专题12 相似三角形的基本模型 （含解析）2025-2026学年人教版九年级数学下册
文档属性
| 名称 | 专题12 相似三角形的基本模型 （含解析）2025-2026学年人教版九年级数学下册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 157.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-10-22 11:27:52 | ||
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文档简介
专题12 相似三角形的基本模型
模型1“A”型及其变形(公共顶点)
①DE∥BC;②∠A=∠A,∠AED=∠ABC;③∠A=∠A,∠ACD=∠ABC.满足其一,则两三角形相似.
针对训练
1 如图,在△ABC中,DE∥BC,∠ADE=∠EFC,AD:BD=5:3,CF=6,则DE的长为 ( )
A.6 B.8 C.10 D.12
2(陕西西安校级阶段练习)如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，在下列五个条件中:①∠AED=∠B;②DE∥BC; ⑤∠ADE=∠C.1能使得以A，D，E为顶点的三角形与△ACB相似的条件有( )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
3如图，等边三角形ABC中，在AC，BC边上各取一点E,F,连接AF,BE相交于点P,∠BPF=60°.求证:△APE∽△BAE.
模型2“X”型及其变形(对顶角相等)
①AB∥CD;②∠A=∠C,∠B=∠D.满足其一,则两三角形相似.
针对训练
4 如图,⊙O中,弦AB,CD相交于P点,连接AC，BD，则下列结论一定正确的是 ( )
A.∠A=∠B B.∠C=∠D
5 如图所示，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E为OD的中点，连接AE并延长交DC于点F,则DF:FC= ( )
A.1:4 B.1:3 C.2:3 D.1:2
模型3双垂直型
△ACD∽△ABC∽△CBD, BC =BD·AB,AC =AD·AB.
针对训练
6 如图,在 Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD是斜边AB上的高,若AD=9cm,BD=4cm,则CD= .
7如图，在正方形ABCD中，E是BC上的一点，连接AE,作BF⊥AE,垂足为H,交CD于F,作CG∥AE,交BF于G.求证:
(1)CG=BH;
(2)FC =BF·GF.
模型4“手拉手”型(旋转型)
在△ABC中,DE∥BC,将△ADE绕点A旋转,则△ABC∽△ADE,△ADB∽△AEC.
针对训练
8(河北唐山滦州期末)如图，已知∠1=∠2，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是 ( )
A.∠C=∠E B.∠B=∠ADE
9(山东威海期中)如图,在△ABC与△ADE中,∠ACB=∠AED=90°,∠ABC=∠ADE,连接BD,CE.
(1)求证:△ABC∽△ADE;
(2)若AC:BC=3:4,求BD:CE为多少.
模型5一线三等角型(K型)
若∠1=∠2=∠3,则△APC∽△BDP.
针对训练
10(陕西模拟)如图，已知矩形ABCD中，点E是边AD上的任一点，连接BE，过E作BE的垂线交BC延长线于点F，交边CD于点P，则图中共有相似三角形 ( )
A.6对
B.5对
C.4对
D.3对
11(陕西西安校级阶段练习)如图，在等边三角形ABC中,D为BC边上一点,E为AC边上一点,且∠ADE=60°,BD=4,CE=3.
(1)求证:△ABD∽△DCE;
(2)求△ABC的边长.
专题12 相似三角形的基本模型
1. C 解析:∵DE∥BC,∴∠ADE=∠B. ∵∠ADE=∠EFC,∴∠B=∠EFC, ∴BD∥EF , ∴∠A=∠FEC , ∴△ADE∽△EFC,∴ADF=DE.∵DE∥BC,BD∥EF,∴四边形BDEF是平行四边形， 解得DE=10.故选C.
2. C 解析:①∵∠AED=∠B,∠A=∠A,∴△ADE∽△ACB,故①符合题意;②∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC,故②符合题意;③∵ADAC=AE∥AB,∠A=∠A,∴△ADE∽△ACB,故③符合题意;④不能判定△ADE与△ACB相似;⑤∵∠ADE=∠C,∠A=∠A,∴△ADE∽△ACB,故⑤符合题意.故选C.
3.证明:∵△ABC为等边三角形,∴∠BAE=60°,∵∠APE=∠BPF=60°,∴∠BAE=∠APE,又∵∠AEP=∠BEA,∴△APE∽△BAE.
4. D 解析:在⊙O中,∵∠A=∠D,∠C=∠B,
∴△APC∽△DPB,∴PA=PCPB,
∴选项A,B,C错误,D正确.
解题关键点：由“同弧所对的圆周角相等”得到角相等的条件.
5. D 解析:∵四边形ABCD是平行四边形,
∵E为OD的中点,
故选D.
6.6 c m 解析:∵CD⊥AB,∴∠ADC=∠CDB=90°,∴∠A+∠ACD=90°.∵∠ACB=90°,∴∠A+∠B=90°,∴∠ACD=∠B, ∴CD=6cm.
7.证明:(1)∵BF⊥AE,CG∥AE,∴CG⊥BF,
∴∠CGB=∠BHA=90°.
∵四边形ABCD是正方形,∴AB=BC,∠ABC=90°,
∴∠ABH+∠CBG=∠ABH+∠BAH=90°,∴∠BAH=∠CBG.
∴△ABH≌△BCG,∴CG=BH.
(2)∵∠BFC=∠CFG,∠BCF=∠CGF=90°,
∴△CFG∽△BFC,∴FCB=FFC,即FC =BF·GF.
8. D 解析:∵∠1=∠2,∴∠BAC=∠DAE,添加∠C=∠E或∠B=∠ADE,可用两角相等判定△ABC∽△ADE,故A,B选项不合题意；添加 可用两边成比例且夹角相等判定△ABC∽△ADE,故C选项不合题意;添加 不能判定△ABC∽△ADE,故D选项符合题意.
9.解:(1)证明:∵∠ACB=∠AED,∠ABC=∠ADE,∴△ABC∽△ADE.
(2)解:∵AC:BC=3:4,∴设AC=3x,则BC=4x.
∵△ABC∽△ADE,∴∠BAC=∠DAE,AB=ACE,
, 即BD:CE=5:3.
10. A 解析:∵四边形ABCD是矩形,∴∠A=∠ABC=∠D=∠DCB=90°,∴∠PCF=90°.
∵BE⊥EF,∴∠BEF=90°,
∴∠ABE+∠AEB=∠AEB+∠DEP=90°,
∴∠ABE=∠DEP.
∵AD∥BC,∴∠DEP=∠F,∴∠ABE=∠DEP=∠F,
∴△ABE∽△DEP∽△EFB∽△CFP,
∴图中共有6对相似三角形，故选A.
11.解:(1)证明:∵△ABC是等边三角形,∴∠B=∠C=60°.
∵∠ADC=∠B+∠BAD,∴∠ADE+∠EDC=∠B+∠BAD.
∵∠B=∠ADE=60°,∴∠BAD=∠EDC.
∴△ABD∽△DCE.
(2)解:由(1)得△ABD∽△DCE,
即 解得AB=16.
∴△ABC的边长为16.
解题关键点：相似三角形的“一线三等角”模型，常常出现在直角三角形、等腰(边)三角形中.
模型1“A”型及其变形(公共顶点)
①DE∥BC;②∠A=∠A,∠AED=∠ABC;③∠A=∠A,∠ACD=∠ABC.满足其一,则两三角形相似.
针对训练
1 如图,在△ABC中,DE∥BC,∠ADE=∠EFC,AD:BD=5:3,CF=6,则DE的长为 ( )
A.6 B.8 C.10 D.12
2(陕西西安校级阶段练习)如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，在下列五个条件中:①∠AED=∠B;②DE∥BC; ⑤∠ADE=∠C.1能使得以A，D，E为顶点的三角形与△ACB相似的条件有( )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
3如图，等边三角形ABC中，在AC，BC边上各取一点E,F,连接AF,BE相交于点P,∠BPF=60°.求证:△APE∽△BAE.
模型2“X”型及其变形(对顶角相等)
①AB∥CD;②∠A=∠C,∠B=∠D.满足其一,则两三角形相似.
针对训练
4 如图,⊙O中,弦AB,CD相交于P点,连接AC，BD，则下列结论一定正确的是 ( )
A.∠A=∠B B.∠C=∠D
5 如图所示，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E为OD的中点，连接AE并延长交DC于点F,则DF:FC= ( )
A.1:4 B.1:3 C.2:3 D.1:2
模型3双垂直型
△ACD∽△ABC∽△CBD, BC =BD·AB,AC =AD·AB.
针对训练
6 如图,在 Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD是斜边AB上的高,若AD=9cm,BD=4cm,则CD= .
7如图，在正方形ABCD中，E是BC上的一点，连接AE,作BF⊥AE,垂足为H,交CD于F,作CG∥AE,交BF于G.求证:
(1)CG=BH;
(2)FC =BF·GF.
模型4“手拉手”型(旋转型)
在△ABC中,DE∥BC,将△ADE绕点A旋转,则△ABC∽△ADE,△ADB∽△AEC.
针对训练
8(河北唐山滦州期末)如图，已知∠1=∠2，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是 ( )
A.∠C=∠E B.∠B=∠ADE
9(山东威海期中)如图,在△ABC与△ADE中,∠ACB=∠AED=90°,∠ABC=∠ADE,连接BD,CE.
(1)求证:△ABC∽△ADE;
(2)若AC:BC=3:4,求BD:CE为多少.
模型5一线三等角型(K型)
若∠1=∠2=∠3,则△APC∽△BDP.
针对训练
10(陕西模拟)如图，已知矩形ABCD中，点E是边AD上的任一点，连接BE，过E作BE的垂线交BC延长线于点F，交边CD于点P，则图中共有相似三角形 ( )
A.6对
B.5对
C.4对
D.3对
11(陕西西安校级阶段练习)如图，在等边三角形ABC中,D为BC边上一点,E为AC边上一点,且∠ADE=60°,BD=4,CE=3.
(1)求证:△ABD∽△DCE;
(2)求△ABC的边长.
专题12 相似三角形的基本模型
1. C 解析:∵DE∥BC,∴∠ADE=∠B. ∵∠ADE=∠EFC,∴∠B=∠EFC, ∴BD∥EF , ∴∠A=∠FEC , ∴△ADE∽△EFC,∴ADF=DE.∵DE∥BC,BD∥EF,∴四边形BDEF是平行四边形， 解得DE=10.故选C.
2. C 解析:①∵∠AED=∠B,∠A=∠A,∴△ADE∽△ACB,故①符合题意;②∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC,故②符合题意;③∵ADAC=AE∥AB,∠A=∠A,∴△ADE∽△ACB,故③符合题意;④不能判定△ADE与△ACB相似;⑤∵∠ADE=∠C,∠A=∠A,∴△ADE∽△ACB,故⑤符合题意.故选C.
3.证明:∵△ABC为等边三角形,∴∠BAE=60°,∵∠APE=∠BPF=60°,∴∠BAE=∠APE,又∵∠AEP=∠BEA,∴△APE∽△BAE.
4. D 解析:在⊙O中,∵∠A=∠D,∠C=∠B,
∴△APC∽△DPB,∴PA=PCPB,
∴选项A,B,C错误,D正确.
解题关键点：由“同弧所对的圆周角相等”得到角相等的条件.
5. D 解析:∵四边形ABCD是平行四边形,
∵E为OD的中点,
故选D.
6.6 c m 解析:∵CD⊥AB,∴∠ADC=∠CDB=90°,∴∠A+∠ACD=90°.∵∠ACB=90°,∴∠A+∠B=90°,∴∠ACD=∠B, ∴CD=6cm.
7.证明:(1)∵BF⊥AE,CG∥AE,∴CG⊥BF,
∴∠CGB=∠BHA=90°.
∵四边形ABCD是正方形,∴AB=BC,∠ABC=90°,
∴∠ABH+∠CBG=∠ABH+∠BAH=90°,∴∠BAH=∠CBG.
∴△ABH≌△BCG,∴CG=BH.
(2)∵∠BFC=∠CFG,∠BCF=∠CGF=90°,
∴△CFG∽△BFC,∴FCB=FFC,即FC =BF·GF.
8. D 解析:∵∠1=∠2,∴∠BAC=∠DAE,添加∠C=∠E或∠B=∠ADE,可用两角相等判定△ABC∽△ADE,故A,B选项不合题意；添加 可用两边成比例且夹角相等判定△ABC∽△ADE,故C选项不合题意;添加 不能判定△ABC∽△ADE,故D选项符合题意.
9.解:(1)证明:∵∠ACB=∠AED,∠ABC=∠ADE,∴△ABC∽△ADE.
(2)解:∵AC:BC=3:4,∴设AC=3x,则BC=4x.
∵△ABC∽△ADE,∴∠BAC=∠DAE,AB=ACE,
, 即BD:CE=5:3.
10. A 解析:∵四边形ABCD是矩形,∴∠A=∠ABC=∠D=∠DCB=90°,∴∠PCF=90°.
∵BE⊥EF,∴∠BEF=90°,
∴∠ABE+∠AEB=∠AEB+∠DEP=90°,
∴∠ABE=∠DEP.
∵AD∥BC,∴∠DEP=∠F,∴∠ABE=∠DEP=∠F,
∴△ABE∽△DEP∽△EFB∽△CFP,
∴图中共有6对相似三角形，故选A.
11.解:(1)证明:∵△ABC是等边三角形,∴∠B=∠C=60°.
∵∠ADC=∠B+∠BAD,∴∠ADE+∠EDC=∠B+∠BAD.
∵∠B=∠ADE=60°,∴∠BAD=∠EDC.
∴△ABD∽△DCE.
(2)解:由(1)得△ABD∽△DCE,
即 解得AB=16.
∴△ABC的边长为16.
解题关键点：相似三角形的“一线三等角”模型，常常出现在直角三角形、等腰(边)三角形中.