第2课时 函数最值的综合问题
【课中探究】
探究点一
例1 解:(1)由题意得f'(x)=ex(x-a),因为ex>0恒成立,
所以当x∈(-∞,a)时,f'(x)<0,f(x)单调递减,
当x∈(a,+∞)时,f'(x)>0,f(x)单调递增.
(2)由(1)得,①当a≥1时,f(x)在[0,1]上单调递减,则f(x)min=f(1)=-ae;
②当0
③当a≤0时,f(x)在[0,1]上单调递增,f(x)min=f(0)=-a-1.
综上所述, 当a≤0时,f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(0)=-a-1;
当0当a≥1时,f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(1)=-ae.
变式 解:f'(x)=3x2-3a,令f'(x)=0,得x=±.
当<<1,即x -2 (-2,-) - (-,) (,1) 1
f'(x) + + 0 - 0 + +
f(x) -7+6a 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调调增 2-3a
因为f(-)=2a+1>2-3a,所以f(x)的最大值为2a+1.
当1≤<2,即1≤a<4时,f(x)和f'(x)随x的变化情况如表:
x -2 (-2,-) - (-,1) 1
f'(x) + + 0 - -
f(x) -7+6a 单调递增 极大值 单调递减 2-3a
因为f(-)=2a+1,所以f(x)的最大值为2a+1.
当≥2,即a≥4时,f'(x)=3x2-3a≤0恒成立且f'(x)不恒为0,则f(x)在[-2,1]上单调递减,所以f(x)的最大值为f(-2)=-7+6a.
综上所述,当当a≥4时,f(x)的最大值为-7+6a.
拓展 解:f'(x)=ln x-a,当x∈[1,e]时,ln x∈[0,1].
(i)当a≤0时,f'(x)≥0在[1,e]上恒成立,函数f(x)在区间[1,e]上单调递增,
所以m=f(e)=1-ae,n=f(1)=-a,
所以m-n=(1-e)a+1.
令p(a)=(1-e)a+1(a≤0),则函数p(a)在区间(-∞,0]上单调递减,
所以p(a)的最小值为p(0)=1,即m-n的最小值为1.
(ii)当a≥1时,f'(x)≤0在[1,e]上恒成立,函数f(x)在区间[1,e]上单调递减,
所以m=f(1)=-a,n=f(e)=1-ae,
所以m-n=(e-1)a-1.
令h(a)=(e-1)a-1(a≥1),则函数h(a)在区间[1,+∞)上单调递增,
所以h(a)的最小值为h(1)=e-2,即m-n的最小值为e-2.
(iii)当00,得ea所以函数f(x)在区间[1,ea)上单调递减,在区间(ea,e]上单调递增,
所以n=f(ea)=1-ea.
①当≤a<1时,f(1)-f(e)=(e-1)a-1≥0,此时m=f(1)=-a,
所以m-n=f(1)-f(ea)=ea-a-1.
令φ(a)=ea-a-1,则φ'(a)=ea-1,由≤a<1,可得φ'(a)>0,
所以函数φ(a)在区间上单调递增,
所以函数φ(a)的最小值为φ=--1=-.
②当0所以m-n=f(e)-f(ea)=ea-ae.
令q(a)=ea-ae,则q'(a)=ea-e,由0所以函数q(a)在区间上单调递减,
所以q(a)>q=-.
可得当0综上可知,当a≤0时,m-n的最小值为1,当0探究点二
例2 解:(1)由题意得f(x)的定义域是(0,+∞),且f'(x)=.
若a≥0,则f'(x)>0在(0,+∞)上恒成立,故f(x)在(0,+∞)上单调递增,无极值.
若a<0,则当x>-a时,f'(x)>0,f(x)单调递增;
当0(2)由(1)可得f'(x)=.
①当x∈[1,e]时,若a≥-1,则x+a≥0,即f'(x)≥0在[1,e]上恒成立,
此时f(x)在[1,e]上单调递增,所以f(x)min=f(1)=-a=,所以a=-(不合题意,舍去).
②当x∈[1,e]时,若a≤-e,则x+a≤0,即f'(x)≤0在[1,e]上恒成立,
此时f(x)在[1,e]上单调递减,所以f(x)min=f(e)=1-=,
所以a=-(不合题意,舍去).
③若-e则当1≤x<-a时,f'(x)<0,所以f(x)在[1,-a)上单调递减;
当-a0,所以f(x)在(-a,e]上单调递增.
所以f(x)min=f(-a)=ln(-a)+1=,所以a=-,符合题意.
综上,a=-.
变式 解:(1)f'(x)=3ax2+2bx-3,由已知得
得解得
于是f'(x)=3x2+8x-3=(x+3)(3x-1).
由f'(x)>0,得x<-3或x>,由f'(x)<0,得-3可知x=-3是函数f(x)的极大值点,则a=1,b=4符合题意,
所以f(x)的单调递增区间是(-∞,-3)和,单调递减区间是.
(2)由(1)知f(x)=x3+4x2-3x+c,
且f(x)在区间上单调递减,在上单调递增,
又f(1)=2+c所以f(x)在区间[-1,1]上的最大值为f(-1)=6+c=10,解得c=4.
拓展 C [解析] 因为函数f(x)=x3-3x,所以f'(x)=3x2-3,则当x<-1或x>1时,f'(x)>0,当-11.A [解析] f'(x)=-3x2+6x+9=-3(x+1)(x-3),当x∈[-2,-1]时,f'(x)≤0且f'(x)不恒为0,函数f(x)单调递减,所以函数f(x)在[-2,-1]上的最大值是f(-2)=8+12-18+a=2,得a=0,则函数f(x)在[-2,-1]上的最小值是f(-1)=1+3-9=-5.故选A.
2.B [解析] 函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=-,依题意可知,f(1)=-2,f'(1)=0,所以b=-2,a-b=0,则a=-2,b=-2,所以f'(x)=-+,则f'(2)=-1+=-.故选B.
3.A [解析] 因为f(x)=3x-x3,所以f'(x)=3-3x2=3(1-x)(1+x),可得当x<-1时,f'(x)<0,f(x)单调递减,当-10,f(x)单调递增,当x>1时,f'(x)<0,f(x)单调递减,所以函数f(x)的极小值为f(-1)=-2.由f(x)=-2,得3x-x3=-2,即x3-3x-2=0,即(x+1)2(x-2)=0,可得x=-1或x=2.要使函数f(x)在区间(a2-4,a)上有最小值,需满足解得-14.C [解析] 由题意得f'(x)=4ax3-12ax2,x∈[1,4],令f'(x)=0,得x=3或x=0(舍去),当1≤x<3时,f'(x)<0,函数f(x)单调递减,当30,函数f(x)单调递增,故x=3为f(x)的唯一极小值点,也是最小值点.因为a>0,且f(3)=b-27a,f(1)=b-3a,f(4)=b,所以f(x)的最小值为f(3)=b-27a,最大值为f(4)=b,所以解得所以a+b=.故选C.
5.C [解析] 由题知f'(x)=x-a-=(x>0),函数f(x)在区间(1,2)内有最小值,则函数f(x)在区间(1,2)内必定存在极值点,由a2+4>0,可设x1,x2为一元二次方程x2-ax-1=0的两根,有不妨设x16.A [解析] 由y=3x-x3得y'=3-3x2,令y'>0,得-11,所以y=3x-x3在(-∞,-1)上单调递减,在(-1,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,所以当x=-1时,y=3x-x3取得极小值,极小值为-2.因为f(x)=无最小值,所以解得a<-1.故选A.
7.BCD [解析] f'(x)=3x2-3=3(x2-1),令f'(x)=0,得x=±1,易知f(x)在(-∞,-1),(1,+∞)上单调递增,在(-1,1)上单调递减,因为f(x)在(-2,m)上有最大值,所以f(x)的极大值点-1∈(-2,m),f(-1)=2,当x3-3x=2时,x=2或x=-1,所以-18.ABC [解析] f'(x)=(x+1)(ex-m),当x∈[1,2]时,x+1>0,ex∈[e,e2].若m≤e,则ex-m≥0,所以f'(x)≥0,当且仅当x=1,m=e时取等号,则f(x)在[1,2]上单调递增,f(x)min=f(1)=e-m;若e0,f(x)单调递增,所以f(x)min=f(ln m)=-(ln m)2;若m≥e2,则ex-m≤0,所以f'(x)≤0,当且仅当x=2,m=e2时取等号,则f(x)在[1,2]上单调递减,f(x)min=f(2)=2e2-4m.故选ABC.
9.2 [解析] 设f(x)=(x-2)ex+m,则f'(x)=(x-1)ex,令f'(x)=0,解得x=1.当x>1时,f'(x)=(x-1)ex>0,此时函数f(x)单调递增,所以f(x)在区间(1,2]上单调递增;当x<1时,f'(x)=(x-1)ex<0,此时函数f(x)单调递减,所以f(x)在区间[0,1)上单调递减.所以当x=1时,函数f(x)取得最小值-e+m=2-e,解得m=2.又f(0)=-2+m=0,f(2)=m=2,所以当x=2时,函数f(x)在[0,2]上取得最大值,最大值为2.
10.2 [解析] ∵f(x)在x=处取得最值,∴x=是函数f(x)的极值点.又∵f'(x)=acos x+cos 3x,∴f'=acos+cos π=0,解得a=2.
11.[0,1) [解析] 令g(x)=3x-x3,x>0,则g'(x)=3-3x2=3(1-x2),令g'(x)>0,得01.
所以g(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减.f(1)=2=f(-1),作出函数f(x)的大致图象,如图,由图象及题意可得-1≤a-1<1<3-2a,解得0≤a<1,所以实数a的取值范围是[0,1).
12.-3 [解析] 由已知得f'(x)=2x(3x-a),当x∈(0,+∞)时,若a≤0,则f'(x)>0,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增,则f(x)>f(0)=1,所以f(x)在(0,+∞)上没有零点;若a>0,则当x>时,f'(x)>0,当0x -1 (-1,0) 0 (0,1) 1
f'(x) 12 + 0 - 0
f(x) -4 单调递增 1 单调递减 0
所以f(x)在[-1,1]上的最大值为1,最小值为-4,故f(x)在[-1,1]上的最大值与最小值的和为-3.
13.解:f'(x)=-1=,x>-2.
若a<0,则f'(x)<0在(-2,+∞)上恒成立,故f(x)在(-2,+∞)上单调递减,
故f(x)无最值.
若a>0,则当x∈(-2,a-2)时,f'(x)>0;
当x∈(a-2,+∞)时,f'(x)<0.
故f(x)在(-2,a-2)上单调递增,在(a-2,+∞)上单调递减,
故f(x)有最大值f(a-2)=aln a-a+2,无最小值.
14.解:(1)因为a=-2,所以f(x)=,所以f'(x)=,则由f'(x)>0,得x<-1;由f'(x)<0,得x>-1.所以f(x)在(-∞,-1)上单调递增,在(-1,+∞)上单调递减,又f(-1)==e,所以f(x)有极大值e,无极小值.
(2)f'(x)=,由f'(x)=0,得x=a+1.①当a+1≥2,即a≥1时,f'(x)≥0在[1,2]上恒成立,所以f(x)在[1,2]上单调递增,则f(x)在[1,2]上的最大值为f(2)==,可得a=1,满足a≥1.②当a+1≤1,即a≤0时,f'(x)≤0在[1,2]上恒成立,所以f(x)在[1,2] 上单调递减,则f(x)在[1,2]上的最大值为f(1)==,可得a=1-,不满足a≤0,舍去.③当10,当x>a+1时,f'(x)<0,所以f(x)在[1,a+1)上单调递增,在(a+1,2]上单调递减,故f(x)的最大值为f(a+1)===,可得a=1,不满足015. [解析] 由f(x)=x+,得f'(x)=1-=,当x∈[1,2]时,f'(x)≤0且f'(x)不恒为0,所以f(x)在[1,2]上单调递减,所以当x∈[1,2]时,f(2)≤f(x)≤f(1),即4≤f(x)≤5.由g(x)=x2-ln x+a,得g'(x)=x-=,当x∈[1,2]时,g'(x)≥0且g'(x)不恒为0,所以g(x)在[1,2]上单调递增,所以当x∈[1,2]时,g(1)≤g(x)≤g(2),即+a≤g(x)≤2-ln 2+a.因为 x1,x2∈[1,2],使f(x1)=g(x2),所以解得2+ln 2≤a≤.
16.解:(1)当a=1时,f(x)=ln x+x2-3x,f'(x)=+2x-3=,则在区间[1,e]上,f'(x)≥0,f(x)单调递增,所以f(x)在区间[1,e]上的最大值为f(e)=e2-3e+1.
(2)f'(x)=+2x-(a+2)=.当≤1,即a≤2时,在区间[1,e]上,f'(x)≥0,f(x)单调递增,所以f(x)在区间[1,e]上的最小值为f(1)=1-(a+2)=-a-1.当1<0,f(x)单调递增.所以f(x)在区间[1,e]上的最小值为f=aln +-(a+2)·=aln --a.当≥e,即a≥2e时,在区间(1,e)上,f'(x)<0,f(x)单调递减,所以f(x)在区间[1,e]上的最小值为f(e)=a+e2-(a+2)e=(1-e)a+e2-2e.所以g(a)=第2课时 函数最值的综合问题
【学习目标】
能利用导数求含参函数的最大值、最小值,能根据函数的最值求参数的取值范围.
◆ 探究点一 求含参函数的最值
例1 已知函数f(x)=ex(x-a-1)(a∈R).
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)求函数f(x)在[0,1]上的最小值.
变式 已知函数f(x)=x3-3ax+1,其中a>,x∈[-2,1],求函数f(x)的最大值.
[素养小结]
求含参函数的最值时,步骤和方法与不含参函数是一致的,只是在判断单调性和最值时需要对参数进行分类讨论,注意分类讨论时要做到不重不漏.
拓展 已知函数f(x)=xln x-(a+1)x+1(a∈R),若函数f(x)在区间[1,e]上的最大值为m,最小值为n,求m-n的最小值.
◆ 探究点二 已知函数的最值求参数的值或范围
例2 已知函数f(x)=ln x-(a∈R).
(1)讨论f(x)的极值;
(2)若f(x)在[1,e]上的最小值为,求a的值.
变式 [2023·河北师大附中高二期中] 设x=-3是函数f(x)=ax3+bx2-3x+c的一个极值点,曲线y=f(x)在x=1处的切线斜率为8.
(1)求f(x)的单调区间;
(2)若f(x)在区间[-1,1]上的最大值为10,求c的值.
[素养小结]
已知函数的最值求参数的值或范围时,仍要回归到导数的作用上去:判断函数的单调性.利用函数的单调性来判断函数在何处取到最值,再根据最值确定参数的值或范围.
拓展 若函数f(x)=x3-3x在区间(2a,a+3)上有最小值,则实数a的取值范围是 ( )
A. B.(-2,1)
C. D.(-2,-1](共27张PPT)
6.3 函数的最值
第2课时 函数最值的综合问题
探究点一 求含参函数的最值
探究点二 已知函数的最值求参数的值或范围
【学习目标】
能利用导数求含参函数的最大值、最小值,能根据函数的最值求参数的取值范围.
探究点一 求含参函数的最值
例1 已知函数 .
（1）讨论 的单调性；
解：由题意得，因为 恒成立，
所以当时，， 单调递减，
当时，， 单调递增.
（2）求函数在 上的最小值.
解：由（1）得，①当时，在 上单调递减，
则 ；
②当时，在上单调递减，在 上单调递增，
则 ；
③当时，在上单调递增， .
综上所述, 当时,在区间上的最小值为 ;
当时,在区间上的最小值为 ;
当时,在区间上的最小值为 .
变式 已知函数，其中，，求函数
的最大值.
解：，令，得 .
当，即时，和随 的变化情况如下表：
, ,1） 1
0 - 0
单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调调增
因为，所以的最大值为 .
当，即时，和随 的变化情况如表：
,1） 1
0 - -
单调递增 极大值 单调递减
因为，所以的最大值为 .
当，即时，恒成立且不恒为0，
则 在上单调递减，所以的最大值为 .
综上所述，当时，的最大值为 ；
当时，的最大值为 .
［素养小结］
求含参函数的最值时,步骤和方法与不含参函数是一致的，只是在判断单调性和
最值时需要对参数进行分类讨论，注意分类讨论时要做到不重不漏.
拓展 已知函数，若函数在区间
上的最大值为，最小值为，求 的最小值.
解：，当时， .
当时，在上恒成立，函数在区间 上单调递增，
所以， ，
所以 .
令，则函数在区间 上单调递减，
所以的最小值为，即 的最小值为1.
当时，在上恒成立，函数在区间 上单调递减，
所以， ，
所以 .
令，则函数在区间 上单调递增，
所以的最小值为，即的最小值为 .
当时，由，得，由，得 ，
所以函数在区间上单调递减，在区间 上单调递增，
所以 .
①当时，，此时 ，
所以 .
令，则，由，可得 ，
所以函数在区间 上单调递增，
所以函数的最小值为 .
②当时，，此时 ，
所以 .
令，则，由，可得 ，
所以函数在区间 上单调递减，
所以 .
可得当时，的最小值为 .
综上可知，当时，的最小值为1，当时， 的最小值为
，当时，的最小值为 .
探究点二 已知函数的最值求参数的值或范围
例2 已知函数 .
（1）讨论 的极值；
解：由题意得的定义域是，且 .
若，则在上恒成立，故在 上单调递增，无极值.
若，则当时，， 单调递增；
当时，，单调递减.所以在 处有极小值
，无极大值.
（2）若在上的最小值为，求 的值.
解：由（1）可得 .
①当时，若，则，即在 上恒成立，
此时在上单调递增，所以，所以
（不合题意，舍去）.
②当时，若，则，即在 上恒成立，
此时在上单调递减，所以 ，
所以 （不合题意，舍去）.
③若，令，得 ，
则当时，，所以在 上单调递减；
当时，，所以在 上单调递增.
所以，所以 ，符合题意.
综上， .
变式 [2023·河北师大附中高二期中] 设 是函数
的一个极值点，曲线在 处的切线斜率
为8.
（1）求 的单调区间；
解：，由已知得
得解得
于是 .
由，得或，由，得，
所以 在，上单调递增，在 上单调递减，
可知是函数的极大值点，则, 符合题意，
所以的单调递增区间是和，单调递减区间是 .
（2）若在区间上的最大值为10，求 的值.
解：由（1）知 ，
且在区间上单调递减，在 上单调递增，
又 ，
所以在区间上的最大值为，解得 .
［素养小结］
已知函数的最值求参数的值或范围时，仍要回归到导数的作用上去：判断函数
的单调性.利用函数的单调性来判断函数在何处取到最值，再根据最值确定参数
的值或范围.
拓展 若函数在区间上有最小值，则实数 的取值范
围是( )
C
A. B. C. D.
[解析] 因为函数，所以，
则当或 时，，当时，，
所以当时， 取得极小值.
因为在区间上有最小值，且 ,
所以，解得，
所以实数的取值范围是 .故选C.
对于恒成立问题和存在性问题，最终都要转化成函数的最值去比较，故可以借
助导数的工具性作用去求最值.
例1 已知是奇函数，当时， ，当
时，函数的最小值为1，则 ( )
B
A. B.2 C. D.1
[解析] 因为是奇函数，所以当时，函数的最大值为 ，
当时，由，得，
易知是 在内的唯一极值点，也是该区间内的最值点，
即 ，则 ，经验证符合条件，故选B.
例2 已知函数在,上有最小值，则 的取值范围是
( )
A
A. B. C. D.
[解析] 因为，所以 .
设，则图象的对称轴为 .
当，即时，在, 上单调递增，
又，所以在 上恒成立，
所以在, 上单调递增，不存在最小值，不符合题意，所以.
依题意知，存在,，使得，且当 时
，当时 ，
所以需满足所以解得，即 的
取值范围为, .
故选A.
例3 已知函数 .
（1）求函数在 上的单调区间和极值；
解：由，得 ,
可得和在区间上随 变化的情况如下，
0 1 2
- - 0
0
所以在上的单调递减区间为，单调递增区间为，在
处取得极小值 ，无极大值.
（2）若在区间上，函数总有最小值，求出 的取值范围.
解：，可得和在上随 变化的情况如下，
, , 1
0 - 0
可得当时,，又在区间上总有最小值，所以 ，即
的取值范围为 .第2课时 函数最值的综合问题
一、选择题
1.若函数f(x)=-x3+3x2+9x+a在区间[-2,-1]上的最大值为2,则函数f(x)在该区间上的最小值为 ( )
A.-5 B.7
C.10 D.-19
2.当x=1时,函数f(x)=aln x+(a≠0)取得最大值-2,则f'(2)= ( )
A.-1 B.- C. D.1
3.若函数f(x)=3x-x3在区间(a2-4,a)上有最小值,则实数a的取值范围是 ( )
A.(-1,) B.(-1,4)
C.(-1,2] D.(-1,2)
4.已知函数f(x)=ax4-4ax3+b(a>0),x∈[1,4],f(x)的最大值为3,最小值为-6,则a+b=( )
A. B.
C. D.
5.若函数f(x)=x2-ax-ln x在区间(1,2)内有最小值,则实数a的取值范围为 ( )
A.(0,1) B.
C. D.
6.设函数f(x)=若函数f(x)无最小值,则实数a的取值范围是 ( )
A.(-∞,-1) B.(-∞,-1]
C.(-1,+∞) D.(1,+∞)
7.(多选题)函数f(x)=x3-3x在区间(-2,m)上有最大值,则满足条件的整数m可以是 ( )
A.-1 B.0
C.1 D.2
8.(多选题)[2023·江西萍乡安源中学高二期末] 已知函数f(x)=xex-x2-mx,则函数f(x)在[1,2]上的最小值可能为 ( )
A.e-m B.-(ln m)2
C.2e2-4m D.e2-2m
二、填空题
9.函数y=(x-2)ex+m在[0,2]上的最小值是2-e,则它在该区间上的最大值是 .
10.若函数f(x)=asin x+sin 3x在x=处取得最值,则a等于 .
11.若函数f(x)=在区间(a-1,3-2a)上有最大值,则实数a的取值范围是 .
12.若函数f(x)=2x3-ax2+1(a∈R)在(0,+∞)上有且只有一个零点,则f(x)在[-1,1]上的最大值与最小值的和为 .
三、解答题
13.[2023·江西丰城中学、新建二中高二联考] 已知函数f(x)=aln(x+2)-x(a≠0),讨论f(x)的单调性和最值.
14.已知函数f(x)=(a∈R).
(1)若a=-2,求f(x)的极值;
(2)若f(x)在[1,2]上的最大值为,求实数a的值.
15.已知函数f(x)=x+,g(x)=x2-ln x+a,若 x1,x2∈[1,2],使f(x1)=g(x2),则实数a的取值范围是 .
16.已知函数f(x)=aln x+x2-(a+2)x(x>0),其中a∈R.
(1)若a=1,求f(x)在区间[1,e]上的最大值;
(2)求f(x)在区间[1,e]上的最小值g(a).