27.2.2 相似三角形的性质 同步练习（含解析）2025-2026学年人教版九年级数学下册
文档属性
| 名称 | 27.2.2 相似三角形的性质 同步练习（含解析）2025-2026学年人教版九年级数学下册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 135.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-10-22 11:30:53 | ||
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文档简介
27.2.2 相似三角形的性质
练基础
知识点1 相似三角形中对应线段的比
1(辽宁阜新海州期末)如果两个相似三角形对应边之比为4：9，那么它们的对应的角平分线的比是 ( )
A.4:5 B.2:3 C.4:9 D.16:81
2 (教材P39第2题改编)如图,△ABC∽△A'B'C',AD,BE分别是△ABC的高和中线,A'D',B'E'分别是△A'B'C'的高和中线,且AD=4,A'D'=3,BE=6,则B'E'的长为 ( )
A. B. C. D.
知识点2相似三角形的周长比
3(山东青岛崂山期中)如图，△ABC与△DEF都是正方形网格中的格点三角形(顶点在格点上),那么△ABC与△DEF的周长比为( )
B.1:2
C.1:3
D.1:4
4(黑龙江绥化校级三模)两个相似三角形的最短边分别为5cm和3cm，它们的周长之差为14cm，那么小三角形的周长为 ( )
A.15cm B.17cm C.19cm D.21 cm
知识点3相似三角形的面积比
5 如图，△ABC是一块花园，D，E分别为线段BC，BA的中点，△EBD内种植的是太阳花，四边形AEDC内种植薰衣草.设整个花园的面积为S ，种植太阳花区域的面积为S ，则 ( )
A. B. C. D.
6(易错题)两个相似三角形的面积之比是4：9，其中一个三角形的周长为24cm，则另一个三角形的周长是 ( )
A.16cm B.16cm或28cm
C.36cm D.16cm或36cm
练提升
7(四川巴中中考)如图，△ABC中，点D，E分别在AB,AC上,且 下列结论正确的是 ( )
A. DE:BC=1:2
B.△ADE与△ABC的面积比为1:3
C.△ADE与△ABC的周长比为1:2
D. DE∥BC
8(河北中考)图1是装了液体的高脚杯示意图(数据如图)，用去一部分液体后如图2所示，此时液面AB= ( )
A.1cm B.2cm C.3cm D.4cm
9 如图，在△ABC中，AB=5,D是AB上的一点,AD=2,DE∥BC,交AC于点E,则△DEC与△ABC的面积比为 .
10(上海嘉定期中)如图,在△ABC中,点D,E分别在边AB,AC上,DC与BE相交于点O,且DO=2,BO=DC=6,OE=3.
(1)求证:DE∥BC;
(2)如果四边形BCED的面积比△ADE的面积大12,求△ABC的面积.
练素养
11 如图，正方形ABCD的边长为5cm,△PQR中,PQ=PR=5cm,QR=8cm,点B,C,Q,R在同一条直线上,当C,Q两点重合时，△PQR以1cm/s的速度沿直线l按箭头所示方向开始匀速运动，ts后正方形ABCD与△PQR重合部分的面积为Scm .当t=3时,求S的值.
微专题8 三角形的内接矩形问题
【方法指导】由三角形的内接矩形的一边平行于三角形的一边，可得到相似三角形.解题时，通常作出原三角形中与矩形一边垂直的高，再利用相似三角形高的性质得到比例式，列方程求解.
【针对训练】
1.(江苏宿迁泗阳一模)如图，在 中， ，若内接正方形DEFG的边长是x，则h，c，x的数量关系为( )
2.(湖北武汉蔡甸模拟)如图，在锐角三角形ABC中,边BC长为12,高AD长为8,矩形EFGH的边GH在BC边上，其余两个顶点E,F分别在AB,AC边上,EF交AD于点K.
(1)求 的值；
(2)设EH=x,，矩形EFGH的面积为S，求S与x的函数关系式，并求S的最大值.
27.2.2 相似三角形的性质
1. C
2. D 解析:由△ABC∽△A'B'C'可知对应高、对应中线的比等于相似比， 即 解得
解题关键点：相似三角形的对应高、对应中线的比都等于相似比.
3. A解析：由勾股定理，得
∴△BAC∽△EDF,∴△ABC与△DEF的周长比为1:
4. D解析：根据题意，得两三角形的周长的比为5：3.设两三角形的周长分别为5xcm,3xcm,则5x-3x=14,解得x=7.所以3x=21,即小三角形的周长为21cm.故选D.
5. B 解析:在△ABC中,D,E分别为线段BC,BA的中点,
∴DE为△ABC的中位线.
∴△BED∽△BAC,且
即 故选B.
解题关键点：由相似比求面积比时，面积比等于相似比的平方；由面积比求相似比时，相似比等于面积比的算术平方根.
6. D解析：∵两个相似三角形的面积比是4：9，∴两个相似三角形的相似比是2：3，∴两个相似三角形的周长比是2：3.∵一个三角形的周长为24cm，∴另一个三角形的周长是16cm或36cm,故选D.
易错点题目中没有指明已知三角形的周长是较大的还是较小的，故需要分类讨论解答.
7. D 解析: ∴△ADE∽△ABC,∴DEF =13,选项A错误;∴△ADE与△ABC的面积比为1:9,周长比为1:3,选项B和C错误;∵△ADE∽△ABC,∴∠ADE=∠B,∴DE∥BC,选项D正确.
8. C 解析:如图1,过O作OM⊥CD,垂足为M,如图2,过O作ON⊥AB,垂足为N.
∵CD∥AB,∴△CDO∽△ABO,
∵OM=15-7=8(cm),ON=11-7=4(cm),
解得AB=3(cm),故选C.
解题关键点：相似三角形对应高的比等于相似比.
9.6:25 解析:∵AD=2,AB=5,∴BD=3,AD/B=
∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC,AEE=ADD-
解题关键点：相似三角形的面积比等于相似比的平方，等高三角形的面积比等于对应底的比，注意区分.
10.解:(1)证明:∵(OD=2,DC=6,∴OC=4,∴ODDC=
又∵∠DOE=∠BOC,∴△DOE∽△COB,∴∠ODE=∠OCB,∴DE∥BC.
(2)解:∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC,
由(1)得
设△ADE的面积为x,则△ABC的面积为4x,
∴四边形BCED的面积为3x,
由题意，得33x-x=12,∴x=6,∴S△ABC=4x=24.
11.解:如图,作PE⊥RQ,垂足为E.
∵PQ=PR,QR=8cm,∴QE=RE=4cm.
在Rt△PQE中,由勾股定理,得PE=3cm.
当t=3时,QC=3cm.设PQ交CD于点G.
核心素养作出相应图形，利用相似三角形的性质得到所求三角形的面积，考查了几何直观和运算能力.
微专题 8
1. D 解析:如图,设CH与GF交于点M.
∵四边形DEFG是正方形，
∴GF∥DE,∠GDE=∠DGF=90°,
∴△CGF∽△CAB,∴GF=CMM
∵CH⊥AB,∴∠DHM=90°,
∴四边形DHMG是矩形,∴DG=MH.
∵CH=h,AB=c,正方形DEFG的边长是x,
∴MH=x,∴CM=CH-MH=h-x,
故选D.
2.解:(1)∵四边形EFGH为矩形,
∴EF∥BC,∴△AEF∽△ABC.
∵AK,AD分别是△AEF,△ABC的高,
(2)∵EF∥BC,AD⊥BC,∴AD⊥EF.由(1)可得
∵KD=EH=x,AD=8,BC=12,∴AK=8-x,
∵0
练基础
知识点1 相似三角形中对应线段的比
1(辽宁阜新海州期末)如果两个相似三角形对应边之比为4：9，那么它们的对应的角平分线的比是 ( )
A.4:5 B.2:3 C.4:9 D.16:81
2 (教材P39第2题改编)如图,△ABC∽△A'B'C',AD,BE分别是△ABC的高和中线,A'D',B'E'分别是△A'B'C'的高和中线,且AD=4,A'D'=3,BE=6,则B'E'的长为 ( )
A. B. C. D.
知识点2相似三角形的周长比
3(山东青岛崂山期中)如图，△ABC与△DEF都是正方形网格中的格点三角形(顶点在格点上),那么△ABC与△DEF的周长比为( )
B.1:2
C.1:3
D.1:4
4(黑龙江绥化校级三模)两个相似三角形的最短边分别为5cm和3cm，它们的周长之差为14cm，那么小三角形的周长为 ( )
A.15cm B.17cm C.19cm D.21 cm
知识点3相似三角形的面积比
5 如图，△ABC是一块花园，D，E分别为线段BC，BA的中点，△EBD内种植的是太阳花，四边形AEDC内种植薰衣草.设整个花园的面积为S ，种植太阳花区域的面积为S ，则 ( )
A. B. C. D.
6(易错题)两个相似三角形的面积之比是4：9，其中一个三角形的周长为24cm，则另一个三角形的周长是 ( )
A.16cm B.16cm或28cm
C.36cm D.16cm或36cm
练提升
7(四川巴中中考)如图，△ABC中，点D，E分别在AB,AC上,且 下列结论正确的是 ( )
A. DE:BC=1:2
B.△ADE与△ABC的面积比为1:3
C.△ADE与△ABC的周长比为1:2
D. DE∥BC
8(河北中考)图1是装了液体的高脚杯示意图(数据如图)，用去一部分液体后如图2所示，此时液面AB= ( )
A.1cm B.2cm C.3cm D.4cm
9 如图，在△ABC中，AB=5,D是AB上的一点,AD=2,DE∥BC,交AC于点E,则△DEC与△ABC的面积比为 .
10(上海嘉定期中)如图,在△ABC中,点D,E分别在边AB,AC上,DC与BE相交于点O,且DO=2,BO=DC=6,OE=3.
(1)求证:DE∥BC;
(2)如果四边形BCED的面积比△ADE的面积大12,求△ABC的面积.
练素养
11 如图，正方形ABCD的边长为5cm,△PQR中,PQ=PR=5cm,QR=8cm,点B,C,Q,R在同一条直线上,当C,Q两点重合时，△PQR以1cm/s的速度沿直线l按箭头所示方向开始匀速运动，ts后正方形ABCD与△PQR重合部分的面积为Scm .当t=3时,求S的值.
微专题8 三角形的内接矩形问题
【方法指导】由三角形的内接矩形的一边平行于三角形的一边，可得到相似三角形.解题时，通常作出原三角形中与矩形一边垂直的高，再利用相似三角形高的性质得到比例式，列方程求解.
【针对训练】
1.(江苏宿迁泗阳一模)如图，在 中， ，若内接正方形DEFG的边长是x，则h，c，x的数量关系为( )
2.(湖北武汉蔡甸模拟)如图，在锐角三角形ABC中,边BC长为12,高AD长为8,矩形EFGH的边GH在BC边上，其余两个顶点E,F分别在AB,AC边上,EF交AD于点K.
(1)求 的值；
(2)设EH=x,，矩形EFGH的面积为S，求S与x的函数关系式，并求S的最大值.
27.2.2 相似三角形的性质
1. C
2. D 解析:由△ABC∽△A'B'C'可知对应高、对应中线的比等于相似比， 即 解得
解题关键点：相似三角形的对应高、对应中线的比都等于相似比.
3. A解析：由勾股定理，得
∴△BAC∽△EDF,∴△ABC与△DEF的周长比为1:
4. D解析：根据题意，得两三角形的周长的比为5：3.设两三角形的周长分别为5xcm,3xcm,则5x-3x=14,解得x=7.所以3x=21,即小三角形的周长为21cm.故选D.
5. B 解析:在△ABC中,D,E分别为线段BC,BA的中点,
∴DE为△ABC的中位线.
∴△BED∽△BAC,且
即 故选B.
解题关键点：由相似比求面积比时，面积比等于相似比的平方；由面积比求相似比时，相似比等于面积比的算术平方根.
6. D解析：∵两个相似三角形的面积比是4：9，∴两个相似三角形的相似比是2：3，∴两个相似三角形的周长比是2：3.∵一个三角形的周长为24cm，∴另一个三角形的周长是16cm或36cm,故选D.
易错点题目中没有指明已知三角形的周长是较大的还是较小的，故需要分类讨论解答.
7. D 解析: ∴△ADE∽△ABC,∴DEF =13,选项A错误;∴△ADE与△ABC的面积比为1:9,周长比为1:3,选项B和C错误;∵△ADE∽△ABC,∴∠ADE=∠B,∴DE∥BC,选项D正确.
8. C 解析:如图1,过O作OM⊥CD,垂足为M,如图2,过O作ON⊥AB,垂足为N.
∵CD∥AB,∴△CDO∽△ABO,
∵OM=15-7=8(cm),ON=11-7=4(cm),
解得AB=3(cm),故选C.
解题关键点：相似三角形对应高的比等于相似比.
9.6:25 解析:∵AD=2,AB=5,∴BD=3,AD/B=
∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC,AEE=ADD-
解题关键点：相似三角形的面积比等于相似比的平方，等高三角形的面积比等于对应底的比，注意区分.
10.解:(1)证明:∵(OD=2,DC=6,∴OC=4,∴ODDC=
又∵∠DOE=∠BOC,∴△DOE∽△COB,∴∠ODE=∠OCB,∴DE∥BC.
(2)解:∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC,
由(1)得
设△ADE的面积为x,则△ABC的面积为4x,
∴四边形BCED的面积为3x,
由题意，得33x-x=12,∴x=6,∴S△ABC=4x=24.
11.解:如图,作PE⊥RQ,垂足为E.
∵PQ=PR,QR=8cm,∴QE=RE=4cm.
在Rt△PQE中,由勾股定理,得PE=3cm.
当t=3时,QC=3cm.设PQ交CD于点G.
核心素养作出相应图形，利用相似三角形的性质得到所求三角形的面积，考查了几何直观和运算能力.
微专题 8
1. D 解析:如图,设CH与GF交于点M.
∵四边形DEFG是正方形，
∴GF∥DE,∠GDE=∠DGF=90°,
∴△CGF∽△CAB,∴GF=CMM
∵CH⊥AB,∴∠DHM=90°,
∴四边形DHMG是矩形,∴DG=MH.
∵CH=h,AB=c,正方形DEFG的边长是x,
∴MH=x,∴CM=CH-MH=h-x,
故选D.
2.解:(1)∵四边形EFGH为矩形,
∴EF∥BC,∴△AEF∽△ABC.
∵AK,AD分别是△AEF,△ABC的高,
(2)∵EF∥BC,AD⊥BC,∴AD⊥EF.由(1)可得
∵KD=EH=x,AD=8,BC=12,∴AK=8-x,
∵0