微专题1 弹簧—滑块模型 滑块—斜(曲)面模型
核心 目标 1. 体会用动量定理、动量守恒定律分析物理问题的方法，理解碰撞的多样性及特点．
2. 掌握弹簧—滑块模型和滑块—斜(曲)面模型．
模型1 弹簧—滑块模型
模型图示
模型特点 (1) 两个或两个以上的物体与弹簧相互作用的过程中，若系统所受外力的矢量和为零，则系统动量守恒 (2) 在能量方面，由于弹簧形变会使弹性势能发生变化，系统的总动能将发生变化；若系统所受的外力和除弹簧弹力以外的内力不做功，系统机械能守恒
(2024·佛山石门中学)(多选)如图甲所示，在光滑水平面上，轻质弹簧一端固定，物体A以速度v0向右运动压缩弹簧，测得弹簧的最大压缩量为x.现让弹簧一端连接另一质量为m的物体B，如图乙所示，物体A以2v0的速度向右压缩弹簧，测得弹簧的最大压缩量仍为x，则( AC )
甲 乙
A. A物体的质量为3m
B. A物体的质量为2m
C. 弹簧压缩量最大时的弹性势能为mv
D. 弹簧压缩量最大时的弹性势能为 mv
解析：对图甲，设物体A的质量为M，由机械能守恒定律可得，弹簧压缩x时弹性势能Ep＝Mv；对图乙，物体A以2v0的速度向右压缩弹簧，A、B组成的系统动量守恒，弹簧达到最大压缩量仍为x时，A、B二者达到相等的速度v，由动量守恒定律有M·2v0＝(M＋m)v，由能量守恒定律有Ep＝M2－v2，联立得M＝3m，Ep＝Mv＝mv，B、D错误，A、C正确．
(2024·佛山顺德区期末)(多选)如图甲所示，把两个质量相等的小车A和B静止地放在光滑的水平地面上，它们之间装有被压缩的轻质弹簧，用不可伸长的轻细线把它们系在一起．如图乙所示，让B紧靠墙壁，其他条件与图甲相同．对于小车A、B和弹簧组成的系统，烧断细线后，下列说法中正确的是( AD )
甲 乙
A. 从烧断细线到弹簧恢复原长的过程中，图甲所示系统动量守恒
B. 从烧断细线到弹簧恢复原长的过程中，图乙所示系统动量守恒
C. 从烧断细线到弹簧恢复原长的过程中，墙壁弹力对图乙所示系统的冲量为零
D. 从烧断细线到弹簧恢复原长的过程中，墙壁弹力对图乙中B车的冲量大小等于小车A动量的变化量大小
解析：从烧断细线到弹簧恢复原长的过程中，图甲所示系统运动过程中只有系统内的弹力做功，所受外力之和为0，则系统动量守恒，A正确；从烧断细线到弹簧恢复原长的过程中，图乙所示系统中由于墙壁对B有力的作用，则系统所受外力之和不为0，则系统动量不守恒，B错误；从烧断细线到弹簧恢复原长的过程中，图乙所示系统中由于墙壁对B有力的作用，由冲量定义I＝Ft 可知，墙壁对图乙所示系统的冲量不为零，C错误；从烧断细线到弹簧恢复原长的过程中，由动量定律可知，图乙墙壁弹力对系统的冲量大小等于系统动量的变化量．由于B车没有位移，B车动量为0，则墙壁弹力对B的冲量大小等于小车A动量的变化量大小，D正确．
1. 弹簧处于最长(最短)状态时两物体速度相等，弹性势能最大，系统动能通常最小(完全非弹性碰撞拓展模型).
2. 弹簧恢复原长时，弹性势能为零，系统动能最大(弹性碰撞拓展模型，相当于碰撞结束时).
模型2 滑块—斜(曲)面模型
模型图示
模型特点 (1) 最高点：m与M具有共同水平速度v共，m不会提前偏离轨道．系统水平方向动量守恒mv0＝(M＋m)v共；系统机械能守恒mv＝(M＋m)v＋mgh(完全非弹性碰撞拓展模型) (2) 最低点：m与M分离点．水平方向动量守恒mv0＝mv1＋Mv2；系统机械能守恒mv＝mv＋Mv(完全弹性碰撞拓展模型)
如图所示，小车静止在光滑水平面上，小车AB段是半径为R的四分之一光滑圆弧，BC段是长为L的水平粗糙轨道，两段轨道相切于B点．一质量为m的滑块(视为质点)在小车上从A点由静止开始沿轨道滑下，然后滑入BC轨道，最后恰好停在C点，已知小车的质量为2m，重力加速度大小为g，则下列说法中正确的是( C )
A. 滑块运动过程中的最大速度为
B. 整个运动过程中，小车和滑块组成的系统动量守恒
C. 整个运动过程中，小车的位移大小为
D. 滑块与轨道BC间的动摩擦因数 μ>
解析：当滑块到达B点时速度最大，由水平方向动量守恒有0＝mv1－2mv2，此过程由机械能守恒定律有mgR＝mv＋×2mv，解得v1＝，A错误；滑块由A运动到B过程中，系统所受外力的合力不为0，但系统在水平方向所受外力的合力为0，则小车和滑块组成的系统动量不守恒，但是小车和滑块组成的系统在水平方向上动量守恒，B错误；由水平方向动量守恒的位移表达式有0＝mx1－2mx2，又由于x1＋x2＝R＋L，解得x2＝，C正确；根据能量守恒定律可得mgR＝μmgL，解得μ＝，D错误．
(2024·江门期末)长l＝0.8 m的轻绳处于水平拉直状态，将摆球A由静止释放，下摆至最低点时，与静止在水平面上的小球B发生弹性碰撞(碰撞时间极短)，小球B向左冲上放置在水平面上的四分之一圆弧轨道，轨道与水平地面相切，忽略一切摩擦．已知球A质量m1＝2 kg，球B质量m2＝6 kg，圆弧轨道质量m3＝6 kg，取g＝10 m/s2.求：
(1) 球A下摆至最低点时的速度大小．
答案：4 m/s
解析：球A下摆过程，由动能定理得m1gl＝m1v
解得v1＝4 m/s
(2) 球B碰后的速度大小．
答案：2 m/s
解析：A、B碰撞过程动量和机械能均守恒
m1v1＝m1v′1＋m2v′2
m1v＝m1v′＋m2v′
联立解得球B碰后的速度v′2＝2 m/s
(3) 要让球B从轨道左端离开，轨道半径R的取值范围．
答案：R<0.1 m
解析：若球B刚能冲上轨道左端最高处，系统水平方向动量守恒m2v′2＝v3
由机械能守恒定律得m2v2′2＝m2gR＋(m3＋m2)v
联立解得R＝0.1 m
即轨道半径R<0.1 m
如果轨道的圆弧半径较小，小球B可能会冲出圆弧面做斜抛运动，然后下落时会再次回到圆弧面上．小球B在空中运动过程中，二者水平方向速度始终相同．
1. (多选)如图甲所示，物块A、B间拴接一个压缩后被锁定的弹簧，整个系统静止放在光滑水平地面上，其中A物块最初与左侧固定的挡板相接触，B物块质量为2 kg.现剪断A、B间的细绳，解除对弹簧的锁定，在A离开挡板后，B物块的v-t图如图乙所示，则可知( ACD )
甲
乙
A. 在A离开挡板前，A、B系统动量不守恒，之后守恒
B. 在A离开挡板前，A、B与弹簧组成的系统机械能守恒，之后不守恒
C. 弹簧锁定时其弹性势能为9 J
D. 若A的质量为1 kg，在A离开挡板后弹簧的最大弹性势能为3 J
解析：在A离开挡板前，由于挡板对A有作用力，所以A、B系统所受合外力不为零，则系统动量不守恒；离开挡板之后，系统的合外力为零，动量守恒，A正确；在A离开挡板前，挡板对A的作用力不做功，A、B及弹簧组成的系统在整个过程中只有弹簧的弹力做功，机械能守恒，B错误；解除对弹簧的锁定后至A刚离开挡板的过程中，弹簧的弹性势能释放，全部转化为B的动能，根据机械能守恒定律，有Ep＝mBv，由图像可知，vB＝3 m/s，解得Ep＝9 J，C正确；分析A离开挡板后A、B的运动过程，根据机械能守恒定律和动量守恒定律，有mBv0＝(mA＋mB)v共，E′p＝mBv－(mA＋mB)v，联立解得E′p＝3 J，D正确．
2. (2024·广州省实验学校)(多选)质量为M的带有光滑圆弧轨道的小车静止置于光滑水平面上，如图所示，一质量为m的小球以速度v0水平冲上小车，到达某一高度后，小球又返回小车的左端，若M＝2m，则( AC )
A. 小球以后将向左做平抛运动
B. 小球将做自由落体运动
C. 此过程小球对小车做的功为 Mv
D. 小球在弧形轨道上升的最大高度为
解析：设小球离开小车时，小球的速度为v1，小车的速度为v2，水平动量守恒mv0＝mv1＋Mv2，该过程中能量守恒mv＝mv＋mv，解得v1＝－，v2＝，所以小球以后将向左做平抛运动，A正确，B错误；对小车运用动能定理得W＝Mv＝Mv，C正确；当小球与小车的速度相同时，小球上升到最大高度，设共同速度为v.规定向右为正方向，运用动量守恒定律得mv0＝(m＋M)v，根据能量守恒定律得，有mv＝mgh＋v2，代入数据得h＝，D错误．
配套新练案
模型1 弹簧－滑块模型
1. 如图所示，位于光滑水平桌面上的小滑块P和Q质量相等，都可视为质点．Q与轻质弹簧相连．设Q静止，P以某一初速度向Q运动并与弹簧发生碰撞．在整个碰撞过程中，弹簧具有的最大弹性势能等于( B )
A. P的初动能
B. P的初动能的
C. P的初动能的
D. P的初动能的
解析：把小滑块P和Q以及弹簧看成一个系统，系统的动量守恒．在整个碰撞过程中，当小滑块P和Q的速度相等时，弹簧的弹性势能最大．设小滑块P的初速度为v0，两滑块的质量均为m，则mv0＝2mv，v＝，所以弹簧具有的最大弹性势能Ep＝mv－ ×2mv2＝mv＝Ek0，故B正确.
2. (2024·汕头金山中学)A、B两球之间压缩一根轻弹簧(不拴接)，静置于光滑水平桌面上，已知A、B两球的质量分别为m和2m.当用板挡住A球而只释放B球时，B球被弹出落于距桌边水平距离为x的地面上，B球离开桌面时已与弹簧分离，如图所示．若以同样的程度压缩弹簧，取走A左边的挡板，将A、B同时释放，则B球的落地点距离桌边的水平距离为( A )
A. x B. x
C. x D. x
解析：当用板挡住A球而只释放B球时，根据能量守恒有弹簧的弹性势能Ep＝×2m×v＝mv，根据平抛运动规律有x＝v0t，当以同样的程度压缩弹簧，取走A左边的挡板，将A、B同时释放，设A、B的水平速度大小分别为vA和vB，规定向右为正方向，则根据动量守恒和能量守恒有mvA＝2mvB，Ep＝×mv＋×2m×v，联立解得vB＝v0，B球的落地点距离桌边的水平距离为x′＝vBt＝x，A正确．
3. (2024·惠州期末)(多选)如图所示，LMN是竖直平面内固定的光滑轨道，MN水平且足够长，LM下端与MN相切．质量为0.3 kg的小球B与一轻弹簧相连，并静止在水平轨道上，质量为0.2 kg的小球A从LM上距水平轨道高为h＝1.25 m处由静止释放，在A球进入水平轨道之后与弹簧正碰并压缩弹簧但不粘连．设小球A通过M点时没有机械能损失，取g＝10 m/s2.下列说法中正确的是( BCD )
A. A球运动到M点时的速度大小为3 m/s
B. A球与弹簧相碰过程中，弹簧的最大弹性势能为1.5 J
C. B球最终的速度大小为4 m/s
D. A球与弹簧相互作用的整个过程中，弹簧对A球弹力的冲量大小为1.2 N·s
解析：A球下滑的过程只有重力做功，机械能守恒，由机械能守恒定律得mAgh＝mAv，代入数据解得v0＝5 m/s，A错误；在水平轨道上，A、B两球组成的系统动量守恒，当A、B两球速度相等时弹簧的压缩量最大，弹簧的弹性势能最大，设A、B的共同速度为v，以向右为正方向，由动量守恒定律得mAv0＝(mA＋mB)v，由机械能守恒定律得mAv＝(mA＋mB)v2＋Ep，代入数据解得Ep＝1.5 J，B正确；弹簧恢复原长时A、B分离，A、B两球组成的系统动量守恒、机械能守恒，以向右为正方向，由动量守恒定律得mAv0＝mAvA＋mBvB，由机械能守恒定律得 mAv＝mAv＋mBv，代入数据解得vA＝－1 m/s，vB＝4 m/s，C正确；根据动量定理，弹簧对A球作用力的冲量IA＝mAvA－mAv0＝－1.2 kg·m/s＝－1.2 N·s，负号表示方向水平向左，冲量大小为1.2 N·s，D正确．
4. (2024·汕头金山中学)如图所示，倾斜粗糙的AB轨道与水平光滑的BC轨道平滑连接，水平轨道上有一个轻弹簧，轻弹簧的左端与墙壁相连，右端与质量为m2＝2 kg的小物块Q相连接，均处于静止状态．现在A处由静止释放一个质量为m1＝2 kg的小滑块P，小滑块P与Q发生碰撞后以共同速度运动，但P与Q不粘连．已知AB轨道长为L＝4 m，AB段与水平面的夹角θ＝37°，小滑块P与AB轨道间的动摩擦因数μ＝0.5，且通过B点时无机械能损失．不计空气阻力，取g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8.求：
(1) 小滑块P第一次运动到B点时的速度的大小vB.
答案：4 m/s
解析：对滑块P，根据动能定理，有
m1gL sin θ－μm1gL cos θ＝m1v
解得vB＝4 m/s
(2) 轻弹簧的最大弹性势能Ep.
答案：8 J
解析：对P、Q碰后共同速度大小为v，根据动量守恒定律，有m1vB＝(m1＋m2)v
解得v＝2 m/s
P、Q压缩弹簧过程，有Ep＝(m1＋m2)v2
解得Ep＝8 J
(3) 小滑块P第一次返回斜面上距B点的最大距离s.
答案：0.2 m
解析：P、Q分离时，弹簧处于原长，P、Q速度大小为v，P、Q分离后，对P，有－m1gs·sin θ－μm1gs·cos θ＝0－m1v2
解得s＝0.2 m
模型2 滑块—斜(曲)面模型
5. (2024·福建晋江一中)如图所示，质量为M＝3 kg的滑块静止在光滑的水平面上，滑块的光滑弧面底部与桌面相切，一个质量为m＝1 kg的小球以速度为v＝2 m/s向滑块滚来，小球最后未越过滑块，则小球到达最高点时，小球和滑块的速度大小是( A )
A. 0.5 m/s B. 1 m/s
C. 1.5 m/s D. 6 m/s
解析：小球沿滑块上滑的过程中，小球和滑块组成的系统在水平方向上不受外力，因而系统在水平方向上动量守恒，小球到达最高点时和滑块具有相同的对地速度v(若速度不相同，必然相对运动，此时一定不是最高点)，由系统在水平方向上动量守恒得mv0＝(M＋m)v，所以v＝＝ m/s＝0.5 m/s，故选A.
6. (2024·广州执信中学)如图所示，半径为R的光滑圆槽质量为M，静止在光滑水平面上，其内表面有一质量为m的小球被细线吊着位于槽的边缘处，如将线烧断，小球滑行到最低点向右运动时，圆槽的速度为( B )
A. ，向右 B. ，向左
C. ，向右 D. ，向左
解析：以水平向右为正方向，设在最低点时m和M的速度大小分别为v和v′，根据动量守恒定律得0＝mv－Mv′，根据机械能守恒定律列方程得mgR＝mv2＋Mv′2，联立以上两式解得v′＝，方向向左．故选B.
7. (2024·湛江第一中学)(多选)如图所示，质量为M的小车静止在光滑的水平面上，小车AB段是半径为R的四分之一光滑圆弧轨道，BC段是长为L的水平粗糙轨道，两段轨道相切于B点．一质量为m的滑块在小车上从A点静止开始沿轨道滑下，然后滑入BC轨道，最后恰好停在C点．已知小车质量M＝3m，滑块与轨道BC间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g.则( BC )
A. 全程滑块水平方向相对地面的位移R＋L
B. 全程小车相对地面的位移大小s＝
C. μ、L、R三者之间的关系为R＝μL
D. 滑块m运动过程中的最大速度vm＝
解析：设全程小车相对地面的位移大小为s，则滑块水平方向相对地面的位移x＝R＋L－s.取水平向右为正方向，由水平方向动量守恒得m－M＝0，即m－M＝0，结合M＝3m，解得s＝(R＋L)，x＝(R＋L)，A错误，B正确；对整个过程，由动量守恒定律得0＝(m＋M)v′，得v′＝0，由能量守恒定律得mgR＝μmgL，得R＝μL，C正确；滑块刚滑到B点时速度最大，取水平向右为正方向，由动量守恒定律和机械能守恒分别得0＝mvm－Mv，mgR＝mv＋Mv2，联立解得vm＝，D错误．
8. (多选)如图甲所示，质量分别为mA和mB的两物体用轻弹簧连接置于光滑水平面上，初始时两物体被锁定，弹簧处于压缩状态．t＝0时刻将B物体解除锁定，t＝t1时刻解除A物体的锁定，此时B物体的速度为v0，A、B两物体运动的a-t图像如图乙所示，其中S1和S2分别表示0～t1时间内和t1～t3时间内B物体的a-t图像与坐标轴所围面积的大小，则下列说法中正确的是( ABC )
甲 乙
A. mAB. S1>S2
C. t1～t3时间内A、B间距离先增大，后减小
D. t1～t3时间内A的速率先增大，后减小
解析：由题意可知，在t1时刻后A、B在水平方向上只受弹簧的弹力，弹簧对A、B的弹力大小始终相等，通过图乙可知，t2时刻，A的加速度大小比B的加速度大小大，根据牛顿第二定律可知mAS2，B正确；t1～t3时间内A的加速度先增大，后减小，由于弹簧弹力提供加速度，弹簧弹力先增大，后减小，则弹簧的伸长量先增大，后减小，所以A、B间距离先增大，后减小，C正确；t1～t3时间内，弹簧弹力对A物体一直是动力，与速度方向相同，则A的速率一直增大，D错误．
9. (2024·深圳外国语学校)如图所示，两个完全相同的四分之一圆弧槽A、B并排放在水平面上，圆弧槽半径均为R、内外表面均光滑，质量均为m，a、b两点分别为A、B槽的最高点，c、d两点分别为A、B槽的最低点，A槽的左端紧靠着墙壁．一个质量为2m的小球P(可视为质点)从a点由静止释放，重力加速度为g.求：
(1) 小球P到达A槽最低点时受到弹力的大小．
答案：6mg
解析：小球P从a点运动到c点，A、B均保持静止，根据动能定理可得2mgR＝·2mv
小球P从a点运动到c点时的速度大小为v0＝
根据牛顿第二定律有N－2mg＝2m
解得N＝6mg
(2) 小球P在B槽内运动的最大高度.
答案：
解析：小球P滑到B槽后A依然保持静止，B开始向右运动，由于小球P和B槽组成的系统水平方向上不受外力，则水平方向动量守恒，当小球P在B槽内运动到最大高度时，二者水平速度相同，取向右为正方向，设共同速度为v，根据动量守恒可得2mv0＝(2m＋m)v
对小球P和B槽组成的系统，根据机械能守恒定律可得·2mv＝(2m＋m)v2＋2mgh
联立解得h＝
(3) B槽具有的最大速度．
答案：
解析：小球P返回B槽最低点d时，B槽速度最大，设P的速度为v1，B的速度为v2，取水平向右为正方向，根据动量守恒和机械能守恒可得
2mv0＝2mv1＋mv2
·2mv＝·2mv＋mv
解得v2＝微专题1 弹簧—滑块模型 滑块—斜(曲)面模型
核心 目标 1. 体会用动量定理、动量守恒定律分析物理问题的方法，理解碰撞的多样性及特点．
2. 掌握弹簧—滑块模型和滑块—斜(曲)面模型．
模型1 弹簧—滑块模型
模型图示
模型特点 (1) 两个或两个以上的物体与弹簧相互作用的过程中，若系统所受外力的矢量和为零，则系统动量守恒 (2) 在能量方面，由于弹簧形变会使弹性势能发生变化，系统的总动能将发生变化；若系统所受的外力和除弹簧弹力以外的内力不做功，系统机械能守恒
(2024·佛山石门中学)(多选)如图甲所示，在光滑水平面上，轻质弹簧一端固定，物体A以速度v0向右运动压缩弹簧，测得弹簧的最大压缩量为x.现让弹簧一端连接另一质量为m的物体B，如图乙所示，物体A以2v0的速度向右压缩弹簧，测得弹簧的最大压缩量仍为x，则( )
甲 乙
A. A物体的质量为3m
B. A物体的质量为2m
C. 弹簧压缩量最大时的弹性势能为mv
D. 弹簧压缩量最大时的弹性势能为 mv
(2024·佛山顺德区期末)(多选)如图甲所示，把两个质量相等的小车A和B静止地放在光滑的水平地面上，它们之间装有被压缩的轻质弹簧，用不可伸长的轻细线把它们系在一起．如图乙所示，让B紧靠墙壁，其他条件与图甲相同．对于小车A、B和弹簧组成的系统，烧断细线后，下列说法中正确的是( )
甲 乙
A. 从烧断细线到弹簧恢复原长的过程中，图甲所示系统动量守恒
B. 从烧断细线到弹簧恢复原长的过程中，图乙所示系统动量守恒
C. 从烧断细线到弹簧恢复原长的过程中，墙壁弹力对图乙所示系统的冲量为零
D. 从烧断细线到弹簧恢复原长的过程中，墙壁弹力对图乙中B车的冲量大小等于小车A动量的变化量大小
1. 弹簧处于最长(最短)状态时两物体速度相等，弹性势能最大，系统动能通常最小(完全非弹性碰撞拓展模型).
2. 弹簧恢复原长时，弹性势能为零，系统动能最大(弹性碰撞拓展模型，相当于碰撞结束时).
模型2 滑块—斜(曲)面模型
模型图示
模型特点 (1) 最高点：m与M具有共同水平速度v共，m不会提前偏离轨道．系统水平方向动量守恒mv0＝(M＋m)v共；系统机械能守恒mv＝(M＋m)v＋mgh(完全非弹性碰撞拓展模型) (2) 最低点：m与M分离点．水平方向动量守恒mv0＝mv1＋Mv2；系统机械能守恒mv＝mv＋Mv(完全弹性碰撞拓展模型)
如图所示，小车静止在光滑水平面上，小车AB段是半径为R的四分之一光滑圆弧，BC段是长为L的水平粗糙轨道，两段轨道相切于B点．一质量为m的滑块(视为质点)在小车上从A点由静止开始沿轨道滑下，然后滑入BC轨道，最后恰好停在C点，已知小车的质量为2m，重力加速度大小为g，则下列说法中正确的是( )
A. 滑块运动过程中的最大速度为
B. 整个运动过程中，小车和滑块组成的系统动量守恒
C. 整个运动过程中，小车的位移大小为
D. 滑块与轨道BC间的动摩擦因数 μ>
(2024·江门期末)长l＝0.8 m的轻绳处于水平拉直状态，将摆球A由静止释放，下摆至最低点时，与静止在水平面上的小球B发生弹性碰撞(碰撞时间极短)，小球B向左冲上放置在水平面上的四分之一圆弧轨道，轨道与水平地面相切，忽略一切摩擦．已知球A质量m1＝2 kg，球B质量m2＝6 kg，圆弧轨道质量m3＝6 kg，取g＝10 m/s2.求：
(1) 球A下摆至最低点时的速度大小．
(2) 球B碰后的速度大小．
(3) 要让球B从轨道左端离开，轨道半径R的取值范围．
如果轨道的圆弧半径较小，小球B可能会冲出圆弧面做斜抛运动，然后下落时会再次回到圆弧面上．小球B在空中运动过程中，二者水平方向速度始终相同．
1. (多选)如图甲所示，物块A、B间拴接一个压缩后被锁定的弹簧，整个系统静止放在光滑水平地面上，其中A物块最初与左侧固定的挡板相接触，B物块质量为2 kg.现剪断A、B间的细绳，解除对弹簧的锁定，在A离开挡板后，B物块的v-t图如图乙所示，则可知( )
甲
乙
A. 在A离开挡板前，A、B系统动量不守恒，之后守恒
B. 在A离开挡板前，A、B与弹簧组成的系统机械能守恒，之后不守恒
C. 弹簧锁定时其弹性势能为9 J
D. 若A的质量为1 kg，在A离开挡板后弹簧的最大弹性势能为3 J
2. (2024·广州省实验学校)(多选)质量为M的带有光滑圆弧轨道的小车静止置于光滑水平面上，如图所示，一质量为m的小球以速度v0水平冲上小车，到达某一高度后，小球又返回小车的左端，若M＝2m，则( )
A. 小球以后将向左做平抛运动
B. 小球将做自由落体运动
C. 此过程小球对小车做的功为 Mv
D. 小球在弧形轨道上升的最大高度为
配套新练案
模型1 弹簧－滑块模型
1. 如图所示，位于光滑水平桌面上的小滑块P和Q质量相等，都可视为质点．Q与轻质弹簧相连．设Q静止，P以某一初速度向Q运动并与弹簧发生碰撞．在整个碰撞过程中，弹簧具有的最大弹性势能等于( )
A. P的初动能
B. P的初动能的
C. P的初动能的
D. P的初动能的
2. (2024·汕头金山中学)A、B两球之间压缩一根轻弹簧(不拴接)，静置于光滑水平桌面上，已知A、B两球的质量分别为m和2m.当用板挡住A球而只释放B球时，B球被弹出落于距桌边水平距离为x的地面上，B球离开桌面时已与弹簧分离，如图所示．若以同样的程度压缩弹簧，取走A左边的挡板，将A、B同时释放，则B球的落地点距离桌边的水平距离为( )
A. x B. x
C. x D. x
3. (2024·惠州期末)(多选)如图所示，LMN是竖直平面内固定的光滑轨道，MN水平且足够长，LM下端与MN相切．质量为0.3 kg的小球B与一轻弹簧相连，并静止在水平轨道上，质量为0.2 kg的小球A从LM上距水平轨道高为h＝1.25 m处由静止释放，在A球进入水平轨道之后与弹簧正碰并压缩弹簧但不粘连．设小球A通过M点时没有机械能损失，取g＝10 m/s2.下列说法中正确的是( )
A. A球运动到M点时的速度大小为3 m/s
B. A球与弹簧相碰过程中，弹簧的最大弹性势能为1.5 J
C. B球最终的速度大小为4 m/s
D. A球与弹簧相互作用的整个过程中，弹簧对A球弹力的冲量大小为1.2 N·s
4. (2024·汕头金山中学)如图所示，倾斜粗糙的AB轨道与水平光滑的BC轨道平滑连接，水平轨道上有一个轻弹簧，轻弹簧的左端与墙壁相连，右端与质量为m2＝2 kg的小物块Q相连接，均处于静止状态．现在A处由静止释放一个质量为m1＝2 kg的小滑块P，小滑块P与Q发生碰撞后以共同速度运动，但P与Q不粘连．已知AB轨道长为L＝4 m，AB段与水平面的夹角θ＝37°，小滑块P与AB轨道间的动摩擦因数μ＝0.5，且通过B点时无机械能损失．不计空气阻力，取g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8.求：
(1) 小滑块P第一次运动到B点时的速度的大小vB.
(2) 轻弹簧的最大弹性势能Ep.
(3) 小滑块P第一次返回斜面上距B点的最大距离s.
模型2 滑块—斜(曲)面模型
5. (2024·福建晋江一中)如图所示，质量为M＝3 kg的滑块静止在光滑的水平面上，滑块的光滑弧面底部与桌面相切，一个质量为m＝1 kg的小球以速度为v＝2 m/s向滑块滚来，小球最后未越过滑块，则小球到达最高点时，小球和滑块的速度大小是( )
A. 0.5 m/s B. 1 m/s
C. 1.5 m/s D. 6 m/s
6. (2024·广州执信中学)如图所示，半径为R的光滑圆槽质量为M，静止在光滑水平面上，其内表面有一质量为m的小球被细线吊着位于槽的边缘处，如将线烧断，小球滑行到最低点向右运动时，圆槽的速度为( )
A. ，向右 B. ，向左
C. ，向右 D. ，向左
7. (2024·湛江第一中学)(多选)如图所示，质量为M的小车静止在光滑的水平面上，小车AB段是半径为R的四分之一光滑圆弧轨道，BC段是长为L的水平粗糙轨道，两段轨道相切于B点．一质量为m的滑块在小车上从A点静止开始沿轨道滑下，然后滑入BC轨道，最后恰好停在C点．已知小车质量M＝3m，滑块与轨道BC间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g.则( )
A. 全程滑块水平方向相对地面的位移R＋L
B. 全程小车相对地面的位移大小s＝
C. μ、L、R三者之间的关系为R＝μL
D. 滑块m运动过程中的最大速度vm＝
8. (多选)如图甲所示，质量分别为mA和mB的两物体用轻弹簧连接置于光滑水平面上，初始时两物体被锁定，弹簧处于压缩状态．t＝0时刻将B物体解除锁定，t＝t1时刻解除A物体的锁定，此时B物体的速度为v0，A、B两物体运动的a-t图像如图乙所示，其中S1和S2分别表示0～t1时间内和t1～t3时间内B物体的a-t图像与坐标轴所围面积的大小，则下列说法中正确的是( )
甲 乙
A. mAB. S1>S2
C. t1～t3时间内A、B间距离先增大，后减小
D. t1～t3时间内A的速率先增大，后减小
9. (2024·深圳外国语学校)如图所示，两个完全相同的四分之一圆弧槽A、B并排放在水平面上，圆弧槽半径均为R、内外表面均光滑，质量均为m，a、b两点分别为A、B槽的最高点，c、d两点分别为A、B槽的最低点，A槽的左端紧靠着墙壁．一个质量为2m的小球P(可视为质点)从a点由静止释放，重力加速度为g.求：
(1) 小球P到达A槽最低点时受到弹力的大小．
(2) 小球P在B槽内运动的最大高度.
(3) B槽具有的最大速度．(共46张PPT)
第一章
动量守恒定律
微专题1 弹簧—滑块模型 滑块—斜(曲)面模型
核心 目标 1. 体会用动量定理、动量守恒定律分析物理问题的方法，理解碰撞的多样性及特点．
2. 掌握弹簧—滑块模型和滑块—斜(曲)面模型．
深度拓展 分类悟法
弹簧—滑块模型
模型
1
模型图示
模型特点 (1) 两个或两个以上的物体与弹簧相互作用的过程中，若系统所受外力的矢量和为零，则系统动量守恒
(2) 在能量方面，由于弹簧形变会使弹性势能发生变化，系统的总动能将发生变化；若系统所受的外力和除弹簧弹力以外的内力不做功，系统机械能守恒
(2024·佛山石门中学)(多选)如图甲所示，在光滑水平面上，轻质弹簧一端固定，物体A以速度v0向右运动压缩弹簧，测得弹簧的最大压缩量为x.现让弹簧一端连接另一质量为m的物体B，如图乙所示，物体A以2v0的速度向右压缩弹簧，测得弹簧的最大压缩量仍为x，则 ( )
A. A物体的质量为3m
B. A物体的质量为2m
1
AC
(2024·佛山顺德区期末)(多选)如图甲所示，把两个质量相等的小车A和B静止地放在光滑的水平地面上，它们之间装有被压缩的轻质弹簧，用不可伸长的轻细线把它们系在一起．如图乙所示，让B紧靠墙壁，其他条件与图甲相同．对于小车A、B和弹簧组成的系统，烧断细线后，下列说法中正确的是 ( )
A. 从烧断细线到弹簧恢复原长的过程中，图甲所示系统动量守恒
B. 从烧断细线到弹簧恢复原长的过程中，图乙所示系统动量守恒
C. 从烧断细线到弹簧恢复原长的过程中，墙壁弹力对图乙所示系统的冲量为零
D. 从烧断细线到弹簧恢复原长的过程中，墙壁弹力对图乙中B车的冲量大小等于小车A动量的变化量大小
2
AD
解析：从烧断细线到弹簧恢复原长的过程中，图甲所示系统运动过程中只有系统内的弹力做功，所受外力之和为0，则系统动量守恒，A正确；从烧断细线到弹簧恢复原长的过程中，图乙所示系统中由于墙壁对B有力的作用，则系统所受外力之和不为0，则系统动量不守恒，B错误；从烧断细线到弹簧恢复原长的过程中，图乙所示系统中由于墙壁对B有力的作用，由冲量定义I＝Ft 可知，墙壁对图乙所示系统的冲量不为零，C错误；从烧断细线到弹簧恢复原长的过程中，由动量定律可知，图乙墙壁弹力对系统的冲量大小等于系统动量的变化量．由于B车没有位移，B车动量为0，则墙壁弹力对B的冲量大小等于小车A动量的变化量大小，D正确．
1. 弹簧处于最长(最短)状态时两物体速度相等，弹性势能最大，系统动能通常最小(完全非弹性碰撞拓展模型).
2. 弹簧恢复原长时，弹性势能为零，系统动能最大(弹性碰撞拓展模型，相当于碰撞结束时).
滑块—斜(曲)面模型
模型
2
如图所示，小车静止在光滑水平面上，小车AB段是半径为R的四分之一光滑圆弧，BC段是长为L的水平粗糙轨道，两段轨道相切于B点．一质量为m的滑块(视为质点)在小车上从A点由静止开始沿轨道滑下，然后滑入BC轨道，最后恰好停在C点，已知小车的质量为2m，重力加速度大小为g，则下列说法中正确的是
( )
3
C
(2024·江门期末)长l＝0.8 m的轻绳处于水平拉直状态，将摆球A由静止释放，下摆至最低点时，与静止在水平面上的小球B发生弹性碰撞(碰撞时间极短)，小球B向左冲上放置在水平面上的四分之一圆弧轨道，轨道与水平地面相切，忽略一切摩擦．已知球A质量m1＝2 kg，球B质量m2＝6 kg，圆弧轨道质量m3＝6 kg，取g＝10 m/s2.求：
(1) 球A下摆至最低点时的速度大小．
答案：4 m/s
4
(2) 球B碰后的速度大小．
答案：2 m/s
(3) 要让球B从轨道左端离开，轨道半径R的取值范围．
答案：R<0.1 m
随堂内化 即时巩固
1. (多选)如图甲所示，物块A、B间拴接一个压缩后被锁定的弹簧，整个系统静止放在光滑水平地面上，其中A物块最初与左侧固定的挡板相接触，B物块质量为2 kg.现剪断A、B间的细绳，解除对弹簧的锁定，在A离开挡板后，B物块的v-t图如图乙所示，则可知 ( )
A. 在A离开挡板前，A、B系统动量不守恒，之后守恒
B. 在A离开挡板前，A、B与弹簧组成的系统机械能守恒，之后不守恒
C. 弹簧锁定时其弹性势能为9 J
D. 若A的质量为1 kg，在A离开挡板后弹簧的最大弹性势能为3 J
ACD
AC
配套新练案
模型1 弹簧－滑块模型
1. 如图所示，位于光滑水平桌面上的小滑块P和Q质量相等，都可视为质点．Q与轻质弹簧相连．设Q静止，P以某一初速度向Q运动并与弹簧发生碰撞．在整个碰撞过程中，弹簧具有的最大弹性势能等于 ( )
A. P的初动能
B
2. (2024·汕头金山中学)A、B两球之间压缩一根轻弹簧(不拴接)，静置于光滑水平桌面上，已知A、B两球的质量分别为m和2m.当用板挡住A球而只释放B球时，B球被弹出落于距桌边水平距离为x的地面上，B球离开桌面时已与弹簧分离，如图所示．若以同样的程度压缩弹簧，取走A左边的挡板，将A、B同时释放，则B球的落地点距离桌边的水平距离为 ( )
A
3. (2024·惠州期末)(多选)如图所示，LMN是竖直平面内固定的光滑轨道，MN水平且足够长，LM下端与MN相切．质量为0.3 kg的小球B与一轻弹簧相连，并静止在水平轨道上，质量为0.2 kg的小球A从LM上距水平轨道高为h＝1.25 m处由静止释放，在A球进入水平轨道之后与弹簧正碰并压缩弹簧但不粘连．设小球A通过M点时没有机械能损失，取g＝10 m/s2.下列说法中正确的是 ( )
A. A球运动到M点时的速度大小为3 m/s
B. A球与弹簧相碰过程中，弹簧的最大弹性势能为1.5 J
C. B球最终的速度大小为4 m/s
D. A球与弹簧相互作用的整个过程中，弹簧对A球
弹力的冲量大小为1.2 N·s
BCD
4. (2024·汕头金山中学)如图所示，倾斜粗糙的AB轨道与水平光滑的BC轨道平滑连接，水平轨道上有一个轻弹簧，轻弹簧的左端与墙壁相连，右端与质量为m2＝2 kg的小物块Q相连接，均处于静止状态．现在A处由静止释放一个质量为m1＝2 kg的小滑块P，小滑块P与Q发生碰撞后以共同速度运动，但P与Q不粘连．已知AB轨道长为L＝4 m，AB段与水平面的夹角θ＝37°，小滑
块P与AB轨道间的动摩擦因数μ＝0.5，且通过B点时无
机械能损失．不计空气阻力，取g＝10 m/s2，sin 37°
＝0.6，cos 37°＝0.8.求：
(1) 小滑块P第一次运动到B点时的速度的大小vB.
答案：4 m/s
(2) 轻弹簧的最大弹性势能Ep.
答案：8 J
(3) 小滑块P第一次返回斜面上距B点的最大距离s.
答案：0.2 m
模型2 滑块—斜(曲)面模型
5. (2024·福建晋江一中)如图所示，质量为M＝3 kg的滑块静止在光滑的水平面上，滑块的光滑弧面底部与桌面相切，一个质量为m＝1 kg的小球以速度为v＝2 m/s向滑块滚来，小球最后未越过滑块，则小球到达最高点时，小球和滑块的速度大小是 ( )
A. 0.5 m/s
B. 1 m/s
C. 1.5 m/s
D. 6 m/s
A
6. (2024·广州执信中学)如图所示，半径为R的光滑圆槽质量为M，静止在光滑水平面上，其内表面有一质量为m的小球被细线吊着位于槽的边缘处，如将线烧断，小球滑行到最低点向右运动时，圆槽的速度为 ( )
B
7. (2024·湛江第一中学)(多选)如图所示，质量为M的小车静止在光滑的水平面上，小车AB段是半径为R的四分之一光滑圆弧轨道，BC段是长为L的水平粗糙轨道，两段轨道相切于B点．一质量为m的滑块在小车上从A点静止开始沿轨道滑下，然后滑入BC轨道，最后恰好停在C点．已知小车质量M＝3m，滑块与轨道BC间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g.则 ( )
A. 全程滑块水平方向相对地面的位移R＋L
BC
8. (多选)如图甲所示，质量分别为mA和mB的两物体用轻弹簧连接置于光滑水平面上，初始时两物体被锁定，弹簧处于压缩状态．t＝0时刻将B物体解除锁定，t＝t1时刻解除A物体的锁定，此时B物体的速度为v0，A、B两物体运动的a-t图像如图乙所示，其中S1和S2分别表示0～t1时间内和t1～t3时间内B物体的a-t图像与坐标轴所围面积的大小，则下列说法中正确的是 ( )
A. mAB. S1>S2
C. t1～t3时间内A、B间距离先
增大，后减小
D. t1～t3时间内A的速率先增大，后减小
ABC
则B的速度不为零且水平向右，S2表示t1～t3时间内B物体的速度减少量，小于0～t1时间内速度的变化量S1，故S1>S2，B正确；t1～t3时间内A的加速度先增大，后减小，由于弹簧弹力提供加速度，弹簧弹力先增大，后减小，则弹簧的伸长量先增大，后减小，所以A、B间距离先增大，后减小，C正确；t1～t3时间内，弹簧弹力对A物体一直是动力，与速度方向相同，则A的速率一直增大，D错误．
9. (2024·深圳外国语学校)如图所示，两个完全相同的四分之一圆弧槽A、B并排放在水平面上，圆弧槽半径均为R、内外表面均光滑，质量均为m，a、b两点分别为A、B槽的最高点，c、d两点分别为A、B槽的最低点，A槽的左端紧靠着墙壁．一个质量为2m的小球P(可视为质点)从a点由静止释放，重力加速度为g.求：
(1) 小球P到达A槽最低点时受到弹力的大小．
答案：6mg
(2) 小球P在B槽内运动的最大高度.
解析：小球P滑到B槽后A依然保持静止，B开始向右运动，由于小球P和B槽组成的系统水平方向上不受外力，则水平方向动量守恒，当小球P在B槽内运动到最大高度时，二者水平速度相同，取向右为正方向，设共同速度为v，根据动量守恒可得2mv0＝(2m＋m)v
(3) B槽具有的最大速度．
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