26.1.2反比例函数的图象和性质 同步练习（含解析）2025-2026学年人教版九年级数学下册

26.1.2反比例函数的图象和性质
反比例函数的图象和性质
练基础
知识点1 反比例函数的图象
1(云南中考)反比例函数 的图象分别位于 ( )
A.第一、第三象限 B.第一、第四象限
C.第二、第三象限 D.第二、第四象限
2下列函数的图象中，与坐标轴没有公共点的是 ( )
A. y=-x
D. y=2x-3
3(易错题)如果矩形的面积为10，那么它的长y与宽x间的函数关系用图象表示可以是（ ）
知识点2 反比例函数的性质
4(浙江杭州校级期末)对于反比例函数y= 下列说法不正确的是 ( )
A.它的图象位于第二、第四象限
B.点(2,-6)在它的图象上
C.当x<0时，y随x的增大而减小
D.当x>0时，y随x的增大而增大
5(四川成都龙泉驿期中)如图，过原点的一条直线与反比例函数 (k≠0)的图象分别交于A，B两点，若A点的坐标为(3,-5),则B点的坐标为
A.(3,-5) B.(-5,3)
C.(-3,5) D.(-3,-5)
6(湖北武汉模拟)已知反比例函数 当x<0时，y随x的增大而减小，则a的值可能是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
7 (山东滨州滨城二模)从-1，2，-3，4这四个数中任取两个不同的数分别作为a，b的值，得到反比例函数 则这些反比例函数中，其图象位于第一、第三象限的概率是 .
练素养
8 如图，矩形ABCO在平面直角坐标系中,点A(-5,0),点C(0,6),双曲线 和双曲线 把矩形ABCO内部(不含边界)横、纵坐标均为整数的点称为“优点”.
(1)若k=-12,则L 和L 之间(不含边界)有 个“优点”；
(2)如果L 和L 之间(不含边界)有4个“优点”，那么k的取值范围为 .
第2课时反比例函数的图象和性质的应用
练基础
知识点1 反比例函数图象和性质的应用
1若点A(x ,-2),B(x ,2)在反比例函数 的图象上，则关于x ，x 的结论正确的是（ ）
2(易错题)已知反比例函数 当x≥4时,y的取值范围是 .
知识点2 求反比例函数解析式
3如图，在 ABOC中，点C在反比例函数 的图象上,点A(-3,3),B(-2,0),则反比例函数的解析式为 ( )
4(湖北仙桃中考)在反比例函数 的图象的每一支上，y都随x的增大而减小，且整式 是一个完全平方式，则该反比例函数的解析式为 .
5已知点M(2，a)在反比例函数 的图象上，点M关于原点中心对称的点N在一次函数y=-2x+8的图象上，求此反比例函数的解析式.
知识点3 反比例函数中k的几何意义
6(易错题)(广西河池中考)如图，点P(x，y)在双曲线 的图象上，PA⊥x轴，垂足为A,若 则该反比例函数的解析式为
7 (北京校级一模)如图，在平面直角坐标系xOy中,第一象限内的点P(x,y)与点A(2,2)在同一个反比例函数的图象上，PC⊥y轴于点C,PD⊥x轴于点D,那么矩形ODPC的面积等于 .
练提升
8(西藏中考)在同一平面直角坐标系中，函数y= ax+b与 (其中a,b是常数,ab≠0)的大致图象可能是 ( )
9 (教材P8练习第2题改编)在反比例函数y= (k为常数)的图象上有三点A(x ,y ),B(x ,y ),C(x ,y ),若 则y ,y ,y 的大小关系为 ( )
10如图，平面直角坐标系中，点A，B均在函数 的图象上，⊙A与x轴相切，⊙B与y轴相切,若点B(1,8),⊙A的半径是⊙B半径的2倍，则点A的坐标为 （ ）
A.(2,2) B.(2,4) C.(3,4) D.(4,2)
11(江苏南京模拟)如图，菱形OABC的边OC在x轴上，点B的坐标为(8，4)，反比例函数 的图象经过点A，则k的值为 （ ）
A.12 B.15 C.16 D.20
12(江苏连云港校级期末)如图，已知点A是反比例函数 的图象上的一个动点，连接OA，若将线段OA绕点O顺时针旋转90°，得到线段OB，则点B所在反比例函数解析式为 .
13(山东临沂中考)已知函数
(1)画出函数图象.
(2)该函数是否有最大或最小值 若有，求出其值，若没有，简述理由.
(3)设(x ,y ),(x ,y ))是函数图象上的点，若 证明
练素养
14如图，已知直线 分别与x轴、y轴相交于P，Q两点，与 的图象相交于A(-2，m),B(1,n)两点,连接OA,OB,给出下列结论:①k k >0;②m+ n=0;③S△AOP=S△BOQ;④不等式 的解集是x<-2或015 如图所示，在x轴的正半轴上依次截取 过A ,A ,A ,A ,A ,…分别作x轴的垂线与反比例函数 的图象交于点P ,P ,P ,P ,P ,…,并设△OA P ,△A A P ,△A A P ,……面积分别为S ,S ,S ,…，按此作法进行下去,则S 的值为 .
26.1.2反比例函数的图象和性质
第1课时 反比例函数的图象和性质
1. A 解析：∵k=6>0，∴该反比例函数的图象位于第一、第三象限.故选A.
2. B解析：一次函数与坐标轴有公共点，反比例函数与坐标轴没有公共点.故选B.
解题关键点：反比例函数的图象无限靠近坐标轴，但永远与坐标轴不相交.
3. C解析：由矩形的面积公式可得 其图象在第一象限.
易错点 本题易忽略实际问题中自变量的取值范围而错选.
4. C解析：在反比例函数 中,∵-12<0,∴反比例函数图象位于第二、第四象限，A正确；当x=2时，y=-6，∴点(2，-6)在函数图象上，B正确；在每一个象限内，y随着x的增大而增大，C不正确，D正确.故选C.
5. C解析：∵反比例函数的图象是中心对称图形，∴与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称，∴它的另一个交点的坐标是(-3，5).故选C.
解题关键点：根据反比例函数图象的对称性解题.
6. A 解析:由题意,得2-a>0,即a<2,故选A.
7. 解析：因从-1，2，-3，4这四个数中任取两个不同的数分别作为a,b的值,有(-1,2),(-1,-3),(-1,4),(2,-3),(2,4)和(-3,4)共6种等可能出现的结果,其中,满足 ab>0的有(-1,-3)和(2,4)这2种结果,∴这些反比例函数中，图象位于第一、第三象限的概率是
解题关键点：反比例函数图象位于第一、第三象限，则ab>0.在计算随机事件的概率时，注意区分“放回”与“不放回”.
8.(1)4 (2)-12≤k<-10或-4解析:(1)当k=-12时, 经过(-2,6),(-3,4),(-4,3)，如图，画出L 的图象，由图可知L 和L 之间(不含边界)有4个“优点”.
(2)如果L 和L 之间(不含边界)有4个“优点”，分别为(-2,5),(-2,4),(-3,3),(=4,2)时,则-12≤k<-10;如果L 和L 之间(不含边界)有4个“优点”,分别为(-1,5),(-1,4),(-2,2),(-4,1)时,则-4解题关键点：读懂题意，在网格中画出反比例函数 的图象是解题的关键.
第2课时 反比例函数的图象和性质的应用
1. B 解析:解法一:∵k=-12<0,∴函数图象位于第二、第四象限,∴A(x ,-2)在第四象限,B(x ,2)在第二象限,∴x >0,x <0,∴x <0解法二：由题意知 解得：x =6,x =-6,所以 故选B.
2.-2≤y<0 解析:把x=4代入 得y=-2.∵k=-8<0,双曲线的两个分支分别位于第二、第四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大.结合函数图象可知当x≥4时，-2≤y<0.
易错点 易只考虑函数的增减性，而忽略函数图象所在象限，误填答案为y≥-2.
3. C 解析:在 ABOC中,点A(-3,3),B(-2,0),
∴C(-1,3).
∵点C在反比例函数 的图象上，
解得 故选C.
解题关键点：反比例函数 中，只有一个系数k，因而只需给出一对x，y的对应值或图象上一点的坐标，即可确定反比例函数解析式.
解析：∵整式. 是一个完全平方式，∴k=±4.∵在反比例函数 的图象的每一个分支上，y都随x的增大而减小,∴k-1>0,解得k>1,∴k=4.∴反比例函数的解析式为
5.解：∵点N与点M(2，a)关于原点中心对称，
∴点N的坐标为(-2,-a).
又∵点N在一次函数y=-2x+8的图象上，
∴-a=-2×(-2)+8=12,∴a=-12.
∴点M的坐标为(2,-12).
∵点M(2,-12)在反比例函数 的图象上，
解析:∵点P(x,y)在双曲线 的图象上,PA⊥x轴， 又∵函数图象位于第二象限,∴k<0,∴k=-4,∴该反比例函数的解析式为
易错点 容易忽略曲线所在的象限，而错填
7.4 解析:设点A(2,2)在反比例函数 的图象上，可得 解得k=4.
∵第一象限内的点P(x，y)与点A(2，2)在同一个反比例函数的图象上，
∴矩形ODPC的面积等于4.
8. A 解析:A.由一次函数图象,知a<0,b<0,由反比例函数图象,知 ab>0,可能;B.由一次函数图象,知a<0,b>0,由反比例函数图象，知ab>0，不可能；C.由一次函数图象，知a>0,b>0,由反比例函数图象,知 ab<0,不可能;D.由一次函数图象，知a>0，b<0，由反比例函数图象，知 ab>0，不可能.故选A.
9. C 解析:∵k ≥0,∴k +3>0,∴反比例函数 (k为常数)的图象位于第一、第三象限，且在每一象限内，y随着x的增大而减小. 故选C.
10. D 解析:∵点B(1,8)在函数 的图象上,∴k=8,则该函数的解析式是y= .∵⊙B与y轴相切,∴⊙B的半径是1,∴⊙A的半径是2,∵⊙A与x轴相切,∴把y=2代入 得x=4,则点A的坐标是(4,2).故选D.
解题关键点：点A的纵坐标、点B的横坐标分别对应两个圆的半径.
11. A 解析:如图,延长BA交y轴于点D,设AD=x.因为点B(8,4),则BD=8,AO=AB=8-x,OD=4.在Rt△AOD中,由勾股定理,得OD + 即 ,解得x=3,所以点A的坐标是(3，4).因为反比例函数 的图象经过点A,所以k=3×4=12.故选A.
解题关键点：根据菱形的性质求出点A的坐标，代入函数解析式求解.
解析：如图，过点A作AC⊥x轴，垂足为点C，过点B作BD⊥x轴,垂足为点D,∴∠ACO=∠ODB=90°.由题意可知OA=OB,∠AOC+∠BOD=90°.又∵∠AOC+∠OAC=90°,∴ ∠OAC=∠BOD.∴△AOC≌△OBD(AAS). 设过点B的反比例函数解析式为 则
解题关键点：证明△AOC≌△OBD及应用反比例函数中k的几何意义是解题关键.
13.解:(1)解:列表如下:
x ▼ -3 -2 -1 0 1 2 3
y -1 -3/2 -3 0 3 3一2 1
函数图象如图所示：
(2)解：有最大值和最小值.根据图象可知，当x=1时，函数有最大值3；当x=-1时，函数有最小值-3.
(3)证明:∵(x ,y ),(x ,y )是函数图象上的点,且
当 时， 当 时,x ≥1,则 同理,当x ≥1时,
综上，
14.①②③④ 解析:由图象知,k <0,k <0,∴k k >0,①正确;把A(-2,m),B(1,n)代入 中,得-2m=n, ②正确;把A(-2,m),B(1,n)代入 得 解得 b=-m,∴y=-mx-m.∵直线 与x轴、y轴相交于P，Q两点,∴P(-1,0),Q(0,-m),∴OP=1,OQ=m.∴S△AOP= ③正确；由图象知不等式 的解集是x<-2或0解析：根据反比例函数中k的几何意义，又( 以此类推，