6.3 函数的最值
第1课时 导数与函数的最值
【课前预习】
知识点
1.一条连续不断的曲线 2.最值
诊断分析
1.(1)√ (2)× (3)×
2.解:①函数的极值是函数在某一点附近的局部概念,函数的最值是函数在给定区间的整体概念.②函数极值只能在区间内部(除区间端点)取得,函数最值可能在区间端点取得.
【课中探究】
探究点一
例1 (1)D (2)ABD [解析] (1)A中,极大值不一定是最大值,故A错误;B中,极小值不一定是最小值,故B错误;C中,极大值不在区间端点取得,故C错误;D中,函数在闭区间上的图象是一条连续曲线,则必存在最大值和最小值,故D正确.故选D.
(2)由题图知,当x∈[a,c]时,f'(x)≥0,且只在有限个点为0,∴f(x)在[a,c]上单调递增,故f(a)0,∴f(x)在[c,e]上单调递减,在(e,+∞)上单调递增,∴函数f(x)在x=c处取得极大值,在x=e处取得极小值,故C中结论正确,B中结论错误;f(c)>f(d)>f(e),∴D中结论错误.故选ABD.
变式 (1)B (2)D [解析] (1)函数的最大值有可能是函数的极大值,故A错误;函数的极大值可以小于该函数的极小值,故B正确;函数在某一个闭区间上的极小值不一定是该函数在这个闭区间上的最小值,故C错误;函数在开区间内有可能存在最大值和最小值,故D错误.故选B.
(2)由题图可得,当x>-1时,y=(x+1)f'(x)>0 f'(x)>0,当x=-1时,y=(x+1)f'(x)=(-1+1)f'(-1)=0,f'(-1)的符号无法确定,当-30 f'(x)<0,当x=-3时,y=(x+1)f'(x)=(-3+1)f'(-3)=0 f'(-3)=0,当x<-3时,y=(x+1)f'(x)<0 f'(x)>0,故f(x)在(-∞,-3)上单调递增,在(-3,-1)上单调递减,在(-1,+∞)上单调递增.f(-1)是函数f(x)的极小值,但不一定是最小值,故A错误;f(-3)是函数f(x)的极大值,故B错误;f(x)在(-3,1)上不单调,故C错误;由题图知(0+1)f'(0)>0 f'(0)>0,所以f(x)的图象在x=0处的切线斜率大于0,故D正确.故选D.
探究点二
例2 解:(1)由题可得f(x)的定义域为R,f'(x)=2x2-2x-4=2(x-2)(x+1).
令f'(x)=0,解得x1=-1,x2=2.
当x≤-1时,f'(x)≥0且f'(x)不恒为0,当-1所以函数f(x)的单调递增区间为(-∞,-1],[2,+∞),单调递减区间为(-1,2).
(2)由(1)知,当x在区间[-3,3]上变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表所示:
x [-3,-1) -1 (-1,2) 2 (2,3]
f'(x) + 0 - 0 +
f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
又f(-3)=-10,f(-1)=,f(2)=-,f(3)=2,所以函数f(x)在区间[-3,3]上的最小值为-10,最大值为.
变式 解:因为f(x)=x+cos x,x∈[0,2π],所以f'(x)=-sin x.
令f'(x)=0,解得x=或x=,当0≤x≤时,f'(x)≥0且f'(x)不恒为0,当所以f(x)在和上单调递增,在上单调递减,
所以函数f(x)在x=处取得极大值,在x=处取得极小值.
可得f(0)=1,f=×+cos =+,
f=×+cos =-,f(2π)=×2π+cos 2π=π+1,
因为--1>0,所以f>f(0),
显然π+1>+,即f(2π)>f,
所以函数f(x)的最大值为π+1,最小值为1.
探究点三
例3 证明:令g(x)=f(x)-(3x-8)=x3-x2-3x+9,则g'(x)=x2-2x-3=(x-3)(x+1),当x∈(3,+∞)时,g'(x)>0,函数g(x)单调递增,又g(x)的图象为一条连续曲线,所以当x∈(3,+∞)时,g(x)>g(3)=0,即f(x)>3x-8,得证.
变式1 证明:令f(x)=ex-x-1(x≥0),则f'(x)=ex-1≥0且f'(x)不恒为0,∴f(x)在[0,+∞)上是增函数,
∴对任意的x∈[0,+∞),有f(x)≥f(0),又f(0)=0,
∴f(x)≥0,即ex≥x+1(x≥0).
令g(x)=x-sin x(x≥0),则g'(x)=1-cos x≥0且g'(x)不恒为0,∴g(x)在[0,+∞)上是增函数,∴g(x)≥g(0),又g(0)=0,∴x-sin x≥0(x≥0),∴x+1≥sin x+1(x≥0).
综上,ex≥x+1≥sin x+1(x≥0).
变式2 解:(1)f(x)=ex-1-a(x+1)的定义域为R,f'(x)=ex-1-a.
当a≤0时,f'(x)>0恒成立,所以f(x)在R上单调递增.
当a>0时,令f'(x)>0,解得x>1+ln a,令f'(x)<0,解得x<1+ln a,故f(x)在(-∞,1+ln a)上单调递减,在(1+ln a,+∞)上单调递增.
综上,当a≤0时,f(x)在R上单调递增;当a>0时,f(x)在(-∞,1+ln a)上单调递减,在(1+ln a,+∞)上单调递增.
(2)证明:令h(x)=ln x-(x-1),x∈(1,+∞),
则h'(x)=-1=,当x∈(1,+∞)时,h'(x)<0,h(x)单调递减,故h(x)当a=时,令F(x)=f(x)-(x-1)2=ex-1-(x+1)-(x-1)2,x∈(1,+∞),其中F(1)=0,
则F'(x)=ex-1-2x+,x∈(1,+∞).
令t(x)=ex-1-2x+,x∈(1,+∞),则t'(x)=ex-1-2,x∈(1,+∞),令t'(x)=0,解得x=1+ln 2.当x∈(1,1+ln 2)时,t'(x)<0,F'(x)单调递减;当x∈(1+ln 2,+∞)时,t'(x)>0,F'(x)单调递增.易知F'(x)的极小值即为F'(x)的最小值,最小值为F'(1+ln 2)=-2ln 2=,由于e3>16,故F'(x)min>0,所以F'(x)>0在(1,+∞)上恒成立,故F(x)在(1,+∞)上单调递增,则F(x)>F(1)=0,所以f(x)>(x-1)2>(x-1)g(x),证毕.6.3 函数的最值
第1课时 导数与函数的最值
1.C [解析] 由f(x)=x-ex可得f'(x)=1-ex,x∈R,当x<0时,f'(x)>0,当x>0时,f'(x)<0,故f(x)在(-∞,0)上单调递增,在(0,+∞)上单调递减,故f(x)max=f(0)=-1.故选C.
2.C [解析] 由题意得f'(x)=1-cos x,当x∈[0,π]时,由f'(x)>0,得3.A [解析] 由f(x)=x+e-x,得f'(x)=1-e-x=.当-1≤x<0时,f'(x)=<0,f(x)单调递减;当00,f(x)单调递增.则f(x)在x=0处取得极小值,即最小值,最小值为f(0)=0+e0=1.故选A.
4.B [解析] 由f(x)=excos x,得f'(x)=excos x-exsin x=excos.当x∈时,令f'(x)=0,解得x=.当0≤x<时,f'(x)>0,f(x)单调递增,当5.D [解析] f'(x)===,当x∈(0,)时,f'(x)<0,f(x)单调递减,当x∈(,+∞)时,f'(x)>0,f(x)单调递增,所以f(x)在区间(0,+∞)上的最小值为f()===2-1.故选D.
6.B [解析] f(x)=-f'(1)x-4ln x,则f'(x)=-f'(1)-,令x=1,可得f'(1)=-f'(1)-4,解得f'(1)=-2,则f(x)=2x-4ln x,f'(x)=2-=(x>0).当x∈(0,2)时,f'(x)<0,f(x)在(0,2)上单调递减;当x∈(2,+∞)时,f'(x)>0,f(x)在(2,+∞)上单调递增.所以f(x)有最小值f(2)=4-4ln 2,无最大值.故选B.
7.BC [解析] 由f(x)的导函数f'(x)的图象可知,函数f(x)在(-∞,-2),上单调递减,在,(2,+∞)上单调递增,故当x=-2和x=2时,f(x)取得极小值,当x=时,f(x)取得极大值,故B,C一定正确,A不一定正确,D错误.故选BC.
8.CD [解析] ∵f(x)=(x2-3)ex,∴f'(x)=2xex+(x2-3)ex=(x+3)(x-1)ex,∴当x∈(-∞,-3)时,f'(x)>0,函数f(x)单调递增,当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0,函数f(x)单调递增,当x∈(-3,1)时,f'(x)<0,函数f(x)单调递减,当x→-∞时,f(x)→0且f(x)>0,当x→+∞时,f(x)→+∞.∴当x=1时,f(x)取得极小值-2e,也为最小值,故D正确.当x=-3时,f(x)取得极大值,f(x)无最大值,故C正确.由上述分析可知,若方程f(x)=b恰有三个不同的实数根,则09.2 [解析] 由题意得f'(x)=ex+1-1,由f'(x)>0得x>-1,由f'(x)<0得x<-1,所以f(x)在(-∞,-1)上单调递减,在(-1,+∞)上单调递增,所以f(x)在x=-1处取得极小值,也是最小值,故f(x)的最小值为f(-1)=2.
10.2+e [解析] 由题意得f'(x)=ex(-2x+1),令f'(x)=0,解得x=.当x∈时,f'(x)>0,f(x)单调递增;当x∈时,f'(x)<0,f(x)单调递减.所以f为f(x)的极大值,也是f(x)在[0,1]上的最大值,因为f(0)=3,f=2,f(1)=e,所以M=2,N=e,所以M+N=2+e.
11.2ln 2 [解析] 函数f(x)=2ef'(e)ln x-的定义域为(0,+∞),f'(x)=-,令x=e,得f'(e)=-,解得f'(e)=,因此函数f(x)=2ln x-,f'(x)=-.当00,当x>2e时,f'(x)<0,则函数f(x)在(0,2e)上单调递增,在(2e,+∞)上单调递减,所以f(x)max=f(2e)=2ln(2e)-2=2ln 2.
12.3-2ln 2 [解析] 当x=t时,|AB|=|f(t)-g(t)|=|et+t-3t+1|=|et-2t+1|.令h(t)=et-2t+1,则h'(t)=et-2,令h'(t)=0,则t=ln 2.易知h(t)在(-∞,ln 2)上单调递减,在(ln 2,+∞)上单调递增,所以当t=ln 2时,h(t)取得极小值,也为最小值,则h(t)min=h(ln 2)=3-2ln 2>0,所以|h(t)|∈[3-2ln 2,+∞),所以|AB|的最小值为3-2ln 2.
13.解:(1)由题意得,f'(x)==,则f'(0)=2,f(0)=-1,所以曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y+1=2x,即y=2x-1.
(2)由f'(x)=,得当1≤x<2时,f'(x)>0,当214.证明:易知函数f(x)的定义域为(0,+∞).要证f(x)0).令g'(x)==0,解得x=1,所以当x∈(0,1)时,g'(x)>0,g(x)单调递增,当x∈(1,+∞)时,g'(x)<0,g(x)单调递减.所以g(x)max=g(1)=-2<0,所以ln x-x-1<0恒成立,即f(x)15.B [解析] 由yln y=e2x-yln(2x),得yln y+yln(2x)=e2x(x>0,y>0),则yln(2xy)=e2x,所以2xyln(2xy)=2xe2x,即eln(2xy)ln(2xy)=2xe2x,又x>0,所以ln(2xy)>0.设f(x)=xex(x>0),则f'(x)=(x+1)ex>0,可知f(x)在(0,+∞)上为增函数,所以ln(2xy)=2x,则2xy=e2x,即y=.令g(x)=(x>0),则g'(x)==,当0时,g'(x)>0,所以g(x)在上单调递减,在上单调递增,所以ymin=g(x)min=g=e.故选B.
16.解:(1)由题意知f'(x)=e-x(cos x-sin x)=e-xcos,x∈[0,π],令f'(x)=0,得x=.当x∈时,f'(x)>0,f(x)单调递增;当x∈时,f'(x)<0,f(x)单调递减.∴f(x)的单调递增区间为,单调递减区间为.
(2)证明:设h(x)=f'(x),x∈[0,π],则h'(x)=-2e-xcos x,
令h'(x)=0,得x=,易知f'(x)在上单调递减,在上单调递增,∵f'=-,f'(0)=1,f'(π)=-e-π,∴|f'(x)|max即为,|f'(0)|,|f'(π)|中的最大值1,∴|f'(x)|≤1.6.3 函数的最值
第1课时 导数与函数的最值
【学习目标】
理解函数最大值、最小值的定义以及与极值的关系,能利用导数求函数的最大值、最小值.
◆ 知识点 函数最值的定义
1.一般地,如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是 ,那么它必有最大值和最小值.
2.一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足:
(1)对任意x∈I,都有f(x)≤M(或f(x)≥M);
(2)存在x∈I,使得f(x)=M.
那么,我们称M是函数y=f(x)的最大值(或最小值).
函数的最大值和最小值统称为 .
【诊断分析】 1.判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)有些函数的最值不能通过求导数得到. ( )
(2)有极值的函数一定有最值,有最值的函数不一定有极值. ( )
(3)图象是一条连续曲线的函数在区间(a,b)上一定有最大值或最小值. ( )
2.函数的极值与最值有什么区别
◆ 探究点一 极值与最值的关系
例1 (1)下列说法中正确的是 ( )
A.若f(x)在[a,b]上有极大值,则极大值一定是f(x)在[a,b]上的最大值
B.若f(x)在[a,b]上有极小值,则极小值一定是f(x)在[a,b]上的最小值
C.若f(x)在[a,b]上有极大值,则极大值一定是在x=a和x=b处取得
D.若f(x)在[a,b]上的图象是一条连续曲线,则f(x)在[a,b]上存在最大值和最小值
(2)(多选题)已知定义在R上的函数f(x),其导函数f'(x)的大致图象如图所示,则下列结论错误的是( )
A.f(b)>f(a)>f(c)
B.函数f(x)在x=c处取得极小值,在x=e处取得极大值
C.函数f(x)在x=c处取得极大值,在x=e处取得极小值
D.函数f(x)的最小值为f(d)
变式 (1)下列说法正确的是 ( )
A.函数的最大值一定不是该函数的极大值
B.函数的极大值可以小于该函数的极小值
C.函数在某一个闭区间上的极小值就是该函数在这个闭区间上的最小值
D.函数在开区间内不存在最大值和最小值
(2)[2024·安徽六安高二期末] 已知函数f(x)在R上的图象连续不断,f'(x)为f(x)的导函数,y=(x+1)f'(x)的大致图象如图所示,则下列结论正确的是 ( )
A.f(-1)是函数f(x)的最小值
B.f(-3)是函数f(x)的极小值
C.f(x)在(-3,1)上单调递增
D.f(x)的图象在x=0处的切线斜率大于0
[素养小结]
注意区分极值与最值:极值是函数的局部性质,最值是函数的整体性质;极值不可能在区间端点取到,最值可能在区间端点取到.
◆ 探究点二 求函数的最值
例2 已知函数f(x)=x3-x2-4x+5.
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)求函数f(x)在区间[-3,3]上的最大值和最小值.
变式 求函数f(x)=x+cos x,x∈[0,2π]的最值.
[素养小结]
求函数最值的步骤:先求出函数在给定区间内的极值,再比较极值与区间端点处的函数值的大小,其中最大(或最小)的值即为函数的最大值(或最小值).
◆ 探究点三 利用最值证明不等式
例3 已知函数f(x)=x3-x2+1,证明:当x∈(3,+∞)时,f(x)>3x-8.
变式1 证明:ex≥x+1≥sin x+1(x≥0).
变式2 已知函数f(x)=ex-1-a(x+1)(a∈R),g(x)=ln x.
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)当a=,x∈(1,+∞)时,求证:f(x)>(x-1)g(x).
[素养小结]
证明不等式的一般思路:证明不等式可以通过构造函数将不等式问题等价转化为函数最值问题,如要证明不等式f(x)>g(x)成立,可以构造函数h(x)=f(x)-g(x),转化为证明h(x)>0成立,由h'(x)判断h(x)的单调性,确定h(x)的最小值,从而证明结论.(共30张PPT)
6.3 函数的最值
第1课时 导数与函数的最值
探究点一 极值与最值的关系
探究点二 求函数的最值
探究点三 利用最值证明不等式
【学习目标】
理解函数最大值、最小值的定义以及与极值的关系，能利用导数求函数的
最大值、最小值.
知识点 函数最值的定义
1.一般地,如果在区间上函数 的图象是____________________,那
么它必有最大值和最小值.
2.一般地,设函数的定义域为,如果存在实数 满足:
（1）对任意,都有（或 ）;
一条连续不断的曲线
（2）存在,使得 .
那么,我们称是函数 的最大值（或最小值）.
函数的最大值和最小值统称为______.
最值
【诊断分析】
1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）有些函数的最值不能通过求导数得到.( )
√
（2）有极值的函数一定有最值，有最值的函数不一定有极值. ( )
×
（3）图象是一条连续曲线的函数在区间 上一定有最大值或最小值.( )
×
2.函数的极值与最值有什么区别
解：①函数的极值是函数在某一点附近的局部概念,函数的最值是函数在给定区
间的整体概念.②函数极值只能在区间内部（除区间端点）取得,函数最值可能在
区间端点取得.
探究点一 极值与最值的关系
例1（1） 下列说法中正确的是( )
D
A.若在上有极大值，则极大值一定是在 上的最大值
B.若在上有极小值，则极小值一定是在 上的最小值
C.若在上有极大值，则极大值一定是在和 处取得
D.若在上的图象是一条连续曲线，则在 上存在最大值和最小值
[解析] A中，极大值不一定是最大值，故A错误；
B中，极小值不一定是最小值，故B错误；
C中，极大值不在区间端点取得，故C错误；
D中，函数在闭区间上的图象是一条连续曲线，则必存在最大值和最小值，
故D正确.故选D.
（2）（多选题）已知定义在上的函数 ，其导函数
的大致图象如图所示，则下列结论错误的是
( )
ABD
A.
B.函数在处取得极小值，在 处取得极大值
C.函数在处取得极大值，在 处取得极小值
D.函数的最小值为
[解析] 由题图知，当时，，且只在有限个点为0，
在上单调递增，故，A中结论错误；
当 时，，且只在有限个点为0，
当时，，在 上单调递减，在上单调递增，
函数在处取得极大值，在 处取得极小值，
故C中结论正确，B中结论错误；
， 中结论错误.故选 .
变式（1） 下列说法正确的是( )
B
A.函数的最大值一定不是该函数的极大值
B.函数的极大值可以小于该函数的极小值
C.函数在某一个闭区间上的极小值就是该函数在这个闭区间上的最小值
D.函数在开区间内不存在最大值和最小值
[解析] 函数的最大值有可能是函数的极大值,故A错误;
函数的极大值可以小于该函数的极小值,故B正确;
函数在某一个闭区间上的极小值不一定是该函数在这个闭区间上的最小值,故C错误;
函数在开区间内有可能存在最大值和最小值,故D错误.故选B.
（2）[2024·安徽六安高二期末]已知函数在 上的
图象连续不断，为 的导函数，
的大致图象如图所示，则下列结论正
确的是( )
D
A.是函数 的最小值
B.是函数 的极小值
C.在 上单调递增
D.的图象在 处的切线斜率大于0
[解析] 由题图可得，当时， ，
当时，， 的符号无法确定，
当时，，
当 时，，
当 时，，
故在上单调递增，在 上单调递减，在上单调递增.
是函数 的极小值，但不一定是最小值，故A错误；
是函数的极大值，故B错误；
在 上不单调，故C错误；
由题图知，
所以 的图象在 处的切线斜率大于0，故D正确.故选D.
［素养小结］
注意区分极值与最值：极值是函数的局部性质，最值是函数的整体性质；极值
不可能在区间端点取到，最值可能在区间端点取到.
探究点二 求函数的最值
例2 已知函数 .
（1）求函数 的单调区间；
解：由题可得的定义域为, .
令，解得, .
当时，且不恒为0，当时,,当
时，且 不恒为0，
所以函数的单调递增区间为,，单调递减区间为 .
（2）求函数在区间 上的最大值和最小值.
解：由（1）知，当在区间上变化时，, 的变化情况如下表所示：
2
0 - 0
极大值 极小值
又，，，，所以函数 在区间
上的最小值为，最大值为 .
变式 求函数， 的最值.
解:因为，，所以 .
令，解得或，当时，且 不恒为0，
当时，，当 时，且 不恒为0，
所以在和上单调递增，在 上单调递减，
所以函数在处取得极大值，在 处取得极小值.
可得， ，
， ，
因为，所以 ，
显然，即 ，
所以函数的最大值为 ，最小值为1.
［素养小结］
求函数最值的步骤：先求出函数在给定区间内的极值，再比较极值与区间端点
处的函数值的大小，其中最大（或最小）的值即为函数的最大值（或最小值）.
探究点三 利用最值证明不等式
例3 已知函数，证明：当时， .
证明：令 ，
则，
当时，，函数 单调递增，
又的图象为一条连续曲线，
所以当 时，，即 ，得证.
变式1 证明： .
证明：令，则且 不恒为0，
在 上是增函数，
对任意的，有，又 ，
，即 .
令，则且不恒为0，
在上是增函数，，
又， ， .
综上， .
变式2 已知函数， .
（1）讨论 的单调性；
解:的定义域为， .
当时，恒成立，所以在 上单调递增.
当时，令，解得，令，解得 ，
故在上单调递减，在 上单调递增.
综上，当时，在上单调递增；当时，在 上单
调递减，在 上单调递增.
（2）当，时，求证： .
证明：令， ，
则，当时，， 单调递减，
故，即，
故当 时， .
当时，令 ，
，其中 ，则， .
令，，则， ，
令，解得.
当时，， 单调递减；
当时，，单调递增.
易知 的极小值即为的最小值，
最小值为，
由于 ，故，
所以在上恒成立，故在 上单调递增，
则，所以 ，证毕.
［素养小结］
证明不等式的一般思路:证明不等式可以通过构造函数将不等式问题等价转化为
函数最值问题,如要证明不等式 成立,可以构造函数
,转化为证明成立，由判断 的单调性,确定
的最小值,从而证明结论.
1.函数的最值表示函数在定义域内的函数值的整体情况.在闭区间 上的图象
是连续曲线的函数必有一个最大值和一个最小值,但是最值点可以不唯一;在开区
间 上的图象是连续曲线的函数不一定有最大值和最小值.
2.函数在区间 上的最值情况
在区间上函数的图象是一条连续的曲线时,在 上不一定有最
值.常见的情况有以下几种:
如图,图①中的函数在 上有最大值
而无最小值;
图②中的函数在 上有最小值而无
最大值;
图③中的函数在 上既无最大值也
无最小值;
图④中的函数在 上既有最大值也
有最小值.
3.一般地,求函数在区间 上的最大值与最小值的步骤如下:
（1）求函数在区间 上的极值;
（2）将函数的各极值与区间端点处的函数值, 比较,其中最大
的一个是最大值,最小的一个是最小值.
例1 已知函数，则在 上的最大值为____.
16
[解析] 由题意得，
令 ，则或 .
当时，，单调递减；
当时，， 单调递增.
所以在处取得极小值，
又， ，所以在 上的最大值为16．
例2 已知函数，则 的最小值是_ _____.
[解析] 由题意，可得 是 的一个周期，
故只需考虑在 上的最小值.易知
，
当时，令，可得或，可得或
或，的最小值只能在， ，
，中的一点处取到，
计算可得，， ，，
函数的最小值为 .
例3 [2023· 江西乐安二中高二期末]已知函数 的极值点为
，函数的最大值为 ，则( )
A
A. B.
C. D.， 的大小不确定
[解析] 的定义域为， ，
由题知，又在上单调递增，且 ，
，所以,．
的定义域为 ， ，
当时，， 单调递增，
当时，，单调递减，
故在 处取得极大值，也是最大值，
，即.因为 ，所以 ．故选A.6.3 函数的最值
第1课时 导数与函数的最值
一、选择题
1.[2023·吉林白山高二期末] 已知函数f(x)=x-ex,则f(x)的最大值为 ( )
A.1 B.0 C.-1 D.e
2.函数f(x)=x-sin x在区间[0,π]上的最大值、最小值分别为 ( )
A.π,0 B.-,0
C.π,-1 D.0,-1
3.已知函数f(x)=x+e-x,则函数f(x)在[-1,1]上的最小值为 ( )
A.1 B.1+
C.-1+e D.1-
4.已知函数f(x)=excos x在区间上的最大值为f(x0),则x0的值为( )
A.0 B. C. D.
5.[2023·山东威海高二期末] 函数f(x)=在区间(0,+∞)上的最小值为 ( )
A.2 B.2
C.2-1 D.2-1
6.[2023·河北秦皇岛高二期末] 已知函数f(x)=-f'(1)x-4ln x,则 ( )
A.f(x)有最小值2-4ln 2
B.f(x)有最小值4-4ln 2
C.f(x)有最大值2-4ln 2
D.f(x)无最小值
7.(多选题)函数f(x)的导函数f'(x)的图象如图所示,则下列说法一定正确的有 ( )
A.x=-2为函数f(x)的一个零点
B.x=为函数f(x)的极大值点
C.函数f(x)在区间上单调递增
D.f(-1)是函数f(x)的最大值
8.(多选题)设函数f(x)=(x2-3)ex,则下列说法正确的是 ( )
A.若方程f(x)=b恰有三个不同的实数根,则-2eB.若方程f(x)=b恰有一个实数根,则b>
C.f(x)有极大值,但无最大值
D.f(x)有极小值,也有最小值
二、填空题
9.函数f(x)=ex+1-x的最小值为 .
10.若函数f(x)=(-2x+3)ex在区间[0,1]上的最大值和最小值分别记为M,N,则M+N= .
11.[2023·吉林长春十七中高二期末] 已知函数f(x)=2ef'(e)ln x-,则函数f(x)的最大值为 .
12.已知直线x=t与函数f(x)=ex+x和g(x)=3x-1的图象分别交于点A,B,则|AB|的最小值为 .
三、解答题
13. 已知函数f(x)=.
(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;
(2)求函数f(x)在[1,3]上的最大值和最小值.
14.已知函数f(x)=xln x,求证:f(x)15.[2023·江西萍乡安源中学高二期末] 已知实数x,y满足yln y=e2x-yln(2x),则y的最小值为 ( )
A. B.e
C. D.e2
16.已知函数f(x)=,x∈[0,π],函数f(x)的导函数为f'(x).
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)求证:|f'(x)|≤1.
