27.2.1 相似三角形的判定 同步练习（含解析）2025-2026学年人教版九年级数学下册

27.2.1 相似三角形的判定
第1课时 平行线分线段成比例的基本事实
练基础
知识点1 相似三角形的定义及性质
1(甘肃中考)若△ABC∽△DEF,BC=6,EF=4,则 ( )
A.
2(山东济南槐荫期末)如图,已知△ABC∽△ACP,∠A=70°,∠APC=65°,则∠B B4的度数为
A.45° B.50° C.55° D.60°
3(教材P57第2题改编)两个相似三角形的相似比是 ，第一个三角形的最大边长为50cm，第二个三角形的最大边长是 cm.
知识点2 |平行线分线段成比例
4 人字梯(如下左图)因其便捷、灵活的特性被广泛应用于电工操作上.如下右图是从某人字梯上抽象出的图形,AD∥BE∥CF,若AB=2,AC=5,EF=4,则DE的长度是 ( )
A.6 B. C.53 D.
5 (教材P31第1题改编)如图,已知直线l ,l ,l 分别截直线l 于点A，B，C，截直线l 于点D，E,F,且
(1)如果AB=3,BC=6,DE=4,求EF的长;
(2)如果DE:EF=2:3,AC=25,求AB的长.
知识点3 用平行线判定三角形相似
6 (教材P31第2题改编)如图,在 ABCD中,点E,F分别在边AD,BC上,且EF∥CD,G为边AD延长线上一点，连接BG，则图中与△ABG相似的三角形的个数是 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
7(易错题)如图,在△ABC中,DE∥BC,AD=9,DB=3,DE=6,则BC的长为 ( )
A.6 B.7 C.8 D.9
8(四川巴中中考)如图，在平面直角坐标系中，C为△AOB的OA边上一点,AC:OC=1:2,过C作CD∥OB交AB于点D,C,D两点纵坐标分别为1，3，则B点的纵坐标为 ( )
A.4 B.5 C.6 D.7
9(山东潍坊期末)如图,AB∥CD∥EF,AF交BE于点G,若AC=CG,AG=FG,则下列结论错误的是 ( )
10(四川成都校级模拟)如图，在△ABC中，D，E,F分别是AB,AC,BC上的点,且DE∥BC,EF∥AB,若BF:FC=2:3,AB=15,则BD=( )
A.6 B.9 C.10 D.12
11 (山东济南莱芜期末)如图，已知△ABC∽△ADB,点D是AC的中点,CD=2,则AB的长为 .
12(陕西西安校级模拟)如图，已知点F在AB上,且AF:BF=1:2,点D是BC延长线上一点,BC:CD=2:1,连接FD与AC交于点N,则FN:ND= .
练素养
13 如图，A，B两点的坐标分别是(8,0),(0,6),点P由点B出发沿BA方向向点A做匀速直线运动，速度为每秒3个单位长度，点Q由A出发沿AO(O为坐标原点)方向向点O做匀速直线运动，速度为每秒2个单位长度，连接PQ，若设运动时间为
(1)当t为何值时,PQ∥BO
(2)设△AQP的面积为S.
①求S与t之间的函数关系式，并求出S的最大值；
②若我们规定：点P，Q的坐标分别为(x ，y ),(x ,y ),则新坐标( 称为“向量PQ”的坐标.当S取最大值时，求“向量PQ”的坐标.
第2课时 三边关系、边角关系判定三角形相似
练基础
知识点1 |三边成比例的两个三角形相似
1 (教材P34第1(2)题改编)已知△ABC的三边长分别为1， , ，△DEF的三边长分别为 则△ABC与△DEF ( )
A.一定相似 B.一定不相似
C.不一定相似 D.无法判定是否相似
2 (教材P34第3题改编)已知△ABC的三边长分别为6cm,7.5cm,9cm,△DEF的一边长为5cm，若这两个三角形相似，则△DEF的另两边长可能是下列各组中的 ( )
A.2cm,3cm B.4cm,6cm
C.6cm,7cm D.7cm,9cm
3(山东青岛莱西期末)如图所示，网格中相似的两个三角形是 ( )
A.①与② B.①与③
C.③与④ D.②与③
4如图所示,在△ABC中,点D,E分别是△ABC的边AB,AC上的点,AD=3,AE=6,DE=5,BD=15,CE=3,BC=15.根据以上条件,你认为∠B=∠AED吗 请说明理由.
知识点2两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
5 (教材P34第1(1)题改编)已知△ABC如图，则下列4个三角形中,与△ABC相似的是 ( )
6 中国义乌国际小商品博览会以“面向世界 服务全国”为办展宗旨，对扩大商品出口，促进全球经济发展等发挥着积极的推动作用.如图，将某四边形展区ABDC分成甲、乙、丙、丁四个三角形展位.若OA:OB=OC:OD=2:3,则对于这四个三角形的关系，下列叙述正确的是 ( )
A.甲与丙相似，乙与丁相似
B.甲与丙相似，乙与丁不相似
C.甲与丙不相似，乙与丁相似
D.甲与丙不相似，乙与丁不相似
7(甘肃金昌金川期末)已知，如图，△ABC中，AB=4,BC=8,D为BC边上一点,BD=2.求证:△ABD∽△CBA.
练提升
8 新定义 新概念问题(云南昆明中考)在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形.如图，△ABC是格点三角形，在图中的6×6正方形网格中作出格点三角形△ADE(不含△ABC),使得△ADE∽△ABC(同一位置的格点三角形△ADE只算一个)，这样的格点三角形一共有 ( )
A.4个 B.5个 C.6个 D.7个
9(江苏南充中考)如图,在△ABC中,D为BC上一点， 则AD:AC的值为
10 如图，在正方形网格中，有两个三角形△ABC和△A B C ,则∠BAC的度数为 .
11 如图，AB是⊙O的直径,点C在圆上,直线l经过点C,且l∥AB,P为直线l上一个动点,若AC=4,BC=3,以点P，A，C为顶点的三角形与△ABC相似，则PC= .
12 如图,在矩形ABCD中,点E,F分别在CD,AD上,连接AE,BF,AE⊥BF,且AE=BF.
(1)求证:AB=AD;
(2)连接EF,BE,已知DF =AF·AD.求证：△DEF∽△CEB.
练素养
13 如图，在△ABC 和△A'B'C'中,D,D'分别是AB,A'B'上一点,
(1)当 时,求证:△ABC∽△A'B'C';
(2)当 时,判断△ABC与△A'B'C'是否相似，并说明理由.
第3课时 两角关系判定三角形相似
练基础
知识点1 两角分别相等的两个三角形相似
1 (教材P42第2(2)题改编)如图,在纸片△ABC中,∠A=76°,∠B=34°.将纸片沿某处剪开，下列四种方式中剪下的阴影三角形与原三角形相似的是 ( )
A.①② B.②④ C.①③ D.③④
2 李老师在编写下面这个题目的答案时，不小心打乱了解答过程的顺序，证明步骤正确的顺序是 ( )
已知:如图,在△ABC中,点D,E,F分别在边AB,AC,BC上,且DE∥BC,DF∥AC,求证:△ADE∽△DBF.
证明:①又∵DF∥AC,②∵DE∥BC,③∴∠A=∠BDF,④∴∠ADE=∠B,
∴△ADE∽△DBF.
A.③②④① B.②④①③
C.③①④② D.②③④①
3 如图，在△ABC中，点D在AB边上，点E在AC边上，请添加一个条件 ,使△ADE∽△ABC.
4(江西中考)如图，四边形ABCD为菱形，点E在AC的延长线上,∠ACD=∠ABE.
(1)求证:△ABC∽△AEB;
(2)当AB=6,AC=4时,求AE的长.
知识点2 直角三角形相似的判定
5 (教材P36第2题改编)如图,在Rt△ABC中,∠CAB=90°,AD⊥BC.在图中的三角形中,两两相似的三角形的对数为 ( )
A.2 B.3 C.4 D.5
6(上海静安二模)在Rt△ABC和Rt△DEF中,∠C=∠F=90°,AC=3,BC=4,DF=6,DE=8,这两个三角形 (填“相似”或“不相似”).
7(易错题)如图,已知∠ACB=∠ABD=90°,AB= ,AC=2,当AD的长为 时,图中两直角三角形相似.
反思：本题易错点是
8(山东菏泽中考)如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,E是边AC上一点,且BE=BC,过点A作BE的垂线，交BE的延长线于点D.求证：△ADE∽△ABC.
练提升
9如图，在下列四个条件：①∠B=∠C,②∠ADB=∠AEC,③AD:AC=AE:AB,④PE:PD=PB:PC中.随机抽取一个能使△BPE∽△CPD的概率是 ( )
A.0.25 B.0.5 C.0.75 D.1
10 如图,已知Rt△ABC中,∠C=90°,∠A≠∠B,点P是边AC上一点(不与A，C重合)，过P点的一条直线与△ABC的边相交，所构成的三角形与原三角形相似，这样的直线有 条.
11 如图，正方形ABCD中,AB=12,AE=3,点P在BC上运动(不与B，C重合),过点P作PQ⊥EP,交CD于点Q，则CQ的最大值为 .
12(上海中考)如图所示，在等腰三角形ABC中,AB=AC,点E,F在线段BC上,点Q在线段AB上,且CF=BE,AE =AQ·AB.求证:
(1)∠CAE=∠BAF;
(2)CF·FQ=AF·BQ.
练素养
13 如图,△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠EDF=90°,△DEF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合，将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q.
(1)如图1,当点Q在线段AC上,且AP=AQ时,求证:△BPE≌△CQE;
(2)如图2，当点Q在线段CA的延长线上时,求证:△BPE∽△CEQ;
(3)在(2)的条件下,若 求点P，Q两点间的距离(用含a的代数式表示).
27.2.1 相似三角形的判定
第1课时 平行线分线段成比例的基本事实
1. D
2. A 解析:∵△ABC∽△ACP,∴∠ACB=∠APC=65°.∵∠A=70°,∴∠B=180°-∠A-∠ACB=180°-70°-65°=45°.故选A.
3.70 解析：设第二个三角形的最大边长为 xcm，根据题意，得50：x=5：7，解得x=70.故第二个三角形的最大边长为70cm.
解题关键点：相似三角形对应边的比等于相似比.
4. D 解析:∵AD∥BE∥CF,∴AB=DEF,即 解得 故选D.
5.解:(
解得EF=8.∴EF的长为8.
∵DE:EF=2:3,AC=25,∴25-AB= 解得AB=10.
∴AB的长为10.
解题关键点：成比例线段注意对应性，
6. D 解析：如图，∵四边形ABCD为平行四边形，
∴CD∥AB,AD∥BC,∴△DGM∽△AGB,△DGM∽△CBM.
∵EF∥CD,∴△DGM∽△EGN,△CBM∽△FBN,
∴△DGM∽△FBN∽△CBM∽△EGN∽△AGB.故选D.
7. C 解析:由题意得AB=AD+DB=12.∵DE∥BC,∴△ADE 故选C.易错点易弄错两相似三角形的相似比.
8. C 解析:∵CD∥OB,∴△ACD∽△AOB,∴AC=CDB.
∵C,D两点纵坐标分别为1,3,∴CD=3-1=2,
解得OB=6，即B点的纵坐标为6.故选C.
9. D 解析:∵ 选项A正确；∵CD∥EF,∴△CDG∽△FEG,∴CDEF=CG/FC.∵AC=CG,AG= 选项B，C正确；∵AB∥EF,∴BBC,∠C/ ,∵AG=FG,∴BG=EG,∴BE=2BG. 选项D错误，符合题意.故选D.
10. B 解析:∵ 解得BD=9.故选B.
11.2 解析:∵点D是AC的中点,CD=2,∴AD=2,AC=2CD=4.∵△ABC∽△ADB,∴AB∥AD,∠CB,∴AB =AD·AC=2×4=8,∵AB>0,∴AB=2
12.2:3 解析:如图,过点F作FE∥BD,交AC于点E,∴△AFE∽ 即
∴△FEN∽△DCN,
即FN:ND=2:3.
解题关键点：作辅助线构造相似三角形，结合相似三角形的性质求解.
13.解:(1)由题意得OB=6,OA=8,AQ=2t,BP=3t, 则AP=10-3t.如图1,∵PQ∥BO,∴APAB= 即
解得 当 时,PQ∥BO.
(2)由(1)知OA=8,OB=6,AB=10.
①如图2所示，过点P作PD⊥x轴，垂足为点D，则PD∥BO,∴△APD∽△ABO,
即 解得
∴S与t之间的函数关系式为 当 时，S取得最大值，最大值为5.
②由①，得当S取最大值时，
又PD∥BO,∴此时PD为△OAB的中位线,则 4,∴P(4,3).
又
依题意，得“向量PQ”的坐标为 即
∴当S取最大值时，“向量PQ”的坐标为
核心素养本题综合考查相似三角形的判定及性质和二次函数最值问题，考查了运算能力及模型观念.
第2课时 三边关系、边角关系判定三角形相似
1. A 解析:因为 所以△ABC与△DEF一定相似.故选A.
解题关键点：注意“长对长，短对短”，找准对应关系.
2. B 解析:因为△ABC的三边长分别为6cm,7.5cm,9cm,所以三边长的比为4:5:6,而△DEF的一边长为5cm,B选项中当另外两边长为4cm，6cm时，三边对应成比例，这两个三角形相似，A，C，D选项中的边长与5cm都不符合三边比为4:5:6.故选B.
3. B 解析：图形①的三边长分别为2， , ；图形②的三边长分别为3， , ；图形③的三边长分别为2，2 ,2 ；图形④的三边长分别为3， , ①与③相似，故选B.
解题关键点：当三角形在网格中时，可以通过勾股定理求得三角形的各边长，再利用三边对应成比例判断是否相似.
4.解:∠B=∠AED.理由如下:
由题意,得AB=AD+BD=3+15=18,AC=AE+CE=6+3=9,则 ∴△ABC∽△AED,∴∠B=∠AED.
5. D 解析:由题图可知,AB=AC=6,∴∠C=∠B=75°,∴∠A=30°.选项D中的三角形与△ABC满足两边对应成比例且夹角相等，故选D.
6. A 解析:∵ ∠BOD,∴△AOC∽△BOD.∵△A=OCD,即 ∠COD,∴△AOB∽△COD.故选A.
7.证明:∵AB=4,BC=8,BD=2,∴
∵∠ABD=∠CBA,∴△ABD∽△CBA.
8. C 解析:如图,使得△ADE∽△ABC的格点三角形一共有6个.故选C.
解析：∵
10.135° 解析:由题图可知 .设网格中小正方形的边长为1，则A C =2,BC=5,由勾股定理，得A B = ∴△ABC∽△A B C ,∴∠BAC=∠B A C =135°.
11.5或3.2 解析:∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=90°,在Rt△ABC中,由勾股定理得AB=5.∵l∥ AB,∴∠ACP=∠A,
△PAC与△ABC相似,分两种情况:
时,△CPA∽△ABC.∴PC/ =1,解得PC=5.
时，△CAP∽△ABC.∴ =PC/ 解得PC=3.2.综上可知,若△ABC与△PAC相似,则PC=5或3.2.
解题关键点：相似三角形的对应边不明确时，应分情况讨论，切勿漏解.
12.证明:(1)∵四边形ABCD是矩形,
∴∠BAD=∠ADE=90°,∴∠ABF+∠AFB=90°.
∵AE⊥BF,∴∠DAE+∠AFB=90°,∴∠ABF=∠DAE.
又AE=BF,∴△ABF≌△DAE(AAS),∴AB=AD.
由(1)可知,△ABF≌△DAE,∴AF=DE,∴DF=CE.
又∵
∵∠FDE=∠BCE=90°,∴△DEF∽△CEB.
解题关键点：将等积式转化为等比式，通过等量代换得到证明三角形相似的条件.
13.解:(1)证明:·
∴△ADC∽△A'D'C',∴∠A=∠A'.
又ACAC=AB∥,∴△ABC∽△A'B'C'.
(2)解：相似.理由如下：
如图,过点D,D'分别作DE∥BC,D'E'∥B'C',DE交AC于E,D'E'交A'C'于E'.
∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC,∴△AB=DE=AE,同理
同理， 即
∴△DCE∽△D'C'E',∴∠CED=∠C'E'D'.
∵DE∥BC,∴∠CED+∠ACB=180°.
同理，
∵AC∥CC=0B/ Cn,∴△ABC∽△A'B'C'.
第3课时 两角关系判定三角形相似
1. C 解析:△ABC中,∠A=76°,∠B=34°,则∠C=70°,图①,③截得的阴影三角形中，都有两个角分别与△ABC的两个角相等，因此都与原三角形相似；图②截得的阴影三角形中，三个角分别是34°，34°，112°，图④截得的阴影三角形中，三个角分别是70°，70°，40°，因此都与原三角形不相似.故选C.
2. B
3.∠ADE=∠B(答案不唯一)
4.解:(1)证明:∵四边形ABCD为菱形,∴∠ACD=∠ACB.
∵∠ACD=∠ABE,∴∠ACB=∠ABE,
∵∠BAC=∠EAB,∴△ABC∽△AEB.
(2)解:由(1)得.△ABC∽△AEB,
∵AB=6,AC=4,∴ = ,∴AE=9.
5. B 解析:∵AD⊥BC,∴∠ADC=∠BDA=90°,∴∠BAC=∠ADC=90°,又∠C=∠C,∴△ADC∽△BAC.同理△ADB∽△CAB,∴△ADC∽△BDA,故选B.
解题关键点：利用“同角的余角相等”得到证明三角形相似的条件.
6.不相似 解析:在Rt△DEF中, ∵∠F=90°,DF=6,DE=8, ∴Rt△ABC和Rt△DEF不相似.
7.3或3 解析:∵∠ACB=∠ABD=90°,∴要使△ACB和△ABD相似,必须 或 或 解得AD=3或3
易错点未指明两相似三角形的对应关系，应分情况讨论，易漏解.
8.证明:∵BE=BC,∴∠C=∠CEB.
∵∠CEB=∠AED,∴∠C=∠AED.
∵AD⊥BE,∴∠D=∠ABC=90°,∴△ADE∽△ABC.
9. C 解析:①∵∠EPB=∠DPC,∠B=∠C,∴△BPE∽△CPD;②∵∠ADB=∠AEC, ∴∠PDC=∠PEB,又∠DPC=∠EPB,∴△BPE∽△CPD;③不能使△BPE∽△CPD;④∵PE:PD=PB:PC,∠DPC=∠EPB,∴△BPE∽△CPD.∴在四个条件中，随机抽取一个能使△BPE∽△CPD的概率是 故选C.
10.4解析：新构成的三角形只需与原三角形有两个角相等就可以得到两个三角形相似，如图，过点P作AB的平行线，或作BC的平行线，或作AB的垂线，或作∠CPD=∠B,共4条直线.
易错点要注意分清对应角，避免漏解.
11.4 解析:∵四边形ABCD是正方形,PQ⊥EP,∴∠B=∠C=90°,∠EPQ=90°,∴∠BEP+∠BPE=90°,∠QPC+∠BPE=90°,∴∠BEP=∠CPQ. ∴△BPE∽△CQP.∴BE=BPCQ设BP=x,CQ=y,则 化简得 配方得 ∴当x=6时，y有最大值为4，即CQ的最大值为4.
解题关键点：利用相似三角形的对应边成比例列出比例式，得到函数关系式，利用二次函数的性质求解.
12.证明:(1)∵AB=AC,∴∠B=∠C.
∵CF=BE,∴CF-EF=BE-EF,
即CE=BF.∴△ACE≌△ABF(SAS),∴∠CAE=∠BAF.
(2)∵△ACE≌△ABF,∴AE=AF.
又∠CAE=∠BAF,
∴△ACE∽△AFQ,∴∠AEC=∠AQF,∴∠AEF=∠BQF.
∵AE=AF,∴∠AEF=∠AFE,∴∠BQF=∠AFE.
∵∠B=∠C,∴△CAF∽△BFQ,
即CF·FQ=AF·BQ.
13.解:(1)证明:∵△ABC是等腰直角三角形,
∴AB=AC,∠B=∠C=45°.
∵AP=AQ,∴BP=CQ.
∵E是BC的中点,∴BE=CE,∴△BPE≌△CQE(SAS).
(2)证明:∵∠BEQ=∠EQC+∠C=∠BEP+∠DEF,∴∠BEP+45°=∠EQC+45°,∴∠BEP=∠EQC,又∠B=∠C,∴△BPE∽△CEQ.
(3)解:由(2)得△BPE∽△CEQ,
解得
连接PQ,在Rt△APQ中,