25.2用列举法求概率 同步练习（含解析）2025-2026学年人教版九年级数学上册

25.2用列举法求概率
第1课时 用列表法求概率
练基础
知识点1 直接列举法求概率
1(贵州黔南州长顺阶段练习)若标有A，B，C的三只灯笼按图示悬挂，每次摘取一只(摘B先摘C)，直到摘完，则最后一只摘到B的概率是 ( )
A. C.
2(易错题)寒假期间省博物馆举行红色文化教育展，博物馆门口设置了A，B两条快速检票通道，前来看展的同学王明和李强均从A通道入馆的概率是 ( )
A. B. C. D.
知识点2 列表法求概率
3 (教材P138第1题改编)将4个分别写着“强”“国”“有”“我”的质地、大小相同的小球放在盒子中，搅匀后从中随机取出2个小球，恰好能组成“强国”的概率为 ( )
A. B. C. D.
【变式】若将上题中“从中随机取出2个小球”改为“从中随机取出1个小球，放回搅匀后再随机取出1个小球”，则应选 ( )
4(甘肃白银期末)用如图所示的两个转盘(分别进行四等分和三等分)设计一个“配紫色”的游戏，其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色，分别转动两个转盘(指针指向区域分界线时，忽略不计)，那么可配成紫色的概率为 ( )
A. C.
5“宫、商、角、徵、羽”是中国古乐的五个基本音阶.如图是一款“一起听古音”的音乐玩具，音乐小球从A处沿轨道进入小洞就可以发出相应的声音，且小球进入每个小洞的可能性大小相同.现有一个音乐小球从A处先后两次进入小洞，先发出“商”音，再发出“羽”音的概率是 .
6 现有四张外观一样的卡片，背面朝上，正面分别画有广口瓶、试管、集气瓶、量筒，现从中任取一张卡片，再从剩余卡片中抽取一张，则两次所取卡片上的仪器都不能加热的概率是 .
练素养
7 小明发现《田忌赛马》故事中蕴含着丰富的数学知识，小明用数学模型来分析齐王与田忌的上中下三个等级的三匹马，记分如表.每匹马只赛一场，三场两胜则赢.已知齐王的三匹马出场顺序为10，8，6，当田忌的三匹马随机出场时，能赢得比赛的概率为 .
马匹 姓名 下等马 中等马 上等马
齐王 6 8 10
田忌 5 7 9
第2课时 用画树状图法求概率
练基础
知识点 画树状图法求概率
1(黑龙江牡丹江中考)在一个不透明的袋子中装有1个红色小球，1个绿色小球，除颜色外无其他差别，随机摸出一个小球后放回并摇匀，再随机摸出一个，则两次都摸到红色小球的概率是 ( )
A. C.
【变式】全民终身学习活动周期间，某班级组织学生进入老年大学与老年朋友共同学习，同学们随机在太极拳、烹饪、书法三门课程中选一门参加.小李和小张参加同一门课程的概率是 ( )
A. C.
2(易错题)(北京平谷模拟)甲、乙、丙、丁四名同学随机组合，两两一组做游戏，则甲与乙恰好被分在同一组的概率是 ( )
A. C.
【变式】《笠翁对韵》中写到：天对地，雨对风.现将“天，地，雨，风”分别书写在材质、大小完全相同的卡片上，背面朝上，打乱顺序后，随机抽取两张，恰能成对的概率为 .
3 小明与甲、乙两人一起玩“手心手背”的游戏.他们约定：如果三人中仅有一人出“手心”或“手背”，则这个人获胜；如果三人都出“手心”或“手背”，则不分胜负.那么在一个回合中，小明获胜的概率是 .
4(陕西西安校级阶段练习)“石头、剪子、布”是一个广为流传的游戏，规则是：“石头”赢“剪子”，“剪子”赢“布”，“布”赢“石头”，手势相同不分输赢.假设欢欢、笑笑两人每次都随意并且同时做出3种手势中的1种.
(1)笑笑每次做出的手势不是“剪子”的概率为 ;
(2)用画树状图或列表的方法，求笑笑赢的概率.
5 (教材P139练习改编)“红灯停，绿灯行”是我们过路口遇见交通信号灯时必须遵守的规则.小明每天从家骑自行车上学要经过三个路口，假如每个路口交通信号灯中红灯和绿灯亮的时间相同，且每个路口的交通信号灯只安装了红灯和绿灯.某天小明从家骑车去学校上学，经过三个路口抬头看到交通信号灯.
(1)请画树状图列举小明看到交通信号灯可能出现的所有情况；
(2)求小明途经三个路口都遇到红灯的概率.
练提升
6(宁夏银川校级三模)在元旦游园晚会上有一个闯关活动：将5张分别画有正方形、圆、平行四边形、等边三角形、菱形的卡片任意摆放(卡片大小、质地、颜色完全相同)，将有图形的一面朝下，从中任意翻开2张，如果翻开的图形都是中心对称图形，就可以过关.那么一次过关的概率是 ( )
A. B. C. D.
7 新趋势 跨学科融合(河南南阳宛城期末)如图，随机闭合开关K ，K ，K 中的两个，能让灯泡L ，L 至少一盏发光的概率为 ( )
A. B. C. D.
8(山东青岛市北期末)四根长度分别为2cm，4cm,6cm,8cm的细木棒,任取其中三根为边，能拼成三角形的概率为 .
9 (教材P140第4题改编)三辆汽车经过某收费站下高速时，在2个收费通道A，B中，可随机选择其中的一个通过.
(1)三辆汽车经过此收费站时，都选择A通道通过的概率是 ；
(2)求三辆汽车经过此收费站时，至少有两辆汽车选择B通道通过的概率.
练素养
10 新趋势 方案决策题(浙江杭州富阳期中)如图，有A，B两个转盘，其中转盘A被分成4等份，转盘B被分成3等份，并在每一份内标上数字.现甲、乙两人同时各转动其中一个转盘，转盘停止后(当指针指在边界线上时视为无效，重转)，若将A转盘指针指向的数字记为x，B转盘指针指向的数字记为y，从而确定点P的坐标为P(x，y).
(1)请用列表或画树状图的方法写出所有可能得到的点P的坐标.
(2)李刚为甲、乙两人设计了一个游戏：记s=x+y.当s<6时，甲获胜，否则乙获胜.你认为这个游戏公平吗 对谁有利
(3)请你利用这两个转盘，设计一个公平的游戏规则.
25.2 用列举法求概率
第1课时 用列表法求概率
1. C 解析:由题意,得摘取的顺序有ACB,CAB,CBA三种等可能的结果，所以最后一只摘到B的概率是 .故选C.
2. A解析：王明和李强入馆的通道全部结果有：AA，AB，BA，BB，所有可能的结果共有4种，其中王明与李强均从A通道入馆的结果只有1种.
所以王明和李强均从A通道入馆的概率为 .故选A.
易错点 列举时要注意每种等可能的情况，这里易忽略AB,BA是两种情况.
3. C解析：列表如下：
强 国 有 我
强 (国,强) (有,强) (我,强)
国 (强,国) (有,国) (我,国)
有 (强,有) (国,有) (我,有)
我 (强,我) (国,我) (有,我)
共有12种等可能的结果，其中取出的2个小球恰好组成“强国”的结果有2种，所以取出的2个小球恰好组成“强国”的概率为 故选C.
【变式】D解析：列表如下：
强 国 有 我
强 (强,强) (国,强) (有,强) (我,强)
国 (强,国) (国,国) (有,国) (我,国)
有 (强,有) (国,有) (有,有) (我,有)
我 (强,我) (国,我) (有,我) (我,我)
共有16种等可能的结果，其中取出的2个小球恰好组成“强国”的结果有2种，所以取出的2个小球恰好组成“强国”的概率为 故选D.
解题关键点：第3题为不放回地抽取，两个小球上的字不可重复，变式中是放回地抽取，两个小球上的字可重复，因此两种抽取方式所求得的概率不同.
4. A解析：列表如下：
红 蓝 蓝 蓝
红 (红,红) (蓝,红) (蓝,红) (蓝,红)
红 (红,红) (蓝,红) (蓝,红) (蓝,红)
蓝 (红,蓝) (蓝,蓝) (蓝,蓝) (蓝,蓝)
共有12种等可能的结果，其中可配成紫色的有7种结果，所以可配成紫色的概率为 ,故选A.
5. 解析：根据题意列表如下：
宫 商 角 徵 羽
宫 (宫,宫) (商,宫) (角,宫) (徵,宫) (羽,宫)
商 (宫,商) (商,商) (角,商) (徵,商) (羽,商)
角 (宫,角) (商,角) (角,角) (徵,角) (羽,角)
徵 (宫,徵) (商,徵) (角,徵) (徵,徵) (羽,徵)
羽 (宫,羽) (商,羽) (角,羽) (徵,羽) (羽,羽)
共有25种等可能的情况，其中先发出“商”音，再发出“羽”音的有1种，
则先发出“商”音，再发出“羽”音的概率是
6. 解析：已知广口瓶、集气瓶、量筒不能加热.
将广口瓶、试管、集气瓶、量筒分别记为A，B，C，D.
列表如下：
A B C D
A (B,A) (C,A) (D,A)
B (A,B) (C,B) (D,B)
C (A,C) (B,C) (D,C)
D (A,D) (B,D) (C,D)
共有12种等可能的情况，其中卡片上的仪器都不能加热的有6种情况，所以两次所取卡片上的仪器都不能加热的概率是
解题关键点：首先要与化学知识结合，确定不能加热的仪器，再列表求解.
7. 解析：当齐王的三匹马出场顺序为10，8，6，田忌的三匹马随机出场时，双方马的对阵情况如下：
齐王 田忌
第一场 10 5 5 7 7 9 9
第二场 8 7 9 5 9 5 7
第三场 6 9 7 9 5 7 5
田忌的三匹马出场顺序共有6种情况，双方马的对阵中，只有1种对阵情况田忌能赢，所以田忌能赢得比赛的概率为
第2课时 用画树状图法求概率
1. D解析：画树状图如下：
共有4种等可能的结果，其中两次都摸到红色小球的结果只有1种，所以两次都摸到红色小球的概率是 .故选D.
【变式】B解析：将太极拳、烹饪、书法三门课程分别标记为甲、乙、丙.画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中小李和小张参加同一门课程的结果有3种，所以小李和小张参加同一门课程的概率是 故选B.
解题关键点：第1题中的放回地摸球和本题中小李和小张各自随机选择课程，都是可重复问题.
2. C解析：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中甲与乙恰好被分在同一组的结果有4个，所以甲与乙恰好被分在同一组的概率为 故选C.
易错点 出现丙、丁在同一组即表示甲、乙在同一组，易忽略2个符合题意的结果.
【变式】 解析：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中能成对的有4种结果，所以能成对的概率为
解题关键点：第2题中的两两一组做游戏和本题中的随机抽取两张卡片，都属于不放回地抽取，都是不可重复问题.
解析：画树状图如下：
共有8种等可能的结果，其中三人中只有小明自己出“手心”或“手背”的结果有2种，所以小明获胜的概率是 4.解:(1)
(2)解法一：画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中笑笑赢的结果有3种，则笑笑赢的概率是
解法二：分别将石头、剪子、布记为A，B，C.列表如下：
欢欢 笑笑 A B C
A (A,A) (B,A) (C,A)
B (A,B) (B,B) (C,B)
C (A,C) (B,C) (C,C)
共有9种等可能的结果，其中笑笑赢的结果有3种，则笑笑赢的概率是
5.解：(1)画树状图如下：
由图可知，共有8种等可能的结果.
(2)∵共有8种等可能的结果，小明途经三个路口都遇到红灯的结果有1种，
∴小明途经三个路口都遇到红灯的概率是
6. C解析：正方形、圆、平行四边形、菱形是中心对称图形.将5张分别画有正方形、圆、平行四边形、等边三角形、菱形的卡片分别记为A,B,C,D,E,
画树状图如下：
共有20种等可能的情况，其中一次过关的情况有12种，所以一次过关的概率为 故选C.
7. D解析：画树状图，如图所示：
共有6种等可能的情况，其中能让灯泡L ，L 至少一盏发光的有4种，所以能让灯泡L ，L 至少一盏发光的概率为 故选D.
解题关键点：将所有等可能的情况分别列出来，再根据物理知识找出事件包含的情况.
8.1-4解析：画树状图如下：
共有24种等可能的结果，其中能拼成三角形(两边之和大于第三边)的结果有6种，所以能拼成三角形的概率为
9.解:(1) 提示：画树状图如下：
共有8种等可能的情况，其中三辆车都选择A通道通过的情况有1种，所以都选择A通道通过的概率为
(2)∵共有8种等可能的情况，其中至少有两辆汽车选择B通道通过的有4种情况，
∴至少有两辆汽车选择B通道通过的概率为
10.解:(1)画树状图如下:
则点P的坐标可能为(1,2),(1,4),(1,6),(2,2),(2,4),(2,6),(3,2),(3,4),(3,6),(4,2),(4,4),(4,6),共有12种等可能的结果.
(2)由(1)中的树状图可得s<6有4种情况，
∴P(甲获胜) P(乙获胜)
∴这个游戏不公平，对乙有利.
(3)记s=x+y.当s≤6时,甲获胜,否则乙获胜.
解题关键点：一个公平的游戏应该是参加游戏的各方赢的概率相等.