《用一元二次方程解决问题》习题
1.计算题
(1)(用直接开平方法解)
(2)
(3)(用公式法解)
(4)
(5)(用配方法解)
(6)
2.解答题
(1)某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件，若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？(10分)
(2)如图2，在Rt△ACB中，∠C=90°，点P、Q同时由A、B两点出发分别沿AC，BC方向向点C匀速运动，它们的速度都是1m/s，几秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半？(AC=6m，BC=8m)
图1
(3)一块矩形耕地大小尺寸如图1所示，要在这块地上沿东西和南北方向分别挖2条和4条小渠，如果小渠的宽相等，而且要保证余下的耕地面积为9600米2，那么水渠应挖多宽？
图2
(4)要建成一面积为130m2的仓库，仓库的一边靠墙(墙宽15m)，现有能围成33m的木板.求仓库的长与宽各是多少？
《用一元二次方程解决问题》习题
1.某工厂计划生产A，B两种产品共10件，其生产成本和利润如下表：
A种产品
B种产品
成本(万元/件)
2
5
利润(万元/件)
1
3
(1)若工厂计划获利14万元，问A，B两种产品应分别生产多少件？
(2)若工厂计划投入资金不多于44万元，且获利多于14万元，问工厂有哪几种生产方案？
(3)在(2)的条件下，哪种生产方案获利最大？并求出最大利润．
2.某花圃用花盆培育某种花苗，经过实验发现每盆的盈利于每盆的株数构成一定的关系.每盆植入3株时，平均单株盈利3圆；以同样的栽培条件，若每盆没增加1株，平均单株盈利就减少0.5元.要使每盆的盈利达到10元，每盆应该植多少株？
3.为落实国务院房地产调控政策，使“居者有其屋”，某市加快了廉租房的建设力度．2011年市政府共投资2亿元人民币建设了廉租房8万平方米，预计到2012年底三年共累计投资9.5亿元人民币建设廉租房，若在这两年内每年投资的增长率相同．
(1)求每年市政府投资的增长率；
(2)若这两年内的建设成本不变，求到2012年底共建设了多少万平方米廉租房．
4.汽车产业是我市支柱产业之一，产量和效益逐年增加.据统计，2008年我市某种品牌汽车的年产量为6.4万辆，到2010年，该品牌汽车的年产量达到10万辆.若该品牌汽车年产量的年平均增长率从2008年开始五年内保持不变，则该品牌汽车2011年的年产量为多少万辆？
5.某旅游景点为了吸引游客，推出的团体票收费标准如下：如果团体人数不超过25人，每张票价150元，如果超过25人，每增加1人，每张票价降低2元，但每张票价不得低于100元，阳光旅行社共支付团体票价4800元，则阳光旅行社共购买多少张团体票？
6.某公司投资新建了一商场，共有商铺30间．据预测，当每间的年租金定为10万元时，可全部租出．每间的年租金每增加5?000元，少租出商铺1间．(假设年租金的增加额均为5000元的整数倍)该公司要为租出的商铺每间每年交各种费用1万元，未租出的商铺每间每年交各种费用5?000元．
(1)当每间商铺的年租金定为13万元时，能租出多少间？
(2)当每间商铺的年租金定为多少万元时，该公司的年收益(收益=租金-各种费用)为275万元？
《用一元二次方程解决问题》教案
教学内容
本节课主要学习建立一元二次方程的数学模型解决问题．
教学目标
知识技能
1．能根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型．
2．能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理．
数学思考
经历将实际问题抽象为代数问题的过程，探索问题中的数量关系，并能运用一元二次方程对之进行描述．
解决问题
通过解决传播问题，学会将实际应用问题转化为数学问题，体验解决问题策略的多样性，发展实践应用意识．
情感态度
通过用一元二次方程解决身边的问题，体会数学知识应用的价值，提高学生学习数学的兴趣，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用．
重难点、关键
重点：列一元二次方程解有关问题的应用题．
难点：发现问题中的等量关系．
关键：建立一元二次方程的数学模型解问题．
教学准备
教师准备：制作课件，精选习题．
学生准备：复习有关知识，预习本节课内容．
教学过程
一、复习引入
我们已经知道，生产、生活中的一些实际问题，有时可以利用一元二次方程来描述其中已知量与未知量之间的相等关系，运用一元二次方程的有关知识，常常可以使这些实际问题得到解决.
【思考】
列方程解应用题的基本步骤有哪些？应注意什么？
【活动方略】
教师演示课件，给出题目．
学生口答，老师点评．
二、探索新知
【问题情境】
例：某林场计划修一条长750m，断面为等腰梯形的渠道，断面面积为1.6m2，上口宽比渠深多2m，渠底比渠深多0.4m．
(1)渠道的上口宽与渠底宽各是多少？
(2)如果计划每天挖土48m3，需要多少天才能把这条渠道挖完？
分析：因为渠深最小，为了便于计算，不妨设渠深为xm，则上口宽为x+2，渠底为x+0.4，那么，根据梯形的面积公式便可建模．
解：(1)设渠深为xm
则渠底为(x+0.4)m，上口宽为(x+2)m
依题意，得：(x+2+x+0.4)x=1.6
整理，得：5x2+6x-8=0
解得：x1==0.8m，x2=-2(舍)
∴上口宽为2.8m，渠底为1.2m．
(2)=25天
答：渠道的上口宽与渠底深各是2.8m和1.2m；需要25天才能挖完渠道．
例：某商场礼品柜台春节期间购进大量贺年卡，一种贺年卡平均每天可售出500张，每张盈利0.3元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，如果这种贺年卡的售价每降低0.1元，那么商场平均每天可多售出100张，商场要想平均每天盈利120元，每张贺年卡应降价多少元？
老师点评：总利润=每件平均利润×总件数．设每张贺年卡应降价x元，则每件平均利润应是(0.3-x)元，总件数应是(500+×100)
解：设每张贺年卡应降价x元
则(0.3-x)(500+)=120
解得：x=0.1
答：每张贺年卡应降价0.1元．
例：在该题中，若设甲种药品成本的平均下降率为x，请填下表
甲种药品
两年前1吨甲种药品成本
一年后甲种药品成本
两年后甲种药品成本
根据题意列出一元二次方程
问题3：请解出①，得= ；= ．
问题4：对问题3的结果你还有什么见解吗？
问题5：根据下表请求出乙种药品的年平均下降率，比较两种药品哪个的年平均下降率大．
乙种药品
两年前1吨乙种药品成本
一年后乙药品成本
两年后乙种药品成本
根据题意列出一元二次方程
请解出②，得= ；= ．
问题6：经过这个问题的解决，你对下降额与下降率有了新的认识吗？
【活动方略】
教师活动：操作投影，将例题显示，组织学生讨论．
学生活动：合作交流，讨论解答．
三、小结作业
问题：
通过本课的学习，大家有什么新的收获和体会？
本节课应掌握：
用所学知识建立数学模型，并利用它解决一些具体问题．
课件19张PPT。用一元二次方程解决问题解应用题的一般步骤？第一步：设未知数(单位名称)；第二步：列出方程；第三步：解这个方程，求出未知数的值；第四步：查(1)值是否符合实际意义，
(2)值是否使所列方程左右相等；第五步：答题完整（单位名称）. 如图，一块长方形铁皮的长是宽的2倍，四角各截去一个相等的小正方形，制成高是5cm，容积是500cm3的长方体容器，求这块铁皮的长和宽.例分析： 如果设这块铁皮的宽是xcm，那么制成的长方体容器底面的宽是_________长是________1.这个问题的等量关系是：“长×宽×高=容积” ， “长=宽×2”.3.如何设未知数？xx2x2x55555555长宽高2.你知道图中长方体容器长、宽、高分别指哪些？(2x-10)cm.(x-10)cm，解:设这块铁皮的宽是xcm，那么制成的长方体容器底
面的宽是(x-10)cm，长是(2x-10)cm.根据题意得:5(x-10)(2x-10)=500整理，得: x2-15x=0 解这个方程，得:x1=15 x2=0(不合题意，舍去) ∴x=152x=30答:这块铁皮的宽是15cm，长是30cm.动手试一试1.一块长方形菜地的面积是150m2，如果它的长减少5m，那么菜地就变成正方形.求原菜地的长和宽.分析： 画草图 5 5 如果设原菜地宽为xm x x x x x(x+5)=150 可得方程 动手试一试2.如图，在一幅长70cm，宽50cm的风景画四周镶上一条宽度相同的金色纸边，制成一幅挂画.如果要使金色纸边的面积是1300cm2，求金色纸边的宽度.例 某商店6月份的利润是2500元，要使8月份的利润达到3600元，平均每月增长的百分率是多少？ 则:7月份比6月份利润增长________ 元.
7月份的利润是 _______________元
8月份比7月份利润增长____________ 元
8月份的利润是 ____________ 元分析:2500x 2500(1+x)2500(1+x) ·x2500(1+x)22500(1+x)+2500(1+x) ·X= 2500(1+x)2如果设平均每个月增长的百分率为x解:设平均每个月增长的百分率是x.根据题意得:
2500(1+x)2 =3600整理，得: (1+x)2= 1.44解这个方程，得:x1=0.2=20％ x2=-2.2(不合题意，舍去) 答:平均每个月增长的百分率是20％.
1.两次增长后的量=原来的量(1+增长率)2
若原来为a，平均增长率是x，增长后的量为b
则 第1次增长后的量是 a(1+x) =b
第2次增长后的量是 a(1+x)2=b
…
第n次增长后的量是 a(1+x)n=b2.反之，若为两次降低，则
平均降低率公式为a(1-x)2=b3.平均增长(降低两次率)公式4.注意:(1) 1与x的位置不要调换
小结(2) 解这类问题用 直接开平方法动手试一试 某蔬菜交易市场2月份的蔬菜交易量是5000t，4月份达到7200t，平均每月增长的百分率是多少？ 解：设平均每月增长的百分率是x.根据题意得：5000（1+x）2=7200(1+x)2=1.44x1=0.2=20％ x2=-2.2(不合题意，舍去) 答:平均每个月增长的百分率是20％.动手试一试 某种服装原价为每件80元，经两次降价，现售价为每件51.2元，求平均每次降价的百分率.例 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫降价1元，商场平均每天可多售出2件，若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？利润问题主要用到的关系式是：⑴每件利润=每件售价-每件进价；⑵总利润=每件利润×总件数分析：如果设每件衬衫降价x元，则每件衬衫盈利（40-x）元，根据每降价1元就多售出2件，即降价x元则多售出2x件，即降价后每天可卖出（20+2x)件，由总利润=每件利润×售出商品的总量可以列出方程解：设每件衬衫降价x元，根据题意得：
（40-x)(20+2x)=1200
整理得，x2-30x+200=0
解方程得，x1=10，x2=20
因为要尽快减少库存，所以x=10舍去.
答：每件衬衫应降价20元.某种新品种进价是120元，在试销阶段发现每件售价（元）与产品的日销售量（件）始终存在下表中的数量关系：（1）请你根据上表中所给数据表述出每件售价提高的数量（元）与日销售量减少的数量（件）之间的关系.（2)在不改变上述关系的情况下，请你帮助商场经理策划每件商品定价为多少元时，每日盈利可达到1600元？例如图，某海关缉私艇在C处发现在正北方向30 km的A处有一艘可疑船只，测得它正以60 km/h的速度向正东方向航行.缉私艇随即以75 km/h的速度在B处拦截，问缉私艇从C处到B处需航行多长时间？解：设缉私艇从C处到B处需航行x h，
由题，可列出方程
302＋(60x)2=(75x)2
解得
x1= ，x2=－ （不符合题意，舍去）.
答：缉私艇从C处到B处需航行 h.1.一个之间三角形的两条直角边的和是28cm，面积是96cm .求这个直角三角形两条直角边及斜边的长.解：设一条直角边为xcm，则另一条直角边为（28-x）cm.
根据题意，得
解这个方程，得
x1=12，x2=16.
所以直角三角形两直角边的长分别是12cm和16cm.
根据勾股定理知，斜边的长为20cm.
练习2.如图，在矩形ABCD中，AB=7cm，BC= cm，点P从点A出发以1cm/s的速度移动到点B.点P出发几秒后，点P、A的距离是点P、C的2倍.ACDBP解：设P出发xs后，点P、A的距离是点P、C的2倍.
根据题意，得
