第二十七章 相似 章末复习 （含解析）2025-2026学年人教版九年级数学下册
文档属性
| 名称 | 第二十七章 相似 章末复习 （含解析）2025-2026学年人教版九年级数学下册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 290.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-10-22 11:29:24 | ||
图片预览
文档简介
第二十七章 相似章末复习
体验中考
1如图,在△ABC中,D是AB边上的点,∠B=∠ACD,AC:AB=1:2,则△ADC与△ACB的周长比是 ( )
B.1:2 C.1:3 D.1:4
2如图，以点O为位似中心，作四边形ABCD的位似图形A'B'C'D',已知 若四边形ABCD的面积是2，则四边形A'B'C'D'的面积是 ( )
A.4 B.6 C.16 D.18
3如图,在矩形ABCD中,若AB=3, 则AE的长为 .
4如图，为了测量山坡的护坡石坝高，把一根长为4.5m的竹竿AC斜靠在石坝旁，量出竿上AD长为1m时，它离地面的高度DE为0.6m,则坝高CF为 m.
5如图，在△ABC中,点F,G在BC上,点E,H分别在AB,AC上,四边形EFGH是矩形,EH=2EF,AD是△ABC的高,BC=8,AD=6,那么EH的长为 .
6在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别是A(1,3),B(4,1),C(1,1).
(1)画出△ABC关于x轴成轴对称的△A B C ;
(2)画出△ABC以点O为位似中心，相似比为1一2的
7如图，在⊙O中，AB为⊙O的直径，直线DE与⊙O相切于点D，割线AC⊥DE于点E且交⊙O于点F,连接DF.
(1)求证:AD平分∠BAC;
(2)求证:DF =EF·AB.
达标训练
一、选择题
1 如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上.若线段AB=3，则线段BC的长是( )
A. B.1 C. D.2
2(重庆南岸期末)如图所示，网格中相似的两个三角形是 ( )
A.①与④ B.②与③
C.①与⑤ D.②与⑤
3(重庆中考)如图,△ABC与△DEF位似,点O是它们的位似中心，且相似比为 ,则△ABC与△DEF的周长之比是 ( )
A.1:2 B.1:4 C.1:3 D.1:9
4(山东东营中考)如图，点D为△ABC边AB上任一点,DE∥BC交AC于点E,连接BE,CD相交于点F，则下列等式中不成立的是 ( )
5(福建福州模拟)如图，将一张矩形纸片沿两长边中点所在的直线对折，如果得到的两个矩形都与原矩形相似，则原矩形长与宽的比是 ( )
A.2:1 B.1:2 C.3:2 D. :1
6如图,在△ABC中,D是AB的中点,E是BC延长线上一点,且BC=2CE,连接DE交AC于点F.若DF=2,则EF的长是 ( )
A.2 B. D.3
7(山东威海文登期末)如图，矩形OABC与矩形ODEF是位似图形，点P是位似中心.若点B的坐标为(2，3)，点E的横坐标为-1，则点P的坐标为 ( )
A.(-2,0) B.(0,-2) C.(- ,0) D.(0,- ）
8 如图，点C为线段AB的中点,在AC上取点D,分别以AD,CD,BC,BD为边向上作正方形ADGH,CDKL,BCIJ,DBEF,将其面积依次记为S ,S ,S ,S ,在《几何原本》中有这样一个结论： 当AB=2时，若A，K，J共线，则图中阴影部分的面积为 ( )
A.
二、填空题
9(湖北随州期末)如图，在△ABC与△ADE中,∠C=∠AED=90°,点E在AB上，若只添加一个条件便能判定△ABC∽△DAE,则添加的条件是 (只写一个即可).
10如图,已知Rt△ABC中,CD是斜边AB上的高,AC=4,BC=3,则AD= .
11 (江苏镇江中考)如图，点D，E分别在△ABC的边AC,AB上,△ADE∽△ABC,M,N分别是DE,BC的中点.若 则
12(山东淄博沂源期末)如图，小明用相似图形的知识测量旗杆EF的高度，已知小明的眼睛离地面1.5m，他将3m长的标杆CD竖直放置在身前3m处，此时小明的眼睛B、标杆的顶端D、旗杆的顶端F在一条直线上，通过计算测得旗杆高度为15m，则旗杆和标杆之间的距离CE长 m.
三、解答题
13(陕西渭南校级期中)如图，已知△ABC∽△ADE.求证:△ABD∽△ACE.
14(陕西西安碑林模拟)小颍想利用标杆和皮尺测量自己小区大门口前遮雨玻璃水平宽度AB，她在楼门前水平地面上选择一条直线CH,AB∥CH,在CH上距离C点8m的D处竖立标杆DE，DE⊥CH，她沿着DH方向走了2m到点N处，发现她的视线从M处通过标杆的顶端E正好落在遮雨玻璃的B点处，继续沿原方向再走2m到点Q处，发现她的视线从P处通过标杆的顶端E正好落在遮雨玻璃的A点处，求遮雨玻璃的水平宽度AB.
15 如图，点B，C分别在射线AM,AN上,且∠MAN为锐角,∠MAN内有一动点 P,使得∠BPC=90°.若∠MAN=45°,且∠APB=∠APC.
(1)求证:△CPA∽△APB;
(2)连接BC,若BC⊥AC,求 的值.
章末复习
体验中考
1. B 解析:∵∠B=∠ACD,∠CAD=∠BAC,∴△ADC∽△ACB.∵AC:AB=1:2,∴△ADC与△ACB的周长比为1:2,故选B.
2. D 解析:由题意,得四边形ABCD∽四边形A'B'C'D', 则四边形A'B'C'D'的面积为2×9=18.故选D.
3.1 解析:∵四边形ABCD是矩形,∴∠ABC=90°,AD∥BC, 解得AE=1.
4.2.7 解析:由题意,得DE∥CF,∴△ADE∽△ACF, 即 解得CF=2.7(m),即坝高CF为2.7m.
5. 解析：如图，设AD交EH于点R.
∵矩形EFGH的边FG在BC上,
∴EH∥BC,∠EFC=90°,
∴△AEH∽△ABC.
∵AD⊥BC,∴∠ARE=∠ADB=90°,∴AR⊥EH,∴ARAD=EHBC
∵EF⊥BC,RD⊥BC,EH=2EF,
解得 ∴EH的长为245
解题关键点：相似三角形对应高的比等于相似比.
6.解:(1)如图所示,△A B C 为所求.
(2)如图所示,△A B C 为所求.
7.证明:(1)连接OD,如图所示.
∵直线DE与⊙O相切于点D，
∴∠ODE=90°.
∵AC⊥DE,∴∠DEA=90°,
∴∠ODE+∠DEA=180°,
∴OD∥AC,∴∠ODA=∠DAC.
∵OA=OD,∴∠OAD=∠ODA,
∴∠DAC=∠OAD,∴AD平分∠BAC.
(2)连接BD,如图所示.
∵AB是⊙O的直径, ∴∠ADB=90°.
∵AC⊥DE,∴∠DEF=90°,∴∠ADB=∠DEF.
∵四边形ABDF是圆内接四边形,∴∠AFD+∠DBA=180°.
∵∠EFD+∠AFD=180°,∴∠EFD=∠DBA.
∴ AB.
由(1)知,AD平分∠BAC,
∴∠FAD=∠DAB,∴DF=DB,∴DF =EF·AB.
解题关键点：结合圆的相关性质得到证明三角形相似的条件.
达标训练
1. C解析：如图，过点A作平行横线的垂线，交点B所在的平行横线于D，交点C所在的平行横线于E，则 即 解得 故选C.
2. D 解析:图形①的三边长为2,4,2 ，图形②的三边长为2 ,2 ，4，图形③的三边长为 , ,4,图形④的三边长为2，3， 图形⑤的三边长为3，3，3
图形②与⑤相似，故选D.
3. A
4. C 解析:∵ A项正确；
∵DE∥BC,∴△EDF∽△BCF,∴DE=DFF,B项正确；
∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC,∴DEC=AEC+EC,C项错误；
又∵ D项正确.故选C.
5. D解析：设原来矩形的长为x，宽为y，
则对折后的矩形的长为y，宽为x
∵得到的两个矩形都和原矩形相似，
解得 故选D.
解题关键点：相似矩形的对应边成比例.
6. A 解析:如图,过D作DG∥AC交BC于G.
∵D是AB的中点,∴BD=AD.
∵BC=2CE,∴CE=CG.
∴EF=DF=2,故选A.
7. A 解析:∵四边形OABC为矩形,点B的坐标为(2,3),∴AB=OC=3,BC=OA=2.
∵矩形OABC与矩形ODEF是位似图形， 即 解得
∵DE∥OP,∴△CED∽△CPO,∴CDD=DE=P= 解得OP=2,∴点P的坐标为(-2,0),故选A.
8. A解析：根据题意，可知DK∥BJ，
∴△ADK∽△ABJ,∴DK =ADB.
∵点C为线段AB的中点,AB=2,∴AC=BC=BJ=1,
设CD=x,则 解得
故选A.
9.∠B=∠EAD(答案不唯一)解析:在△ABC和△DAE中,∵∠C=∠AED=90°，∴增加一组角对应相等即可判定两三角形相似,根据对应关系,可添加∠BAC=∠D或∠B=∠EAD或DA∥BC;
也可以根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”增加条件，根据对应关系，可添加
10. 解析：在Rt△ABC中，由勾股定理，得/ =5.∵CD是斜边AB上的高,∴∠ADC=∠ACB=90°.又∠A=∠A,∴△ADC∽△ACB,∴AD=AC,AB∴4D= 解得
11. 解析:∵M,N分别是DE,BC的中点,∴AM,AN分别为△ADE,△ABC的中线.
∵△ADE∽△ABC,.
12.24 解析:如图,延长FB交EA的延长线于T,设TA= xm,EC= ym.
由题意，得AB=1.5m,AC=CD=3m,EF=15m.
∵AB∥CD,∴△TAB∽△TCD, 解得x=3.
∴TC=TA+AC=3+3=6(m),
∵CD∥EF,∴△TCD∽△TEF,
解得y=24,
∴EC=24m.
13.证明:∵△ABC∽△ADE,
∴ABAC=DB,∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC,
∴∠BAD=∠CAE,
∴△ABD∽△ACE.
14.解:如图,过E作EI⊥AC,垂足为点I,延长PM交AC于J,交ED于 K,则IE=JK=CD=8 m,KM=PM=DN=NQ=2m ,IE∥PJ,∴∠AEI=∠EPK.
又∵∠AIE=∠EKP=90°,
∴△AEI∽△EPK,
∵AB∥MP,
∴△ABE∽△PME,
即
∴AB=4.
因此，遮雨玻璃的水平宽度AB为4m.
15.解:(1)证明:∵∠BPC=90°,∠APB=∠APC,
∴∠APB=∠APC=135°,
∴∠BAP+∠ABP=45°,
∵∠BAC=∠BAP+∠PAC=45°,
∴∠ABP=∠PAC,∴△CPA∽△APB.
(2)解:∵BC⊥AC,∠MAN=45°,
∴△ABC是等腰直角三角形，
由(1)知△CPA∽△APB,
∴在Rt△BPC中,
体验中考
1如图,在△ABC中,D是AB边上的点,∠B=∠ACD,AC:AB=1:2,则△ADC与△ACB的周长比是 ( )
B.1:2 C.1:3 D.1:4
2如图，以点O为位似中心，作四边形ABCD的位似图形A'B'C'D',已知 若四边形ABCD的面积是2，则四边形A'B'C'D'的面积是 ( )
A.4 B.6 C.16 D.18
3如图,在矩形ABCD中,若AB=3, 则AE的长为 .
4如图，为了测量山坡的护坡石坝高，把一根长为4.5m的竹竿AC斜靠在石坝旁，量出竿上AD长为1m时，它离地面的高度DE为0.6m,则坝高CF为 m.
5如图，在△ABC中,点F,G在BC上,点E,H分别在AB,AC上,四边形EFGH是矩形,EH=2EF,AD是△ABC的高,BC=8,AD=6,那么EH的长为 .
6在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别是A(1,3),B(4,1),C(1,1).
(1)画出△ABC关于x轴成轴对称的△A B C ;
(2)画出△ABC以点O为位似中心，相似比为1一2的
7如图，在⊙O中，AB为⊙O的直径，直线DE与⊙O相切于点D，割线AC⊥DE于点E且交⊙O于点F,连接DF.
(1)求证:AD平分∠BAC;
(2)求证:DF =EF·AB.
达标训练
一、选择题
1 如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上.若线段AB=3，则线段BC的长是( )
A. B.1 C. D.2
2(重庆南岸期末)如图所示，网格中相似的两个三角形是 ( )
A.①与④ B.②与③
C.①与⑤ D.②与⑤
3(重庆中考)如图,△ABC与△DEF位似,点O是它们的位似中心，且相似比为 ,则△ABC与△DEF的周长之比是 ( )
A.1:2 B.1:4 C.1:3 D.1:9
4(山东东营中考)如图，点D为△ABC边AB上任一点,DE∥BC交AC于点E,连接BE,CD相交于点F，则下列等式中不成立的是 ( )
5(福建福州模拟)如图，将一张矩形纸片沿两长边中点所在的直线对折，如果得到的两个矩形都与原矩形相似，则原矩形长与宽的比是 ( )
A.2:1 B.1:2 C.3:2 D. :1
6如图,在△ABC中,D是AB的中点,E是BC延长线上一点,且BC=2CE,连接DE交AC于点F.若DF=2,则EF的长是 ( )
A.2 B. D.3
7(山东威海文登期末)如图，矩形OABC与矩形ODEF是位似图形，点P是位似中心.若点B的坐标为(2，3)，点E的横坐标为-1，则点P的坐标为 ( )
A.(-2,0) B.(0,-2) C.(- ,0) D.(0,- ）
8 如图，点C为线段AB的中点,在AC上取点D,分别以AD,CD,BC,BD为边向上作正方形ADGH,CDKL,BCIJ,DBEF,将其面积依次记为S ,S ,S ,S ,在《几何原本》中有这样一个结论： 当AB=2时，若A，K，J共线，则图中阴影部分的面积为 ( )
A.
二、填空题
9(湖北随州期末)如图，在△ABC与△ADE中,∠C=∠AED=90°,点E在AB上，若只添加一个条件便能判定△ABC∽△DAE,则添加的条件是 (只写一个即可).
10如图,已知Rt△ABC中,CD是斜边AB上的高,AC=4,BC=3,则AD= .
11 (江苏镇江中考)如图，点D，E分别在△ABC的边AC,AB上,△ADE∽△ABC,M,N分别是DE,BC的中点.若 则
12(山东淄博沂源期末)如图，小明用相似图形的知识测量旗杆EF的高度，已知小明的眼睛离地面1.5m，他将3m长的标杆CD竖直放置在身前3m处，此时小明的眼睛B、标杆的顶端D、旗杆的顶端F在一条直线上，通过计算测得旗杆高度为15m，则旗杆和标杆之间的距离CE长 m.
三、解答题
13(陕西渭南校级期中)如图，已知△ABC∽△ADE.求证:△ABD∽△ACE.
14(陕西西安碑林模拟)小颍想利用标杆和皮尺测量自己小区大门口前遮雨玻璃水平宽度AB，她在楼门前水平地面上选择一条直线CH,AB∥CH,在CH上距离C点8m的D处竖立标杆DE，DE⊥CH，她沿着DH方向走了2m到点N处，发现她的视线从M处通过标杆的顶端E正好落在遮雨玻璃的B点处，继续沿原方向再走2m到点Q处，发现她的视线从P处通过标杆的顶端E正好落在遮雨玻璃的A点处，求遮雨玻璃的水平宽度AB.
15 如图，点B，C分别在射线AM,AN上,且∠MAN为锐角,∠MAN内有一动点 P,使得∠BPC=90°.若∠MAN=45°,且∠APB=∠APC.
(1)求证:△CPA∽△APB;
(2)连接BC,若BC⊥AC,求 的值.
章末复习
体验中考
1. B 解析:∵∠B=∠ACD,∠CAD=∠BAC,∴△ADC∽△ACB.∵AC:AB=1:2,∴△ADC与△ACB的周长比为1:2,故选B.
2. D 解析:由题意,得四边形ABCD∽四边形A'B'C'D', 则四边形A'B'C'D'的面积为2×9=18.故选D.
3.1 解析:∵四边形ABCD是矩形,∴∠ABC=90°,AD∥BC, 解得AE=1.
4.2.7 解析:由题意,得DE∥CF,∴△ADE∽△ACF, 即 解得CF=2.7(m),即坝高CF为2.7m.
5. 解析：如图，设AD交EH于点R.
∵矩形EFGH的边FG在BC上,
∴EH∥BC,∠EFC=90°,
∴△AEH∽△ABC.
∵AD⊥BC,∴∠ARE=∠ADB=90°,∴AR⊥EH,∴ARAD=EHBC
∵EF⊥BC,RD⊥BC,EH=2EF,
解得 ∴EH的长为245
解题关键点：相似三角形对应高的比等于相似比.
6.解:(1)如图所示,△A B C 为所求.
(2)如图所示,△A B C 为所求.
7.证明:(1)连接OD,如图所示.
∵直线DE与⊙O相切于点D，
∴∠ODE=90°.
∵AC⊥DE,∴∠DEA=90°,
∴∠ODE+∠DEA=180°,
∴OD∥AC,∴∠ODA=∠DAC.
∵OA=OD,∴∠OAD=∠ODA,
∴∠DAC=∠OAD,∴AD平分∠BAC.
(2)连接BD,如图所示.
∵AB是⊙O的直径, ∴∠ADB=90°.
∵AC⊥DE,∴∠DEF=90°,∴∠ADB=∠DEF.
∵四边形ABDF是圆内接四边形,∴∠AFD+∠DBA=180°.
∵∠EFD+∠AFD=180°,∴∠EFD=∠DBA.
∴ AB.
由(1)知,AD平分∠BAC,
∴∠FAD=∠DAB,∴DF=DB,∴DF =EF·AB.
解题关键点：结合圆的相关性质得到证明三角形相似的条件.
达标训练
1. C解析：如图，过点A作平行横线的垂线，交点B所在的平行横线于D，交点C所在的平行横线于E，则 即 解得 故选C.
2. D 解析:图形①的三边长为2,4,2 ，图形②的三边长为2 ,2 ，4，图形③的三边长为 , ,4,图形④的三边长为2，3， 图形⑤的三边长为3，3，3
图形②与⑤相似，故选D.
3. A
4. C 解析:∵ A项正确；
∵DE∥BC,∴△EDF∽△BCF,∴DE=DFF,B项正确；
∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC,∴DEC=AEC+EC,C项错误；
又∵ D项正确.故选C.
5. D解析：设原来矩形的长为x，宽为y，
则对折后的矩形的长为y，宽为x
∵得到的两个矩形都和原矩形相似，
解得 故选D.
解题关键点：相似矩形的对应边成比例.
6. A 解析:如图,过D作DG∥AC交BC于G.
∵D是AB的中点,∴BD=AD.
∵BC=2CE,∴CE=CG.
∴EF=DF=2,故选A.
7. A 解析:∵四边形OABC为矩形,点B的坐标为(2,3),∴AB=OC=3,BC=OA=2.
∵矩形OABC与矩形ODEF是位似图形， 即 解得
∵DE∥OP,∴△CED∽△CPO,∴CDD=DE=P= 解得OP=2,∴点P的坐标为(-2,0),故选A.
8. A解析：根据题意，可知DK∥BJ，
∴△ADK∽△ABJ,∴DK =ADB.
∵点C为线段AB的中点,AB=2,∴AC=BC=BJ=1,
设CD=x,则 解得
故选A.
9.∠B=∠EAD(答案不唯一)解析:在△ABC和△DAE中,∵∠C=∠AED=90°，∴增加一组角对应相等即可判定两三角形相似,根据对应关系,可添加∠BAC=∠D或∠B=∠EAD或DA∥BC;
也可以根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”增加条件，根据对应关系，可添加
10. 解析：在Rt△ABC中，由勾股定理，得/ =5.∵CD是斜边AB上的高,∴∠ADC=∠ACB=90°.又∠A=∠A,∴△ADC∽△ACB,∴AD=AC,AB∴4D= 解得
11. 解析:∵M,N分别是DE,BC的中点,∴AM,AN分别为△ADE,△ABC的中线.
∵△ADE∽△ABC,.
12.24 解析:如图,延长FB交EA的延长线于T,设TA= xm,EC= ym.
由题意，得AB=1.5m,AC=CD=3m,EF=15m.
∵AB∥CD,∴△TAB∽△TCD, 解得x=3.
∴TC=TA+AC=3+3=6(m),
∵CD∥EF,∴△TCD∽△TEF,
解得y=24,
∴EC=24m.
13.证明:∵△ABC∽△ADE,
∴ABAC=DB,∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC,
∴∠BAD=∠CAE,
∴△ABD∽△ACE.
14.解:如图,过E作EI⊥AC,垂足为点I,延长PM交AC于J,交ED于 K,则IE=JK=CD=8 m,KM=PM=DN=NQ=2m ,IE∥PJ,∴∠AEI=∠EPK.
又∵∠AIE=∠EKP=90°,
∴△AEI∽△EPK,
∵AB∥MP,
∴△ABE∽△PME,
即
∴AB=4.
因此，遮雨玻璃的水平宽度AB为4m.
15.解:(1)证明:∵∠BPC=90°,∠APB=∠APC,
∴∠APB=∠APC=135°,
∴∠BAP+∠ABP=45°,
∵∠BAC=∠BAP+∠PAC=45°,
∴∠ABP=∠PAC,∴△CPA∽△APB.
(2)解:∵BC⊥AC,∠MAN=45°,
∴△ABC是等腰直角三角形，
由(1)知△CPA∽△APB,
∴在Rt△BPC中,