【广东卷】备战2026年中考数学真题变式阶梯训练第19~20题
一、原题19
1．（2025·广东） 如图， CD是 斜边AB上的中线，过点A，C分别作 CE∥AB， AE与CE相交于点E.现有以下命题：
命题1：若连接BE交CA于点F，则.
命题2：若连接ED，则ED ⊥AC
命题3：若连接ED，则.
任选两个命题，先判断真假，再证明成举反例.
二、变式1基础
2．（2025九上·榆树开学考）如图，在 ABCD中，E、F是BD上的两点且BE＝DF，连结AE、CF．求证：∠AED＝∠CFB．
3．（2023八下·莆田期末）已知：如图，平行四边形ABCD中，E、F分别是边BC和AD上的点，且BE=DF，求证：AE=CF
4．（2025八下·江海期末）如图，在 ABCD中，点E、F在BD上，且DE＝BF，求证：∠AED＝∠CFB．
三、变式2巩固
5．（2022·蓝田模拟）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，且AC=BD，请你从①AC⊥BD、②AB=BC、③BD平分∠ABC中任选一个作为添加条件，另两个中的一个作为结论，组成一个真命题，并证明.
（1）添加条件： ，结论： ；（填序号）
（2）根据你所选择的条件和结论，写出证明过程.
6．（2024八下·长沙期末）思思同学在平时的数学学习中喜欢钻研和思考问题，他想要证明命题“被一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形”是真命题，于是她先作了如图所示的四边形，并写出了不完整的已知和求证．
已知：如图，在平行四边形中，连接， 平分．求证：四边形是 ．
（1）填空，补全已知和求证；
（2）按思思同学的想法完成证明过程．
7．（2016·茂名）某同学要证明命题“平行四边形的对边相等．”是正确的，他画出了图形，并写出了如下已知和不完整的求证．
已知：如图，四边形ABCD是平行四边形．
求证：AB=CD，
（1）补全求证部分；
（2）请你写出证明过程．
四、变式3提高
8．（2025八下·成华期末）数学综合与实践小组同学对北师大版八年级下册数学教材第160页第21题进行了深入研究.如图，已知线段AB=3，以点B为端点作射线BM，使∠ABM=60°，C为射线BM上一动点，满足CB>3，以AB，CB为邻边作平行四边形ABCD，连接AC，再将△ABC沿AC所在直线折叠，点B的对应点为B'，B'C交AD于点E，连接BD.
（1）求证：B'E=DE：
（2）当B'D=AD时，求∠BAC的度数；
（3）当△AB'D为直角三角形时，请直接写出平行四边形ABCD的面积.
9．（2025九上·宝安开学考）阅读与理解：
我们曾做过“折纸与证明”的数学活动.折纸，即构造轴对称，常能为我们提供解决问题的思路和方法，例如，在△ABC中，AB＞AC（如图），怎样证明∠C＞∠B呢？分析：把AC沿∠A的角平分线翻折，因为AB＞AC，所以点C落在AB上的点C'处；即AC=AC'，据以上操作，易证明△ACD≌△AC'D，所以∠AC'D=∠C，一又因为∠AC'D＞∠B，所以∠C＞∠B.
【感悟与应用】
（1）如图（a），在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AD平分∠CAB，试判断CD和BD之间的数量关系，并说明理由；
（2）如图（b），在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，AC=25，AD=12，DC=BC=17，求AB的长.
（3）【拓展提高】
如图（c），在四边形ABDF中，∠B=∠F=90°，∠BCA=∠AEF，∠D-∠BAC=90°，若CD=4，AC=5，AE=6，求四边形ABDF的边DE的长.
10．（2025八下·杭州期中）如图，平行四边形中，为边上的一个动点不与、重合，过点作直线的垂线，垂足为与的延长线相交于点．
（1）若为中点，求证：．
（2）若，当点在线段上运动时，的长度是否改变，若不变，求；若改变，请说明理由
（3）在(2)的条件下，为直线上的一点，设，若、、、四点构成平行四边形，请用含x的代数式表示．
五、原题20
11．（2025·广东） 2025年2月，广东省教育厅发布《关于保障中小学生每天综合体育活动时间不低于两小时的通知》.某校为更好地落实文件精神并了解学生参加体育活动的情况，随机抽取部分学生进行问卷调查，并对所得数据进行处理.部分信息如下：
调查问卷 整理与描述
1.你每天参加体育活动(含体育课)的时间(单位：小时)( )(单选) A. 0.5≤x＜ 1 B.l≤x＜1.5 C. 1.5≤x＜2 D. x≥2 每天参加体育活动(合体育课)的时间统计图
2.随着体育活动时间的延长，学校拟增设体育活动项目，你希望增设的活动项目有( )(可多选) E.球类 F.田径类 G.体操类 E.水上类 希望增设的活动项目统计表
活动项目 球类 田径类 体操类 水上类
百分比 72% 23% 40% 46%
根据以上信息，解答下列问题：
（1）求参与这次问卷调查的学生人数.
（2）估计该校1000名学生中每天参加体育活动时间不低于两小时的学生人数.
（3）基于上述两项调查的数据，提炼出一条信息，并向学校提出相应的建议.
六、变式1（基础）
12．（2025·浙江二模）某市在九年级“线上教学”结束后，为了解学生的视力情况，抽查了部分学生进行视力检测，根据检测结果，制成下面不完整的统计图表.
被抽样的学生视力情况频数表
组别 视力段 频数
A 5.1≤x≤5.3 25
B 4.8≤x≤5.0 115
C 4.4≤x≤4.7 m
D 4.0≤x≤4.3 52
（1）求m的值和组别A的圆心角度数.
（2）如果视力值4.8及以上属于“视力良好”，请估计该市25000名九年级学生达到“视力良好”的人数，根据上述图表信息，你对视力保护有什么建议？
13．（2024八下·广平月考）某校开展“每天阅读一小时”活动，根据学校实际情况，有以下四类读物供学生选择（每位学生必选一项）：A：科普类，B：艺术类，C：文学类，D：其他类．为了解学生最喜欢哪一类读物，随机抽取了部分学生进行调查，将调查结果制成了如图所示的两幅不完整的统计图，且已知条形图中有一处错误．
（1）指出条形图中的错误，并求被调查的学生中选择“文学类”读物的人数；
（2）该学校计划订购3600册上述四类读物，根据学生爱好，为满足学生需求，学校大约要订购多少本“艺术类”读物
14．（2024·双流模拟） 2024年成都世界园艺博览会开幕在即，本届世园会将紧密围绕“公园城市，美好人居”的办会主题，坚持绿色低碳、节约持续、共享包容的理念，打造一届“时代特征、国际水平、中国元素、成都特色”的盛会．首次采取“1个主会场＋4个分会场”模式，主会场所在地成都东部新区，集中呈现未来公园城市形态，成都市温江区、郫都区、新津区、邛崃市四个分会场分别突出川派盆景、花卉产业、农艺博览、生物多样性等特色，演绎人与自然和谐共生的生动图景．某旅游公司为了解游客对A（新津区）、B（温江区）、C（郫都区）、D（邛崃市）四个分会场的游览意向，在网上进行了调查，并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图．
请根据统计图信息，解答下列问题：
（1）这次被调查的总人数有 万人，并将条形统计图补充完整；
（2）世园会执委会面向全市中小学生招募了一批“世园小记者”，届时会随机安排每位小记者去一个分会场进行采访，小颖和小明都被选中成为小记者，请用列表或画树状图的方法求出他们被安排往同一个分会场进行采访的概率．
七、变式2（巩固）
15．（2025八下·越城期末）某同学进行社会调查，随机抽查了某小区的40户住户的年收入(万元)情况，并绘制了如图不完整的频数直方图（每组包括前一个边界值，不包括后一个边界值).
（1）求出年收入在“28-32”段的户数，并写出年收入的中位数落在哪一个收入段内
（2）如果每一组年收入均以最低计算，这40户住户的年平均收入至少为多少万元
（3）如果该小区有2000户住户，请你估计该小区有多少住户的年收入不低于28万元
16．（2025·吴兴二模）睡眠状况对青少年的成长影响很大，为此，某校在随机选取的部分学生中开展了一次问卷调查活动，并制成以下尚不完整的统计图：
调査问卷 你每天的睡眠时长大约（ ） A.少于8h B.8～9h（不舍9h） C.9~10h（不含10h） D.不少于10h
（1）求参加问卷调查的人数和m的值；
（2）补全条形统计图；
（3）若该校有1000名学生，估计该校每天睡眠时长少于8h的学生约为多少人？
17．（2025·自贡）某校七年级拟组建球类课外活动兴趣班，为了解同学们的参与意向，学生会进行了随机问卷调查，要求被调查的同学在足球、篮球、乒乓球、羽毛球中任选一项．以下是依据调查数据，正在绘制中的统计图和统计表，请根据相关信息解答下列问题，
选择球类兴趣班人数条形统计图
选择球类兴趣班人数占比统计表
粗脚 球类活动兴趣班 占调查总人数百分比
A 足球 10%
B 篮球
C 乒乓球
D 羽毛球
（1）请补全上述条形统计图和占比统计表，若用扇形统计图反映选择球类活动兴趣班的人数占比，则篮球兴趣班的扇形圆心角为 ▲ 度；
（2）估计该校七年级400名学生中，选择乒乓球兴趣班的人数；
（3）若用电脑随机选择A，B，C，D四类兴趣班，请用列表或画树状图的方法，求该校七年级甲、乙两名同学都选择乒乓球兴趣班的概率
八、变式3（提高）
18．某学校为了增强学生体质，决定开设以下体育课外活动项目：篮球、羽毛球、乒乓球、踢毽子、跳绳.为了解学生对这 5 项体育活动的喜欢程度，随机抽取了部分学生进行调查(每人只选一项)，并将统计数据绘制成两幅不完整的统计图：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）这50次抽样调查的样本容量是 .
（2）将条形统计图补充完整，m= ▲ .
（3）羽毛球所对应扇形的圆心角的大小是多少
（4）若全校有1200名学生，估计全校喜欢篮球和乒乓球的学生共有多少名
19．（2025九上·萧山开学考）为了解学生零花钱的使用情况，校团委随机调查了本校部分学生每人一周的零花钱数额，并绘制了如图所示的两个统计图（部分未完成）。请根据图中信息，回答下列问题：
（1）校团委随机调查了 ▲ 名学生，并请你补全条形统计图：
（2）被调查的部分学生一周零花钱的平均数是 元，众数是 元.
（3）“50元”所在扇形的圆心角的度数为 .
（4）为捐助贫困山区希望小学，全校1000名学生每人自发地捐出一周零花钱，请估算全校学生共捐款多少元
20．（2025八下·惠来期末） 为了了解某市某校学生对以下四个电视节目：A《中国诗词大会》、B《最强大脑》、C《朗读者》、D《出彩中国人》的喜爱情况，随机抽取了部分学生进行调查，要求每名学生选出并且只能选出一个自己最喜爱的节目，根据调查结果，绘制了如下两幅不完整的统计图.
请你根据图中所提供的信息，完成下列问题：
（1） 本次调查的学生人数为 ；
（2） 在扇形统计图中，A部分所占圆心角的度数为 ；
（3） 请将条形统计图补充完整；
（4） 若该校共有2000名学生，估计该校最爱《最强大脑》的学生有多少人？
答案解析部分
1．【答案】解：命题1：真命题
证明：∵CD 为Rt△ABC斜边上的中线
∵AE∥CD， CE∥AD
∴四边形ADCE 是平行四边形
∵CE∥AB
∴△ABF∽△CEF
即
命题2：真命题
同命题1，可证得四边形 ADCE是平行四边形，且AD=CD
∴四边形ADCE 是菱形
∴DE⊥AC
命题3：真命题
同命题1可证得CE∥BD 且CE = BD
∴四边形BCED 是平行四边形
∴ED=BC
【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的判定；菱形的判定；直角三角形斜边上的中线；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【分析】命题1：因为CD是 斜边AB上的中线，可得AD=BD=CD=AB；由AE∥CD， CE∥AD可得四边形ADCE为平行四边形，即有CE=AD=AB；
进一步得到△ABF∽△CEF；可得， 。
命题2：由四边形AECD是菱形（已证AE∥DC，CE∥AB且CD = AD ），菱形的对角线互相垂直，所以ED⊥AC。
命题3：因为四边形AECD是平行四边形，所以AE = CD，又CD = BD（直角三角形斜边中线等于斜边一半 ），且CE平行AB，AE∥CD，所以四边形EBCD是平行四边形（两组对边分别平行 ）。 根据平行四边形对边相等，可得ED=BC。
2．【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝CB，AD∥CB，
∴∠ADE＝∠CBF，
∵BE＝DF，
∴DF+EF＝BE+EF，
∴DE＝BF，
在△ADE和△CBF中，
，
∴△ADE≌△CBF（SAS），
∴∠AED＝∠BFC．
【知识点】三角形全等及其性质；平行四边形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】首先利用平行四边形的对边相等、平行性质，结合已知条件BE=DF，推导出DE=BF，进而通过三角形全等（SAS）证明对应角相等.
3．【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，∠B=∠D，
又∵BE=DF，
∴△ABE≌△CDF，
∴AE=CF.
【知识点】三角形全等及其性质；平行四边形的性质
【解析】【分析】根据平行四边形的性质和已知条件可以证明△ABE≌△CDF，再利用全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，即可得到AE=CF．
4．【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴∠ADE＝∠CBF，
在△ADE和△CBF中，
，
∴△ADE≌△CBF（SAS），
∴∠AED＝∠CFB．
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定-SAS；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】由平行四边形ABCD，根据平行四边形对边平行且相等，以及“两直线平行，内错角相等”，推出∠ADE＝∠CBF，用SAS证得ADE△CBF后，根据全等三角形对应角相等，得出∠AED＝∠CFB，完成证明。
5．【答案】（1）②；①③
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，且AC=BD，
∴四边形ABCD是矩形，
又∵AB=BC，
∴矩形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，BD平分∠ABC.
【知识点】平行四边形的性质；正方形的判定与性质
【解析】【解答】解：(1)添加条件：AB=BC，结论：AC⊥BD，BD平分∠ABC；
故答案为：②，①③；
【分析】（1）添加条件：AB=BC，结论：AC⊥BD，BD平分∠ABC；
（2）根据对角线相等的平行四边形是矩形得到四边形ABCD是矩形，进而根据一组邻边相等的矩形是正方形得到矩形ABCD是正方形，最后根据正方形的对角线互相垂直，且每条对角线平分一组对角即可得出结论.
6．【答案】（1），菱形
（2）解：∵平行四边形，∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴平行四边形是菱形．
【知识点】平行四边形的性质；菱形的判定
【解析】【解答】（1）解：补全已知和求证如下：
已知：如图，在平行四边形中，连接，平分．求证：四边形是菱形；
故答案为：，菱形；
【分析】（1）根据已知条件，要证明三角形ABD和三角形DBC全等，需要添加一个角相等，据此，可根据平行四边形对角线的性质，添加条件和求证即可
（2）因为ABCD是平行四边形，所以，AD//BC，AB//CD，利用平行线的性质：两直线平行，内错角相等，然后再利用BD=BD，证明三角形ABD和三角形DBC全等，进而得出平行四边形的一组邻边相等，最后再根据菱形的判定定理：一组对边相等的平行四边形是菱形，即可证明
（1）解：补全已知和求证如下：
已知：如图，在平行四边形中，连接，平分．求证：四边形是菱形；
故答案为：，菱形；
（2）∵平行四边形，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴平行四边形是菱形．
7．【答案】（1）BC=DA
（2）证明：连接AC，如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴∠BAC=∠DCA，∠BCA=∠DAC，
在△ABC和△CDA中， ，
∴△ABC≌△CDA（ASA），
∴AB=CD，BC=DA；
故答案为：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴∠BAC=∠DCA，∠BCA=∠DAC，
在△ABC和△CDA中， ，
∴△ABC≌△CDA（ASA），
∴AB=CD，BC=DA．
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】（1）已知：如图，四边形ABCD是平行四边形．
求证：AB=CD，BC=DA；
故答案为：BC=DA；
【分析】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形对边平行的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
8．【答案】（1）证明：如图
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴，，
∴沿 AC 所在直线将 折叠，
∴，，
∴，，
在 和 中，
∴ (AAS)，
∴
（2）解：设，
∵ 在平行四边形 ABCD 中 ，
∴，
∴，
∵ 沿 AC 所在直线将 折叠，
∴，
∴，
由（1）知 ，
∴，
∴，
∴，
由（1）知 ，
∴，
∴，
∴，
，
当 时， ，
∴60+x=120－2x，
解得x=20°，
∴∠BAC＝100°
（3）解：如图1，当∠AB'D=90°时，
由（1）得，B'E=DE，
可推出AE=B'E，则B'E为AD边上的中线，
由折叠知∠B=∠AB'E=60°，
∴△AB'E为正三角形，
∴AD=2AE=2AB'=6，∠B'AE=60°，
由（2），易证四边形AB'DC为矩形，
∴AC=B'D=，
ABCD的面积=AB·AC=；
如图2，当∠B'AD=90°时，
∠B=∠AB'E=60°，
∴ED=B'E=2B'A=6，AE=，
过A作AM⊥BC，
∵AB=3，∠B=60°，
∴AM=，
ABCD的面积=AD·AM=；
综上，平行四边形ABCD的面积是或
【知识点】平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）利用AAS证明即可；
（2）设∠5=x，则，可推出，从而，解得x=20，得到∠BAC度数；
（3）由题，可分为∠AB'D=90°和∠B'AD=90°两种情况进行讨论，当∠AB'D=90°，可推得△AB'E为正三角形，从而得∠B'AD=60°，由此可得B'D即AC的长度，即可表示面积；当∠B'AD=90°时，作AM⊥BC，在Rt△ABM和Rt△B'AE中，利用60°角可求得AM和AE的长，从而得到AD和AM长，进而表示面积.
9．【答案】（1）解：BD=2CD，理由如下：
如图，
在中，，
∴，
∵ AD平分，
∴，
∴即.
∵，
∴，
∴，
∴.
（2）解：如图，
在上截取，连接，
∵ AC平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴是等腰三角形.
过Ｃ作于Ｈ，则，
设，则，
在和中，
∵
∴解得，
∴ BＧ=16.
∴ AB=AE+BE=12+16=28.
∴AB的长为28.
（3）解：如图，
把沿AB折叠，使点Ｃ落在Ｍ处，把沿AF折叠，使点E落在N处，则，，
∴，，，，，，，
，
∵，
∴，.
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，即，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∴=1，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴ DE的长为.
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定；勾股定理；平行四边形的性质；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）在中，根据内角和定理得，再根据角平分线性质得，即可得，根据得，进一步可得.
（2）在上截取，连接，可证明，进而证明是等腰三角形，过Ｃ作于Ｈ，则，设，则，根据勾股定理得，可列方程解出即可.
（3）把沿AB折叠，使点Ｃ落在Ｍ处，把沿AF折叠，使点E落在N处，则，，可得，，，，，，，，
根据条件可证明，进一步可得，，，即可得四边形是平行四边形，进而得，，便可得=1，根据勾股定理得，再根据等面积法得，解得，根据勾股定理得，即可得答案.
10．【答案】（1）证明：四边形ABCD是平行四边形
是BC中点
（2）答：F的长度不变，，理由如下：
如图所示，过点C作，垂足为H.
四边形CHFG是矩形
中：
即A、H两点重合，FG总等于对角线AC
（3）解：过点B作，垂足为K，如图1所示，
四边形ABEH是平行四边形
如图2所示，
综上所述，BH等于或
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）利用平行四边形的性质结合中点的概念可证明，再利用全等的性质即可；
（2）作AB上的高CH，则可证四边形CHFG是矩形，则FG总等于CH，由于平行四边形ABCD中，则，则BH可求，再用勾股定理求得CH，则FG等于CH；
（3）先利用平行四边形的性质求出AH的长，再过点B作AD上的高BK，利用直角三角形中30度角所对的直角边等于斜边的一半可求得AK、再利用勾股定理求出BK，再分类讨论，当点H在AD上或点H在DA的延长线上，分别利用勾股定理计算即可.
11．【答案】（1）解：35+44+46+75=200(人)
参与这次问卷调查的学生人数是 200 人.
（2）解：
估计人数为375人.
（3）解：信息：调查显示只有37.5%的学生体育活动时间在2小时以上，占比较少，
建议：因此可适当增加体育运动的时间；
信息：由于希望增设球类运动的占比达到了 72%，
建议：学校可增设球类运动，如足球、篮球、排球、乒乓球等球类运动.
【知识点】用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图
【解析】【分析】：（1）由图示条形图信息可得总人数为35+44+46+75=200人。
（2）由图可知200人中有75人每天参加体育活动时间不低于两小时，所以1000名学生中每天参加体育活动时间不低于两小时的学生有1000×=375人。
（3）信息：调查显示只有37.5%的学生体育活动时间在2小时以上，占比较少，
建议：因此可适当增加体育运动的时间；
信息：由于希望增设球类运动的占比达到了 72%，
建议：学校可增设球类运动，如足球、篮球、排球、乒乓球等球类运动.
信息提炼结合数据，建议围绕数据反映的需求和问题提出，合理即可。
12．【答案】（1）解：本次抽查的人数为：115÷23%=500，m=500×61.6%=308，
组别A的圆心角度数是：360°×25÷500=18°；
（2）解：25000×140÷500=7000（人)
建议：比如同学们应少玩电子产品，注意用眼保护（建议答案不唯一，合理即可）
【知识点】用样本估计总体；频数（率）分布表；扇形统计图
【解析】【分析】(1)根据统计图中的数据，可以得到本次抽查的人数，从而可以得到m的值；根据m的结果和频数分布表，可以得到组别A的圆心角度数；
(2)根据统计图中的数据，可以得到该市25000名九年级学生达到“视力良好”的人数，并提出合理化建议，建议答案不唯一，只要对保护眼睛好即可.
13．【答案】（1）解：条形图中“D”的人数错误，应该是5；
被调查的学生中选择“文学类”读物的人数是（人）
（2）解：，即学校大约要订购1350本“艺术类”读物．
【知识点】用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图
【解析】【解答】（1）（人），
条形图中“D”的人数为（人），
被调查的学生中选择“文学类”读物的人数是（人）
【分析】（1）先求得总人数，进而求得条形图中“D”的人数，进一步求得被调查的学生中选择“文学类”读物的人数，即可求解；
（2）利用样本估计总体即可求解.
14．【答案】（1）120补全统计图如所示：
（2）解：根据题意，列表如下：
A B C D
A
B
C
D
共有16种等可能的结果，其中小颖和小明被派往同一个分会场的结果数为4，所以他们被安排往同一个分会场进行采访的概率为．
【知识点】用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：（1）总人数为（万人），补全统计图如所示，
【分析】（1）根据B（温江区） 的人数与所占的百分比即可求得总人数补全统计图即可求解；
（2）先列出表格得到共有16种等可能的结果，其中小颖和小明被派往同一个分会场的结果数为4种，利用概率公式即可求解.
15．【答案】（1）解：年收入在“28-32”段的户数为
40-(4+4+6+12+4)=10(户)，
年收入的中位数是第20、21个数据的平均数，而这2个数据均落在“24-28”段，
所以年收入的中位数落在“24-28”收入段内
（2）解：这40户家庭的年平均收入至少为
(万元)
即这40户家庭的年平均收入至少为21.2万元
（3）解：由题意可得，（户）
答：估计该小区有700户住户的年收入不低于28万元
【知识点】用样本估计总体；频数（率）分布直方图；条形统计图；中位数
【解析】【分析】(1)根据小区的40户家庭，可以求得26至30万元收入的住户，根据中位数的定义，可以根据条形统计图得到中位数在什么位置；
(2)根据条形统计图可以得到这40户家庭的年平均收入至少为多少万元；
(3)根据条形统计图可以求得该小区有多少家庭的年收入不低于28万元.
16．【答案】（1）解：参加问卷调查的人数为16÷40%=40人
B选项的人数为：40-4-16-6=14人
∴
∴m=35
（2）解：如图所示.
（3）解：人
∴该校每天睡眠时长少于8h的学生约为100人
【知识点】用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）根据C选项的人数与所占比即可求出总人数；再求出B选项人数，求出其占比即可得m值.
（2）补全图形即可.
（3）根据总人数乘以少于8小时人数占比即可求出答案.
17．【答案】（1）解：由条形统计图可知各球类兴趣班人数占比，设总人数为：
足球：4人，占比10%，得4÷n=10%，解得n=40．
补全条形统计图如图所示：
B组人数占调查总人数百分比为10÷40×100%=25%，
C组人数占调查总人数百分比为14÷40×100%=35%，
D组人数占调查总人数百分比为12÷40×100%=30%，
若用扇形统计图反映选择球类活动兴趣班的人数占比，则篮球兴趣班的扇形圆心角为360°×25%=90°
将以上数据填入条形统计图和占比统计表中：
组别 球类活动兴趣班 占调查总人数百分比
A 足球 10%
B 篮球 25%
C 乒乓球 35%
D 羽毛球 30%
（2）解：估计该校七年级400名学生中选择乒乓球兴趣班的人数：
人．
（3）解：用列表法求该校七年级甲、乙两名同学都选择乒乓球兴趣班的概率：
所有可能组合为（A，A），（A，B），（A，C），（A，D），（B，A），（B，B），（B，C），（B，D），（C，A），，共16种．
其中该校七年级甲、乙两名同学都选择乒乓球兴趣班的情况有1种，
∴该校七年级甲、乙两名同学都选择乒乓球兴趣班的概率为.
【知识点】用样本估计总体；统计表；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【分析】(1)先求出本次调查的总人数，即可计算出D组的人数，从而即可补全条形统计图，分别求出B组、C组、D组人数占调查总人数百分比，即可补全选择球类兴趣班人数占比统计表，用360°乘以篮球兴趣班人数所占比例即可得解；
(2)用400乘以选择乒乓球兴趣班的人数所占的比例即可得解；
(3)列表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可.
18．【答案】（1）50
（2）20
（3）解：羽毛球所对应扇形的圆心角的大小是：，
答：羽毛球所对应扇形的圆心角的大小是122.4°
（4）解：根据题意得：
(名)
答：估计全校喜欢篮球和兵乓球的共有528名学生
【知识点】用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图
【解析】【解答】解：(1)这次抽样调查的样本容量是7÷14%=50，
故答案为：50.
(2)喜欢乒乓球的人数有：50-12-17-7-4=10(名)，
补全统计图如下：
∵，
∴m=20，
故答案为：20.
【分析】(1)根据踢键子的人数和所占的百分比即可得出答案；
(2)用总人数减去其他项目的人数，求出乒乓球的人数，从而补全统计图；用乒乓球的人数除以总人数即可得出m的值；
(3)用360°乘以羽毛球所占的百分比即可得出答案；
(4)利用样本估计总体的方法，即可求得答案.
19．【答案】（1）40
（2）32.5；30
（3）36°
（4）解：32.5×1000=32500(元)
∴全校学生共捐款约32500元。
【知识点】总体、个体、样本、样本容量；用样本估计总体；扇形统计图；平均数及其计算；众数
【解析】【解答】解：(1)10÷25%=40(人)；
40-18-10-4=8(人)
补全条形统计图如下：
(2)(20×8+30×18+40×10+50×4)÷40
=1300÷40
=32.5(元)
这组数据中，频数最多的是30元，因此众数为30元。
(3)
【分析】(1)结合两个统计图看，用40元这一组的频数除以对应的百分比即可求出样本容量；
(2)这里需要用到加权平均数的计算公式：，根据众数的概念可知这组数据的众数为30；
(3)先求出零花钱为50元的学生人数占到样本容量的比例，再用这个比例乘以360°就是对应扇形的圆心角度数；
(4)既然样本平均数为32.5元，那么我们可以认为总体平均数也是32.5，用平均数乘以总人数1000即可。
20．【答案】（1）120
（2）54°
（3）解：C的人数为：（人），将条形统计图补充完整如图所示：
（4）解：由题意可得： （人）
估计该校最喜爱《最强大脑》的学生有1100人.
【知识点】用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图
【解析】【解答】解：（1）66÷55%=120（人），
即本次调查的学生人数为120人，
故答案为：120；
（2），
即在扇形统计图中，A部分所占圆心角的度数为54°，
故答案为：54°.
【分析】（1）根据调查总人数=选择B的人数÷B部分的百分比计算求解即可；
（2）根据选择A的人数和调查总人数，结合题意，计算求解即可；
（3）根据题意先求出选项C的人数为30人，再补充条形统计图即可；
（4）根据该校共有2000名学生，求出（人）即可作答.
1 / 1【广东卷】备战2026年中考数学真题变式阶梯训练第19~20题
一、原题19
1．（2025·广东） 如图， CD是 斜边AB上的中线，过点A，C分别作 CE∥AB， AE与CE相交于点E.现有以下命题：
命题1：若连接BE交CA于点F，则.
命题2：若连接ED，则ED ⊥AC
命题3：若连接ED，则.
任选两个命题，先判断真假，再证明成举反例.
【答案】解：命题1：真命题
证明：∵CD 为Rt△ABC斜边上的中线
∵AE∥CD， CE∥AD
∴四边形ADCE 是平行四边形
∵CE∥AB
∴△ABF∽△CEF
即
命题2：真命题
同命题1，可证得四边形 ADCE是平行四边形，且AD=CD
∴四边形ADCE 是菱形
∴DE⊥AC
命题3：真命题
同命题1可证得CE∥BD 且CE = BD
∴四边形BCED 是平行四边形
∴ED=BC
【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的判定；菱形的判定；直角三角形斜边上的中线；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【分析】命题1：因为CD是 斜边AB上的中线，可得AD=BD=CD=AB；由AE∥CD， CE∥AD可得四边形ADCE为平行四边形，即有CE=AD=AB；
进一步得到△ABF∽△CEF；可得， 。
命题2：由四边形AECD是菱形（已证AE∥DC，CE∥AB且CD = AD ），菱形的对角线互相垂直，所以ED⊥AC。
命题3：因为四边形AECD是平行四边形，所以AE = CD，又CD = BD（直角三角形斜边中线等于斜边一半 ），且CE平行AB，AE∥CD，所以四边形EBCD是平行四边形（两组对边分别平行 ）。 根据平行四边形对边相等，可得ED=BC。
二、变式1基础
2．（2025九上·榆树开学考）如图，在 ABCD中，E、F是BD上的两点且BE＝DF，连结AE、CF．求证：∠AED＝∠CFB．
【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝CB，AD∥CB，
∴∠ADE＝∠CBF，
∵BE＝DF，
∴DF+EF＝BE+EF，
∴DE＝BF，
在△ADE和△CBF中，
，
∴△ADE≌△CBF（SAS），
∴∠AED＝∠BFC．
【知识点】三角形全等及其性质；平行四边形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】首先利用平行四边形的对边相等、平行性质，结合已知条件BE=DF，推导出DE=BF，进而通过三角形全等（SAS）证明对应角相等.
3．（2023八下·莆田期末）已知：如图，平行四边形ABCD中，E、F分别是边BC和AD上的点，且BE=DF，求证：AE=CF
【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，∠B=∠D，
又∵BE=DF，
∴△ABE≌△CDF，
∴AE=CF.
【知识点】三角形全等及其性质；平行四边形的性质
【解析】【分析】根据平行四边形的性质和已知条件可以证明△ABE≌△CDF，再利用全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，即可得到AE=CF．
4．（2025八下·江海期末）如图，在 ABCD中，点E、F在BD上，且DE＝BF，求证：∠AED＝∠CFB．
【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴∠ADE＝∠CBF，
在△ADE和△CBF中，
，
∴△ADE≌△CBF（SAS），
∴∠AED＝∠CFB．
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定-SAS；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】由平行四边形ABCD，根据平行四边形对边平行且相等，以及“两直线平行，内错角相等”，推出∠ADE＝∠CBF，用SAS证得ADE△CBF后，根据全等三角形对应角相等，得出∠AED＝∠CFB，完成证明。
三、变式2巩固
5．（2022·蓝田模拟）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，且AC=BD，请你从①AC⊥BD、②AB=BC、③BD平分∠ABC中任选一个作为添加条件，另两个中的一个作为结论，组成一个真命题，并证明.
（1）添加条件： ，结论： ；（填序号）
（2）根据你所选择的条件和结论，写出证明过程.
【答案】（1）②；①③
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，且AC=BD，
∴四边形ABCD是矩形，
又∵AB=BC，
∴矩形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，BD平分∠ABC.
【知识点】平行四边形的性质；正方形的判定与性质
【解析】【解答】解：(1)添加条件：AB=BC，结论：AC⊥BD，BD平分∠ABC；
故答案为：②，①③；
【分析】（1）添加条件：AB=BC，结论：AC⊥BD，BD平分∠ABC；
（2）根据对角线相等的平行四边形是矩形得到四边形ABCD是矩形，进而根据一组邻边相等的矩形是正方形得到矩形ABCD是正方形，最后根据正方形的对角线互相垂直，且每条对角线平分一组对角即可得出结论.
6．（2024八下·长沙期末）思思同学在平时的数学学习中喜欢钻研和思考问题，他想要证明命题“被一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形”是真命题，于是她先作了如图所示的四边形，并写出了不完整的已知和求证．
已知：如图，在平行四边形中，连接， 平分．求证：四边形是 ．
（1）填空，补全已知和求证；
（2）按思思同学的想法完成证明过程．
【答案】（1），菱形
（2）解：∵平行四边形，∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴平行四边形是菱形．
【知识点】平行四边形的性质；菱形的判定
【解析】【解答】（1）解：补全已知和求证如下：
已知：如图，在平行四边形中，连接，平分．求证：四边形是菱形；
故答案为：，菱形；
【分析】（1）根据已知条件，要证明三角形ABD和三角形DBC全等，需要添加一个角相等，据此，可根据平行四边形对角线的性质，添加条件和求证即可
（2）因为ABCD是平行四边形，所以，AD//BC，AB//CD，利用平行线的性质：两直线平行，内错角相等，然后再利用BD=BD，证明三角形ABD和三角形DBC全等，进而得出平行四边形的一组邻边相等，最后再根据菱形的判定定理：一组对边相等的平行四边形是菱形，即可证明
（1）解：补全已知和求证如下：
已知：如图，在平行四边形中，连接，平分．求证：四边形是菱形；
故答案为：，菱形；
（2）∵平行四边形，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴平行四边形是菱形．
7．（2016·茂名）某同学要证明命题“平行四边形的对边相等．”是正确的，他画出了图形，并写出了如下已知和不完整的求证．
已知：如图，四边形ABCD是平行四边形．
求证：AB=CD，
（1）补全求证部分；
（2）请你写出证明过程．
【答案】（1）BC=DA
（2）证明：连接AC，如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴∠BAC=∠DCA，∠BCA=∠DAC，
在△ABC和△CDA中， ，
∴△ABC≌△CDA（ASA），
∴AB=CD，BC=DA；
故答案为：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴∠BAC=∠DCA，∠BCA=∠DAC，
在△ABC和△CDA中， ，
∴△ABC≌△CDA（ASA），
∴AB=CD，BC=DA．
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】（1）已知：如图，四边形ABCD是平行四边形．
求证：AB=CD，BC=DA；
故答案为：BC=DA；
【分析】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形对边平行的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
四、变式3提高
8．（2025八下·成华期末）数学综合与实践小组同学对北师大版八年级下册数学教材第160页第21题进行了深入研究.如图，已知线段AB=3，以点B为端点作射线BM，使∠ABM=60°，C为射线BM上一动点，满足CB>3，以AB，CB为邻边作平行四边形ABCD，连接AC，再将△ABC沿AC所在直线折叠，点B的对应点为B'，B'C交AD于点E，连接BD.
（1）求证：B'E=DE：
（2）当B'D=AD时，求∠BAC的度数；
（3）当△AB'D为直角三角形时，请直接写出平行四边形ABCD的面积.
【答案】（1）证明：如图
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴，，
∴沿 AC 所在直线将 折叠，
∴，，
∴，，
在 和 中，
∴ (AAS)，
∴
（2）解：设，
∵ 在平行四边形 ABCD 中 ，
∴，
∴，
∵ 沿 AC 所在直线将 折叠，
∴，
∴，
由（1）知 ，
∴，
∴，
∴，
由（1）知 ，
∴，
∴，
∴，
，
当 时， ，
∴60+x=120－2x，
解得x=20°，
∴∠BAC＝100°
（3）解：如图1，当∠AB'D=90°时，
由（1）得，B'E=DE，
可推出AE=B'E，则B'E为AD边上的中线，
由折叠知∠B=∠AB'E=60°，
∴△AB'E为正三角形，
∴AD=2AE=2AB'=6，∠B'AE=60°，
由（2），易证四边形AB'DC为矩形，
∴AC=B'D=，
ABCD的面积=AB·AC=；
如图2，当∠B'AD=90°时，
∠B=∠AB'E=60°，
∴ED=B'E=2B'A=6，AE=，
过A作AM⊥BC，
∵AB=3，∠B=60°，
∴AM=，
ABCD的面积=AD·AM=；
综上，平行四边形ABCD的面积是或
【知识点】平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）利用AAS证明即可；
（2）设∠5=x，则，可推出，从而，解得x=20，得到∠BAC度数；
（3）由题，可分为∠AB'D=90°和∠B'AD=90°两种情况进行讨论，当∠AB'D=90°，可推得△AB'E为正三角形，从而得∠B'AD=60°，由此可得B'D即AC的长度，即可表示面积；当∠B'AD=90°时，作AM⊥BC，在Rt△ABM和Rt△B'AE中，利用60°角可求得AM和AE的长，从而得到AD和AM长，进而表示面积.
9．（2025九上·宝安开学考）阅读与理解：
我们曾做过“折纸与证明”的数学活动.折纸，即构造轴对称，常能为我们提供解决问题的思路和方法，例如，在△ABC中，AB＞AC（如图），怎样证明∠C＞∠B呢？分析：把AC沿∠A的角平分线翻折，因为AB＞AC，所以点C落在AB上的点C'处；即AC=AC'，据以上操作，易证明△ACD≌△AC'D，所以∠AC'D=∠C，一又因为∠AC'D＞∠B，所以∠C＞∠B.
【感悟与应用】
（1）如图（a），在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AD平分∠CAB，试判断CD和BD之间的数量关系，并说明理由；
（2）如图（b），在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，AC=25，AD=12，DC=BC=17，求AB的长.
（3）【拓展提高】
如图（c），在四边形ABDF中，∠B=∠F=90°，∠BCA=∠AEF，∠D-∠BAC=90°，若CD=4，AC=5，AE=6，求四边形ABDF的边DE的长.
【答案】（1）解：BD=2CD，理由如下：
如图，
在中，，
∴，
∵ AD平分，
∴，
∴即.
∵，
∴，
∴，
∴.
（2）解：如图，
在上截取，连接，
∵ AC平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴是等腰三角形.
过Ｃ作于Ｈ，则，
设，则，
在和中，
∵
∴解得，
∴ BＧ=16.
∴ AB=AE+BE=12+16=28.
∴AB的长为28.
（3）解：如图，
把沿AB折叠，使点Ｃ落在Ｍ处，把沿AF折叠，使点E落在N处，则，，
∴，，，，，，，
，
∵，
∴，.
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，即，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∴=1，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴ DE的长为.
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定；勾股定理；平行四边形的性质；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）在中，根据内角和定理得，再根据角平分线性质得，即可得，根据得，进一步可得.
（2）在上截取，连接，可证明，进而证明是等腰三角形，过Ｃ作于Ｈ，则，设，则，根据勾股定理得，可列方程解出即可.
（3）把沿AB折叠，使点Ｃ落在Ｍ处，把沿AF折叠，使点E落在N处，则，，可得，，，，，，，，
根据条件可证明，进一步可得，，，即可得四边形是平行四边形，进而得，，便可得=1，根据勾股定理得，再根据等面积法得，解得，根据勾股定理得，即可得答案.
10．（2025八下·杭州期中）如图，平行四边形中，为边上的一个动点不与、重合，过点作直线的垂线，垂足为与的延长线相交于点．
（1）若为中点，求证：．
（2）若，当点在线段上运动时，的长度是否改变，若不变，求；若改变，请说明理由
（3）在(2)的条件下，为直线上的一点，设，若、、、四点构成平行四边形，请用含x的代数式表示．
【答案】（1）证明：四边形ABCD是平行四边形
是BC中点
（2）答：F的长度不变，，理由如下：
如图所示，过点C作，垂足为H.
四边形CHFG是矩形
中：
即A、H两点重合，FG总等于对角线AC
（3）解：过点B作，垂足为K，如图1所示，
四边形ABEH是平行四边形
如图2所示，
综上所述，BH等于或
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）利用平行四边形的性质结合中点的概念可证明，再利用全等的性质即可；
（2）作AB上的高CH，则可证四边形CHFG是矩形，则FG总等于CH，由于平行四边形ABCD中，则，则BH可求，再用勾股定理求得CH，则FG等于CH；
（3）先利用平行四边形的性质求出AH的长，再过点B作AD上的高BK，利用直角三角形中30度角所对的直角边等于斜边的一半可求得AK、再利用勾股定理求出BK，再分类讨论，当点H在AD上或点H在DA的延长线上，分别利用勾股定理计算即可.
五、原题20
11．（2025·广东） 2025年2月，广东省教育厅发布《关于保障中小学生每天综合体育活动时间不低于两小时的通知》.某校为更好地落实文件精神并了解学生参加体育活动的情况，随机抽取部分学生进行问卷调查，并对所得数据进行处理.部分信息如下：
调查问卷 整理与描述
1.你每天参加体育活动(含体育课)的时间(单位：小时)( )(单选) A. 0.5≤x＜ 1 B.l≤x＜1.5 C. 1.5≤x＜2 D. x≥2 每天参加体育活动(合体育课)的时间统计图
2.随着体育活动时间的延长，学校拟增设体育活动项目，你希望增设的活动项目有( )(可多选) E.球类 F.田径类 G.体操类 E.水上类 希望增设的活动项目统计表
活动项目 球类 田径类 体操类 水上类
百分比 72% 23% 40% 46%
根据以上信息，解答下列问题：
（1）求参与这次问卷调查的学生人数.
（2）估计该校1000名学生中每天参加体育活动时间不低于两小时的学生人数.
（3）基于上述两项调查的数据，提炼出一条信息，并向学校提出相应的建议.
【答案】（1）解：35+44+46+75=200(人)
参与这次问卷调查的学生人数是 200 人.
（2）解：
估计人数为375人.
（3）解：信息：调查显示只有37.5%的学生体育活动时间在2小时以上，占比较少，
建议：因此可适当增加体育运动的时间；
信息：由于希望增设球类运动的占比达到了 72%，
建议：学校可增设球类运动，如足球、篮球、排球、乒乓球等球类运动.
【知识点】用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图
【解析】【分析】：（1）由图示条形图信息可得总人数为35+44+46+75=200人。
（2）由图可知200人中有75人每天参加体育活动时间不低于两小时，所以1000名学生中每天参加体育活动时间不低于两小时的学生有1000×=375人。
（3）信息：调查显示只有37.5%的学生体育活动时间在2小时以上，占比较少，
建议：因此可适当增加体育运动的时间；
信息：由于希望增设球类运动的占比达到了 72%，
建议：学校可增设球类运动，如足球、篮球、排球、乒乓球等球类运动.
信息提炼结合数据，建议围绕数据反映的需求和问题提出，合理即可。
六、变式1（基础）
12．（2025·浙江二模）某市在九年级“线上教学”结束后，为了解学生的视力情况，抽查了部分学生进行视力检测，根据检测结果，制成下面不完整的统计图表.
被抽样的学生视力情况频数表
组别 视力段 频数
A 5.1≤x≤5.3 25
B 4.8≤x≤5.0 115
C 4.4≤x≤4.7 m
D 4.0≤x≤4.3 52
（1）求m的值和组别A的圆心角度数.
（2）如果视力值4.8及以上属于“视力良好”，请估计该市25000名九年级学生达到“视力良好”的人数，根据上述图表信息，你对视力保护有什么建议？
【答案】（1）解：本次抽查的人数为：115÷23%=500，m=500×61.6%=308，
组别A的圆心角度数是：360°×25÷500=18°；
（2）解：25000×140÷500=7000（人)
建议：比如同学们应少玩电子产品，注意用眼保护（建议答案不唯一，合理即可）
【知识点】用样本估计总体；频数（率）分布表；扇形统计图
【解析】【分析】(1)根据统计图中的数据，可以得到本次抽查的人数，从而可以得到m的值；根据m的结果和频数分布表，可以得到组别A的圆心角度数；
(2)根据统计图中的数据，可以得到该市25000名九年级学生达到“视力良好”的人数，并提出合理化建议，建议答案不唯一，只要对保护眼睛好即可.
13．（2024八下·广平月考）某校开展“每天阅读一小时”活动，根据学校实际情况，有以下四类读物供学生选择（每位学生必选一项）：A：科普类，B：艺术类，C：文学类，D：其他类．为了解学生最喜欢哪一类读物，随机抽取了部分学生进行调查，将调查结果制成了如图所示的两幅不完整的统计图，且已知条形图中有一处错误．
（1）指出条形图中的错误，并求被调查的学生中选择“文学类”读物的人数；
（2）该学校计划订购3600册上述四类读物，根据学生爱好，为满足学生需求，学校大约要订购多少本“艺术类”读物
【答案】（1）解：条形图中“D”的人数错误，应该是5；
被调查的学生中选择“文学类”读物的人数是（人）
（2）解：，即学校大约要订购1350本“艺术类”读物．
【知识点】用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图
【解析】【解答】（1）（人），
条形图中“D”的人数为（人），
被调查的学生中选择“文学类”读物的人数是（人）
【分析】（1）先求得总人数，进而求得条形图中“D”的人数，进一步求得被调查的学生中选择“文学类”读物的人数，即可求解；
（2）利用样本估计总体即可求解.
14．（2024·双流模拟） 2024年成都世界园艺博览会开幕在即，本届世园会将紧密围绕“公园城市，美好人居”的办会主题，坚持绿色低碳、节约持续、共享包容的理念，打造一届“时代特征、国际水平、中国元素、成都特色”的盛会．首次采取“1个主会场＋4个分会场”模式，主会场所在地成都东部新区，集中呈现未来公园城市形态，成都市温江区、郫都区、新津区、邛崃市四个分会场分别突出川派盆景、花卉产业、农艺博览、生物多样性等特色，演绎人与自然和谐共生的生动图景．某旅游公司为了解游客对A（新津区）、B（温江区）、C（郫都区）、D（邛崃市）四个分会场的游览意向，在网上进行了调查，并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图．
请根据统计图信息，解答下列问题：
（1）这次被调查的总人数有 万人，并将条形统计图补充完整；
（2）世园会执委会面向全市中小学生招募了一批“世园小记者”，届时会随机安排每位小记者去一个分会场进行采访，小颖和小明都被选中成为小记者，请用列表或画树状图的方法求出他们被安排往同一个分会场进行采访的概率．
【答案】（1）120补全统计图如所示：
（2）解：根据题意，列表如下：
A B C D
A
B
C
D
共有16种等可能的结果，其中小颖和小明被派往同一个分会场的结果数为4，所以他们被安排往同一个分会场进行采访的概率为．
【知识点】用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：（1）总人数为（万人），补全统计图如所示，
【分析】（1）根据B（温江区） 的人数与所占的百分比即可求得总人数补全统计图即可求解；
（2）先列出表格得到共有16种等可能的结果，其中小颖和小明被派往同一个分会场的结果数为4种，利用概率公式即可求解.
七、变式2（巩固）
15．（2025八下·越城期末）某同学进行社会调查，随机抽查了某小区的40户住户的年收入(万元)情况，并绘制了如图不完整的频数直方图（每组包括前一个边界值，不包括后一个边界值).
（1）求出年收入在“28-32”段的户数，并写出年收入的中位数落在哪一个收入段内
（2）如果每一组年收入均以最低计算，这40户住户的年平均收入至少为多少万元
（3）如果该小区有2000户住户，请你估计该小区有多少住户的年收入不低于28万元
【答案】（1）解：年收入在“28-32”段的户数为
40-(4+4+6+12+4)=10(户)，
年收入的中位数是第20、21个数据的平均数，而这2个数据均落在“24-28”段，
所以年收入的中位数落在“24-28”收入段内
（2）解：这40户家庭的年平均收入至少为
(万元)
即这40户家庭的年平均收入至少为21.2万元
（3）解：由题意可得，（户）
答：估计该小区有700户住户的年收入不低于28万元
【知识点】用样本估计总体；频数（率）分布直方图；条形统计图；中位数
【解析】【分析】(1)根据小区的40户家庭，可以求得26至30万元收入的住户，根据中位数的定义，可以根据条形统计图得到中位数在什么位置；
(2)根据条形统计图可以得到这40户家庭的年平均收入至少为多少万元；
(3)根据条形统计图可以求得该小区有多少家庭的年收入不低于28万元.
16．（2025·吴兴二模）睡眠状况对青少年的成长影响很大，为此，某校在随机选取的部分学生中开展了一次问卷调查活动，并制成以下尚不完整的统计图：
调査问卷 你每天的睡眠时长大约（ ） A.少于8h B.8～9h（不舍9h） C.9~10h（不含10h） D.不少于10h
（1）求参加问卷调查的人数和m的值；
（2）补全条形统计图；
（3）若该校有1000名学生，估计该校每天睡眠时长少于8h的学生约为多少人？
【答案】（1）解：参加问卷调查的人数为16÷40%=40人
B选项的人数为：40-4-16-6=14人
∴
∴m=35
（2）解：如图所示.
（3）解：人
∴该校每天睡眠时长少于8h的学生约为100人
【知识点】用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）根据C选项的人数与所占比即可求出总人数；再求出B选项人数，求出其占比即可得m值.
（2）补全图形即可.
（3）根据总人数乘以少于8小时人数占比即可求出答案.
17．（2025·自贡）某校七年级拟组建球类课外活动兴趣班，为了解同学们的参与意向，学生会进行了随机问卷调查，要求被调查的同学在足球、篮球、乒乓球、羽毛球中任选一项．以下是依据调查数据，正在绘制中的统计图和统计表，请根据相关信息解答下列问题，
选择球类兴趣班人数条形统计图
选择球类兴趣班人数占比统计表
粗脚 球类活动兴趣班 占调查总人数百分比
A 足球 10%
B 篮球
C 乒乓球
D 羽毛球
（1）请补全上述条形统计图和占比统计表，若用扇形统计图反映选择球类活动兴趣班的人数占比，则篮球兴趣班的扇形圆心角为 ▲ 度；
（2）估计该校七年级400名学生中，选择乒乓球兴趣班的人数；
（3）若用电脑随机选择A，B，C，D四类兴趣班，请用列表或画树状图的方法，求该校七年级甲、乙两名同学都选择乒乓球兴趣班的概率
【答案】（1）解：由条形统计图可知各球类兴趣班人数占比，设总人数为：
足球：4人，占比10%，得4÷n=10%，解得n=40．
补全条形统计图如图所示：
B组人数占调查总人数百分比为10÷40×100%=25%，
C组人数占调查总人数百分比为14÷40×100%=35%，
D组人数占调查总人数百分比为12÷40×100%=30%，
若用扇形统计图反映选择球类活动兴趣班的人数占比，则篮球兴趣班的扇形圆心角为360°×25%=90°
将以上数据填入条形统计图和占比统计表中：
组别 球类活动兴趣班 占调查总人数百分比
A 足球 10%
B 篮球 25%
C 乒乓球 35%
D 羽毛球 30%
（2）解：估计该校七年级400名学生中选择乒乓球兴趣班的人数：
人．
（3）解：用列表法求该校七年级甲、乙两名同学都选择乒乓球兴趣班的概率：
所有可能组合为（A，A），（A，B），（A，C），（A，D），（B，A），（B，B），（B，C），（B，D），（C，A），，共16种．
其中该校七年级甲、乙两名同学都选择乒乓球兴趣班的情况有1种，
∴该校七年级甲、乙两名同学都选择乒乓球兴趣班的概率为.
【知识点】用样本估计总体；统计表；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【分析】(1)先求出本次调查的总人数，即可计算出D组的人数，从而即可补全条形统计图，分别求出B组、C组、D组人数占调查总人数百分比，即可补全选择球类兴趣班人数占比统计表，用360°乘以篮球兴趣班人数所占比例即可得解；
(2)用400乘以选择乒乓球兴趣班的人数所占的比例即可得解；
(3)列表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可.
八、变式3（提高）
18．某学校为了增强学生体质，决定开设以下体育课外活动项目：篮球、羽毛球、乒乓球、踢毽子、跳绳.为了解学生对这 5 项体育活动的喜欢程度，随机抽取了部分学生进行调查(每人只选一项)，并将统计数据绘制成两幅不完整的统计图：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）这50次抽样调查的样本容量是 .
（2）将条形统计图补充完整，m= ▲ .
（3）羽毛球所对应扇形的圆心角的大小是多少
（4）若全校有1200名学生，估计全校喜欢篮球和乒乓球的学生共有多少名
【答案】（1）50
（2）20
（3）解：羽毛球所对应扇形的圆心角的大小是：，
答：羽毛球所对应扇形的圆心角的大小是122.4°
（4）解：根据题意得：
(名)
答：估计全校喜欢篮球和兵乓球的共有528名学生
【知识点】用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图
【解析】【解答】解：(1)这次抽样调查的样本容量是7÷14%=50，
故答案为：50.
(2)喜欢乒乓球的人数有：50-12-17-7-4=10(名)，
补全统计图如下：
∵，
∴m=20，
故答案为：20.
【分析】(1)根据踢键子的人数和所占的百分比即可得出答案；
(2)用总人数减去其他项目的人数，求出乒乓球的人数，从而补全统计图；用乒乓球的人数除以总人数即可得出m的值；
(3)用360°乘以羽毛球所占的百分比即可得出答案；
(4)利用样本估计总体的方法，即可求得答案.
19．（2025九上·萧山开学考）为了解学生零花钱的使用情况，校团委随机调查了本校部分学生每人一周的零花钱数额，并绘制了如图所示的两个统计图（部分未完成）。请根据图中信息，回答下列问题：
（1）校团委随机调查了 ▲ 名学生，并请你补全条形统计图：
（2）被调查的部分学生一周零花钱的平均数是 元，众数是 元.
（3）“50元”所在扇形的圆心角的度数为 .
（4）为捐助贫困山区希望小学，全校1000名学生每人自发地捐出一周零花钱，请估算全校学生共捐款多少元
【答案】（1）40
（2）32.5；30
（3）36°
（4）解：32.5×1000=32500(元)
∴全校学生共捐款约32500元。
【知识点】总体、个体、样本、样本容量；用样本估计总体；扇形统计图；平均数及其计算；众数
【解析】【解答】解：(1)10÷25%=40(人)；
40-18-10-4=8(人)
补全条形统计图如下：
(2)(20×8+30×18+40×10+50×4)÷40
=1300÷40
=32.5(元)
这组数据中，频数最多的是30元，因此众数为30元。
(3)
【分析】(1)结合两个统计图看，用40元这一组的频数除以对应的百分比即可求出样本容量；
(2)这里需要用到加权平均数的计算公式：，根据众数的概念可知这组数据的众数为30；
(3)先求出零花钱为50元的学生人数占到样本容量的比例，再用这个比例乘以360°就是对应扇形的圆心角度数；
(4)既然样本平均数为32.5元，那么我们可以认为总体平均数也是32.5，用平均数乘以总人数1000即可。
20．（2025八下·惠来期末） 为了了解某市某校学生对以下四个电视节目：A《中国诗词大会》、B《最强大脑》、C《朗读者》、D《出彩中国人》的喜爱情况，随机抽取了部分学生进行调查，要求每名学生选出并且只能选出一个自己最喜爱的节目，根据调查结果，绘制了如下两幅不完整的统计图.
请你根据图中所提供的信息，完成下列问题：
（1） 本次调查的学生人数为 ；
（2） 在扇形统计图中，A部分所占圆心角的度数为 ；
（3） 请将条形统计图补充完整；
（4） 若该校共有2000名学生，估计该校最爱《最强大脑》的学生有多少人？
【答案】（1）120
（2）54°
（3）解：C的人数为：（人），将条形统计图补充完整如图所示：
（4）解：由题意可得： （人）
估计该校最喜爱《最强大脑》的学生有1100人.
【知识点】用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图
【解析】【解答】解：（1）66÷55%=120（人），
即本次调查的学生人数为120人，
故答案为：120；
（2），
即在扇形统计图中，A部分所占圆心角的度数为54°，
故答案为：54°.
【分析】（1）根据调查总人数=选择B的人数÷B部分的百分比计算求解即可；
（2）根据选择A的人数和调查总人数，结合题意，计算求解即可；
（3）根据题意先求出选项C的人数为30人，再补充条形统计图即可；
（4）根据该校共有2000名学生，求出（人）即可作答.
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