专项突破练一 构造函数问题
题型一
例1 (0,10) [解析] 由题意构造函数g(x)=f(x)-x,则g'(x)=f'(x)-<0,所以g(x)在定义域内是减函数.因为f(1)=1,所以g(1)=f(1)-=.由f(lg x)>,得f(lg x)-lg x>,即g(lg x)>g(1),所以lg x<1,解得0
变式 (-∞,-3)∪(0,3) [解析] 由f'(x)g(x)+f(x)g'(x)>0,得[f(x)g(x)]'>0,所以函数y=f(x)g(x)在(-∞,0)上单调递增.又由题意知函数y=f(x)g(x)为奇函数,所以其图象关于原点对称,且过点(-3,0),(3,0).作出y=f(x)g(x)的图象的示意图,如图所示,由图可知不等式f(x)g(x)<0的解集为(-∞,-3)∪(0,3).
题型二
例2 D [解析] 构造函数h(x)=,则h'(x)=<0,可得h(x)在R上单调递减,故h(-2023)>h(0),即>,可得e2023f(-2023)>f(0).同理,h(2023)变式 C [解析] 令t=ln x,则x=et,因为f(ln x)<,
所以f(t)<,即f(t)·et<2.
设g(x)=exf(x),所以g'(x)=ex[f(x)+f'(x)],因为f(x)+f'(x)>0,
所以g'(x)>0,所以g(x)在R上单调递增,因为f(2)=,所以g(2)=e2f(2)=2.
所以f(t)·et<2等价于g(t)所以不等式f(ln x)<的解集是(0,e2).故选C.
题型三
例3 C [解析] 设g(x)=(x>0),则g'(x)=,由题意可知,当x>0时,xf'(x)因此函数g(x)=在(0,+∞)上单调递减.
因为4>2>0,所以g(4)变式 A [解析] 构造函数g(x)=x2f(x),则其导数为g'(x)=2xf(x)+x2f'(x).①当x>0时,由2f(x)+xf'(x)>x2,得g'(x)=2xf(x)+x2f'(x)>x3>0,则函数g(x)=x2f(x)在区间(0,+∞)上单调递增,故g(x)=x2f(x)>g(0)=0,可得f(x)>0;②当x<0时,有g'(x)=2xf(x)+x2f'(x)g(0)=0,可得f(x)>0;③当x=0时,由2f(x)+xf'(x)>x2,得f(x)>0.综上,对任意x∈R,f(x)>0恒成立,故选A.
题型四
例4 B [解析] 因为x∈,f'(x)sin 2xg,可得f>f.故选B.
变式 A [解析] 由f'(x)+f(x)tan x<0,得f'(x)+f(x) <0,
因为f(x)的定义域为,所以cos x>0,所以f'(x)cos x+f(x)sin x<0.
令g(x)=,则g'(x)=,因为f'(x)cos x+f(x)sin x<0,所以g'(x)<0,则函数g(x)在上单调递减.由f(x)<2fcos x,可得<,则g(x)1.C [解析] 设g(x)=,则g'(x)==,由题知g'(x)>0,所以g(x)是增函数,又g(0)=1,所以不等式f(x)>ex >1,即g(x)>g(0),即x>0,所以原不等式的解集为(0,+∞).故选C.
2.C [解析] 设g(x)=f(x)-x,则g'(x)=f'(x)-1.∵f'(x)>1恒成立,∴g'(x)>0恒成立,∴g(x)是增函数.∵f(1)=1,∴g(1)=f(1)-1=0.不等式f(x)>x即为g(x)>0=g(1),∴x>1,故选C.
3.A [解析] 令f(x)=,则f'(x)=,所以当00,当x>e时f'(x)<0,则f(x)在(0,e)上单调递增,在(e,+∞)上单调递减.又a=ln 2==f(4),b=ln 3=f(3),c===f(e),且4>3>e,所以f(4)4.D [解析] 令t(x)=exf(x)(x∈R),则t'(x)=ex[f(x)+f'(x)],由于f(x)+f'(x)的正负不确定,所以t'(x)的正负不确定,不能判断t(x)的单调性,故A,C均错误;令g(x)=(x∈R),则g'(x)=,由f(x)>f'(x),得g'(x)<0,所以g(x)为R上的减函数,又因为a>b,所以g(a)5.C [解析] 函数f(x)=ex+a的定义域为(0,+∞),当x10恒成立,∴a≥-ex(x+1)对任意的x>0恒成立.令h(x)=-ex(x+1),其中x>0,则h'(x)=-ex(x+2),易知h'(x)<0恒成立,∴函数h(x)在(0,+∞)上单调递减,又当x→0时,h(x)→-1,∴a≥-1.因此,实数a的取值范围是[-1,+∞).故选C.
6.BC [解析] 对于A,∵f(x)=ln x在(0,+∞)上单调递增,∴>0,故A错误;对于B,令g(x)=xf(x)=xln x,则g'(x)=1+ln x,可得当x∈时,g'(x)>0,则g(x)在上单调递增,故当x2>x1>1时,x2f(x2)>x1f(x1),故B正确;对于C,令h(x)=,则h'(x)=,可得当x>e时,h'(x)<0,则h(x)在(e,+∞)上单调递减,故当x2>x1>e时,<,即x2f(x1)>x1f(x2),故C正确;对于D,令t(x)=ln x+x,则t'(x)=+1,∵x∈(0,+∞),∴t'(x)>0,∴t(x)在(0,+∞)上单调递增,又t=-1+<0,t(1)=1>0,∴t(x)在上有零点,且只有一个零点,故方程ln x+x=0,即=-1只有一个解,故D错误.故选BC.
7.AB [解析] 令f(x)=,x∈(0,1),则f'(x)=,∵x∈(0,1),∴f'(x)>0,∴f(x)在(0,1)上单调递增,∴当00,g(x)在(0,1)上单调递增,∴当00,h(x)单调递增,则h(x1)与h(x2)的大小关系不确定,C选项中不等式不一定成立.当00,D选项中不等式不成立.故选AB.
8.(0,+∞) [解析] 令F(x)=,则F'(x)==,由题意知F'(x)<0,∴F(x)在R上单调递减.由f(0)=2,得F(0)=2.由f(x)-2ex<0,得<2,则F(x)0,即x的取值范围是(0,+∞).
9.(0,2) [解析] 令h(x)=x2f(x),则h'(x)=2xf(x)+x2f'(x)<0,所以h(x)在(0,+∞)上单调递减.
不等式f(x)>可以化为x2f(x)>3=4×=22f(2),则h(x)>h(2),所以010.(-∞,e] [解析] 由x+ex-aln x≥xa整理得x+ex≥ln xa+xa,即x+ex≥ln xa+,
设h(x)=x+ex,则h'(x)=1+ex>0,所以h(x)为增函数.
因为不等式x+ex≥ln xa+即为h(x)≥h(ln xa),所以x≥ln xa,即x-aln x≥0对x∈(1,+∞)恒成立,
设m(x)=x-aln x,x>1,则m'(x)=1-=.
若a≤1,则m'(x)>0,所以m(x)在(1,+∞)上单调递增,则m(x)>m(1)=1,符合题意;
若a>1,则当x∈(1,a)时,m'(x)<0,m(x)单调递减,当x∈(a,+∞)时,m'(x)>0,m(x)单调递增,
则m(x)min=m(a)=a-aln a≥0,可得1综上,a的取值范围是(-∞,e].
11.解:(1)由f(x)=ex-3x+3a,x∈R,知f'(x)=ex-3,x∈R.令f'(x)=0,得x=ln 3,可得当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表.
x (-∞,ln 3) ln 3 (ln 3,+∞)
f'(x) - 0 +
f(x) ↘ 极小值 ↗
故f(x)的单调递减区间是(-∞,ln 3],单调递增区间是[ln 3,+∞),f(x)在x=ln 3处取得极小值,极小值为f(ln 3)=eln 3-3ln 3+3a=3(1-ln 3+a),无极大值.
(2)证明:待证不等式等价于ex>x2-3ax+1.设g(x)=ex-x2+3ax-1,x>0,则g'(x)=ex-3x+3a,x>0.由(1)及a>ln =ln 3-1知g'(x)的最小值为g'(ln 3)=3(1-ln 3+a)>0,则对任意x>0,都有g'(x)>0,所以g(x)在(0,+∞)上单调递增.于是当a>ln 时,对任意的x∈(0,+∞),都有g(x)>g(0).又g(0)=0,所以对任意的x∈(0,+∞),都有g(x)>0,即ex>x2-3ax+1,故>x+-3a.
12.解:(1)f'(x)=ex+a.当a≥0时,f'(x)>0恒成立,所以f(x)在R上单调递增.当a<0时,由f'(x)=0,得ex=-a,解得x=ln(-a),可得当x∈(ln(-a),+∞)时,f'(x)>0,当x∈(-∞,ln(-a))时,f'(x)<0,所以函数f(x)在(ln(-a),+∞)上单调递增,在(-∞,ln(-a))上单调递减.综上,当a≥0时,f(x)在R上单调递增;当a<0时,函数f(x)在(ln(-a),+∞)上单调递增,在(-∞,ln(-a))上单调递减.
(2)对于任意的x1,x2∈[1,+∞),且x10,所以函数h(x)=(x-1)ex在[1,+∞)上单调递增,故h(x)min=h(1)=0,所以a≤0,即a的取值范围为(-∞,0].
13.20 [解析] 设点P(a,a2-4ln a),点Q,
易知点Q在直线l:2x+y+7=0上.
构造函数f(x)=x2-4ln x,则点P在函数f(x)=x2-4ln x的图象上.
因为f'(x)=2x-=,
所以当0当x>时,f'(x)>0,f(x)单调递增.
当x→0+时,f(x)→+∞,当x→+∞时,f(x)→+∞,
作出f(x)的大致图象,如图所示,
设直线l0与l平行,且直线l0与函数f(x)的图象相切于点M,
作出直线l,l0,可知点M到直线l的距离的平方即为+(a2-4ln a-b)2的最小值.
由kl=-2,得=-2,令f'(x)=-2,解得x=1或x=-2(舍去),又f(1)=1,故M(1,1).
因为点M到直线l的距离d==2,所以d2=20,
故+(a2-4ln a-b)2的最小值为20.
14.解:当x>1时,函数y=(ln x)2+aln x+1的图象在直线y=x的下方,则(ln x)2+aln x+11),则F'(x)=.令g(x)=x-1-ln x(x>1),则g'(x)=1->0,可得g(x)在(1,+∞)上单调递增,则g(x)>g(1)=0.故当1e时,F'(x)>0,F(x)单调递增.所以F(x)min=F(e)=e-2,所以a◆ 题型一 条件中含f'(x)g(x)±f(x)·g'(x)型的问题
例1 定义在R上的函数f(x)满足f(1)=1,且对任意的x∈R都有f'(x)<,则不等式f(lg x)>的解集为 .
变式 设f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当x<0时,f'(x)g(x)+f(x)·g'(x)>0恒成立,且g(-3)=0,则不等式f(x)g(x)<0的解集为 .
[素养小结]
(1)对于不等式f'(x)+g'(x)>0(或<0),构造函数F(x)=f(x)+g(x).
(2)对于不等式f'(x)-g'(x)>0(或<0),构造函数F(x)=f(x)-g(x).
特别地,对于不等式f'(x)>k(或(3)对于不等式f'(x)g(x)+f(x)g'(x)>0(或<0),构造函数F(x)=f(x)g(x).
(4)对于不等式f'(x)g(x)-f(x)g'(x)>0(或<0),构造函数F(x)=,g(x)≠0.
◆ 题型二 条件中含f(x)±f'(x)型的问题
例2 已知f(x)为R上的可导函数,且对任意x∈R,均有f(x)>f'(x),则有 ( )
A.e2023f(-2023)e2023f(0)
B.e2023f(-2023)C.e2023f(-2023)>f(0),f(2023)>e2023f(0)
D.e2023f(-2023)>f(0),f(2023)变式 [2023·长沙长郡中学高二期末] 已知f'(x)是函数f(x)的导数,对任意的x∈R,都有f'(x)+f(x)>0,f(2)=,则不等式f(ln x)<的解集是 ( )
A.(2,+∞) B.(e2,+∞)
C.(0,e2) D.(0,2)
[素养小结]
因为ex>0,[exf(x)]'=[f(x)+f'(x)]ex,'=,所以[exf(x)]'的符号由f(x)+f'(x)的符号确定,'的符号由f'(x)-f(x)的符号确定.条件中含有f(x)±f'(x)的问题可以考虑构造上述两个函数.
◆ 题型三 条件中含xf'(x)±nf(x)型的问题
例3 设函数f(x)的导函数为f'(x),且对任意x∈R,都有xf'(x)A.2f(2)B.2f(2)=f(4)
C.2f(2)>f(4)
D.2f(2)与f(4)的大小不确定
变式 设函数f(x)在R上的导函数为f'(x),且2f(x)+xf'(x)>x2恒成立.则下面的不等式在R上恒成立的是 ( )
A.f(x)>0 B.f(x)<0
C.f(x)>x D.f(x)[素养小结]
(1)对于条件中含xf'(x)+nf(x)>0(或<0)的问题,通常构造函数F(x)=xnf(x),则F'(x)=xn-1[xf'(x)+nf(x)](注意对xn-1的符号进行讨论),特别地,当n=1时,由xf'(x)+f(x)>0(或<0),构造函数F(x)=xf(x),则F'(x)=xf'(x)+f(x)>0(或<0).
(2)对于条件中含xf'(x)-nf(x)>0(或<0),且x≠0的问题,通常构造函数F(x)=,则F'(x)=(也需注意对xn+1的符号进行讨论),特别地,当n=1时,由xf'(x)-f(x)>0(或<0),构造F(x)=,则F'(x)=>0(或<0).
◆ 题型四 条件中含f(x)±f'(x)tan x型的问题
例4 已知函数f(x)的导函数为f'(x),当x∈时,f'(x)sin 2xA.fB.f>f
C.fD.f>f
变式 已知函数f(x)的定义域为,其导函数是f'(x),且f'(x)+f(x)tan x<0恒成立,则关于x的不等式f(x)<2fcos x的解集为( )
A. B.
C. D.
[素养小结]
因为当x∈时,[sin x·f(x)]'=cos x·f(x)+sin x·f'(x),'=,所以[sin x·f(x)]'的符号与f(x)+f'(x)tan x的符号相同,'的符号与f'(x)tan x-f(x)的符号相同.在条件中含有f(x)±f'(x)tan x型的问题中,可以考虑构造函数y=f(x)sin x,y=f(x)cos x,y=,y=等.专项突破练一 构造函数问题
一、选择题
1.已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f'(x),f(0)=1,且f'(x)>f(x),则不等式f(x)>ex的解集为 ( )
A.(e,+∞) B.(1,+∞)
C.(0,+∞) D.
2.已知函数f(x)(x∈R)的图象过点(1,1),f'(x)为函数f(x)的导函数,e为自然对数的底数.若f'(x)>1恒成立,则不等式f(x)>x的解集为( )
A. B.(0,1)
C.(1,+∞) D.(e,+∞)
3.已知a=ln 2,b=ln 3,c=,则 ( )
A.aC.b4.[2023·山东东营高二期末] 若函数f(x)(x∈R)的导函数为f'(x),且f(x)>f'(x),则当a>b时,下列结论正确的是( )
A.eaf(a)>ebf(b)
B.ebf(a)>eaf(b)
C.ebf(b)>eaf(a)
D.eaf(b)>ebf(a)
5.已知函数f(x)=ex+a(x∈(0,+∞)),当x1A.(-∞,-1] B.(-∞,-1)
C.[-1,+∞) D.(-1,+∞)
6.(多选题)已知函数f(x)=ln x,则 ( )
A.当x2>x1>0时,<0
B.当x2>x1>1时,x1f(x1)C.当x2>x1>e时,x2f(x1)>x1f(x2)
D.方程=-1有两个不同的解
7.(多选题)已知0A.x2>x1
B.x2ln x1C.x1ln x1D.+二、填空题
8.设函数f'(x)是函数f(x)(x∈R)的导函数,已知f'(x)9.已知定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足2xf(x)+x2f'(x)<0,f(2)=,则关于x的不等式f(x)>的解集为 .
10.[2024·浙江A9协作体高二期中] 已知不等式x+ex-aln x≥xa对x∈(1,+∞)恒成立,则a的取值范围是 .
三、解答题
11.已知函数f(x)=ex-3x+3a(e为自然对数的底数,a∈R).
(1)求f(x)的单调区间与极值;
(2)求证:当a>ln,且x>0时,>x+-3a.
12.[2023·浙江宁波镇海中学高二期中] 已知函数f(x)=ex+ax,其中a∈R.
(1)讨论函数f(x)的单调性;
(2)若对于任意的x1,x2∈[1,+∞),且x113.已知a>0,b∈R,则+(a2-4ln a-b)2的最小值为 .
14.当x>1时,函数y=(ln x)2+aln x+1的图象在直线y=x的下方,求实数a的取值范围.(共15张PPT)
专项突破练一 构造函数问题
题型一 条件中含型
的问题
题型二 条件中含型的问题
题型三 条件中含型的问题
题型四 条件中含型的问题
题型一 条件中含 型的问题
例1 定义在上的函数满足，且对任意的都有 ，则
不等式 的解集为_______.
[解析] 由题意构造函数，则，
所以 在定义域内是减函数.因为，所以.
由 ，得，即，所以，
解得 ，所以原不等式的解集为 .
变式 设，分别是定义在上的奇函数和偶函数，当 时，
恒成立，且，则不等式 的解
集为_________________.
[解析] 由，得 ，
所以函数在上单调递增.
又由题意知函数 为奇函数，
所以其图象关于原点对称，且过点，.
作出 的图象的示意图，如图所示，
由图可知不等式的解集为 .
［素养小结］
（1）对于不等式（或），构造函数 .
（2）对于不等式（或），构造函数 .
特别地，对于不等式或，构造函数 .
（3）对于不等式（或 ），构造函数
.
（4）对于不等式（或），构造函数 ，
.
题型二 条件中含 型的问题
例2 已知为上的可导函数,且对任意,均有 ,则有( )
D
A.,
B.,
C.,
D.,
[解析] 构造函数,则,可得在 上单调递减,
故,即,可得 .
同理,,可得 ,故选D.
变式 [2023·长沙长郡中学高二期末] 已知是函数 的导数，对任意的
，都有，，则不等式 的解集是 ( )
C
A. B. C. D.
[解析] 令，则，因为 ，所以，即 .
设，所以，
因为 ，所以，所以在上单调递增，
因为 ，所以 .
所以等价于，则，即，可得 .
所以不等式的解集是 .故选C.
［素养小结］
因为，，所以 的
符号由的符号确定，的符号由 的符号确定.条件中
含有 的问题可以考虑构造上述两个函数.
题型三 条件中含 型的问题
例3 设函数的导函数为，且对任意，都有 成立，
则( )
C
A. B.
C. D.与 的大小不确定
[解析] 设，则，
由题意可知，当 时，恒成立，所以 ，
因此函数在 上单调递减.
因为，所以，则，可得 ，故选C.
变式 设函数在上的导函数为，且 恒成立.则下
面的不等式在 上恒成立的是( )
A
A. B. C. D.
[解析] 构造函数，则其导数为 .
①当时，由，得 ，
则函数在区间上单调递增，故 ，
可得；
②当时，有 ，
则函数在区间上单调递减，故 ，
可得；
③当时，由，得 .
综上，对任意， 恒成立，故选A.
［素养小结］
（1）对于条件中含（或 ）的问题，通常构造函数
，则（注意对 的符号进行讨
论），特别地，当时，由（或 ），构造函数
，则（或 ）.
（2）对于条件中含（或），且 的问题，通常构造
函数，则（也需注意对 的符号进行讨论），
特别地，当时，由（或），构造 ，则
（或 ）.
题型四 条件中含 型的问题
例4 已知函数的导函数为，当 时，
恒成立，则下列不等式一定成立的是( )
B
A. B.
C. D.
[解析] 因为， ，
所以.令 ，
则，可知在 上单调递减，
所以，可得 .故选B.
变式 已知函数的定义域为,其导函数是 ,且
恒成立,则关于的不等式 的解集为
( )
A
A. B. C. D.
[解析] 由，得 ,
因为的定义域为,所以,所以 .
令,则 ,
因为,所以,则函数在 上单调递减.
由,可得,则,可得 ,
所以不等式的解集为 .故选A.
［素养小结］
因为当 时，
，
所以的符号与的符号相同， 的符号与
的符号相同.在条件中含有 型的问题中，
可以考虑构造函数，，， 等.