专题11反比例函数的综合应用 （含解析）2025-2026学年人教版九年级数学下册

专题11 反比例函数的综合应用
类型1与一次函数的图象共存问题
典例1 (贵州毕节威宁期末)在同一直角坐标系中，函数y= kx-k与 的图象大致是( )
(1)若根据题意能够判断函数系数的范围，则可以直接确定选项；(2)若系数不确定，则需要对系数进行分类讨论，也可以根据选项中的图象判断两个函数的相同系数的正负，看是否一致.本题中，可对k分类讨论，分为 和 两种情况.
【答案】
变式训练
1(黑龙江绥化中考)已知二次函数 的部分函数图象如图所示，则一次函数 与反比例函数 在同一平面直角坐标系中的图象大致是 （ ）
类型2与一次函数的交点问题
典例2 (湖北荆州中考)已知：如图，直线y =kx+1与双曲线 在第一象限交于点P(1，t)，与x轴、y轴分别交于A，B两点，则下列结论错误的是 ( )
A. t=2
B.△AOB是等腰直角三角形
C. k=1
D.当x>1时,y >y
(1)求函数解析式：交点既在反比例函数图象上又在一次函数图象上是解题关键.(2)解不等式：根据交点左右两侧两个函数图象的上下位置确定x的范围.本题中，由反比例函数的解析式求出点P的坐标为 ，由待定系数法可求出k= ，进而求解其他问题.
【答案】
变式训练
2(四川泸州中考)一次函数y= kx+b(k≠0)的图象与反比例函数 的图象相交于A(2，3),B(6,n)两点.
(1)求一次函数的解析式；
(2)将直线AB沿y轴向下平移8个单位长度后得到直线l，l与两坐标轴分别相交于M，N，与反比例函数的图象相交于点P，Q，求 的值.
类型3与一次函数相交的面积问题
典例3 如图，已知一次函数y=kx+b与反比例函数 的图象交于A(-3,2),B(1,n)两点.则△OAB的面积为 .
学霸说除了能够用k的几何意义求解面积问题，也常选择用割补法求解.“割”通常用坐标轴分割所求图形；“补”通常将图形补为存在边与坐标轴平行(重合)的直角三角形、矩形等.本题中，可用 将△OAB分割为两个三角形.
【答案】
变式训练
3(山东淄博中考)如图，直线y=kx+b与双曲线 相交于A(1，2)，B两点，与x轴相交于点C(4,0).
(1)分别求直线AC和双曲线对应的函数解析式；
(2)连接OA,OB,求△AOB的面积;
(3)直接写出当x>0时,关于x的不等式 kx+b 的解集.
类型4 反比例函数与几何图形的综合应用
典例4 (江苏苏州校级一模)如图，点A的坐标是(-2,0),点B的坐标是(0,6),C为OB的中点，将△ABC绕点B逆时针旋转90°后得到△A'BC'.若反比例函数 的图象恰好经过A'B的中点D,则k的值是( )
A.9 B.12
C.15 D.18
解决这类问题时，一般先用几何图形的性质求出关键点的坐标，进而求解函数的相关问题.本题中，过点A'作A'H⊥y轴，垂足为H，由图形的旋转的性质证得△ ≌△ ，求出A'的坐标，然后进一步求解.
【答案】
变式训练
4 如图,点A(a,1),B(-1,b)都在双曲线 上，点P，Q分别是x轴、y轴上的动点，当四边形PABQ的周长取最小值时，PQ所在直线的解析式是 （ ）
A. y=x B. y=x+1
C. y=x+2 D. y=x+3
5如图，⊙O的圆心为原点，半径为2，反比例函数 的图象与⊙O有两个交点，则k的取值是 .
专题11 反比例函数的综合应用
典例1 k>0 k<0
【答案】D 解析：当k>0时，一次函数y=kx-k的图象经过第一、第三、第四象限，反比例函数 的图象位于第一、第三象限，没有选项符合；当k<0时，一次函数y=kx-k的图象经过第一、第二、第四象限，反比例函数 的图象位于第二、第四象限，D项符合，故选D.
变式训练
1. B 解析:∵二次函数 的函数图象开口向上，与x轴有两个交点,∴a>0,b -4ac>0,∴一次函数y= ax+ 的图象经过第一、第二、第三象限.由二次函数y= 的图象可知,点(2,4a+2b+c)在x轴上方,∴4a+ 的图象位于第一、第三象限.
∴符合题意的是选项B.
典例2 (1,2) 1
【答案】D 解析:∵点P(1,t)在双曲线 上， 选项A正确;∵P(1,2)在直线y = kx+1上,代入可得k=1,选项C正确;∴y =x+1,把x=0代入可得B(0,1),把y=0代入可得A(-1,0),∴OB=OA=1,∴△AOB为等腰直角三角形,选项B正确;由图象可知,当x>1时,y >y ,∴选项D不正确.故选D.
变式训练
2.解:(1)将A(2,3)代入 得
将B(6,n)代入 得n=1,∴B(6,1).
将A(2,3),B(6,1)代入y= kx+b(k≠0),
得 解得
∴一次函数的解析式为
(2)由题意得直线l的解析式为
当x=0时,y=-4,当y=0时,x=-8.∴OM=8,ON=4,
解方程组 目刁∴P(-6,-1),Q(-2,-3).
如图，过点P作x轴的平行线，过点Q作y轴的平行线，两条平行线交于点C,则∠C=90°,C(-2,-1),∴PC=-2-(-6)=4,CQ=-1-(-3)=2,
典例3 y轴
【答案】8 解析:将点A(-3,2)代入 得 令x=1,得y=-6,∴B(1,-6).将A(-3,2),B(1,-6)代入y= kx+b,得 解得 .一次函数解析式为y=-2x-4.设一次函数图象与y轴交于点C，则(
变式训练
3.解:(1)将A(1,2),C(4,0)代入y= kx+b,得 解得 直线AC对应的函数解析式为 将A(1,2)代入 得m=2,
∴双曲线对应的函数解析式为
(2)把x=0代入 解得
∴点D的坐标为
解方程组
∴点B的坐标为(3,2,3)
(3)观察图象，当x>0时，关于x的不等式. 的解集是1解题关键点：通过联立方程求交点的坐标，通过割补法求面积.
典例4 AOB BHA'
【答案】C 解析:如图,作A'H⊥y轴,垂足为H.
∵∠AOB=∠A'HB=∠ABA'=90°,
∴∠ABO+∠A'BH=90°,∠ABO+∠BAO=90°,
∴∠BAO=∠A'BH.∵BA=BA',
∴△AOB≌△BHA'(AAS),
∴OA=BH,OB=A'H.
∵点A的坐标是(-2,0),点B的坐标是(0,6),
∴OA=2,OB=6,∴BH=OA=2,A'H=OB=6,
∴OH=4,∴A'(6,4).
∵D是A'B的中点,∴D(3,5).△A'BH中根据中位线定理求得.
∵反比例函数 的图象经过点D,∴k=15.故选C.
变式训练
4. C 解析:由题意可知a=-3,b=3,则点A(-3,1),B(-1,3).如图，作点A关于x轴的对称点C，点B关于y轴的对称点D，连接CD分别交x轴、y轴于点P，Q，此时四边形PABQ的周长最小.
易知C(-3,-1),D(1,3),设直线PQ的解析式为y= kx+b,代入点C,D,得 解得 所以直线PQ的解析式为y=x+2.
5.2或-2解析：由题意可知，反比例函数 图象上距O点最近的点在⊙O上，∴反比例函数 图象与直线y=x或直线y=-x的交点到O的距离为2.
当k>0时，如图，直线y=x与 交于A,B两点,A,B在⊙O上.易得A(√k,√k),B(-√k,-√k),..点A,B到原点的距离为
当k<0时,同理可得k=-2.
综上，k的取值是2或-2.