广东省深圳市福田区侨香外国语学校2025-2026学年九年级上学期开学数学试卷
1．（2025九上·福田开学考）菱形ABCD中，若对角线AC=8cm，BD=6cm，则菱形ABCD的周长是（ ）
A．10 B．20 C．30 D．40
【答案】B
【知识点】勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：如图
∵四边形ABCD是菱形
∴
∵AC=8cm，BD=6cm，
∴AO=4，BO=3
∴
∴菱形ABCD的周长为5×4=20
故答案为：B
【分析】根据菱形性质可得，则AO=4，BO=3，根据勾股定理可得AB，再根据菱形周长即可求出答案.
2．（2025九上·福田开学考）在四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC，添加下列条件能使四边形ABCD为菱形的是（ ）
A．AC=BD B．AB=AC C．∠A=∠B D．AC⊥BD
【答案】D
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】解：∵AB=CD，AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形
∵AC⊥BD
∴平行四边形ABCD是菱形
故答案为：D
【分析】根据菱形判定定理即可求出答案.
3．（2025九上·福田开学考）如图，测量三角形纸片的尺寸，点B，C分别对应刻度尺上的刻度2和8，D为BC的中点，若∠BAC=90°，则AD的长为（ ）
A．4cm B．3cm C．5cm D．2.5cm
【答案】B
【知识点】直角三角形斜边上的中线；数轴上两点之间的距离
【解析】【解答】解：由图可得：
BC=8-2=6，BD=5-2=3，CD=8-5=3
∴BD=CD
∴D是BC的中点
∴
故答案为：B
【分析】根据两点间距离可得BC，BD，CD，则BD=CD，再根据直角三角形斜边上的中线性质即可求出答案.
4．（2025九上·福田开学考）如图，在正方形ABCD的外侧作等边三角形CDE，则∠DAE的度数为（ ）
A．20° B．15° C．12.5° D．10°
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；等边三角形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC＝90°，AD＝DC，
∵△CDE是等边三角形，
∴DE＝DC，∠EDC＝60°，
∴∠ADE＝90°+60°＝150°，AD＝ED，
∴∠DAE＝∠DEA＝（180°﹣∠ADE）＝15°，
故选：B．
【分析】根据正方形性质可得∠ADC＝90°，AD＝DC，再根据等边三角形性质可得DE＝DC，∠EDC＝60°，根据角之间的关系可得∠ADE，再根据三角形内角和定理即可求出答案.
5．（2025九上·福田开学考）一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A．3， B．3，，5 C．，， D．3，，4
【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：一元二次方程方程的二次项系数是，一次项系数、常数项，
故选：C．
【分析】根据一元二次方程二次项系数、一次项系数、常数项的定义，即可得到答案.
6．（2025九上·福田开学考）如图，在宽为20米，长为32米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使草坪的面积为540平方米，设道路的宽为x米，则下列方程正确的是（ ）
A．32×20-20x-30x=540 B．32×20-20x-30x-x2=540
C．（32-x）（20-x）=540 D．32×20-20x-30x+2x2=540
【答案】C
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设道路的宽为x米，
由题意可得（32-x）（20-x）=540
故答案为：C
【分析】根据题意建立方程即可求出答案.
7．（2025九上·福田开学考）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC＝3：1，连接AE交BD点F，则△DAF与四边形BCEF的面积之比为（ ）
A．3：4 B．9：16 C．12：19 D．9：28
【答案】C
【知识点】三角形的面积；平行四边形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：连接BE，
∵DE：EC=3：1，
∴设DE=3k，EC=k，则CD=4k，，
∵ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD=4k，，
∴△DEF∽△BFA，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
∴四边形BCEF的面积=，
∴△DAF与四边形BCEF的面积之比为：，
故选：C．
【分析】连接BE，设DE=3k，EC=k，则CD=4k，，根据平行四边形性质可得AB∥CD，AB=CD=4k，，再根据相似三角形判定定理可得△DEF∽△BFA，则，再根据三角形面积即可求出答案.
8．（2025九上·福田开学考）如图，有公共顶点的正方形ABCD和正方形BFGE如图摆放，其中点G恰在CD边的四等分点（CG＜DG），连结BD.则DH：BH为（ ）
A．2：3 B．：2 C．2： D．15：17
【答案】D
【知识点】勾股定理；正方形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：连接BG，设GC=x
∵G恰在CD边的四等分点
∴DG=3x，DC=4x
∵四边形ABCD是正方形
∴∠BDG=45°，∠C=90°，BC=DC=4x
∴，
∵四边形BFGE是正方形
∴∠BGH=45°
∴∠BGH=∠BDG
∴∠DBG=∠GBH
∴△BGH∽△BDG
∴
∴
∴
∴
∴
故答案为：D
【分析】连接BG，设GC=x，由题意可得DG=3x，DC=4x，根据正方形性质可得∠BDG=45°，∠C=90°，BC=DC=4x，再根据勾股定理可得BD，BG，根据角之间的关系可得∠DBG=∠GBH，再根据相似三角形判定定理可得△BGH∽△BDG，则，代值计算可得BH，再根据边之间的关系即可求出答案.
9．（2025九上·福田开学考）若，则 ．
【答案】
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：由得到，
∴，可设，，k不等于0，
则．
故答案为：
【分析】根据比例性质即可求出答案.
10．（2025九上·福田开学考）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若AC=6cm，BD=8cm，则菱形ABCD的面积为 cm2.
【答案】24
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形
∴菱形ABCD的面积为
故答案为：24
【分析】根据菱形面积即可求出答案.
11．（2025九上·福田开学考）把方程x2-4x-7=0化成（x-n）2=m的形式，则m+n的值是 .
【答案】13
【知识点】配方法的应用
【解析】【解答】解：x2-4x-7=0
∴
∴
∴
∴m=11，n=2
∴m+n=11+2=13
故答案为：13
【分析】根据配方法化简计算即可求出答案.
12．（2025九上·福田开学考）如图，把△DEF沿DE平移到△ABC的位置，它们重合部分的面积是△DEF面积的，若AB=6，则△DEF移动的距离AD= .
【答案】
【知识点】平移的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：设AC交EF于点H
由平移性质可得，AH∥DF，AD=BE
∴△EAH∽△EDF
∴
∵它们重合部分的面积是△DEF面积的
∴
∴
设AE=3k，DE=4k
∵AB=DE=6
∴4k=6
解得：
∴
故答案为：
【分析】设AC交EF于点H，根据平移性质可得AH∥DF，AD=BE，再根据相似三角形判定定理可得△EAH∽△EDF，则，再根据三角形面积可得，则，设AE=3k，DE=4k，根据边之间的关系建立方程，解方程可得k值，再根据边之间的关系即可求出答案.
13．（2025九上·福田开学考）矩形ABCD中，AB=6，AD=12，连结BD，E，F分别在边BC，CD上，连结AE，AF分别交BD于点M，N，若∠EAF=45°，BE=3，则DN的长为 .
【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；旋转的性质；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形
∴∠BAD=90°
∴
延长AB至点P，使PB=AB=6，过点P作BC的平行线交DC的延长线于点Q，得正方形APQD
延长AE交PQ于点H，连接HF，将△ADF绕点A顺时针旋转90°，点D于点P重合，得到△APG
∵四边形APQD是正方形
∴AP=PQ=DQ=AD，∠PAD=∠APH=∠Q=∠ADQ=90°
由旋转可得：△APG≌△ADF
∴PG=DF，∠APG=∠ADF=90°，AG=AF，∠PAG=∠DAF
∴∠PAG+∠PAF=∠DAF+∠PAF=∠PAD=90°，即∠GAF=90°
∵∠HAF=45°
∴∠GAH=90°-45°=45°
∴∠GAH=∠FAH=45°
在△AGH和△AFH中
∴△AGH和△AFH(SAS)
∴GH=FH
∵GH=PG+PH=DF+PH
∴FH=DF+PH
设DF=x，则FQ=DQ-DF=12-x
∵AB=BP=6，BE∥PQ
∴AE=EM
∴PH=2BE=6
∴FH=DF+PH=x+6，HQ=PQ-PH=6
在Rt△QFH中，由勾股定理可得：FQ2+HQ2=FH2
∴(12-x)2+62=(x+6)2
解得：x=4
∴DF=4
∵DF∥AB
∴△DFN∽△BAN
∴
∴
故答案为：
【分析】根据勾股定理可得BD，延长AB至点P，使PB=AB=6，过点P作BC的平行线交DC的延长线于点Q，得正方形APQD，延长AE交PQ于点H，连接HF，将△ADF绕点A顺时针旋转90°，点D于点P重合，得到△APG，根据正方形性质可得AP=PQ=DQ=AD，∠PAD=∠APH=∠Q=∠ADQ=90°，再根据旋转性质可得△APG≌△ADF，根据全等三角形性质可得PG=DF，∠APG=∠ADF=90°，AG=AF，∠PAG=∠DAF，再根据角之间的关系可得∠GAH=∠FAH=45°，再根据全等三角形判定定理可得△AGH和△AFH(SAS)，则GH=FH，根据边之间点的关系可得FH=DF+PH，设DF=x，则FQ=DQ-DF=12-x，则FH=DF+PH=x+6，HQ=PQ-PH=6，再根据勾股定理建立方程，解方程可得DF=4，根据相似三角形判定定理可得△DFN∽△BAN，则，再根据边之间的关系即可求出答案.
14．（2025九上·福田开学考）解下列一元二次方程：
（1）（x-1）2=2；
（2）x2=8x+9；
（3）（x+4）（x-2）=3（x-2）；
（4）2x2-x-5=0.
【答案】（1）解：（x-1）2=2
两边开平方可得：
解得：，
（2）解：x2=8x+9
移项可得：x2-8x-9=0
∴(x+1)(x-9)=0
∴x+1=0或x-9=0
解得：x1=-1，x2=9
（3）解：（x+4)(x-2）=3(x-2)
移项可得：(x+4)(x-2)-3(x-2)=0
∴(x+4-3)(x-2)=0
∴x+4-3=0或x-2=0
解得：x1=-1，x2=2
（4）解：2x2-x-5=0
∴
解得：，
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）根据直接开平方法解方程即可求出答案.
（2）根据因式分解法解方程即可求出答案.
（3）根据因式分解法解方程即可求出答案.
（4）根据公式法解方程即可求出答案.
15．（2025九上·福田开学考）如图，在△ABC中，AB=AC，点D、B、C、E在同一条直线上，且∠D=∠CAE.
（1）求证：△ABD∽△ECA；
（2）若AC=6，CE=4，求BD的长度.
【答案】（1）证明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠ABD=∠ACE，
∵∠D=∠CAE．
∴△ABD∽△ECA；
（2）解：∵AB=AC，AC=6，
∴AB=AC=6，
∵△ABD∽△ECA，
∴
∴
∴BD=9
【知识点】相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据等边对等角可得∠ABC=∠ACB，则∠ABD=∠ACE，再根据相似三角形判定定理即可求出答案.
（2）根据边之间的关系可得AB=AC=6，再根据相似三角形性质可得，代值计算即可求出答案.
16．（2025九上·福田开学考）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，过D作DE∥AC，DF∥AB分别交AB、AC于点E、F.
（1）求证：四边形AEDF为菱形；
（2）若AC=8，DC=4，连接EF，求EF的长.
【答案】（1）证明：∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形四边形AEDF为平行四边形，∠BAD=∠FDA，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD=∠CAD，
∴∠FDA=∠CAD，
∴AF=DF，
∴平行四边形AEDF为菱形
（2）解：∵∠C=90°，AC=8，DC=4，
∴AD==4，
由（1）可知，AF=DF，四边形AEDF为菱形，
∴OA=OD=AD=2，OE=OF，AD⊥EF，
设AF=DF=x，则CF=AC-AF=8-x，
在Rt△CDF中，由勾股定理得：DC2+CF2=DF2，
即42+（8-x）2=x2，
解得：x=5，
∴DF=5，
∴OF===，
∴EF=2OF=2，
即EF的长为2．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据平行四边形判定定理可得四边形四边形AEDF为平行四边形，∠BAD=∠FDA，再根据角平分线定义可得∠BAD=∠CAD，则∠FDA=∠CAD，根据等角对等边可得AF=DF，再根据菱形判定定理即可求出答案.
（2）根据勾股定理可得AD，再根据菱形性质可得OA=OD=AD=2，OE=OF，AD⊥EF，设AF=DF=x，则CF=AC-AF=8-x， 根据勾股定理建立方程，解方程可得DF=5，再根据勾股定理即可求出答案.
17．（2025九上·福田开学考）解决问题：邓州公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔7月份到9月份的销量，该品牌头盔7月份销售500个，9月份销售720个，且从7月份到9月份销售量的月增长率相同．
（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；
（2）若此种头盔的进价为30元/个，经市场预测，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，该品牌头盔的实际售价应定为多少元？
【答案】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x，
依题意，得：500（1+x）2=720，
解得：x1=0.2=20%，x2=-2.2（不合题意，舍去）．
答：该品牌头盔销售量的月增长率为20%．
（2）解：设该品牌头盔的实际售价为y元，
依题意，得：（y-30）[600-10（y-40）]=10000，
整理，得：y2-130y+4000=0，
解得：y1=80（不合题意，舍去），y2=50，
答：该品牌头盔的实际售价应定为50元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（2）设该品牌头盔的实际售价为y元，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
18．（2025九上·福田开学考）阅读材料：对于一元二次方程ax2+bx+c=0（其中a≠0），其两个根x1和x2与系数a、b、c之间存在以下关系：①两根的和：；②两根的积：..这两个关系式被称为一元二次方程的根与系数的关系，也被称为韦达定理（Vieta'sformulas）.
解决问题：
（1）验证关系：给定一元二次方程3x2-5x+1=0，请验证其两个根的和与积是否分别满足和.
（2）应用关系：若一元二次方程的两个根分别为3和-2，且二次项系数为1，请写出这个一元二次方程的一般形式 ；
（3）能力素养：学习了根与系数的关系后，秦老师布置了一道课后思考题，题目是：x1和x2是关于x的方程x2+（2a-1）x+a2=0的两个实数根，且（x1+2）（x2+2）=11，求a的值.
【答案】（1）解：满足，3x2-5x+1=0，
∵a=3，b=-5，c=1，
∴Δ=b2-4ac=（-5）2-4×3×1=13＞0，
，
∴，，
，，
则一元二次方程3x2-5x+1=0两个根的和与积满足和；
（2）x2-x-6=0
（3）解：由题意可得：
∵(x1+2)(x2+2)=11
即
∴a2+2(1-2a)-7=0，即a2-4a-5=0
解得：a=-1或a=5
∵
解得：
∴a=-1
【知识点】公式法解一元二次方程；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：（2）设一元二次方程的一般式为x2+bx+c=0
∴
解得：b=-1，c=-6
∴这个一元二次方程的一般形式为x2-x-6=0
故答案为：x2-x-6=0
【分析】（1）根据公式法解方程可得，，再根据实数的加法和乘法代入等式计算，再判断即可求出答案.
（2）设一元二次方程的一般式为x2+bx+c=0，根据韦达定理即可求出答案.
（3）根据韦达定理可得，对方程x1+2)(x2+2)=11去括号化简，再整体代入，解方程可得a的值，再根据二次方程的判别式即可求出答案.
19．（2025九上·福田开学考）请根据以下素材，完成探究任务：
【汽车盲区与行车安全实践】
素材一 汽车盲区是指司机位于正常驾驶位置时，其视线被车体遮挡而不能直接观察到的那部分区域.在汽车行驶时，若行人、非机动车处于汽车盲区内，极易引发交通事故.如图1，某型号小汽车的车头、车尾盲区（可以近似看作矩形），以及两侧后视镜的可见区域.
素材二 如图2，若司机视线高度AB=1.5m，车前盖最高处与地面距离CD=1m，驾驶员与车头水平距离BE=2m，车前盖最高处与车头水平距离DE=0.5m，点M在EF上，ME=0.8m.
素材三 如图3，这辆小汽车在平直的公路上匀速行驶，正后方跟随一辆速度为90km/h的摩托车.若此时小汽车司机紧急刹车，那么摩托车司机也随即刹车，但摩托车司机有一个1.2秒的反应时间.已知小汽车从开始刹车到完全停住的滑行距离为22米，摩托车从开始刹车到完全停住的滑行距离为32米，小汽车车尾盲区为正后方长为5米的矩形区域.
问题解决
任务一 （1）①如图2，求车头盲区EF的长度； ②在M处有一个高度为0.5m的物体，驾驶员能观察到物体吗？请作出判断，并说明理由；
任务二 （2）如图3，在摩托车刹车前，摩托车应与小汽车至少保持 ▲ 米的距离，才不会闯入小汽车的车尾盲区.
【答案】解：任务一①根据题意，AB⊥BF，CD⊥BF，BE=2m，DE=0.5m，
∴AB∥CD，
BD=BE-DE=2-0.5=1.5m，
∴△FCD∽△FAB，
∴，且FB=FD+BD=FD+1.5，
∴，
∴解得：FD=3，
∴EF=FD-DE=3-0.5=2.5m；
②过点M作MN⊥FB交AF于点N，
∴FM=EF-ME=2.5-0.8=1.7m，
FD=3m，
MD=ME+DE=0.8+0.5=1.3m，
∵MN∥CD，
∴△FMN∽△FDC，
∴，
∴MN=≈0.57m，
∵0.57＞0.5，
∴不能观察到物体；
任务二45.
【知识点】相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：任务二：摩托车的速度为
∴摩托车在1.2秒的反应时间里的路程为m
由题意可得：
30+22-22+5=45m
∴摩托车应与小汽车至少保持45米的距离，才不会闯入小汽车的车尾盲区.
故答案为：45
【分析】任务一：①根据直线平行判定定理可得AB∥CD，根据边之间的关系可得BD，根据相似三角形判定定理可得△FCD∽△FAB，则，代值计算可得FD，再根据边之间的关系即可求出答案.
②过点M作MN⊥FB交AF于点N，根据边之间的关系可得FM，MD，根据相似三角形判定定理可得△FMN∽△FDC，则，代值计算可得MN，再比较大小即可求出答案.
任务二：求出摩托车在1.2秒的反应时间里的路程，再根据题意列式计算即可求出答案.
20．（2025九上·福田开学考）定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等），我们就把这条对角线叫做这个四边形的“亲子线”.
（1）如图1，△ABC的三个顶点均在正方形网格中的格点上，若四边形ABCD是以AC为“亲子线”的四边形，请只用无刻度的直尺，确定一点D，请你在图1中找出满足条件的点D，并画出这个四边形.保留画图痕迹（找出1个即可）；
（2）①如图2，在四边形ABCD中，∠DAB=90°，∠DCB=135°，对角线AC平分∠DAB.请问∠ACD+∠ADC= ▲ °？此时对角线AC是四边形ABCD的“亲子线”吗？请说明理由；
②若，求AD AB的值.
（3）如图3，在（2）的条件下，若∠D=90°，在AD边上取一点E，使，过点E作EF∥CD交AC于点F，得到△AEF，连接CE、BF，在△AEF绕点A旋转的过程中，当CE所在的直线垂直于AF时，请你直接写出BF的长 .
【答案】（1）解：满足条件的点D，如图1即为所求（画出1个即可）；
（2）解：①135；
AC是四边形ABCD的“亲子线”；理由如下：
∵∠DAB=90°，对角线AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠CAB=45°，
∴∠D+∠ACD=180°-∠DAC=135°，
又∵∠DCB=135°=∠DCA+∠ACB，
∴∠D=∠ACB，
∴△DAC∽△CAB，
∴对角线AC是四边形ABCD的“亲子线”；
②∵△DAC∽△CAB
∴
∴
∵
∴
（3）解：或
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理；等腰直角三角形；角平分线的概念；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：（3）BF的长为或，理由如下：
∵∠D=90°，由（2）可知△ADC为等腰直角三角形，
∴
∵EF∥CD，
∴△AEF∽△ADC，且
∴
①延长CE交AF于点H
由题意可得：EH⊥AF
∴，EH=AH=2
∴
∴CE=CH-EH=4
∵∠CAB=∠EAF=45°
∴∠CAE=∠BAF=45°-∠BAE
∵
∴
∴△CAE∽△BAF
∴，即
解得：BF=
②设AF交CE于点G
由题意可得：CE⊥AF
∴
∴
∴CE=CG+EG=8
∵∠CAB=∠EAF=45°
∴∠CAE=∠BAF=45°+∠CAFA
∵
∴
∴△CAE∽△BAF
∴，即
解得：BF=
故答案为：或
【分析】（1）根据“亲子线”定义作图即可.
（2）①根据角平分线定义可得∠DAC=∠CAB=45°，根据三角形内角和定理可得∠D+∠ACD=135°，再根据角之间的关系可得∠D=∠ACB，再根据相似三角形判定定理可得△DAC∽△CAB，再根据“亲子线”定义进行判断即可求出答案.
②根据相似三角形性质可得，代值计算即可求出答案.
（3）根据等腰直角三角形性质可得，根据相似三角形判定定理可得△AEF∽△ADC，则，分情况讨论：①延长CE交AF于点H，根据勾股定理可得CH，再根据边之间的关系可得CE，，再根据相似三角形判定定理可得△CAE∽△BAF，则，代值计算即可求出答案；②设AF交CE于点G，根据勾股定理可得CG，再根据边之间的关系可得CE，，再根据相似三角形判定定理可得△CAE∽△BAF，则，代值计算即可求出答案
1 / 1广东省深圳市福田区侨香外国语学校2025-2026学年九年级上学期开学数学试卷
1．（2025九上·福田开学考）菱形ABCD中，若对角线AC=8cm，BD=6cm，则菱形ABCD的周长是（ ）
A．10 B．20 C．30 D．40
2．（2025九上·福田开学考）在四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC，添加下列条件能使四边形ABCD为菱形的是（ ）
A．AC=BD B．AB=AC C．∠A=∠B D．AC⊥BD
3．（2025九上·福田开学考）如图，测量三角形纸片的尺寸，点B，C分别对应刻度尺上的刻度2和8，D为BC的中点，若∠BAC=90°，则AD的长为（ ）
A．4cm B．3cm C．5cm D．2.5cm
4．（2025九上·福田开学考）如图，在正方形ABCD的外侧作等边三角形CDE，则∠DAE的度数为（ ）
A．20° B．15° C．12.5° D．10°
5．（2025九上·福田开学考）一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A．3， B．3，，5 C．，， D．3，，4
6．（2025九上·福田开学考）如图，在宽为20米，长为32米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使草坪的面积为540平方米，设道路的宽为x米，则下列方程正确的是（ ）
A．32×20-20x-30x=540 B．32×20-20x-30x-x2=540
C．（32-x）（20-x）=540 D．32×20-20x-30x+2x2=540
7．（2025九上·福田开学考）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC＝3：1，连接AE交BD点F，则△DAF与四边形BCEF的面积之比为（ ）
A．3：4 B．9：16 C．12：19 D．9：28
8．（2025九上·福田开学考）如图，有公共顶点的正方形ABCD和正方形BFGE如图摆放，其中点G恰在CD边的四等分点（CG＜DG），连结BD.则DH：BH为（ ）
A．2：3 B．：2 C．2： D．15：17
9．（2025九上·福田开学考）若，则 ．
10．（2025九上·福田开学考）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若AC=6cm，BD=8cm，则菱形ABCD的面积为 cm2.
11．（2025九上·福田开学考）把方程x2-4x-7=0化成（x-n）2=m的形式，则m+n的值是 .
12．（2025九上·福田开学考）如图，把△DEF沿DE平移到△ABC的位置，它们重合部分的面积是△DEF面积的，若AB=6，则△DEF移动的距离AD= .
13．（2025九上·福田开学考）矩形ABCD中，AB=6，AD=12，连结BD，E，F分别在边BC，CD上，连结AE，AF分别交BD于点M，N，若∠EAF=45°，BE=3，则DN的长为 .
14．（2025九上·福田开学考）解下列一元二次方程：
（1）（x-1）2=2；
（2）x2=8x+9；
（3）（x+4）（x-2）=3（x-2）；
（4）2x2-x-5=0.
15．（2025九上·福田开学考）如图，在△ABC中，AB=AC，点D、B、C、E在同一条直线上，且∠D=∠CAE.
（1）求证：△ABD∽△ECA；
（2）若AC=6，CE=4，求BD的长度.
16．（2025九上·福田开学考）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，过D作DE∥AC，DF∥AB分别交AB、AC于点E、F.
（1）求证：四边形AEDF为菱形；
（2）若AC=8，DC=4，连接EF，求EF的长.
17．（2025九上·福田开学考）解决问题：邓州公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔7月份到9月份的销量，该品牌头盔7月份销售500个，9月份销售720个，且从7月份到9月份销售量的月增长率相同．
（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；
（2）若此种头盔的进价为30元/个，经市场预测，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，该品牌头盔的实际售价应定为多少元？
18．（2025九上·福田开学考）阅读材料：对于一元二次方程ax2+bx+c=0（其中a≠0），其两个根x1和x2与系数a、b、c之间存在以下关系：①两根的和：；②两根的积：..这两个关系式被称为一元二次方程的根与系数的关系，也被称为韦达定理（Vieta'sformulas）.
解决问题：
（1）验证关系：给定一元二次方程3x2-5x+1=0，请验证其两个根的和与积是否分别满足和.
（2）应用关系：若一元二次方程的两个根分别为3和-2，且二次项系数为1，请写出这个一元二次方程的一般形式 ；
（3）能力素养：学习了根与系数的关系后，秦老师布置了一道课后思考题，题目是：x1和x2是关于x的方程x2+（2a-1）x+a2=0的两个实数根，且（x1+2）（x2+2）=11，求a的值.
19．（2025九上·福田开学考）请根据以下素材，完成探究任务：
【汽车盲区与行车安全实践】
素材一 汽车盲区是指司机位于正常驾驶位置时，其视线被车体遮挡而不能直接观察到的那部分区域.在汽车行驶时，若行人、非机动车处于汽车盲区内，极易引发交通事故.如图1，某型号小汽车的车头、车尾盲区（可以近似看作矩形），以及两侧后视镜的可见区域.
素材二 如图2，若司机视线高度AB=1.5m，车前盖最高处与地面距离CD=1m，驾驶员与车头水平距离BE=2m，车前盖最高处与车头水平距离DE=0.5m，点M在EF上，ME=0.8m.
素材三 如图3，这辆小汽车在平直的公路上匀速行驶，正后方跟随一辆速度为90km/h的摩托车.若此时小汽车司机紧急刹车，那么摩托车司机也随即刹车，但摩托车司机有一个1.2秒的反应时间.已知小汽车从开始刹车到完全停住的滑行距离为22米，摩托车从开始刹车到完全停住的滑行距离为32米，小汽车车尾盲区为正后方长为5米的矩形区域.
问题解决
任务一 （1）①如图2，求车头盲区EF的长度； ②在M处有一个高度为0.5m的物体，驾驶员能观察到物体吗？请作出判断，并说明理由；
任务二 （2）如图3，在摩托车刹车前，摩托车应与小汽车至少保持 ▲ 米的距离，才不会闯入小汽车的车尾盲区.
20．（2025九上·福田开学考）定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等），我们就把这条对角线叫做这个四边形的“亲子线”.
（1）如图1，△ABC的三个顶点均在正方形网格中的格点上，若四边形ABCD是以AC为“亲子线”的四边形，请只用无刻度的直尺，确定一点D，请你在图1中找出满足条件的点D，并画出这个四边形.保留画图痕迹（找出1个即可）；
（2）①如图2，在四边形ABCD中，∠DAB=90°，∠DCB=135°，对角线AC平分∠DAB.请问∠ACD+∠ADC= ▲ °？此时对角线AC是四边形ABCD的“亲子线”吗？请说明理由；
②若，求AD AB的值.
（3）如图3，在（2）的条件下，若∠D=90°，在AD边上取一点E，使，过点E作EF∥CD交AC于点F，得到△AEF，连接CE、BF，在△AEF绕点A旋转的过程中，当CE所在的直线垂直于AF时，请你直接写出BF的长 .
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：如图
∵四边形ABCD是菱形
∴
∵AC=8cm，BD=6cm，
∴AO=4，BO=3
∴
∴菱形ABCD的周长为5×4=20
故答案为：B
【分析】根据菱形性质可得，则AO=4，BO=3，根据勾股定理可得AB，再根据菱形周长即可求出答案.
2．【答案】D
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】解：∵AB=CD，AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形
∵AC⊥BD
∴平行四边形ABCD是菱形
故答案为：D
【分析】根据菱形判定定理即可求出答案.
3．【答案】B
【知识点】直角三角形斜边上的中线；数轴上两点之间的距离
【解析】【解答】解：由图可得：
BC=8-2=6，BD=5-2=3，CD=8-5=3
∴BD=CD
∴D是BC的中点
∴
故答案为：B
【分析】根据两点间距离可得BC，BD，CD，则BD=CD，再根据直角三角形斜边上的中线性质即可求出答案.
4．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；等边三角形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC＝90°，AD＝DC，
∵△CDE是等边三角形，
∴DE＝DC，∠EDC＝60°，
∴∠ADE＝90°+60°＝150°，AD＝ED，
∴∠DAE＝∠DEA＝（180°﹣∠ADE）＝15°，
故选：B．
【分析】根据正方形性质可得∠ADC＝90°，AD＝DC，再根据等边三角形性质可得DE＝DC，∠EDC＝60°，根据角之间的关系可得∠ADE，再根据三角形内角和定理即可求出答案.
5．【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：一元二次方程方程的二次项系数是，一次项系数、常数项，
故选：C．
【分析】根据一元二次方程二次项系数、一次项系数、常数项的定义，即可得到答案.
6．【答案】C
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设道路的宽为x米，
由题意可得（32-x）（20-x）=540
故答案为：C
【分析】根据题意建立方程即可求出答案.
7．【答案】C
【知识点】三角形的面积；平行四边形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：连接BE，
∵DE：EC=3：1，
∴设DE=3k，EC=k，则CD=4k，，
∵ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD=4k，，
∴△DEF∽△BFA，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
∴四边形BCEF的面积=，
∴△DAF与四边形BCEF的面积之比为：，
故选：C．
【分析】连接BE，设DE=3k，EC=k，则CD=4k，，根据平行四边形性质可得AB∥CD，AB=CD=4k，，再根据相似三角形判定定理可得△DEF∽△BFA，则，再根据三角形面积即可求出答案.
8．【答案】D
【知识点】勾股定理；正方形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：连接BG，设GC=x
∵G恰在CD边的四等分点
∴DG=3x，DC=4x
∵四边形ABCD是正方形
∴∠BDG=45°，∠C=90°，BC=DC=4x
∴，
∵四边形BFGE是正方形
∴∠BGH=45°
∴∠BGH=∠BDG
∴∠DBG=∠GBH
∴△BGH∽△BDG
∴
∴
∴
∴
∴
故答案为：D
【分析】连接BG，设GC=x，由题意可得DG=3x，DC=4x，根据正方形性质可得∠BDG=45°，∠C=90°，BC=DC=4x，再根据勾股定理可得BD，BG，根据角之间的关系可得∠DBG=∠GBH，再根据相似三角形判定定理可得△BGH∽△BDG，则，代值计算可得BH，再根据边之间的关系即可求出答案.
9．【答案】
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：由得到，
∴，可设，，k不等于0，
则．
故答案为：
【分析】根据比例性质即可求出答案.
10．【答案】24
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形
∴菱形ABCD的面积为
故答案为：24
【分析】根据菱形面积即可求出答案.
11．【答案】13
【知识点】配方法的应用
【解析】【解答】解：x2-4x-7=0
∴
∴
∴
∴m=11，n=2
∴m+n=11+2=13
故答案为：13
【分析】根据配方法化简计算即可求出答案.
12．【答案】
【知识点】平移的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：设AC交EF于点H
由平移性质可得，AH∥DF，AD=BE
∴△EAH∽△EDF
∴
∵它们重合部分的面积是△DEF面积的
∴
∴
设AE=3k，DE=4k
∵AB=DE=6
∴4k=6
解得：
∴
故答案为：
【分析】设AC交EF于点H，根据平移性质可得AH∥DF，AD=BE，再根据相似三角形判定定理可得△EAH∽△EDF，则，再根据三角形面积可得，则，设AE=3k，DE=4k，根据边之间的关系建立方程，解方程可得k值，再根据边之间的关系即可求出答案.
13．【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；旋转的性质；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形
∴∠BAD=90°
∴
延长AB至点P，使PB=AB=6，过点P作BC的平行线交DC的延长线于点Q，得正方形APQD
延长AE交PQ于点H，连接HF，将△ADF绕点A顺时针旋转90°，点D于点P重合，得到△APG
∵四边形APQD是正方形
∴AP=PQ=DQ=AD，∠PAD=∠APH=∠Q=∠ADQ=90°
由旋转可得：△APG≌△ADF
∴PG=DF，∠APG=∠ADF=90°，AG=AF，∠PAG=∠DAF
∴∠PAG+∠PAF=∠DAF+∠PAF=∠PAD=90°，即∠GAF=90°
∵∠HAF=45°
∴∠GAH=90°-45°=45°
∴∠GAH=∠FAH=45°
在△AGH和△AFH中
∴△AGH和△AFH(SAS)
∴GH=FH
∵GH=PG+PH=DF+PH
∴FH=DF+PH
设DF=x，则FQ=DQ-DF=12-x
∵AB=BP=6，BE∥PQ
∴AE=EM
∴PH=2BE=6
∴FH=DF+PH=x+6，HQ=PQ-PH=6
在Rt△QFH中，由勾股定理可得：FQ2+HQ2=FH2
∴(12-x)2+62=(x+6)2
解得：x=4
∴DF=4
∵DF∥AB
∴△DFN∽△BAN
∴
∴
故答案为：
【分析】根据勾股定理可得BD，延长AB至点P，使PB=AB=6，过点P作BC的平行线交DC的延长线于点Q，得正方形APQD，延长AE交PQ于点H，连接HF，将△ADF绕点A顺时针旋转90°，点D于点P重合，得到△APG，根据正方形性质可得AP=PQ=DQ=AD，∠PAD=∠APH=∠Q=∠ADQ=90°，再根据旋转性质可得△APG≌△ADF，根据全等三角形性质可得PG=DF，∠APG=∠ADF=90°，AG=AF，∠PAG=∠DAF，再根据角之间的关系可得∠GAH=∠FAH=45°，再根据全等三角形判定定理可得△AGH和△AFH(SAS)，则GH=FH，根据边之间点的关系可得FH=DF+PH，设DF=x，则FQ=DQ-DF=12-x，则FH=DF+PH=x+6，HQ=PQ-PH=6，再根据勾股定理建立方程，解方程可得DF=4，根据相似三角形判定定理可得△DFN∽△BAN，则，再根据边之间的关系即可求出答案.
14．【答案】（1）解：（x-1）2=2
两边开平方可得：
解得：，
（2）解：x2=8x+9
移项可得：x2-8x-9=0
∴(x+1)(x-9)=0
∴x+1=0或x-9=0
解得：x1=-1，x2=9
（3）解：（x+4)(x-2）=3(x-2)
移项可得：(x+4)(x-2)-3(x-2)=0
∴(x+4-3)(x-2)=0
∴x+4-3=0或x-2=0
解得：x1=-1，x2=2
（4）解：2x2-x-5=0
∴
解得：，
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）根据直接开平方法解方程即可求出答案.
（2）根据因式分解法解方程即可求出答案.
（3）根据因式分解法解方程即可求出答案.
（4）根据公式法解方程即可求出答案.
15．【答案】（1）证明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠ABD=∠ACE，
∵∠D=∠CAE．
∴△ABD∽△ECA；
（2）解：∵AB=AC，AC=6，
∴AB=AC=6，
∵△ABD∽△ECA，
∴
∴
∴BD=9
【知识点】相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据等边对等角可得∠ABC=∠ACB，则∠ABD=∠ACE，再根据相似三角形判定定理即可求出答案.
（2）根据边之间的关系可得AB=AC=6，再根据相似三角形性质可得，代值计算即可求出答案.
16．【答案】（1）证明：∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形四边形AEDF为平行四边形，∠BAD=∠FDA，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD=∠CAD，
∴∠FDA=∠CAD，
∴AF=DF，
∴平行四边形AEDF为菱形
（2）解：∵∠C=90°，AC=8，DC=4，
∴AD==4，
由（1）可知，AF=DF，四边形AEDF为菱形，
∴OA=OD=AD=2，OE=OF，AD⊥EF，
设AF=DF=x，则CF=AC-AF=8-x，
在Rt△CDF中，由勾股定理得：DC2+CF2=DF2，
即42+（8-x）2=x2，
解得：x=5，
∴DF=5，
∴OF===，
∴EF=2OF=2，
即EF的长为2．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据平行四边形判定定理可得四边形四边形AEDF为平行四边形，∠BAD=∠FDA，再根据角平分线定义可得∠BAD=∠CAD，则∠FDA=∠CAD，根据等角对等边可得AF=DF，再根据菱形判定定理即可求出答案.
（2）根据勾股定理可得AD，再根据菱形性质可得OA=OD=AD=2，OE=OF，AD⊥EF，设AF=DF=x，则CF=AC-AF=8-x， 根据勾股定理建立方程，解方程可得DF=5，再根据勾股定理即可求出答案.
17．【答案】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x，
依题意，得：500（1+x）2=720，
解得：x1=0.2=20%，x2=-2.2（不合题意，舍去）．
答：该品牌头盔销售量的月增长率为20%．
（2）解：设该品牌头盔的实际售价为y元，
依题意，得：（y-30）[600-10（y-40）]=10000，
整理，得：y2-130y+4000=0，
解得：y1=80（不合题意，舍去），y2=50，
答：该品牌头盔的实际售价应定为50元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（2）设该品牌头盔的实际售价为y元，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
18．【答案】（1）解：满足，3x2-5x+1=0，
∵a=3，b=-5，c=1，
∴Δ=b2-4ac=（-5）2-4×3×1=13＞0，
，
∴，，
，，
则一元二次方程3x2-5x+1=0两个根的和与积满足和；
（2）x2-x-6=0
（3）解：由题意可得：
∵(x1+2)(x2+2)=11
即
∴a2+2(1-2a)-7=0，即a2-4a-5=0
解得：a=-1或a=5
∵
解得：
∴a=-1
【知识点】公式法解一元二次方程；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：（2）设一元二次方程的一般式为x2+bx+c=0
∴
解得：b=-1，c=-6
∴这个一元二次方程的一般形式为x2-x-6=0
故答案为：x2-x-6=0
【分析】（1）根据公式法解方程可得，，再根据实数的加法和乘法代入等式计算，再判断即可求出答案.
（2）设一元二次方程的一般式为x2+bx+c=0，根据韦达定理即可求出答案.
（3）根据韦达定理可得，对方程x1+2)(x2+2)=11去括号化简，再整体代入，解方程可得a的值，再根据二次方程的判别式即可求出答案.
19．【答案】解：任务一①根据题意，AB⊥BF，CD⊥BF，BE=2m，DE=0.5m，
∴AB∥CD，
BD=BE-DE=2-0.5=1.5m，
∴△FCD∽△FAB，
∴，且FB=FD+BD=FD+1.5，
∴，
∴解得：FD=3，
∴EF=FD-DE=3-0.5=2.5m；
②过点M作MN⊥FB交AF于点N，
∴FM=EF-ME=2.5-0.8=1.7m，
FD=3m，
MD=ME+DE=0.8+0.5=1.3m，
∵MN∥CD，
∴△FMN∽△FDC，
∴，
∴MN=≈0.57m，
∵0.57＞0.5，
∴不能观察到物体；
任务二45.
【知识点】相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：任务二：摩托车的速度为
∴摩托车在1.2秒的反应时间里的路程为m
由题意可得：
30+22-22+5=45m
∴摩托车应与小汽车至少保持45米的距离，才不会闯入小汽车的车尾盲区.
故答案为：45
【分析】任务一：①根据直线平行判定定理可得AB∥CD，根据边之间的关系可得BD，根据相似三角形判定定理可得△FCD∽△FAB，则，代值计算可得FD，再根据边之间的关系即可求出答案.
②过点M作MN⊥FB交AF于点N，根据边之间的关系可得FM，MD，根据相似三角形判定定理可得△FMN∽△FDC，则，代值计算可得MN，再比较大小即可求出答案.
任务二：求出摩托车在1.2秒的反应时间里的路程，再根据题意列式计算即可求出答案.
20．【答案】（1）解：满足条件的点D，如图1即为所求（画出1个即可）；
（2）解：①135；
AC是四边形ABCD的“亲子线”；理由如下：
∵∠DAB=90°，对角线AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠CAB=45°，
∴∠D+∠ACD=180°-∠DAC=135°，
又∵∠DCB=135°=∠DCA+∠ACB，
∴∠D=∠ACB，
∴△DAC∽△CAB，
∴对角线AC是四边形ABCD的“亲子线”；
②∵△DAC∽△CAB
∴
∴
∵
∴
（3）解：或
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理；等腰直角三角形；角平分线的概念；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：（3）BF的长为或，理由如下：
∵∠D=90°，由（2）可知△ADC为等腰直角三角形，
∴
∵EF∥CD，
∴△AEF∽△ADC，且
∴
①延长CE交AF于点H
由题意可得：EH⊥AF
∴，EH=AH=2
∴
∴CE=CH-EH=4
∵∠CAB=∠EAF=45°
∴∠CAE=∠BAF=45°-∠BAE
∵
∴
∴△CAE∽△BAF
∴，即
解得：BF=
②设AF交CE于点G
由题意可得：CE⊥AF
∴
∴
∴CE=CG+EG=8
∵∠CAB=∠EAF=45°
∴∠CAE=∠BAF=45°+∠CAFA
∵
∴
∴△CAE∽△BAF
∴，即
解得：BF=
故答案为：或
【分析】（1）根据“亲子线”定义作图即可.
（2）①根据角平分线定义可得∠DAC=∠CAB=45°，根据三角形内角和定理可得∠D+∠ACD=135°，再根据角之间的关系可得∠D=∠ACB，再根据相似三角形判定定理可得△DAC∽△CAB，再根据“亲子线”定义进行判断即可求出答案.
②根据相似三角形性质可得，代值计算即可求出答案.
（3）根据等腰直角三角形性质可得，根据相似三角形判定定理可得△AEF∽△ADC，则，分情况讨论：①延长CE交AF于点H，根据勾股定理可得CH，再根据边之间的关系可得CE，，再根据相似三角形判定定理可得△CAE∽△BAF，则，代值计算即可求出答案；②设AF交CE于点G，根据勾股定理可得CG，再根据边之间的关系可得CE，，再根据相似三角形判定定理可得△CAE∽△BAF，则，代值计算即可求出答案
1 / 1
