于点到平面的距离h，
，
，，，
由，得，故B错误；
以A为原点，建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，
C：设，则，，，，
由，得，解得，
由于，因此存在点，使得，故C正确；
D：由选项C得在的投影点为，
则P到的距离，
面积为 ，所以当时，取得最小值为，故D错误.
故答案为：AC.
【分析】，根据线面平行的判定判断A；先判断直线与平面平行，将线到平面的距离转化为点到平面的距离，利用三棱锥的几何结构特征和已知的线面垂直，根据等体积法求得点到平面的距离判断B；建立空间直角坐标系，利用向量共线定理，用参数表示点P坐标，利用空间向量的数量积运算解决垂直问题判断C；求出面积的表达式，再求得面积的最小值判断D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12．（2025高二上·连州期中）若，则 ．
【答案】
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数代数形式的加减运算；复数代数形式的混合运算；共轭复数
【解析】【解答】解：由可得，
则共轭复数，所以．
故答案为：.
【分析】根据复数的运算求解和，再求即可，注意分式复数运算时，利用共轭复数将分母实数化.
13．（2025高二上·连州期中）已知一组数据1，2，0，，x，1的平均数是1，则这组数据的中位数为 .
【答案】1
【知识点】众数、中位数、平均数
【解析】【解答】解：这组数据的平均数为，有，可求得.
将这组数据从小到大重新排列后，观察数据可知最中间的两个数是1与1，
其平均数即中位数是.
故答案为：1.
【分析】由平均数的公式求得，根据中位数的概念，即中位数是指将一组数据按大小顺序排列后，位于中间位置的数值，即可求出结果.
14．（2025高二上·连州期中）已知点P在直线上，点，则的最小值为
【答案】
【知识点】平面内中点坐标公式；与直线关于点、直线对称的直线方程
【解析】【解答】解：如图，设关于直线的对称点为，
则，解得，则，
于是，
结合图形知，当三点共线时，此时取得最小值，
即取得最小值为
故答案为：.
【分析】求线段长度之差最小值或线段之和最小值，一般根据定义法或对称法等，将折线变为直线（求差P在AB一边，求和P在AB中间），从而可求线段差的最小值.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
15．（2025高二上·连州期中）已知直线．
（1）求经过点且与直线垂直的直线方程；
（2）求经过直线与的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程．
【答案】（1）解：由直线可得斜率为，
所以根据垂直关系可设所求直线方程为，
则依题意有，解得，
所以所求直线方程为，整理得；
（2）解：联立，解得，即直线与的交点为，
当直线经过原点时，满足题意，假设直线方程为，
代入得，此时；
当直线的截距都不为0时，假设直线方程为，
依题意，解得，此时直线方程为，即
综上所述：所求直线方程为或．
【知识点】两条直线垂直的判定；直线的截距式方程；两条直线的交点坐标
【解析】【分析】（1）利用垂直的性质可设斜截式直线方程或设一般式的垂直直线系方程，将点代入，利用待定系数法求解直线即可；
（2）先联立方程组求出两直线交点坐标，利用截距为0和不为0进行分类讨论：当截距为0时，设直线方程；当截距不为0时，可设直线截距式方程，将点代入求出参数即可.
（1）由直线可得斜率为，
所以根据垂直关系可设所求直线方程为，
则依题意有，解得，
所以所求直线方程为，整理得；
（2）联立，解得，即直线与的交点为，
当直线经过原点时，满足题意，假设直线方程为，
代入得，此时；
当直线的截距都不为0时，假设直线方程为，
依题意，解得，此时直线方程为，即
综上所述：所求直线方程为或．
16．（2025高二上·连州期中）我国发射的天宫一号飞行器需要建造隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本是6万元，天宫一号每年的能源消耗费用（万元）与隔热层厚度（厘米）满足关系式：，若无隔热层，则每年能源消耗费用为5万元，设为隔热层建造费用与使用20年的能源消耗费用之和.
（1）求值和的表达式；
（2）当隔热层修建多少厘米厚时，最小？请说明理由并求出的最小值.
【答案】（1）解：（1）当时，，则，
故，
所以；
（2）解：（2）由，
当且仅当，即取等号，
故时，
即隔热层修建厘米厚时，总费用达到最小，最小值为万元.
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数的最大（小）值；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】（1）根据关系式：无隔热层，则每年能源消耗费用为万元，可求值，利用为隔热层建造费用与使用年的能源消耗费用之和，可求函数关系式；
（2）将函数解析式变形，化成已知函数的形式，再利用基本不等式，即可求得函数的最小值．
（1）当时，，则，
故，
所以；
（2）由，当且仅当，即取等号，
故时，
即隔热层修建厘米厚时，总费用达到最小，最小值为万元.
17．（2025高二上·连州期中）已知，其中向量，
（1）求的最小正周期以及其在的单调增区间；
（2）在中，角的对边分别为，若，求角的值．
【答案】（1）解：（1） ，
最小正周期 ，
其增区间满足 ，
即，
令，有，令，有，
故在上的单调增区间为和；
（2）解：（2）时，有，
而中，，故，即，
由正弦定理，得或（舍），
所以.
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；含三角函数的复合函数的周期；正弦函数的性质；正弦定理的应用
【解析】【分析】（1）先根据平面向量的数量积坐标公式计算得到函数解析式，再结合正弦函数的周期及增区间，整体代入解出的范围，最后取值，求出规定范围内的单调增区间；
（2）根据已知函数值和三角形中角的范围求出，再应用正弦定理求出，三角形中大边对大角，进而求出角.
（1） ，
最小正周期 ，
其增区间满足 ，
即，
令，有，令，有，
故在上的单调增区间为和；
（2）时，有，
而中，，故，即，
由正弦定理，得或（舍），
所以.
18．（2025高二上·连州期中）甲、乙二人进行一次围棋比赛，采用5局3胜制，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，同时比赛结束．假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立．已知前2局中，甲、乙各胜1局．
（1）求再赛2局结束这次比赛的概率；
（2）求甲获得这次比赛胜利的概率．
【答案】（1）解：用表示事件“第局甲胜”，表示事件“第局乙胜”（），设“再赛2局结束这次比赛”为事件，则，
由于各局比赛结果相互独立，且事件与事件互斥，所以
．
故再赛2局结束这次比赛的概率为.
（2）解：记“甲获得这次比赛胜利”为事件，
因为前两局中，甲、乙各胜一局，
故甲成为胜方当且仅当在后面的比赛中，甲先胜2局，
则，
由于各局比赛结果相互独立，且事件，，两两互斥，
所以.
故甲获得这次比赛胜利的概率为.
【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【分析】（1）再赛2局结束这次比赛分“第三、四局甲胜”与“第三、四局乙胜”两类情况，再根据互斥事件加法求概率公式和独立事件乘法求概率公式，从而得出再赛2局结束这次比赛的概率.
（2）由题意可知甲获得这次比赛胜利只需后续比赛中甲先胜两局即可，再根据互斥事件加法求概率公式和独立事件乘法求概率公式，从而得出甲获得这次比赛胜利的概率．
（1）用表示事件“第局甲胜”，表示事件“第局乙胜”（），
设“再赛2局结束这次比赛”为事件，则，
由于各局比赛结果相互独立，且事件与事件互斥.
所以
．
故再赛2局结束这次比赛的概率为.
（2）记“甲获得这次比赛胜利”为事件，
因前两局中，甲、乙各胜一局，故甲成为胜方当且仅当在后面的比赛中，甲先胜2局，
从而，
由于各局比赛结果相互独立，且事件，，两两互斥，
所以.
故甲获得这次比赛胜利的概率为.
19．（2025高二上·连州期中）如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，侧棱底面，垂直于和，，．是棱的中点．
（1）求证：面；
（2）求二面角的正弦值；
（3）在线段上是否存在一点使得与平面所成角的正弦值为若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由.
【答案】证明：（1）以点为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则
，，，，．
则，，．
设平面的法向量是，则，即
令，则，．于是．
，．
又平面，平面．
（2）设平面的法向量为．则，
即，据此可得平面的一个法向量，
设二面角的平面角大小为，
则，即．
二面角的正弦值为．
（3）假设存在满足题意的点，且：，
设点N的坐标为，据此可得：，
由对应坐标相等可得，
故，由于平面的一个法向量，
由题意可得：
解得：，
据此可得存在满足题意的点，且的值为.
【知识点】用空间向量研究直线与平面的位置关系；用空间向量研究直线与平面所成的角；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）根据已知条件中线线垂直和线面垂直关系，建立合适的空间直角坐标系，求出相关向量的坐标，利用平面的法向量即可证明平面；
（2）分别求出平面与平面的法向量，利用法向量的夹角即可得出，若求二面角的余弦值注意观察二面角为锐角还是钝角；
（3）假设存在，根据平面向量共线定理，用参数表示点的坐标，从而求得故和平面的一个法向量，利用线面角的夹角公式即可得出表达式，解方程即可.
1 / 1广东省清远市连州中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题
一、单选题：本小题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的
1．（2025高二上·连州期中）已知向量，若，则（ ）
A．2 B． C．-2 D．
2．（2025高二上·连州期中）设集合，则（ ）
A． B．
C． D．
3．（2025高二上·连州期中）如图中的直线，，的斜率分别为，，，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2025高二上·连州期中）已知空间直角坐标系中，点关于坐标原点的对称点为，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2025高二上·连州期中）已知直线，则下列结论正确的是（ ）
A．直线的倾斜角是钝角 B．的一个方向向量为
C．点到直线的距离为 D．与直线垂直
6．（2025高二上·连州期中）棱长为的正方体的顶点都在球面上，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
7．（2025高二上·连州期中）直线：与直线：的距离是（ ）
A． B． C． D．
8．（2025高二上·连州期中）已知三棱锥平面，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题：本题共3小题，每题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．（2025高二上·连州期中）对于直线，下列选项正确的是（ ）
A．直线l恒过点
B．当时，直线l在y轴上的截距为3
C．若直线l不经过第二象限，则
D．坐标原点到直线l的距离的最大值为
10．（2025高二上·连州期中）在空间直角坐标系中，已知，则以下正确的是（ ）
A． B．夹角的余弦值为
C．A，B，C，D共面 D．点O到直线的距离是
11．（2025高二上·连州期中）如图，在棱长为2的正方体中，，分别是棱，的中点，点在上，点在上，且，点在线段上运动，下列说法正确的有（ ）
A．当点是中点时，直线平面；
B．直线到平面的距离是；
C．存在点，使得；
D．面积的最小值是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12．（2025高二上·连州期中）若，则 ．
13．（2025高二上·连州期中）已知一组数据1，2，0，，x，1的平均数是1，则这组数据的中位数为 .
14．（2025高二上·连州期中）已知点P在直线上，点，则的最小值为
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
15．（2025高二上·连州期中）已知直线．
（1）求经过点且与直线垂直的直线方程；
（2）求经过直线与的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程．
16．（2025高二上·连州期中）我国发射的天宫一号飞行器需要建造隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本是6万元，天宫一号每年的能源消耗费用（万元）与隔热层厚度（厘米）满足关系式：，若无隔热层，则每年能源消耗费用为5万元，设为隔热层建造费用与使用20年的能源消耗费用之和.
（1）求值和的表达式；
（2）当隔热层修建多少厘米厚时，最小？请说明理由并求出的最小值.
17．（2025高二上·连州期中）已知，其中向量，
（1）求的最小正周期以及其在的单调增区间；
（2）在中，角的对边分别为，若，求角的值．
18．（2025高二上·连州期中）甲、乙二人进行一次围棋比赛，采用5局3胜制，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，同时比赛结束．假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立．已知前2局中，甲、乙各胜1局．
（1）求再赛2局结束这次比赛的概率；
（2）求甲获得这次比赛胜利的概率．
19．（2025高二上·连州期中）如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，侧棱底面，垂直于和，，．是棱的中点．
（1）求证：面；
（2）求二面角的正弦值；
（3）在线段上是否存在一点使得与平面所成角的正弦值为若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】解：因为向量，且，
所以，解得.
故答案为：D.
【分析】由向量平行的充要条件列出方程即可求解，，，若，则.
2．【答案】A
【知识点】并集及其运算
【解析】【解答】解：由，
所以．
所以．
故答案为：A.
【分析】先根据一元二次函数、方程、不等式间的关系求解一元二次不等式得出集合B，再应用并集定义，若A和B是集合，则A和B并集是有所有A的元素和所有B的元素，计算求解.
3．【答案】D
【知识点】直线的倾斜角；直线的斜率
【解析】【解答】解：设直线，的倾斜角为，由图可知，
所以，即，，所以．
故答案为：D.
【分析】设直线的倾斜角为，斜率存在且为，斜率及倾斜角的关系即为，由正切函数图象和性质可知，当时，函数单调递增且；当，函数单调递增且.
4．【答案】B
【知识点】空间中两点间的距离公式
【解析】【解答】解：点关于坐标原点的对称点为，
.
故答案为：B.
【分析】根据空间直角坐标系中关于原点对称的点的坐标特征可求得，结合空间中两点间距离公式可求得结果，
若，，则.
5．【答案】B
【知识点】直线的倾斜角；用斜率判定两直线垂直；平面内点到直线的距离公式
【解析】【解答】解：A：由，得直线，所以直线的斜率，
所以直线的倾斜角是锐角，故A错误；
B：由A可知直线的一个方向向量为，又直线的一个方向向量也可为，故B正确；
C：点到直线的距离，故C错误；
D：直线的斜率为，所以，
所以直线与直线不垂直，故D错误.
故答案为：B.
【分析】将直线一般式方程化为斜截式，求得斜率判断A；求得直线的一个方向量，再根据两向量平行的充要条件判断B；由点到直线的距离公式，求得点到直线的距离判断C；求得两直线的斜率之积判断D.
6．【答案】B
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；球内接多面体
【解析】【解答】解：球的直径即为正方体的体对角线，设球的半径为，
则，所以球的表面积为S=.
故答案为：B.
【分析】先根据正方体结构特征求出球的半径，再结合球的表面积公式即可求解.
7．【答案】B
【知识点】平面内两条平行直线间的距离
【解析】【解答】解：设 与的距离为d，
则 .
故答案为：B.
【分析】利用平行线间的距离公式可直接求解，直线方程，，则两平行直线的距离.
8．【答案】B
【知识点】异面直线所成的角；直线与平面垂直的性质
【解析】【解答】解：
如图，令
分别取的中点，并连接，
所以
，
所以异面直线与所成角等于，
因为三棱锥平面，又平面，平面
所以，
因为三棱锥平面，
所以
所以
又因为三棱锥平面，
所以，又
所以，所以
所以在三角形中，，
即异面直线与所成角的余弦值为，
故答案为：B.
【分析】通过三角形中位线性质平移直线与，将异面直线所成角转化为，然后根据已知条件求出三角形的三条边长，利用余弦定理即可求解.
9．【答案】A,D
【知识点】直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系；恒过定点的直线；平面内点到直线的距离公式
【解析】【解答】解：已知直线，则，
由，得，
A：由分析知直线恒过点，故A正确；
B：当时，直线，令，，故在轴上的截距为，B错误，
C：当时，直线的方程为，直线不经过第二象限，故C不正确；
D：因为直线过定点，所以坐标原点到直线的距离的最大值为，故D正确．
故答案为：AD．
【分析】将方程变形为，保证参数系数为0和等式成立即可列方程求解定点判断A，令，，轴上的截距为，即可判断B，取，即可判断C，根据直线恒过定点，判断点到直线的最大距离为原点和定点的距离，即可判断D.
10．【答案】A,C,D
【知识点】共面向量定理；点、线、面间的距离计算；用空间向量求直线间的夹角、距离；空间向量的数量积运算的坐标表示
【解析】【解答】解：，
A、易知，则，故A正确；
B、由A选项可知：夹角的余弦值为，
故B错误；
C、易知，，则A，B，C，D共面，故C正确；
D、，，则点O到直线AB的距离是，故D正确．
故答案为：ACD．
【分析】由题意，先求相应向量的坐标，根据空间向量数量积的坐标运算以及夹角公式求解即可判断AB；根据共面向量基本定理即可判断C；利用空间向量法求点线距离即可判断D.
11．【答案】A,C
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面平行的性质；用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【解答】解：A：由是中点，，得点是的中点，连接，显然也是的中点，连接，
于是，而平面，平面，所以直线平面，故A正确；
B：分别是棱的中点，则，平面，平面，于是平面，因此直线到平面的距离等于点到平面的距离h，
，
，，，
由，得，故B错误；
以A为原点，建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，
C：设，则，，，，
由，得，解得，
由于，因此存在点，使得，故C正确；
D：由选项C得在的投影点为，
则P到的距离，
面积为 ，所以当时，取得最小值为，故D错误.
故答案为：AC.
【分析】，根据线面平行的判定判断A；先判断直线与平面平行，将线到平面的距离转化为点到平面的距离，利用三棱锥的几何结构特征和已知的线面垂直，根据等体积法求得点到平面的距离判断B；建立空间直角坐标系，利用向量共线定理，用参数表示点P坐标，利用空间向量的数量积运算解决垂直问题判断C；求出面积的表达式，再求得面积的最小值判断D.
12．【答案】
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数代数形式的加减运算；复数代数形式的混合运算；共轭复数
【解析】【解答】解：由可得，
则共轭复数，所以．
故答案为：.
【分析】根据复数的运算求解和，再求即可，注意分式复数运算时，利用共轭复数将分母实数化.
13．【答案】1
【知识点】众数、中位数、平均数
【解析】【解答】解：这组数据的平均数为，有，可求得.
将这组数据从小到大重新排列后，观察数据可知最中间的两个数是1与1，
其平均数即中位数是.
故答案为：1.
【分析】由平均数的公式求得，根据中位数的概念，即中位数是指将一组数据按大小顺序排列后，位于中间位置的数值，即可求出结果.
14．【答案】
【知识点】平面内中点坐标公式；与直线关于点、直线对称的直线方程
【解析】【解答】解：如图，设关于直线的对称点为，
则，解得，则，
于是，
结合图形知，当三点共线时，此时取得最小值，
即取得最小值为
故答案为：.
【分析】求线段长度之差最小值或线段之和最小值，一般根据定义法或对称法等，将折线变为直线（求差P在AB一边，求和P在AB中间），从而可求线段差的最小值.
15．【答案】（1）解：由直线可得斜率为，
所以根据垂直关系可设所求直线方程为，
则依题意有，解得，
所以所求直线方程为，整理得；
（2）解：联立，解得，即直线与的交点为，
当直线经过原点时，满足题意，假设直线方程为，
代入得，此时；
当直线的截距都不为0时，假设直线方程为，
依题意，解得，此时直线方程为，即
综上所述：所求直线方程为或．
【知识点】两条直线垂直的判定；直线的截距式方程；两条直线的交点坐标
【解析】【分析】（1）利用垂直的性质可设斜截式直线方程或设一般式的垂直直线系方程，将点代入，利用待定系数法求解直线即可；
（2）先联立方程组求出两直线交点坐标，利用截距为0和不为0进行分类讨论：当截距为0时，设直线方程；当截距不为0时，可设直线截距式方程，将点代入求出参数即可.
（1）由直线可得斜率为，
所以根据垂直关系可设所求直线方程为，
则依题意有，解得，
所以所求直线方程为，整理得；
（2）联立，解得，即直线与的交点为，
当直线经过原点时，满足题意，假设直线方程为，
代入得，此时；
当直线的截距都不为0时，假设直线方程为，
依题意，解得，此时直线方程为，即
综上所述：所求直线方程为或．
16．【答案】（1）解：（1）当时，，则，
故，
所以；
（2）解：（2）由，
当且仅当，即取等号，
故时，
即隔热层修建厘米厚时，总费用达到最小，最小值为万元.
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数的最大（小）值；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】（1）根据关系式：无隔热层，则每年能源消耗费用为万元，可求值，利用为隔热层建造费用与使用年的能源消耗费用之和，可求函数关系式；
（2）将函数解析式变形，化成已知函数的形式，再利用基本不等式，即可求得函数的最小值．
（1）当时，，则，
故，
所以；
（2）由，当且仅当，即取等号，
故时，
即隔热层修建厘米厚时，总费用达到最小，最小值为万元.
17．【答案】（1）解：（1） ，
最小正周期 ，
其增区间满足 ，
即，
令，有，令，有，
故在上的单调增区间为和；
（2）解：（2）时，有，
而中，，故，即，
由正弦定理，得或（舍），
所以.
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；含三角函数的复合函数的周期；正弦函数的性质；正弦定理的应用
【解析】【分析】（1）先根据平面向量的数量积坐标公式计算得到函数解析式，再结合正弦函数的周期及增区间，整体代入解出的范围，最后取值，求出规定范围内的单调增区间；
（2）根据已知函数值和三角形中角的范围求出，再应用正弦定理求出，三角形中大边对大角，进而求出角.
（1） ，
最小正周期 ，
其增区间满足 ，
即，
令，有，令，有，
故在上的单调增区间为和；
（2）时，有，
而中，，故，即，
由正弦定理，得或（舍），
所以.
18．【答案】（1）解：用表示事件“第局甲胜”，表示事件“第局乙胜”（），设“再赛2局结束这次比赛”为事件，则，
由于各局比赛结果相互独立，且事件与事件互斥，所以
．
故再赛2局结束这次比赛的概率为.
（2）解：记“甲获得这次比赛胜利”为事件，
因为前两局中，甲、乙各胜一局，
故甲成为胜方当且仅当在后面的比赛中，甲先胜2局，
则，
由于各局比赛结果相互独立，且事件，，两两互斥，
所以.
故甲获得这次比赛胜利的概率为.
【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【分析】（1）再赛2局结束这次比赛分“第三、四局甲胜”与“第三、四局乙胜”两类情况，再根据互斥事件加法求概率公式和独立事件乘法求概率公式，从而得出再赛2局结束这次比赛的概率.
（2）由题意可知甲获得这次比赛胜利只需后续比赛中甲先胜两局即可，再根据互斥事件加法求概率公式和独立事件乘法求概率公式，从而得出甲获得这次比赛胜利的概率．
（1）用表示事件“第局甲胜”，表示事件“第局乙胜”（），
设“再赛2局结束这次比赛”为事件，则，
由于各局比赛结果相互独立，且事件与事件互斥.
所以
．
故再赛2局结束这次比赛的概率为.
（2）记“甲获得这次比赛胜利”为事件，
因前两局中，甲、乙各胜一局，故甲成为胜方当且仅当在后面的比赛中，甲先胜2局，
从而，
由于各局比赛结果相互独立，且事件，，两两互斥，
所以.
故甲获得这次比赛胜利的概率为.
19．【答案】证明：（1）以点为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则
，，，，．
则，，．
设平面的法向量是，则，即
令，则，．于是．
，．
又平面，平面．
（2）设平面的法向量为．则，
即，据此可得平面的一个法向量，
设二面角的平面角大小为，
则，即．
二面角的正弦值为．
（3）假设存在满足题意的点，且：，
设点N的坐标为，据此可得：，
由对应坐标相等可得，
故，由于平面的一个法向量，
由题意可得：
解得：，
据此可得存在满足题意的点，且的值为.
【知识点】用空间向量研究直线与平面的位置关系；用空间向量研究直线与平面所成的角；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）根据已知条件中线线垂直和线面垂直关系，建立合适的空间直角坐标系，求出相关向量的坐标，利用平面的法向量即可证明平面；
（2）分别求出平面与平面的法向量，利用法向量的夹角即可得出，若求二面角的余弦值注意观察二面角为锐角还是钝角；
（3）假设存在，根据平面向量共线定理，用参数表示点的坐标，从而求得故和平面的一个法向量，利用线面角的夹角公式即可得出表达式，解方程即可.
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