专题9概率与其他知识的综合应用 （含解析）2025-2026学年人教版九年级数学上册

专题9概率与其他知识的综合应用
类型1概率与几何图形
典例1 二维码是近几年在移动设备上流行的一种编码方式，具有信息容量大、编码范围广、容错能力强等特点，被广泛应用于各个行业.如图是一个二维码，用黑白打印机打印在边长为2cm的正方形区域内，图中黑色部分的总面积为2.4cm ，现在向正方形区域内随机掷点，点落入黑色部分的概率为 .
几何图形中的概率问题常转化为面积的比值问题.本题中黑色部分的总面积与正方形的面积的 就是点落入黑色部分的概率.
【答案】
变式训练》
1(江苏宿迁沭阳模拟)如图，△ABC是一个小型花园，阴影部分为一个圆形水池，且与△ABC三边相切,已知AB=5m,AC=4m,BC=3m,若从天空飘落下一片树叶恰好落入花园里，则落入水池的概率为 (π取3).
类型2概率与一元二次方程
典例2 (广西贵港港北模拟)从1，2，3三个数中随机选取两个不同的数，分别记为a，c，则关于x的一元二次方程 没有实数根的概率为 ( )
A. B. C. D.
当问题中涉及一元二次方程根的个数时，需要用到方程根的判别式来确定满足条件的可能结果.本题中a，c需满足 .
【答案】
变式训练
2(重庆校级阶段练习)从-2，1两个数中随机选取一个数记为m，再从-1，0，2三个数中随机选取一个数记为n，则m，n的取值使得一元二次方程： 有两个不相等的实数根的概率是 .
类型3概率与函数
典例3 (湖南邵阳邵阳县模拟)在-2，-1，2三个数中，随机选取两个数分别作为函数 bx+3中a，b的值，则该二次函数图象开口向下的概率是 .
这类题型综合考查概率的求解与函数的图象与性质.本题根据二次函数图象开口向下得到a .
【答案】
变式训练
3(重庆校级期中)一个不透明的口袋中有4个完全相同的小球，球上分别标有4，-1，0，2.随机取出一个小球，记下数字为m后放回，再随机取出一个小球记下数字为n，则一次函数y=mx+n的图象不经过第一象限的概率为 .
类型4概率与统计
典例4 (广东深圳福田期中)为落实“双减”政策，某校随机调查了50名学生平均每天完成书面作业所需时间的情况，根据调查数据绘制了如下不完整的统计图：
分组 时间x(单位:h)
A 0≤x<0.5
B 0.5≤x<1
C 1≤x<1.5
D 1.5≤x<2
E 2≤x<2.5
(1)补全条形统计图；
(2)若该校有学生2000人，估计每天完成书面作业的时间少于1.5h的学生有 人；
(3)学校需要深入了解影响作业时间的因素，现从E组的4人中随机抽取2人进行谈话，已知E组中七、八年级各1人，九年级2人，则抽取的2人都是九年级学生的概率为多少 请用列表法或画树状图法说明.
概率与统计的综合问题通常根据部分统计数据考查概率问题.本题中共有 种等可能的结果，抽取的2人都是九年级学生的结果有 种.
【规范解答】
变式训练
4 为贯彻落实全民健身计划，积极实施阳光体育运动，增强师生身体素质，全面实施素质教育，某初中开展了“阳光体育活动”，决定开设足球、篮球、乒乓球、羽毛球、排球等球类活动，为了了解学生对这五项活动的喜爱情况，随机调查了一些学生(每名学生必选且只能选择这五项活动中的一种).根据以下统计图提供的信息，请解答下列问题：
(1)本次被调查的学生有 名，补全条形统计图；
(2)扇形统计图中“排球”对应的扇形的圆心角度数是 ；
(3)学校准备推荐甲、乙、丙、丁四名同学中的2名参加全市中学生篮球比赛，请用列表法或画树状图法分析甲和乙同学同时被选中的概率.
专题9 概率与其他知识的综合应用
典例1 比值
【答案】\frac{3}{5}解析：∵正方形的面积为2×2=4(cm )，黑色部分的总面积为2.4cm ，∴向正方形区域内随机掷点，点落入黑色部分的概率为
变式训练
1. 解析：如图，设圆形水池与△ABC三边相切的切点分别为D,E,F,圆形水池的中心为O,连接OD,OF,OE.
∴△ABC是直角三角形,∠ACB=90°.
∵D，F分别是圆O与AC和BC相切的切点，
∴∠ODC=∠OFC=90°,OD=OF,
∴四边形DOFC是正方形.
设CF= xm,则AE=AD=AC-DC=(4-x)m,BE=BF=BC-CF=(3-x)m.
由AB=AE+BE,得(4-x)+(3-x)=5,
解得x=1,即(
又∴
∴落入水池的概率为
典例2 16-4ac<0
【答案】B解析：画树状图如下：
共有6种等可能的结果,其中满足△=16-4ac<0,即 ac>4的结果有2种，所以关于x的一元二次方程( 没有实数根的概率为
变式训练
2. 解析：方程： 有两个不相等的实数根，则△= 画树状图如下：
共有6种等可能的结果，其中m，n的取值满足 的结果有4种，所以m，n的取值使得一元二次方程. =0有两个不相等的实数根的概率为
典例3<0
【答案】 解析：根据题意列表如下：
b a -2 -1 2
-2 (-1,-2) (2,-2)
-1 (-2,-1) (2,-1)
2 (-2,2) (-1,2)
共有6种等可能的情况，其中该二次函数图象开口向下的有4种，则该二次函数图象开口向下的概率是
变式训练
3. 解析：一次函数y=mx+n的图象不经过第一象限，则m<0,n≤0.列表如下:
m n 4 -1 0 2
4 (4,4) (-1,4) (0,4) (2,4)
-1 (4,-1) (-1,-1) (0,-1) (2,-1)
0 (4,0) (-1,0) (0,0) (2,0)
2 (4,2) (-1,2) (0,2) (2,2)
共有16种等可能出现的结果，满足m<0，n≤0的有2种，所以一次函数y=mx+n的图象不经过第一象限的概率为
典例4 12 2
【规范解答】(1)D组人数为50-5-16-20-4=5,补全条形统计图如下：
(2)1640 提示: (人),所以估计每天完成书面作业的时间少于1.5h的学生有1640人.
(3)用M表示七年级学生，N表示八年级学生，P，Q表示九年级学生，画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中抽取的2人都是九年级学生的结果有2种，
所以抽取的2人都是九年级学生的概率为
变式训练
4.解:(1)100 提示:本次被调查的学生有30÷30%=100(名).选择“足球”的有35%×100=35(名).
补全条形统计图如下：
(2)18° 提示：扇形统计图中“排球”对应的扇形的圆心角度数为
(3)画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中甲和乙同学同时被选中的结果有2种，
所以甲和乙同学同时被选中的概率为