第2课时 函数极值的综合问题
【课中探究】
探究点一
例1 解:由f(x)=+x+1,得f'(x)=1-=.①当a≤0时,f'(x)>0恒成立, f(x)在R上为增函数, f(x)无极值.②当a>0时,令f'(x)=0,得ex=a, 即x=ln a.易知当x∈(-∞,ln a)时,f'(x)<0,当 x∈(ln a,+∞)时, f'(x)>0,∴f(x)在(-∞,ln a)上单调递减,在(ln a,+∞)上单调递增,∴f(x)在x=ln a处取得极小值,极小值为f(ln a)=ln a+2,无极大值.综上所述,当a≤0时,f(x)无极值;当a>0时,f(x)有极小值ln a+2,无极大值.
变式 解:函数f(x)=ln x+ax2-(2a+1)x的定义域为(0,+∞),f'(x)=+2ax-(2a+1)=.
①当a>时,函数f(x)的单调递增区间为,(1,+∞),单调递减区间为,所以当x=时,f(x)取得极大值f=-ln(2a)-,
当x=1时,f(x)取得极小值f(1)=-a-1;
②当0
③当a=时,f'(x)≥0恒成立且f'(x)不恒为0,故函数f(x)的单调递增区间为(0,+∞),无极值.
综上,当a>时,f(x)的极大值为-ln(2a)-,极小值为-a-1;当0探究点二
例2 (1) (2) [解析] (1)f'(x)=-a,由题意得f'(x)=-a=0在(0,+∞)上有解,可得x=且a>0,此时f=ln=1,所以a=.检验:当a=时,f'(x)=-,当00,f(x)单调递增,当x>e时,f'(x)<0,f(x)单调递减,所以当x=e时,f(x)取得极大值,极大值为f(e)=ln e-·e+1=1,符合题意.故a=.
(2)f'(x)=xex-2kx=x(ex-2k),当k≤0时,ex-2k>0恒成立,此时f(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,f(x)在x=0处取得极小值,不符合题意.当k>0时,令f'(x)=x(ex-2k)=0,得x=0或x=ln(2k),若当x=0时,f(x)有极大值,则ln(2k)>0,得k>.所以k的取值范围为.
变式 2 9 [解析] 因为f(x)=x3+3ax2+bx+a2,所以f'(x)=3x2+6ax+b,由题意可知,即解得或当a=1,b=3时,f'(x)=3x2+6x+3=3(x+1)2≥0且f'(x)不恒为0,函数f(x)为(-∞,+∞)上的增函数,此时函数f(x)无极值,不合题意;当a=2,b=9时,f'(x)=3x2+12x+9=3(x+1)(x+3),令f'(x)>0,得x<-3或x>-1,令f'(x)<0,得-3探究点三
例3 解:函数f(x)=x2-2x+ln x的定义域为(0,+∞),且f'(x)=ax-2+.由题可知f'(x)=0(x>0)有解,可得a=-=-+1≤1.当a=1时,f'(x)=x-2+=≥0恒成立,且f'(x)不恒为0,不符合题意.因此实数a的取值范围是(-∞,1).
变式1 (-1,) [解析] 由f(x)=ex(sin x-a),得
f'(x)=ex(sin x+cos x-a)=ex.
因为函数f(x)=ex(sin x-a)在区间(0,π)上存在极值,
所以f'(x)=ex在(0,π)上有变号零点.
因为00,即sin-a=0在(0,π)上有解,
即a=sin在(0,π)上有解.
因为0于是得-1变式2 解:由f(x)=,x∈(0,+∞),得f'(x)=-,x∈(0,+∞).令f'(x)=0,得x=1,当00,当x>1时,f'(x)<0,所以函数f(x)存在唯一的极大值点x=1.由题意可得解得1.D [解析] 由题可得f'(x)=a(ln x+1)-2e2x-2,因为x=1是函数f(x)的极值点,所以f'(1)=a(ln 1+1)-2e2-2=a-2=0,所以a=2,经验证符合题意.故选D.
2.B [解析] 由题意可知,f'(x)=(x-a+1)·ex.令f'(x)=0,解得x=a-1.当x>a-1时,f'(x)>0;当x1,解得a>2.所以“a>1”是“函数f(x)=(x-a)·ex在(1,+∞)上有极值”的必要不充分条件.故选B.
3.D [解析] 由题可得,f(x)的定义域是(0,+∞),f'(x)=x-2+=.若函数f(x)有两个不同的极值点,则x2-2x+a=0在(0,+∞)上有两个不同的实数根,故解得04.B [解析] 由题知a≠0,y'=aex+3,令y'=0,则ex=-,则->0,又由题知-<1,所以a<-3.
5.B [解析] 因为f(x)=x2-(a+2)x+aln x既有极大值又有极小值,且f'(x)=2x-a-2+==(x>0),所以f'(x)=0有两个不等的正实数解,所以>0且≠1,解得a>0且a≠2,故选B.
6.B [解析] f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=-ax-b,由f'(1)=0,得b=1-a,所以f'(x)=.①若a≥0,则由f'(x)=0,得x=1.当00,此时f(x)单调递增;当x>1时,f'(x)<0,此时f(x)单调递减,所以x=1是f(x)的极大值点.②若a<0,则由f'(x)=0,得x=1或x=-.因为x=1是f(x)的极大值点,所以->1,解得-1-1.故选B.
7.AC [解析] 由题意知f'(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1),所以f(x)在(-∞,-1),(1,+∞)上单调递增,在(-1,1)上单调递减,所以f(x)的极大值为f(-1),极小值为f(1).因为函数f(x)=x3-3x+c的图象与x轴恰有两个交点,所以f(-1)=0或f(1)=0,可得c=-2或c=2,故选AC.
8.AD [解析] 因为f(x)=x3-ax2-a2x+3,所以f'(x)=3x2-2ax-a2.由函数f(x)=x3-ax2-a2x+3在x=-1处取得极大值,可得f'(-1)=3+2a-a2=0,解得a=3或a=-1.当a=3时,f'(x)=3x2-6x-9=3(x-3)(x+1),此时当x∈(-∞,-1)时,f'(x)>0,当x∈(-1,3)时,f'(x)<0,则函数f(x)=x3-ax2-a2x+3在x=-1处取得极大值,符合题意.当a=-1时,f'(x)=3x2+2x-1=(3x-1)(x+1),此时当x∈(-∞,-1)时,f'(x)>0,当x∈时,f'(x)<0,则函数f(x)=x3-ax2-a2x+3在x=-1处取得极大值,符合题意.故a=3或a=-1,故选AD.
9.2 [解析] 由f(x)=ax2-4ln x,得f'(x)=2ax-,因为函数f(x)=ax2-4ln x在x=1处取得极值,所以f'(1)=0,即2a-4=0,得a=2.所以f'(x)=4x-=(x>0),当01时,f'(x)>0,所以x=1为函数f(x)的极小值点,满足条件.所以a=2.
10.a>24 [解析] 当a=0时,f(x)是增函数,无极值.当a<0时,f'(x)=6x2-ax+a,令f'(x)=0,其判别式Δ=a2-24a>0,又f'(0)=a<0,所以函数f(x)在(0,+∞)上有一个极值.当a>0时,令f'(x)=0,其判别式Δ=a2-24a,令Δ>0,则a>24,又f'(0)=a>0,所以f(x)在(0,+∞)上有两个极值.故a>24.
11. [解析] 由f(x)=ln x+,得f'(x)=.因为函数f(x)=ln x+在内有极值,所以f'(x)=0在内有解,即x2-(a+2)x+1=0当x∈时有解.由x2-(a+2)x+1=0,x>0,得a=x+-2.设h(x)=x+-2,x∈(0,+∞),则h'(x)=1-=,当x∈时,h'(x)<0,h(x)单调递减,所以当x∈时,h(x)>h=e+-2.要使方程a=x+-2当x∈时有解,只需a>e+-2,故实数a的取值范围是.
12.a<-27或a>5 [解析] f'(x)=-3x2+6x+9,令f'(x)=0,解得x1=-1,x2=3.列表如下:
x (-∞,-1) -1 (-1,3) 3 (3,+∞)
f'(x) - 0 + 0 -
f(x) ↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘
所以当x=-1时,f(x)取得极小值f(-1)=a-5;当x=3时,f(x)取得极大值f(3)=a+27.画出f(x)的大致图象,要使f(x)的图象与x轴只有一个交点,只需f(x)的极小值大于0(如图①)或f(x)的极大值小于0(如图②).所以a+27<0或a-5>0,解得a<-27或a>5.故实数a的取值范围为a<-27或a>5.
13.解:(1)当a=3时,f(x)=x-4ln x-,定义域为(0,+∞),则f'(x)=1-+==.由f'(x)>0,得03;由f'(x)<0,得1(2)由题意得,f'(x)=,当01时,f(x)的单调递增区间为(0,1),(a,+∞),单调递减区间为(1,a),此时f(x)的极大值为f(1)=1-a,极小值为f(a)=a-1-(a+1)ln a.综上所述,当01时, f(x)的极大值为f(1)=1-a,极小值为f(a)=a-1-(a+1)ln a.
14.解:由题意知f'(x)=(2ax+1)·e-x+(ax2+x-1)·e-x·(-1)=-e-x·(ax+1)(x-2),令f'(x)=0,得x=-或x=2.
①当->2,即-x (-∞,2) 2 -
f'(x) + 0 - 0 +
f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
故当x=-时,f(x)取得极小值.
②当-=2,即a=-时,f'(x)=·e-x·(x-2)2≥0,故f(x)在定义域内无极值.
③当-<2,即a<-时,随着x的变化,f'(x)与f(x)的变化情况如下表:
x - 2 (2,+∞)
f'(x) + 0 - 0 +
f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
故当x=2时,f(x)取得极小值.综上,当-15.A [解析] 由题意得f'(x)=x2+ax+1,因为函数f(x)存在两个极值点,所以其导函数f'(x)有两个变号零点,所以f'(x)=0的判别式Δ=a2-4>0,解得a>2或a<-2,所以实数a的取值范围是(-∞,-2)∪(2,+∞).故选A.
16.解:由题知f'(x)=x2+mx-1,函数f(x)在区间(m,+∞)上存在极小值,则函数f(x)的极小值点在(m,+∞)内.
令f'(x)=x2+mx-1=0,得x1=,x2=,易知f(x)在(-∞,x1),(x2,+∞)上单调递增,在(x1,x2)上单调递减,所以x=x2是函数f(x)的极小值点,所以>m,得>3m,解得m<.第2课时 函数极值的综合问题
【学习目标】
1.能利用极值解决含参问题.
2.能利用导数求某些含参函数的极大值、极小值.
◆ 探究点一 讨论含参函数的极值
例1 已知函数f(x)=+x+1,讨论函数f(x)的极值.
变式 讨论函数f(x)=ln x+ax2-(2a+1)x(a>0)的极值.
[素养小结]
求含参函数f(x)的极值的步骤:
(1)求导数f'(x),令f'(x)=0,求方程的根,若根的大小不确定,则需要分类讨论;
(2)列表,判断极大值点和极小值点;
(3)求极值.
◆ 探究点二 已知函数的极值(点)求参数的值或范围
例2 (1)[2023·江苏阜宁中学高二期中] 已知函数f(x)=ln x-ax+1的极大值为1,则实数a= .
(2)若函数f(x)=ex(x-1)-kx2,当x=0时,f(x)有极大值,则k的取值范围为 .
变式 已知函数f(x)=x3+3ax2+bx+a2在x=-1处取得极值0,则a= ,b= .
[素养小结]
1.可导函数在极值点处的导数一定为0,但导数为0的点不一定是函数的极值点;函数在极值点处的函数值称为极值.
2.在已知函数的极值点的情况下求出参数值后,应将参数值代入原式检验是否满足题意.
◆ 探究点三 函数极值的综合问题
例3 若函数f(x)=x2-2x+ln x存在极值,求实数a的取值范围.
变式1 若函数f(x)=ex(sin x-a)在区间(0,π)上存在极值,则实数a的取值范围是 .
变式2 已知函数f(x)=在区间(a>0)上存在极值,求实数a的取值范围.
[素养小结]
已知函数的极值点,确定函数解析式中的参数时,需要注意以下两点:
(1)根据极值点处的导数为0和极值这两个条件列方程组,利用待定系数法求解;
(2)因为“f'(x0)=0”不是“x0为f(x)的极值点”的充要条件,所以利用待定系数法求解后必须验证充分性.(共21张PPT)
6.2 函数的极值
第2课时 函数极值的综合问题
探究点一 讨论含参函数的极值
探究点二 已知函数的极值（点）求
参数的值或范围
探究点三 函数极值的综合问题
【学习目标】
1.能利用极值解决含参问题.
2.能利用导数求某些含参函数的极大值、极小值.
探究点一 讨论含参函数的极值
例1 已知函数，讨论函数 的极值.
解：由，得
当时， 恒成立，在上为增函数，无极值.
②当时，令 ，得，即.
易知当时，，当 时，，
在上单调递减，在上单调递增，
在处取得极小值，极小值为 ，无极大值.
综上所述，当时，无极值；
当时，有极小值 ，无极大值.
变式 讨论函数 的极值.
解：函数的定义域为 ，
.
①当时，函数的单调递增区间为， ，单调递减区间为
，所以当时，取得极大值 ，
当时，取得极小值 ；
②当时，函数的单调递增区间为， ，单调递减区间
为，所以当时，取得极大值，当时，
取得极小值 ；
③当时，恒成立且不恒为0，故函数 的单调递增区间为
，无极值.
综上，当时，的极大值为，极小值为 ；
当时，的极大值为，极小值为；
当 时， 无极值.
［素养小结］
求含参函数 的极值的步骤:
（1）求导数,令 ,求方程的根，若根的大小不确定，则需要分类讨论;
（2）列表,判断极大值点和极小值点;
（3）求极值.
探究点二 已知函数的极值（点）求参数的值或范围
例2（1） [2023·江苏阜宁中学高二期中] 已知函数 的极
大值为1，则实数 __.
[解析] ，由题意得在上有解，可得
且，此时，所以.
检验：当时, ，当时，，单调递增，
当时，， 单调递减，所以当时，取得极大值，
极大值为 ，符合题意.故 .
（2）若函数，当时，有极大值，则 的取
值范围为_________.
[解析] ，当时， 恒成立，此
时在上单调递减，在上单调递增，在 处取得极小
值，不符合题意.
当时，令，得或 ，
若当时，有极大值，则,得.
所以 的取值范围为 .
变式 已知函数在处取得极值0，则 __，
___.
2
9
[解析] 因为，所以 ，
由题意可知，即解得或
当 ,时，且不恒为0，
函数 为上的增函数，此时函数无极值，不合题意；
当, 时，，
令，得或 ，令，得，
所以函数在和 上单调递增，在上单调递减，
所以函数在 处取得极小值，符合题意. 故， .
［素养小结］
1.可导函数在极值点处的导数一定为0，但导数为0的点不一定是函数的极值点；
函数在极值点处的函数值称为极值.
2.在已知函数的极值点的情况下求出参数值后，应将参数值代入原式检验是否
满足题意.
探究点三 函数极值的综合问题
例3 若函数存在极值，求实数 的取值范围.
解:函数的定义域为，且 .
由题可知有解，可得.
当 时，恒成立，且不恒为0，不符合题意.
因此实数 的取值范围是 .
变式1 若函数在区间上存在极值，则实数 的取值
范围是_________.
[解析] 由 ，得
.
因为函数在区间 上存在极值，
所以在 上有变号零点.
因为 ，所以，即在 上有解，
即在 上有解.
因为 ，所以，即 ，
于是得.
当 时，在上恒成立且 不恒为0，
不符合题意，故 .
变式2 已知函数在区间上存在极值，求实数 的
取值范围.
解:由，，得，.
令 ，得，当时，，当时，，
所以函数 存在唯一的极大值点.
由题意可得解得，故实数 的取值范围是 .
［素养小结］
已知函数的极值点,确定函数解析式中的参数时,需要注意以下两点:
（1）根据极值点处的导数为0和极值这两个条件列方程组,利用待定系数法求解;
（2）因为“”不是“为 的极值点”的充要条件,所以利用待定系数
法求解后必须验证充分性.
1.已知函数含有参数，求极值：
解题步骤同上节，但由于导数中含有参数，故需要对参数进行分类讨论，以确定
所给函数的单调性和所给函数的极值（方法同含参函数单调性问题的解决策略）.
2.已知函数的极值，求参数：
抓住两点：
（1）极值点处的导数为0；
（2）极值点处的函数值为极值.
由这两点建立方程组，解出参数值.
例1 已知函数 .
（1）若函数在处取得极值，求 的值；
解：由，且，得 .
因为函数在处取得极值，所以，解得 ，
此时， .
当时，， 单调递增；
当时，，单调递减.
则函数在 处取得极值，符合题意.故 .
（2）讨论函数 的极值.
解：的定义域为， .
①当时，，在 上单调递减，无极值.
②当时，由，可得；由，可得 .
则当时， 单调递增，
当时， 单调递减.
故在处取得极大值，极大值为 ，无极小值.
例2 若函数在区间上存在单调递减区间，则实数
的取值范围是________.
[解析] 由，得 ，
函数在区间 上存在单调递减区间，
只需一元二次方程在区间上有解，
记 ，则图象的对称轴为 ，图象开口向下，
，只需，所以 ，
解得 .
例3 若是函数的极值点，则 的极小值为
( )
A
A. B. C. D.1
[解析] 因为 ，
所以 .
因为是函数的极值点，
所以 是的一个根，即，
所以 ，所以.
令，解得 或，令，解得，
所以在 上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
所以当时， 取得极小值，且 .故选A.第2课时 函数极值的综合问题
一、选择题
1.若x=1是函数f(x)=axln x-e2x-2的极值点,则a的值为 ( )
A.-1 B.0
C.1 D.2
2.若a∈R,则“a>1”是“函数f(x)=(x-a)·ex在(1,+∞)上有极值”的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
3.若函数f(x)=x2-2x+aln x(x>0)有两个不同的极值点,则实数a的取值范围是 ( )
A.a≥1 B.a>1
C.a<1 D.04.若函数y=aex+3x在R上有小于零的极值点,则实数a的取值范围是 ( )
A.(-3,+∞) B.(-∞,-3)
C. D.
5.若函数f(x)=x2-(a+2)x+aln x(x>0)既有极大值又有极小值,则实数a的取值范围是( )
A.(-∞,2)∪(2,+∞)
B.(0,2)∪(2,+∞)
C.(2,+∞)
D.{2}
6.设函数f(x)=ln x-ax2-bx,若x=1是f(x)的极大值点,则a的取值范围是 ( )
A.(-1,0) B.(-1,+∞)
C.(0,1) D.(1,+∞)
7.(多选题)[2023·四川雅安天立中学高二期中] 已知函数f(x)=x3-3x+c的图象与x轴恰有两个交点,则实数c的值可以为 ( )
A.-2 B.-1
C.2 D.3
8.(多选题)[2023·陕西西安高二期末] 已知函数f(x)=x3-ax2-a2x+3在x=-1处取得极大值,则实数a的值可以为 ( )
A.3 B.1
C.-3 D.-1
二、填空题
9.已知函数f(x)=ax2-4ln x在x=1处取得极值,则a= .
10.已知函数f(x)=2x3-ax2+ax+1在(0,+∞)上有两个极值,则实数a的取值范围为 .
11.设函数f(x)=ln x+在内有极值,则实数a的取值范围是 .
12.已知函数f(x)=-x3+3x2+9x+a的图象与x轴只有一个交点,则实数a的取值范围为 .
三、解答题
13.已知函数f(x)=x-(a+1)ln x-(a>0).
(1)当a=3时,求f(x)的单调区间;
(2)讨论f(x)的极值.
14.设函数f(x)=(ax2+x-1)·e-x(e为自然对数的底数,a为常数且a<0,x∈R),求f(x)取得极小值时x的值.
15.[2023·江西宜春东煌中学高二月考] 若函数f(x)=x3+ax2+x-1存在两个极值点,则实数a的取值范围是 ( )
A.(-∞,-2)∪(2,+∞)
B.(-∞,-2)
C.(-2,2)
D.[-2,2]
16.若函数f(x)=x3+x2-x+在区间(m,+∞)上存在极小值,求实数m的取值范围.