专题13 相似三角形判定与性质的综合应用 （含解析）2025-2026学年人教版九年级数学下册

专题13 相似三角形判定与性质的综合应用
类型1利用相似三角形求线段长
典例1 (四川攀枝花中考)如图，在矩形ABCD中,AB=6,AD=4,点E,F分别为BC,CD的中点,BF,DE相交于点G,过点E作EH∥CD,交BF于点H，则线段GH的长度是 ( )
A. B.1 C. D.
把所求线段转化到相似的三角形中，再利用相似三角形的对应边成比例求解.本题中,由EH∥CD可证得△EHG∽ ,从而得到比例式，进而求得GH的长度.
【答案】
变式训练》
1(安徽中考)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=12,点D在边BC上,点E在线段AD上,EF⊥AC于点F,EG⊥EF交AB于点G.若EF=EG,则CD的长为 ( )
A.3.6 B.4 C.4.8 D.5
类型2利用相似三角形求角的度数
典例2 如图,在△ABC中,AD⊥BC,且. 则∠BAC的度数为 .
相似三角形的对应角相等，利用此性质可以直接或进行等量代换后求得某角的度数.本题中，将等积式转化为等比式，证得△ADB∽ ,进而得到∠BAD= ，从而得到∠BAC的度数.
【答案】
变式训练》
2(湖南怀化鹤城期末)如图，在等腰三角形ABC中,AB=AC,D为CB延长线上一点,E为BC延长线上一点，且满足
(1)求证:△ADB∽△EAC;
(2)若∠BAC=40°,求∠DAE的度数.
类型3利用相似三角形证明等积式或比例式
典例3 (贵州铜仁万山期末)如图，△ABC中，D,E分别是AB,AC上的点,且BD=2AD,CE=2AE.求证:
(1)△ADE∽△ABC;
(2)DF·BF=EF·CF.
根据要证明的等积式或比例式确定出线段所在的三角形(有时需要先进行等线段之间的代换)，再利用相似三角形的判定及性质进行证明.本题(2)中，由DF·BF=EF·CF确定出要证明 ∽△CBF.
【规范解答】
变式训练
3 如图,△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,E为AC的中点，ED，CB的延长线交于点F.求证：
4(四川凉山州中考)如图,∠ABD=∠BCD=90°,DB平分∠ADC,过点B作BM∥CD交AD于M,连接CM交DB于N.
(1)求证:
(2)若CD=6,AD=8,求MN的长.
类型4 利用相似三角形求图形面积比
典例4 (四川巴中中考)如图,在 ABCD中,F为BC的中点,延长AD至E,使DE:AD=1:3,连接EF交DC于点G,则S△DEC:S△CFC=
A.2:3 B.3:2 C.9:4 D.4:9
根据所求面积比找到对应的三角形，若两三角形相似，则面积比等于相似比的平方；若两三角形等底(等高)，则面积比等于高(底)的比.本题易证得△DEG∽△CFG,相似比为 ，从而得到两三角形的面积比.
【答案】
变式训练
5 如图,DE是△ABC的中位线,M是DE的中点,CM的延长线交AB于点N,求S△DMN:S△CEM的值.
类型5利用相似三角形求点的坐标
典例5如图,在直角坐标系xOy中,A(-4,0),B(0,2),连接AB并延长到C,连接CO,若△COB∽△CAO,则点C的坐标为 ( )
由相似三角形的性质得到某些等量关系，结合已知条件可求得点的坐标.本题中,由△COB∽△CAO,可得 作CD⊥y轴,垂足为D,则△CDB∽ ,得到CD，BD的长，从而求得C的坐标.
【答案】
变式训练》
6 如图，已知直线 2与x轴交于点A，与y轴交于点B，在x轴上有一点C(不与A重合)，使B，O，C三点构成的三角形与△AOB相似，则点C的坐标为
专题13 相似三角形判定与性质的综合应用
典例1 △DFG
【答案】A 解析:∵四边形ABCD是矩形,∴DC=AB=6,BC=AD=4,∠C=90°.∵点E,F分别为BC,CD的中点,∴DF=CF= DC=3,CE=BE= BC=2. ∵EH∥CD,BE=CE,∴FH=BH, 由勾股定理，得 FH= BF= .∵EH∥CD,∴△EHG∽△DFG,∴EH=FHF, 解得 故选A.
变式训练
1. B 解析:如图,作DH∥EG交AB于点H,则△AEG∽
∵EF⊥AC,∠C=90°,∴∠EFA=∠C=90°,
∴EF∥CD,∴△AEF∽△ADC,∴△EB=CD,∴ECFCFFD
∵EG=EF,∴DH=CD.设DH=x,则CD=x.
∵BC=12,∴BD=12-x.
∵EF⊥AC,EF⊥EG,AC∥EG,
∴EG∥AC∥DH,∴△BDH∽△BCA, 即 解得x=4,∴CD=4.
典例2 △CDA ∠C
【答案】90° 解析:∵AD⊥BC,∴∠ADB=∠CDA=90°, ∴∠C+ ,∴∠BAD=∠C, ∴∠BAD+∠CAD=90°,即∠BAC=90°.
变式训练
2.解:(1)证明:∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB,∴∠ABD=∠ACE.
∵AB=AC,∴ABCEDBC,∴△ADB∽△EAC.
(2)解:∵∠BAC=40°,AB=AC,∴∠ABC=180°-∠BAC=70°,
∴∠D+∠BAD=∠ABC=70°.
∵△ADB∽△EAC,∴∠D=∠CAE,
∴∠DAE=∠BAD+∠BAC+∠CAE=∠BAD+∠D+∠BAC=70°+40°=110°.
典例3 △DEF
【规范解答】(1)∵BD=2AD,CE=2AE,∴AB=3AD,AC=3AE, 又∠A=∠A,∴△ADE∽△ABC.
(2)∵△ADE∽△ABC,∴∠ADE=∠ABC,∴DE∥BC,
∴△DEF∽△CBF,
变式训练
3.证明:∵∠ACB=90°,CD⊥AB,
∴∠ACD+∠BCD=90°,∠A+∠ACD=90°,∴∠A=∠BCD.
∵E为AC的中点,∴DE= 4C=AE,∴∠A=∠EDA.
∵∠EDA=∠BDF,∴∠BDF=∠A=∠BCD.
又∠F=∠F,∴△FDB∽△FCD,∴DE=BDD
∵∠CDB=∠ADC=90°,∠BCD=∠A,
4.解:(1)证明:∵DB平分∠ADC,∴∠ADB=∠CDB.又∠ABD=∠BCD=90°,∴△ABD∽△BCD,
(2)解:∵BM∥CD,∴∠MBD=∠BDC,∴∠ADB=∠MBD,∴BM=MD.又∠MAB+∠MDB=90°,∠MBD+∠MBA=90°,∴∠MAB=∠MBA,∴BM=MD=AM= AD=4.
由(1)得BD =AD·CD=8×6=48,∴BC =BD -CD =12,
∵BM∥CD,∴△MNB∽△CND,
即 解得
典例4
【答案】D 解析:设DE=x,则AD=3x.∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,BC=AD=3x.∵点F是BC的中点, 故选D.
变式训练
5.解:如图,过点N作NF⊥DE,垂足为F,作CG⊥DE,交DE的延长线于点G.
∵DE是△ABC的中位线,
∴△NDM∽△NBC.
∵M是DE的中点,∴
∵∠NFM=∠CGM=90°,∠NMF=∠CMG,
解题关键点：等底三角形的面积比等于高的比，构造相似三角形，利用相似三角形的性质得到高的比.
典例5 △AOB
【答案】B 解析:∵A(-4,0),B(0,2),∴OA=4,OB=2.
∴CO=2CB,AC=2CO,∴AC=4CB,∴CB/ B
如图，过点C作CD⊥y轴，垂足为D，
∴AO∥CD,∴△AOB∽△CDB,
∴点C的坐标为 故选B.
变式训练
6.(-1,0)或(1,0)或(-4,0) 解析:由题意,易得A(4,0),B(0,2).∵C在x轴上,∴∠BOC=∠BOA=90°.
分情况讨论如下：
①当△AOB∽△BOC时 即 解得OC=1,∴C(-1,0)或(1,0).
②当△AOB∽△COB时
此时△AOB≌△COB,OC=OA=4.
∵点C不与点A重合,∴C(-4,0).
综上所述,点C的坐标为(-1,0)或(1,0)或(-4,0).
解题关键点：当相似三角形的对应关系未指明时，注意分类讨论.全等三角形是特殊的相似三角形.