《正多边形与圆》习题
1．若正六边形的边长为1，那么正六边形的中心角的度数是_______，半径是_______，边心距是_______，它的每一个内角是_______．正n边形的一个外角度数与它的_______角的度数相等．
2．已知一个多边形的内角和是外角和的4倍，则这个多边形是( )
A．八边形 B．十二边形 C．十边形 D．九边形
3．边长为a的正六边形的内切圆的半径为( )
A．2a B．a C．a D．a
4．如图，四边形ABCD是边长为a的正方形，以D为圆心、DA为半径的圆弧与以BC为直径的半圆交于另一点P，延长AP交BC于点N，则_______．
5．(1)如图①，把等边三角形的各边三等分，分别以居中那条线段为一边向外作等边三角形，并去掉居中的那条线段，得到一个六角星，则这个六角星的边数是_______．
(2)如图②，在5×5的网格中有一个正方形，把正方形的各边三等分，分别以居中那条线段为一边向外作正方形，并去掉居中的那条线段．请你把得到的图形画在图③中，并写出这个图形的边数．
(3)现有一个正五边形，把正五边形的各边三等分，分别以居中那条线段为一边向外作正五边形，并去掉居中的那条线段，得到的图形的边数是多少？
6．如图①，已知⊙O的半径为1，PQ是⊙O的直径，n个相同的正三角形沿PQ排成一列，所有正三角形都关于PQ对称，其中第一个△A1B1C1的顶点A1与点P重合，第二个
△A2B2C2的顶点A2是B1C1与PQ的交点，…，最后一个△AnBnCn的顶点Bn、Cn在圆上．
(1)如图②，当n＝1时，求正三角形的边长a1；
(2)如图③，当n＝2时，求正三角形的边长a2；
(3)如图①，求正三角形的边长an(用含n的代数式表示)．
7．如图，菱形ABCD的边长为2cm，∠DAB=60°．点P从A点出发，以cm/s的速度，沿AC向C作匀速运动；与此同时，点Q也从A点出发，以1cm/s的速度，沿射线AB作匀速运动．当P运动到C点时，P、Q都停止运动．设点P运动的时间为ts．
(1)当P异于A．C时，请说明PQ∥BC；
(2)以P为圆心、PQ长为半径作圆，请问：在整个运动过程中，t为怎样的值时，⊙P与边BC分别有1个公共点和2个公共点？
《正多边形与圆》习题
1．正多边形都是_______对称图形，一个正72边形有_______条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的_______；一个正多边形，如果有偶数条边，那么它既是_______图形，又是_______图形．
2．正十二边形的每一个外角为_______，每一个内角是_______，该图形绕其中心至少旋转_______才能和本身重合．
3．用一张圆形的纸剪一个边长为4cm的正六边形，则这个圆形纸片的半径最小应为_______cm．
4．正方形ABCD的外接圆圆心O叫做正方形ABCD的_______．
5．如图，正六边形螺帽的边长是2cm，这个扳手的开口a的值应是( )
A．2cm B．cm C． cm D．1 cm
6．如图，有一个⊙O和两个正六边形T1、T2．T1的6个顶点都在圆周上，T2的6条边都和⊙O相切(我们称T1、T2分别为⊙O的内接正六边形和外切正六边形)．
(1)设T1、T2的边长分别为a、b，⊙O的半径为r，求r：a及r：b的值；
(2)求正六边形T1、T2的面积比S1：S2的值．
《正多边形与圆》教案
教学目标
1、使学生理解正多边形概念，初步掌握正多边形与圆的关系；
2、通过正多边形定义教学，培养学生归纳能力；通过正多边形与圆关系定理的教学培养学生观察、猜想、推理、迁移能力；
3、进一步向学生渗透“特殊——一般再一般——特殊”的唯物辩证法思想．
4、掌握圆内接正多边形的两种画法：
(1)用量角器等分圆周法作正多边形；
(2)用尺规作图法作特殊的正多边形.
教学重点
正多边形的概念与正多边形和圆的关系．
教学难点
对定理的理解以及定理的证明方法．
教学活动设计
(一)观察、分析、归纳：
观察、分析：
1．等边三角形的边、角各有什么性质？
2．正方形的边、角各有什么性质？
归纳：等边三角形与正方形的边、角性质的共同点．
教师组织学生进行，并可以提问学生问题．
(二)正多边形的概念：
1．概念：各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形．如果一个正多边形有n(n≥3)条边，就叫正n边形．等边三角形有三条边叫正三角形，正方形有四条边叫正四边形．
2．概念理解：
①请同学们举例，自己在日常生活中见过的正多边形．(正三角形、正方形、正六边形，……)
②矩形是正多边形吗？为什么？菱形是正多边形吗？为什么？
矩形不是正多边形，因为边不一定相等．菱形不是正多边形，因为角不一定相等．
(三)分析、发现：
问题：正多边形与圆有什么关系呢？
发现：正三角形与正方形都有内切圆和外接圆，并且为同心圆．
分析：正三角形三个顶点把圆三等分；正方形的四个顶点把圆四等分．要将圆五等分，把等分点顺次连结，可得正五边形．要将圆六等分呢？
(四)多边形和圆的关系的定理
定理：把圆分成n(n≥3)等份：
1．依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形；
2．经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形．
我们以n=5的情况进行证明．
已知：⊙O中，TP、PQ、QR、RS、ST分别是经过点A、B、C、D、E的⊙O的切线．
求证：(1)五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形；
(2)五边形PQRST是⊙O的外切正五边形．
引导学生分析、归纳证明思路：
说明：(1)要判定一个多边形是不是正多边形，除根据定义来判定外，还可以根据这个定理来判定，即：①依次连结圆的n(n≥3)等分点，所得的多边形是正多迫形；②经过圆的n(n≥3)等分点作圆的切线，相邻切线相交成的多边形是正多边形．
(2)要注意定理中的“依次”、“相邻”等条件．
(3)此定理被称为正多边形的判定定理，我们可以根据它判断一多边形为正多边形或根据它作正多边形．
(五)整多边形的画法
你能用量角器等分圆周法和尺规作图法作出圆O的内接正四边形和正八边形吗？
课件7张PPT。24.3 正多边形和圆什么样的图形是正多边形？各边相等，各角也相等的多边形是正多边形.活动1你知道正多边形与圆的关系吗？ 正多边形和圆的关系非常密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆.活动2⌒⌒⌒123ABCDE证明：∵AB=BC=CD=DE=EA
∴AB=BC=CD=DE=EA
∵BCE=CDA=3AB
∴∠1=∠2
同理∠2=∠3=∠4=∠5
又∵顶点A、B、C、D、E都在⊙O上，
∴五边形ABCDE是⊙O的内接五边形.
4⌒⌒5我们以圆内接正五边形为例证明. 如图，把⊙O分成把⊙O分成相等的5段弧，依次连接各分点得到正五边形ABCDE.正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角.我们把一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心.外接圆的半径叫做正多边形的半径.中心到正多边形的距离叫做正多边形的边心距.例 有一个亭子，它的地基半径为4m的正六边形，求地基的周长和面积(精确到0.1m2).因此，亭子地基的周长l =4×6=24(m).利用勾股定理，可得边心距亭子地基的面积OABCDEFRPr活动3练习如图，正六边形ABCDEF的边长为5，求对角线AD、AC的长.解：连接BE，交AD于点O.
由正六边形性质知：△DOE为等边三角形，△ACD为直角三角形.
所以AD=2OD=10.
△ACD中，根据勾股定理，得O课件1张PPT。1.如图，已知正三角形，用直尺和圆规作它的外接圆.2.如图，已知正方形，用直尺和圆规作它的外接圆.课件1张PPT。画一个半径为2cm的正五边形，再作出这个正五边形的各条对角线，画出一个五角星.
