§7 导数的应用
7.1 实际问题中导数的意义
【课前预习】
知识点
1.功率 2.降雨强度 3.边际成本
诊断分析
解:电流是电荷量关于时间的导数;水的流速是水流量关于时间的导数;加速度是速度关于时间的导数等.
【课中探究】
探究点一
例1 解:(1)当x从1变到8时,y关于x的平均变化率为==(m3/min),它表示时间从1 min到8 min这段时间内,平均每分钟水流量为 m3.
(2)f'(x)=()'=,则f'(27)=×2=(m3/min),
其实际意义是当x=27 min时,水流量y关于时间x的瞬时变化率为 m3/min.
变式 解:(1)当t从1 s变到3 s时,功W从W(1)=1-2+1=0(J)变到W(3)=33-2×3+1=22(J),
则功W关于时间t的平均变化率为==11(J/s),
它表示从1 s到3 s这段时间内,这个人平均每秒做功11 J.
(2)因为W'(t)=3t2-2,
所以W'(1)=3-2=1(J/s),W'(2)=3×22-2=10(J/s),
W'(1),W'(2)分别表示t=1 s和t=2 s时,这个人每秒做的功为1 J和10 J.
探究点二
例2 解:(1)当x从200变到220时,总成本c从c(200)=540元变到c(220)=626元.
此时总成本c关于产量x的平均变化率为==4.3(元/件),它表示产量从200件增加到220件的过程中,每增加1件产品,成本平均增加4.3元.
(2)c'(x)=+,于是c'(200)=+4=4.1(元/件),
它表示当产量为200件时,每多生产1件产品,成本需增加4.1元.
变式 解:根据题意知,总利润(单位:元)关于日产量x(单位:kg)的函数为L(x)=R(x)-C(x)=5x-100-0.01x2,
所以边际利润函数为L'(x)=5-0.02x.
L'(200)=5-0.02×200=1(元/kg),
L'(250)=5-0.02×250=0(元/kg),
L'(300)=5-0.02×300=-1(元/kg).
它们的实际意义是:当日产量为200 kg时,每增加1 kg的产量,总利润可增加1元;当日产量为250 kg时,每增加1 kg的产量,总利润无增加;当日产量为300 kg时,每增加1 kg的产量,总利润会减少1元.由此可得,当企业某一产品的日生产量超过了边际利润函数的零点时,会使企业“无利可图”.
探究点三
例3 解:由题意可知f'(3)=-3的实际意义是第3 min时,杯子中的热茶温度下降的速度为3 ℃/min.
变式 解:由s(t)=-t3-2t+,得s'(t)=-3t2-2,则s'(1)=-3×12-2=-5(m/s),它表示当t=1 s时,汽车刹车后的瞬时速度为-5 m/s.§7 导数的应用
7.1 实际问题中导数的意义
1.B [解析] 因为y(t)=ln(2t+1),所以y'(t)=,所以该质点在t=2 s时的瞬时速度为y'(2)==(cm/s).故选B.
2.D [解析] ∵S'=2πr,∴当r=3时,S'=2π×3=6π.
3.C [解析] 由导数的实际意义知,位移关于时间的瞬时变化率为对应时刻的瞬时速度.
4.A [解析] 由题意及容器的形状可知,随着时间的增加在相同的变化时间内,水面高度的增加量越来越小,所以f(t)在区间[t0-Δt,t0]上的平均变化率大于在区间[t0,t0+Δt]上的平均变化率,即k1>k2.故选A.
5.C [解析] s'=6t2-a,由题意知6×12-a=8,解得a=-2.
6.D [解析] 因为q'=4t+3,所以当t=5 s时,通过导体的电流为4×5+3=23(C/s).
7.ACD [解析] 由题意知θ=f(t)=20+60e-kt.对于A选项,因为k为大于0的常数,所以f'(t)=-60ke-kt<0,故A选项正确;对于B选项,若f(3)=65 ℃,则65=20+60e-3k,所以=e-3k,则f(6)=20+60e-6k=20+60(e-3k)2=20+60×=53.75(℃),故B选项错误;对于C选项,f'(3)表示t=3时的函数值的变化情况,因为f'(3)=-4<0,所以其实际意义是在t=3时,红茶的温度以每分钟4 ℃的速度下降,故C选项正确;对于D选项,令g(t)=f'(t)=-60ke-kt,则g'(t)=60k2e-kt>0,故f'(t)在定义域内为增函数,又f'(t)<0,所以随着时间的增加,f(t)的下降速度在减小,由于80-60=60-40=20,故红茶温度从80 ℃下降到60 ℃所需的时间比从60 ℃下降到40 ℃所需的时间少,故D选项正确.故选ACD.
8.ABC [解析] s'=t3-5t2+4t,令s'=0,得t1=0,t2=1,t3=4.故选ABC.
9.8 [解析] 由s=t3-2t2对t求导得s'=4t2-4t,则当t=2时,速度的大小为4×22-4×2=8.
10.26 [解析] 由题知,汽车启动阶段的速度v关于时间t的函数为v(t)=s'(t)=9t2-10t,所以v'(t)=18t-10,所以t=2时,汽车的加速度是v'(2)=18×2-10=26.
11.5 [解析] ∵T(t)=+15,∴T'(t)=.令T'(t)=-1.2,得=-1.2,可得t=5,即当t=5 min时,蜥蜴的体温的瞬时变化率为-1.2 ℃/min.
12. [解析] 设端点A运动的位移为s m,所以(3-s)2+=9,0≤s≤3,0≤≤3,即0≤t≤6,所以s=3-,则s'=,令t=2,得s'=,即端点A在t=2 s这一时刻的瞬时速度为 m/s.
13.解:(1)净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数,因为c(x)=(80(2)由(1)知c'(x)=,所以c'(98)==1321.
14.解:(1)由P(x)=-x3+600x2+67 500x-1 200 000,得边际利润函数P'(x)=-3x2+1200x+67 500.
(2)P'(x)=0,即-3x2+1200x+67 500=0,整理得(x-450)(x+50)=0,结合题意得x=450.
(3)结合P'(x)=-3x2+1200x+67 500的性质,与P'(450)=0可知,当00,P(x)单调递增,当x>450时,P'(x)<0,P(x)单调递减,所以当x=450时,P(x)取得极大值,也是最大值.即每月生产该种塑料管450百根时,能获得最大利润.
15.B [解析] 84 m/min=1.4 m/s.设经过时间t s时,人影的长度为y m,则=,所以y=t,所以人影长度的变化速率为y'=(m/s).
16. [解析] 设注水t min时,水的深度为h m,则容器内水的体积为t=h2·h,则h=2,所以h'=.当h=5时,可得t=,故当水深为5 m时,水面上升的速度v=×=(m/min).§7 导数的应用
7.1 实际问题中导数的意义
【学习目标】
体会实际问题中导数的意义,会用导数解决实际问题.
◆ 知识点 实际问题中的导数的意义
1.功与功率:在物理学中,通常称力在单位时间内做的功为 ,它的单位是瓦特.
2.降雨强度:在气象学中,通常把在单位时间内的降雨量称作 .它是反映一次降雨大小的一个重要指标.
3.边际成本:在经济学中,通常把生产成本y关于产量x的函数y=f(x)的导函数称为 .
【诊断分析】 请举出几个生活和科学领域中的实例,体会导数的实际意义.
◆ 探究点一 导数在物理学中的应用
例1 某河流在一段时间x(单位:min)内流过的水量为y(单位:m3),y是关于x的函数,且y=f(x)=.
(1)当x从1变到8时,y关于x的平均变化率是多少 它代表什么实际意义
(2)求f'(27)并解释它的实际意义.
变式 某人拉一辆车前行,他所做的功W(单位:J)是时间t(单位:s)的函数,且函数关系式为W(t)=t3-2t+1.
(1)求t从1 s变到3 s时,功W关于时间t的平均变化率,并解释其实际意义;
(2)求W'(1),W'(2),并解释它们的实际意义.
[素养小结]
在利用导数解决物理学中的问题时,需要注意一些基本的物理学概念和知识,再利用导数的意义去解释它的实际意义.
◆ 探究点二 导数在经济活动中的应用
例2 某厂生产某种产品x件的总成本为c元,满足c(x)=120++.
(1)当x从200变到220时,总成本c关于产量x的平均变化率是多少 它代表什么实际意义
(2)求c'(200),并解释它的实际意义.
变式 某食品厂生产某种食品的总成本C(单位:元)和总收入R(单位:元)都是日产量x(单位:kg)的函数,函数解析式分别为C(x)=100+2x+0.02x2,R(x)=7x+0.01x2,试求边际利润函数以及当日产量分别为200 kg,250 kg,300 kg时的边际利润,并说明它们的实际意义.(总利润y关于产量x的函数y=f(x)的导函数称为边际利润函数)
[素养小结]
成本关于产量的函数的导数即为边际成本,它表示的是每增加一件产品,成本的增加量.故边际成本可以为实际生产决策提供依据.
◆ 探究点三 导数在生活中的应用
例3 一杯80 ℃的热茶置于客厅桌面上,热茶的温度T(单位:℃)随着时间t(单位:min)的增加而逐渐下降,设T与t的函数关系为T=f(t),若f'(3)=-3,试解释其实际意义.
变式 某厂家生产的新能源汽车的紧急刹车装置在遇到特殊情况时需要尽快完成刹车,该汽车刹车后的位移s(单位:m)关于时间t(单位:s)的函数关系式为s(t)=-t3-2t+,求s'(1)并说明它的实际意义.
[素养小结]
实际生活中导数的意义应根据具体的题目具体分析,有时题干中变量的单位可以给我们提供参考和依据.§7 导数的应用
7.1 实际问题中导数的意义
一、选择题
1.[2023·吉林长春东北师大附中高二期末] 已知某质点运动的位移y(单位:cm)与时间t(单位:s)之间的函数关系式为y(t)=ln(2t+1),则该质点在t=2 s时的瞬时速度为 ( )
A. cm/s B. cm/s
C.2 cm/s D.4 cm/s
2.圆的面积S关于半径r的函数是S=πr2,那么在r=3时圆面积的瞬时变化率是 ( )
A.6 B.9 C.9π D.6π
3.某汽车的紧急刹车装置在遇到特别情况时需在2 s内完成刹车,其位移(单位:m)关于时间(单位:s)的函数为s(t)=-t3-4t2+20t+15,则s'(1)的实际意义为 ( )
A.汽车刹车后1 s内的位移
B.汽车刹车后1 s内的平均速度
C.汽车刹车后1 s时的瞬时速度
D.汽车刹车后1 s时的位移
4.如图所示,向一个圆台形的容器内倒水,任意相等时间间隔内所倒的水体积相等,记容器内水面的高度h随时间t变化的函数为h=f(t),定义域为D,设[t0-Δt,t0] D,[t0,t0+Δt] D,k1,k2分别表示f(t)在区间[t0-Δt,t0],[t0,t0+Δt](Δt>0)上的平均变化率,则k1与k2的大小关系是 ( )
A.k1>k2 B.k1C.k1=k2 D.无法确定
5.某物体的位移s关于时间t的函数为s=2t3-at,若该物体在t=1时的瞬时速度为8,则a的值为 ( )
A.-1 B.1
C.-2 D.2
6.从计时开始的一段时间内,通过某导体的电荷量q(单位:C)与时间t(单位:s)的函数关系式为q=2t2+3t,则第5 s时通过该导体的电流为 ( )
A.27 C/s B.20 C/s
C.25 C/s D.23 C/s
7.(多选题)牛顿曾提出了物体在常温环境下温度变化的冷却模型:如果物体的初始温度是θ1(单位:℃),环境温度是θ0(单位:℃),其中θ1>θ0,则经过t分钟后物体的温度θ将满足θ=f(t)=θ0+(θ1-θ0)·e-kt,其中k为大于0的常数.现将一杯80 ℃的热红茶置于20 ℃的房间中,根据这一模型研究红茶温度的变化,则下列结论中正确的是( )
A.f'(t)<0
B.若f(3)=65 ℃,则f(6)=50 ℃
C.若f'(3)=-4,则其实际意义是在t=3时,红茶的温度以每分钟4 ℃的速度下降
D.红茶温度从80 ℃下降到60 ℃所需的时间比从60 ℃下降到40 ℃所需的时间少
8.(多选题)一个点沿直线运动,如果由始点起经过t秒后的位移为s=t4-t3+2t2,那么速度为0时t的值可以为 ( )
A.1 B.0 C.4 D.5
二、填空题
9.一个质点沿直线运动,如果由始点起经过t秒后的位移为s=t3-2t2,那么t=2时的速度大小为 .
10.[2024·陕西西安高二期末] 某汽车启动阶段的位移s关于时间t的函数为s(t)=3t3-5t2+5,则t=2时,汽车的加速度是 .
11.已知蜥蜴的体温与太阳落山后的时间的关系可近似为 T(t)=+15,其中T(t)为蜥蜴的体温(单位:℃) ,t为太阳落山后的时间 (单位:min).则当t= min 时,蜥蜴体温的瞬时变化率为 -1.2 ℃/min.
12.[2023·辽宁辽阳高二期末] 如图,在墙角处有一根长3 m的直木棒AB紧贴墙面,墙面与底面垂直.在t=0 s时,木棒的端点B以0.5 m/s的速度垂直墙面向右做匀速运动,端点A向下沿直线运动,则端点A在t=2 s这一时刻的瞬时速度为 m/s.
三、解答题
13.日常生活中的饮用水通常是经过净化的.随着水的纯净度的提高,所需净化费用不断增加.已知将1 t水净化到纯净度为x%时所需费用(单位:元)为c(x)= (80(1)90%;
(2)98%.
14.某企业生产某种型号的塑料管,当年产量为x百根时,所获得的利润(单位:元)为P(x)=-x3+600x2+67 500x-1 200 000.
(1)求边际利润函数P'(x);
(2)求x的值,使P'(x)=0;
(3)解释(2)中所求得的x的值的实际意义.
15.如图所示,路灯与地平面的距离为8 m,一个身高为1.6 m的人以84 m/min的速度在地面上行走,从路灯在地平面上的射影点C处沿某直线离开路灯,则人影长度的变化速率为( )
A. m/s
B. m/s
C. m/s
D.21 m/s
16.向高为8 m,底面边长为8 m的倒置正四棱锥形的容器内注水,其速度为 m3/min,则当水深为5 m时,水面上升的速度为 m/min. (共20张PPT)
7.1 实际问题中导数的意义
探究点一 导数在物理学中的应用
探究点二 导数在经济活动中的应用
探究点三 导数在生活中的应用
【学习目标】
体会实际问题中导数的意义,会用导数解决实际问题.
知识点 实际问题中的导数的意义
1.功与功率：在物理学中，通常称力在单位时间内做的功为______，它的单位
是瓦特.
2.降雨强度：在气象学中，通常把在单位时间内的降雨量称作__________.它是
反映一次降雨大小的一个重要指标.
3.边际成本：在经济学中，通常把生产成本关于产量的函数 的导函
数称为__________.
功率
降雨强度
边际成本
【诊断分析】
请举出几个生活和科学领域中的实例，体会导数的实际意义.
解：电流是电荷量关于时间的导数；水的流速是水流量关于时间的导数；加速
度是速度关于时间的导数等.
探究点一 导数在物理学中的应用
例1 某河流在一段时间（单位：）内流过的水量为（单位：），
是关于的函数，且 .
（1）当从1变到8时，关于 的平均变化率是多少？它代表什么实际意义？
解：当从1变到8时，关于的平均变化率为 ，它
表示时间从到这段时间内，平均每分钟水流量为 .
（2）求 并解释它的实际意义.
解：，则 ，
其实际意义是当时，水流量关于时间的瞬时变化率为 .
变式 某人拉一辆车前行，他所做的功（单位：）是时间（单位： ）的
函数，且函数关系式为 .
（1）求从变到时，功关于时间 的平均变化率，并解释其实际意义；
解:当从变到时，功从 变到
，
则功关于时间的平均变化率为 ，
它表示从到这段时间内，这个人平均每秒做功 .
（2）求， ，并解释它们的实际意义.
解:因为 ，
所以， ，
，分别表示和时，这个人每秒做的功为和 .
［素养小结］
在利用导数解决物理学中的问题时，需要注意一些基本的物理学概念和知识，
再利用导数的意义去解释它的实际意义.
探究点二 导数在经济活动中的应用
例2 某厂生产某种产品件的总成本为元，满足 .
（1）当从200变到220时，总成本关于产量 的平均变化率是多少？它代表什
么实际意义？
解：当从200变到220时，总成本从元变到 元.
此时总成本关于产量的平均变化率为 （元/件），
它表示产量从200件增加到220件的过程中，每增加1件产品，成本平均增加4.3元.
（2）求 ，并解释它的实际意义.
解：，于是 （元/件），
它表示当产量为200件时，每多生产1件产品，成本需增加4.1元.
变式 某食品厂生产某种食品的总成本（单位：元）和总收入 （单位：元）
都是日产量（单位： ）的函数，函数解析式分别为
， ，试求边际利润函数以及当日
产量分别为，，时的边际利润，并说明它们的实际意义.
总利润关于产量的函数的导函数称为边际利润函数
解：根据题意知，总利润（单位：元）关于日产量（单位： ）的函数为
，
所以边际利润函数为 .
（元/ ），
（元/ ），
（元/ ）.
它们的实际意义是：当日产量为时，每增加 的产量，总利润可增加1
元；当日产量为时，每增加 的产量，总利润无增加；当日产量为
时，每增加 的产量，总利润会减少1元.由此可得，当企业某一产品的
日生产量超过了边际利润函数的零点时，会使企业“无利可图”.
［素养小结］
成本关于产量的函数的导数即为边际成本，它表示的是每增加一件产品，成本
的增加量.故边际成本可以为实际生产决策提供依据.
探究点三 导数在生活中的应用
例3 一杯的热茶置于客厅桌面上，热茶的温度（单位：）随着时间
（单位：）的增加而逐渐下降，设与的函数关系为 ，若
，试解释其实际意义.
解：由题意可知的实际意义是第 时，杯子中的热茶温度下降的
速度为 .
变式 某厂家生产的新能源汽车的紧急刹车装置在遇到特殊情况时需要尽快完
成刹车，该汽车刹车后的位移（单位：）关于时间（单位： ）的函数关
系式为，求 并说明它的实际意义.
解：由，得 ，
则，
它表示当 时，汽车刹车后的瞬时速度为 .
［素养小结］
实际生活中导数的意义应根据具体的题目具体分析，有时题干中变量的单位可
以给我们提供参考和依据.
1.在物理中，位移关于时间的导数即为速度；速度关于时间的导数即为加速度；
功关于时间的导数即为功率；质量关于长度的导数即为线密度.
2.在生活中，降雨量关于时间 的导数即为降雨强度，它是反映一次降雨大小
的一个重要指标.
3.在经济学中，通常把生产成本关于产量的函数 的导函数称为边际
成本.边际成本指的是当产量为 时，生产成本的增加强度，也就是当产
量为时，每增加一个单位的产量，需要增加 个单位的成本.
例1 若某水库在泄洪过程中水面的高度与泄洪时间的函数关系是 ，
请说明 的实际意义.
解：表示在 这一时刻，水面高度的瞬时变化率.
例2 一物体的运动路程（单位：）关于时间（单位： ）的函数关系式为
，则 表示的实际意义是( )
D
A.物体内共走过
B.物体每运动
C.物体从开始运动到第运动的平均速度是
D.物体在时的瞬时速度为
[解析] 由导数的物理意义知，表示物体在 时的瞬时速度
为 .故选D.
