【贵州卷】备战2026年中考数学真题变式阶梯训练第15~16题
一、原题15
1．（2024·顺城模拟）一元二次方程的根是 ．
【答案】，
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：方程 变形为 ，
开平方得，即， .
【分析】利用平方差公式或直接开方法解一元二次方程，将方程转化为 后，根据平方根的定义求解，关键是掌握直接开方法的运用.
二、变式1基础
2．（2021九上·温岭期中）方程x2=4的解是
【答案】±2
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】解： ∵x2=4 ，
∴x=±2.
故答案为：±2.
【分析】直接将两边开平方，即可解答.
3．（2025八下·龙港期中）关于x的一元二次方程x2=9的解为 .
【答案】x1=3； x2=-3
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵x2=9，
∴x=
∴x=±3，
∴x1=3，x2=-3.
故答案为：x1=3，x2=-3.
【分析】由于此题缺一次项，故利用平方根定义，直接开平方求解即可.
4．（2024八下·鄞州月考）方程（x-5)2=0的根是 ．
【答案】x1=x2=5
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
三、变式2巩固
5．（2025·镇海区模拟）方程的解是 ．
【答案】
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：
解得
故答案为：．
【分析】根据解一元二次方程的方法“直接开平方法”计算即可求解.
6．（2019八下·乐清月考）一元二次方程3x2=27的解为： .
【答案】x1=3；x2=-3
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：3x2=27
x2=9
解之： x1=3；x2=-3
故答案为： x1=3；x2=-3
【分析】观察此方程的特点：缺一次项，因此利用直接开平方法解或利用因式分解法解方程。
7．（2019九下·温州竞赛）方程(2x+1)2=49的根是 ．
【答案】x1=3，x2=-4
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】 解：∵ (2x+1)2=49，
∴2x+1=±7，
∴x1=3，x2=-4，
∴原方程的解为：x1=3，x2=-4.
故答案为：x1=3，x2=-4.
【分析】根据一元二次方程的解法——直接开平方法，解之即可得出答案.
四、变式3提高
8．（2021八下·丽水期中）对于实数m，n，我们定义一种运算为：m※n＝mn+m﹣n，则（a+b）※（a﹣b）＝ ，则方程x※（2※x）＝﹣3的解是 ．
【答案】a2-b2+2b；x=-1
【知识点】配方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解： （a+b）※（a﹣b）
＝(a+b)(a-b)+a+b-(a-b)
=a2-b2+a+b-a+b
=a2-b2+2b，
x※（2※x）＝﹣3
x※(2x+2- x)=-3
x※(x+2)=-3
x(x+2)+x- (x+2) = -3
x2+2x+x-x-2=-3
x2+ 2x+1= 0
(x+1)2= 0
x1=x2=-1
故答案为：a2-b2+2b，x=-1.
【分析】根据新定义的运算法则把原式计算，先展开，再合并同类项即可；根据新定义的运算法则计算得到一个关于x的一元二次方程，解之即可.
9． 定义一种新运算： 对于任意的非零实数 ， 定 ． 若 定 ， 则 的值为 .
【答案】-4 或 2
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：x2+2x=8，变形为x2+2x+1=8+1，即（x+1）2=9，x+1=±3，解得x=-4或2.
故答案为：-4或2.
【分析】本题根据定义运算式 定 ，可以列出 定 的式子为x2+2x=8，然后根据完全平方公式变形化简，最后求出x的值即可。
10．（2019·靖远模拟）规定： ，如： ，若 ，则 ＝ .
【答案】1或-3
【知识点】配方法解一元二次方程；定义新运算
【解析】【解答】依题意得：（2+x）x=3，
整理，得 x2+2x=3，
所以 （x+1）2=4，
所以x+1=±2，
所以x=1或x=-3.
故答案是：1或-3.
【分析】根据a b=（a+b）b，列出关于x的方程（2+x）x=3，解方程即可.
五、原题16
11．（2025·贵州）如图，在矩形中，点E，F，M分别在，，边上，分别交对角线、线段于点G，H，且是的中点．若，则的长为 ．
【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；矩形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，连接AC，交BD于N，过H作HQ⊥BD于Q，
∵BE=2CF，CF=2，
∴BE=4，
∵矩形ABCD，
∴AN=CN=BN=DN，AB∥CD，
∴∠ABD=∠BAC=30°，∠BAC=∠NCF=30°，
∵H是DE的中点，
∴HN是△BDE的中位线，
∴HN∥BE， HN== 2 ，
∴∠ABD=∠HNQ=30°，
∴ HQ ==1 ，
∵HN∥AB，AB∥CD，
∴HN∥CF，
∵HN=CF=2，
∴四边形HFCN是平行四边形，
∴∠NCF=∠NHG=30°，而HQ⊥BD，∠HNQ=30°，
∴∠HGQ=60°，
∴∠GHQ=30°，
∴ cos∠GHQ=cos30 °==，
∴ HG=1÷=，
故答案为：．
【分析】 如图，连接AC，交BD于N，过H作HQ⊥BD于Q，求解BE=4，证明HN是△BDE的中位线，可得HN∥BE，HN == 2，HQ==1，证明四边形HFCN是平行四边形，可得∠NCF=∠NHG=30°，而HQ⊥BD，∠HNQ=30°，求解∠GHQ=30°，再进一步求解即可。
六、变式1（基础）
12．（2024·浙江模拟）如图是一个矩形木框，，，若在点，处钉一根木条用来加固，则木条的长至少是 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：四边形是矩形，
，
根据勾股定理，则有：
cm，
故答案为：．
【分析】当直角三角形中两直角边已知时，利用勾股定理可直接计算斜边长，由于边都是正数，所以斜边也是正数．
13．（2024八下·宁波期末）如图，在矩形中，对角线相交于点O，，，则 ．
【答案】10
【知识点】等边三角形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∵，
∴．
故答案为：10．
【分析】先根据矩形的性质可得，再证明是等边三角形，，从而可求得AC．
14．如图，矩形 的对角线 ， 则 的长为 ．
【答案】4
【知识点】等边三角形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵∠AOD=120°，
∴∠AOB=180°-∠AOD=60°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OB=AC=4cm，
∴△ABO是等边三角形，
∴AB=OA=4cm.
故答案为：4.
【分析】由邻补角定义求出∠AOB=60°，由矩形对角线相等且互相平分得OA=OB=AC=4cm，根据有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形得△ABO是等边三角形，最后根据等边三角形的三边相等可得AB的长.
七、变式2（巩固）
15．（2024九下·福田开学考）如图是一张矩形纸片，点E在边上，把沿直线对折，使点B落在对角线上的点F处，连接．若点D、E、F在同一条直线上，，则 ．
【答案】
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定；矩形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；平行线的应用-折叠问题
【解析】【解答】解：∵把△BCE沿直线CE对折，使点B落在对角线AC上的点F处，
∴，
∵四边形ABCD是矩形
∴CD∥AB
∴∠DCE=∠CEB
∴∠DCE=∠DEC
∴CD=DE
设，则，
∴，
∴，
∵，
∴△AEF∽△CDF
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【分析】
本题考查矩形的性质，翻折的性质，平行线的性质、等腰三角形的判定，相似三角形的判定和性质，熟知翻折的性质与平行线分线段成比例定理是解题关键．
根据折叠的性质可知：BE=EF，∠BEC=∠ECF，根据矩形的性质：对边平行可知：CD∥AB，根据平行线的性质：两直线平行，内错角相等可知：∠DCE=∠CEB，等量代换得：∠DCE=∠DEC，再根据等腰三角形的判定定理：等角对等边可知：CD=DE，设，则，结合CD∥AB可知：△AEF∽△CDF，再根据相似三角形的性质：对应边成比例可知：，代入数据，列出关于x的方程，解得x的值即可得出答案．
16．（2025·浙江模拟）如图，把一张矩形纸片沿折叠，点的对应点为，交于点．若点为的中点，平分，则 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：延长交于点，
由折叠得，，，，
平分，
，
在和中，
，
，
，
点为的中点，
，
设，，则，
在矩形中，
，，
，
即，
，
即，
，
即，
，
在中，，
在中，，
，
，
即，
化简得，
解得（舍），，
即，
，
即，
故答案为：．
【分析】延长交于点，结合已知，用角边角可得，由全等三角形的对应边相等可得，设，，则，根据平行线分线段成比例得到，由比例式可得，根据勾股定理得，，能够得到，先计算并求算术平方根即可求解．
17．（2025·浙江模拟） 如图，把一张矩形纸片ABCD沿 BE折叠，点A 的对应点为F，EF交 BD于点 G.若点 G为EF的中点，BF平分∠DBC，则= .
【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：延长EF交BC于点H，设EG=y，DG=x，
根据折叠的性质，可得AB=BF，∠A=∠BFG=90°=∠BFH，AE=EF，
∵BF平分∠DBC，
∴∠FBG=∠FBH=∠DBC，
在△BFG与△BFH中，
∴△BFG≌△BFH（ASA），
∴FG=FH，
∵G为EF的中点，
∴GE=GF，
∴GF=FH=y，
∴AE=EF=2y，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，AD=BC，
∴EG：GH=DG：BG=DE：BH，
∴y：(y+y）=x：BG，解得BG=2x，
∴BH=BG=2x，
∴DE：2x=y：2y，解得DE=x.
∴AD=AE+DE=2y+x=BC.
∴，
，
∵AB=BF，
∴AB2=BF2，
∴，解得y=-2x(舍去)或3y=2x.
∴.
∴.
∴.
故答案为：.
【分析】设EG=y，DG=x，先利用ASA证明△BFG≌△BFH，再根据矩形的性质，得出AD//BC，AD=BC，根据平行线截的线段成比例，列出比例式求出BG=2x，再利用勾股定理，分别求出AB2，BF2，根据AB2=BF2，求出x与y的关系，再求出.
八、变式3（提高）
18．如图1，将一张等腰三角形纸片ABC沿虚线剪开，得到两个全等的三角形和两个全等的四边形小纸片.小博按图2方式拼接，恰好拼成一个不重叠、无缝隙的矩形；小雅按图3方式拼接，也拼出一个矩形FHIK，但由于两个四边形纸片有重叠（阴影）部分，整个面积减少了5cm2.若AE：DE=5∶3，则tanC= ，矩形FHIK的面积为 cm2.
【答案】；
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：如图1，设水平虚线与AC、AB分别交于G，L，
∵ AE：DE=5∶3 ，
∴AE：AD=5：8，
∵GE∥CD，
∴GE：CD=AE：AD=5：8，∠AGE=∠C，
设GE=5x，CD=8x，
由图2知：RS=AG=EG+CD=13x，
∴AE==12x，
∴ tanC = tan∠AGE=.
∵GE∥CD，AG=13x，AE=12x，
∴AG：GC=AE：DE=5∶3 ，
∴GC=x，DE=x，
根据图1和图2得QR=GC=x，RN=GE=5x，QM=AE=12x，
∴QN=QR+RN=x，FK=FO+OK=x，
∵矩形MQNS的面积=矩形FHIK的面积+5，
∴QM·QN=FH·FK+5，即12x·x=12x·x，
解得x=，
∴FH=10，FK=，
∴矩形FHIK的面积=FH·FK=.
故答案为：，.
【分析】如图1，设水平虚线与AC、AB分别交于G，L，由平行线分线段成比例可得GE：CD=AE：AD=5：8，∠AGE=∠C，设GE=5x，CD=8x，利用勾股定理求出AE=12x，根据tanC = tan∠AGE=即可求解.由AG：GC=AE：DE=5∶3 ，可求出GC、DE，根据图1和图2得QR=GC=x，RN=GE=5x，QM=AE=12x，从而得出QN=QR+RN=x，FK=FO+OK=x，根据矩形MQNS的面积=矩形FHIK的面积+5建立关于x方程并解之，即可求FH、FK的长，利用矩形FHIK的面积=FH·FK即可求解.
19．小明在一次拼图游戏中，发现了一个很神奇的现象：他先用图形①②③④拼出矩形ABCD；接着拿出图形⑤，通过平移的方法，用①②③④⑤拼出了矩形ABMN.已知AE：EO=2：3，图形④的面积为15，则增加的图形⑤的面积为 ；当OC=3.5，EH=4时tan∠BAO= .
【答案】；
【知识点】矩形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；求正切值
【解析】【解答】解：设DF=2x，在图1中，
图1
∵AD//EF//BC，
∴.
∴CF=3x.
∴AB=DF+CF=5x.
在图2中，
图2
TQ=2x，QM=2x，
∴MN=AB=5x.
∴AN=MN-TQ-QM=x.
∵图形⑤的面积与图形④的面积同宽，
∴图形⑤的面积为15
设DG=a，
∴AG=PQ=OC+FH=3.5+a，
AN=BM=EH+FH+DG=2a+4.
∴OB=2a.
∵图形④的面积为15，
∴DF·DG=15.
∴2ax=15，
∵S梯形AOCD+=S梯形AOMN，
∴.
∴，解得x=3，
∴2a·3=15，解得.
∴AB=15，OB=5.
∴ tan∠BAO=
故答案为：；．
【分析】设DF=2x，根据平行线分线段成比例定理，可用x表示出CF，进而可用x表示出AB、TQ和QM，从而可用x表示出MN与AN，根据图形⑤的面积与图形④的面积同宽，可求得图形⑤的面积；
设DG=a，则可用a表示出AG与AN，从而可用a表示出OB，根据图形④的面积为15，可得到关于a、x的一个关系式，再根据S梯形AOCD+=S梯形AOMN，可求得x，从而可求得a，再利用正切的意义求出 tan∠BAO .
20．（2023九下·义乌月考）何老师在一次“探析矩形折叠问题”的公开课上，与同学们一起对折纸进行了如下探究：已知正方形边长为1，G是边的中点，E是射线上的一个动点.
（1）如图① ，若点E在线段上且点E与点C不重合，连结，将沿着翻折，使点C落在上的点M处，连结延长交边于点F且，则的值为
（2）若点E与点C不重合，以点C为圆心，线段的长为半径作，当与线段只有一个公共点时，的取值范围是 .
【答案】（1）
（2）
【知识点】三角形全等的判定；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：（1）∵正方形边长为1，G是边的中点，
∴，，，
∵，
∴，又，
∴，
∴，
∴；
由折叠性质得，，
∴，
∴，则，
∵，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）∵G是边的中点，点E在线段上运动，
∴ ，
∵点C到的距离小于，又与线段只有一个公共点，
∴不可能与相切，如图，
当经过点D时，与有两个交点，且，此时，
∴；
当经过点G时，，连接，
∵，，，
∴，
∴，即与重合，此时，
∴当时，与线段只有一个公共点.
故答案为：.
【分析】（1）根据正方形的性质可得∠BAD=∠ADC=∠ABC=90°，AD=DC=AB=BC=1，AG=AB=，由同角的余角相等可得∠ADG=∠DCF，利用ASA证明△ADC≌△DCF，得到DF=AG=，由折叠性质得BE⊥MC，CH=HM，则EH∥DM，根据平行线分线段成比例的性质可得CE=DE=DC=，证明△CHE∽△CDF，然后根据相似三角形的性质进行解答；
（2）由题意可得GE≥1，当⊙C经过点D时，⊙C与DG有两个交点，且GE=DC=1，此时GE⊥CD，CE=DC=；当⊙C经过点G时，GE=CG，连接CG，利用SAS证明△DAG≌△CBG，得到DG=CG，即GE与DG重合，此时CE=CD，据此解答.
1 / 1【贵州卷】备战2026年中考数学真题变式阶梯训练第15~16题
一、原题15
1．（2024·顺城模拟）一元二次方程的根是 ．
二、变式1基础
2．（2021九上·温岭期中）方程x2=4的解是
3．（2025八下·龙港期中）关于x的一元二次方程x2=9的解为 .
4．（2024八下·鄞州月考）方程（x-5)2=0的根是 ．
三、变式2巩固
5．（2025·镇海区模拟）方程的解是 ．
6．（2019八下·乐清月考）一元二次方程3x2=27的解为： .
7．（2019九下·温州竞赛）方程(2x+1)2=49的根是 ．
四、变式3提高
8．（2021八下·丽水期中）对于实数m，n，我们定义一种运算为：m※n＝mn+m﹣n，则（a+b）※（a﹣b）＝ ，则方程x※（2※x）＝﹣3的解是 ．
9． 定义一种新运算： 对于任意的非零实数 ， 定 ． 若 定 ， 则 的值为 .
10．（2019·靖远模拟）规定： ，如： ，若 ，则 ＝ .
五、原题16
11．（2025·贵州）如图，在矩形中，点E，F，M分别在，，边上，分别交对角线、线段于点G，H，且是的中点．若，则的长为 ．
六、变式1（基础）
12．（2024·浙江模拟）如图是一个矩形木框，，，若在点，处钉一根木条用来加固，则木条的长至少是 ．
13．（2024八下·宁波期末）如图，在矩形中，对角线相交于点O，，，则 ．
14．如图，矩形 的对角线 ， 则 的长为 ．
七、变式2（巩固）
15．（2024九下·福田开学考）如图是一张矩形纸片，点E在边上，把沿直线对折，使点B落在对角线上的点F处，连接．若点D、E、F在同一条直线上，，则 ．
16．（2025·浙江模拟）如图，把一张矩形纸片沿折叠，点的对应点为，交于点．若点为的中点，平分，则 ．
17．（2025·浙江模拟） 如图，把一张矩形纸片ABCD沿 BE折叠，点A 的对应点为F，EF交 BD于点 G.若点 G为EF的中点，BF平分∠DBC，则= .
八、变式3（提高）
18．如图1，将一张等腰三角形纸片ABC沿虚线剪开，得到两个全等的三角形和两个全等的四边形小纸片.小博按图2方式拼接，恰好拼成一个不重叠、无缝隙的矩形；小雅按图3方式拼接，也拼出一个矩形FHIK，但由于两个四边形纸片有重叠（阴影）部分，整个面积减少了5cm2.若AE：DE=5∶3，则tanC= ，矩形FHIK的面积为 cm2.
19．小明在一次拼图游戏中，发现了一个很神奇的现象：他先用图形①②③④拼出矩形ABCD；接着拿出图形⑤，通过平移的方法，用①②③④⑤拼出了矩形ABMN.已知AE：EO=2：3，图形④的面积为15，则增加的图形⑤的面积为 ；当OC=3.5，EH=4时tan∠BAO= .
20．（2023九下·义乌月考）何老师在一次“探析矩形折叠问题”的公开课上，与同学们一起对折纸进行了如下探究：已知正方形边长为1，G是边的中点，E是射线上的一个动点.
（1）如图① ，若点E在线段上且点E与点C不重合，连结，将沿着翻折，使点C落在上的点M处，连结延长交边于点F且，则的值为
（2）若点E与点C不重合，以点C为圆心，线段的长为半径作，当与线段只有一个公共点时，的取值范围是 .
答案解析部分
1．【答案】，
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：方程 变形为 ，
开平方得，即， .
【分析】利用平方差公式或直接开方法解一元二次方程，将方程转化为 后，根据平方根的定义求解，关键是掌握直接开方法的运用.
2．【答案】±2
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】解： ∵x2=4 ，
∴x=±2.
故答案为：±2.
【分析】直接将两边开平方，即可解答.
3．【答案】x1=3； x2=-3
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵x2=9，
∴x=
∴x=±3，
∴x1=3，x2=-3.
故答案为：x1=3，x2=-3.
【分析】由于此题缺一次项，故利用平方根定义，直接开平方求解即可.
4．【答案】x1=x2=5
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
5．【答案】
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：
解得
故答案为：．
【分析】根据解一元二次方程的方法“直接开平方法”计算即可求解.
6．【答案】x1=3；x2=-3
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：3x2=27
x2=9
解之： x1=3；x2=-3
故答案为： x1=3；x2=-3
【分析】观察此方程的特点：缺一次项，因此利用直接开平方法解或利用因式分解法解方程。
7．【答案】x1=3，x2=-4
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】 解：∵ (2x+1)2=49，
∴2x+1=±7，
∴x1=3，x2=-4，
∴原方程的解为：x1=3，x2=-4.
故答案为：x1=3，x2=-4.
【分析】根据一元二次方程的解法——直接开平方法，解之即可得出答案.
8．【答案】a2-b2+2b；x=-1
【知识点】配方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解： （a+b）※（a﹣b）
＝(a+b)(a-b)+a+b-(a-b)
=a2-b2+a+b-a+b
=a2-b2+2b，
x※（2※x）＝﹣3
x※(2x+2- x)=-3
x※(x+2)=-3
x(x+2)+x- (x+2) = -3
x2+2x+x-x-2=-3
x2+ 2x+1= 0
(x+1)2= 0
x1=x2=-1
故答案为：a2-b2+2b，x=-1.
【分析】根据新定义的运算法则把原式计算，先展开，再合并同类项即可；根据新定义的运算法则计算得到一个关于x的一元二次方程，解之即可.
9．【答案】-4 或 2
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：x2+2x=8，变形为x2+2x+1=8+1，即（x+1）2=9，x+1=±3，解得x=-4或2.
故答案为：-4或2.
【分析】本题根据定义运算式 定 ，可以列出 定 的式子为x2+2x=8，然后根据完全平方公式变形化简，最后求出x的值即可。
10．【答案】1或-3
【知识点】配方法解一元二次方程；定义新运算
【解析】【解答】依题意得：（2+x）x=3，
整理，得 x2+2x=3，
所以 （x+1）2=4，
所以x+1=±2，
所以x=1或x=-3.
故答案是：1或-3.
【分析】根据a b=（a+b）b，列出关于x的方程（2+x）x=3，解方程即可.
11．【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；矩形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，连接AC，交BD于N，过H作HQ⊥BD于Q，
∵BE=2CF，CF=2，
∴BE=4，
∵矩形ABCD，
∴AN=CN=BN=DN，AB∥CD，
∴∠ABD=∠BAC=30°，∠BAC=∠NCF=30°，
∵H是DE的中点，
∴HN是△BDE的中位线，
∴HN∥BE， HN== 2 ，
∴∠ABD=∠HNQ=30°，
∴ HQ ==1 ，
∵HN∥AB，AB∥CD，
∴HN∥CF，
∵HN=CF=2，
∴四边形HFCN是平行四边形，
∴∠NCF=∠NHG=30°，而HQ⊥BD，∠HNQ=30°，
∴∠HGQ=60°，
∴∠GHQ=30°，
∴ cos∠GHQ=cos30 °==，
∴ HG=1÷=，
故答案为：．
【分析】 如图，连接AC，交BD于N，过H作HQ⊥BD于Q，求解BE=4，证明HN是△BDE的中位线，可得HN∥BE，HN == 2，HQ==1，证明四边形HFCN是平行四边形，可得∠NCF=∠NHG=30°，而HQ⊥BD，∠HNQ=30°，求解∠GHQ=30°，再进一步求解即可。
12．【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：四边形是矩形，
，
根据勾股定理，则有：
cm，
故答案为：．
【分析】当直角三角形中两直角边已知时，利用勾股定理可直接计算斜边长，由于边都是正数，所以斜边也是正数．
13．【答案】10
【知识点】等边三角形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∵，
∴．
故答案为：10．
【分析】先根据矩形的性质可得，再证明是等边三角形，，从而可求得AC．
14．【答案】4
【知识点】等边三角形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵∠AOD=120°，
∴∠AOB=180°-∠AOD=60°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OB=AC=4cm，
∴△ABO是等边三角形，
∴AB=OA=4cm.
故答案为：4.
【分析】由邻补角定义求出∠AOB=60°，由矩形对角线相等且互相平分得OA=OB=AC=4cm，根据有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形得△ABO是等边三角形，最后根据等边三角形的三边相等可得AB的长.
15．【答案】
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定；矩形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；平行线的应用-折叠问题
【解析】【解答】解：∵把△BCE沿直线CE对折，使点B落在对角线AC上的点F处，
∴，
∵四边形ABCD是矩形
∴CD∥AB
∴∠DCE=∠CEB
∴∠DCE=∠DEC
∴CD=DE
设，则，
∴，
∴，
∵，
∴△AEF∽△CDF
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【分析】
本题考查矩形的性质，翻折的性质，平行线的性质、等腰三角形的判定，相似三角形的判定和性质，熟知翻折的性质与平行线分线段成比例定理是解题关键．
根据折叠的性质可知：BE=EF，∠BEC=∠ECF，根据矩形的性质：对边平行可知：CD∥AB，根据平行线的性质：两直线平行，内错角相等可知：∠DCE=∠CEB，等量代换得：∠DCE=∠DEC，再根据等腰三角形的判定定理：等角对等边可知：CD=DE，设，则，结合CD∥AB可知：△AEF∽△CDF，再根据相似三角形的性质：对应边成比例可知：，代入数据，列出关于x的方程，解得x的值即可得出答案．
16．【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：延长交于点，
由折叠得，，，，
平分，
，
在和中，
，
，
，
点为的中点，
，
设，，则，
在矩形中，
，，
，
即，
，
即，
，
即，
，
在中，，
在中，，
，
，
即，
化简得，
解得（舍），，
即，
，
即，
故答案为：．
【分析】延长交于点，结合已知，用角边角可得，由全等三角形的对应边相等可得，设，，则，根据平行线分线段成比例得到，由比例式可得，根据勾股定理得，，能够得到，先计算并求算术平方根即可求解．
17．【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：延长EF交BC于点H，设EG=y，DG=x，
根据折叠的性质，可得AB=BF，∠A=∠BFG=90°=∠BFH，AE=EF，
∵BF平分∠DBC，
∴∠FBG=∠FBH=∠DBC，
在△BFG与△BFH中，
∴△BFG≌△BFH（ASA），
∴FG=FH，
∵G为EF的中点，
∴GE=GF，
∴GF=FH=y，
∴AE=EF=2y，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，AD=BC，
∴EG：GH=DG：BG=DE：BH，
∴y：(y+y）=x：BG，解得BG=2x，
∴BH=BG=2x，
∴DE：2x=y：2y，解得DE=x.
∴AD=AE+DE=2y+x=BC.
∴，
，
∵AB=BF，
∴AB2=BF2，
∴，解得y=-2x(舍去)或3y=2x.
∴.
∴.
∴.
故答案为：.
【分析】设EG=y，DG=x，先利用ASA证明△BFG≌△BFH，再根据矩形的性质，得出AD//BC，AD=BC，根据平行线截的线段成比例，列出比例式求出BG=2x，再利用勾股定理，分别求出AB2，BF2，根据AB2=BF2，求出x与y的关系，再求出.
18．【答案】；
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：如图1，设水平虚线与AC、AB分别交于G，L，
∵ AE：DE=5∶3 ，
∴AE：AD=5：8，
∵GE∥CD，
∴GE：CD=AE：AD=5：8，∠AGE=∠C，
设GE=5x，CD=8x，
由图2知：RS=AG=EG+CD=13x，
∴AE==12x，
∴ tanC = tan∠AGE=.
∵GE∥CD，AG=13x，AE=12x，
∴AG：GC=AE：DE=5∶3 ，
∴GC=x，DE=x，
根据图1和图2得QR=GC=x，RN=GE=5x，QM=AE=12x，
∴QN=QR+RN=x，FK=FO+OK=x，
∵矩形MQNS的面积=矩形FHIK的面积+5，
∴QM·QN=FH·FK+5，即12x·x=12x·x，
解得x=，
∴FH=10，FK=，
∴矩形FHIK的面积=FH·FK=.
故答案为：，.
【分析】如图1，设水平虚线与AC、AB分别交于G，L，由平行线分线段成比例可得GE：CD=AE：AD=5：8，∠AGE=∠C，设GE=5x，CD=8x，利用勾股定理求出AE=12x，根据tanC = tan∠AGE=即可求解.由AG：GC=AE：DE=5∶3 ，可求出GC、DE，根据图1和图2得QR=GC=x，RN=GE=5x，QM=AE=12x，从而得出QN=QR+RN=x，FK=FO+OK=x，根据矩形MQNS的面积=矩形FHIK的面积+5建立关于x方程并解之，即可求FH、FK的长，利用矩形FHIK的面积=FH·FK即可求解.
19．【答案】；
【知识点】矩形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；求正切值
【解析】【解答】解：设DF=2x，在图1中，
图1
∵AD//EF//BC，
∴.
∴CF=3x.
∴AB=DF+CF=5x.
在图2中，
图2
TQ=2x，QM=2x，
∴MN=AB=5x.
∴AN=MN-TQ-QM=x.
∵图形⑤的面积与图形④的面积同宽，
∴图形⑤的面积为15
设DG=a，
∴AG=PQ=OC+FH=3.5+a，
AN=BM=EH+FH+DG=2a+4.
∴OB=2a.
∵图形④的面积为15，
∴DF·DG=15.
∴2ax=15，
∵S梯形AOCD+=S梯形AOMN，
∴.
∴，解得x=3，
∴2a·3=15，解得.
∴AB=15，OB=5.
∴ tan∠BAO=
故答案为：；．
【分析】设DF=2x，根据平行线分线段成比例定理，可用x表示出CF，进而可用x表示出AB、TQ和QM，从而可用x表示出MN与AN，根据图形⑤的面积与图形④的面积同宽，可求得图形⑤的面积；
设DG=a，则可用a表示出AG与AN，从而可用a表示出OB，根据图形④的面积为15，可得到关于a、x的一个关系式，再根据S梯形AOCD+=S梯形AOMN，可求得x，从而可求得a，再利用正切的意义求出 tan∠BAO .
20．【答案】（1）
（2）
【知识点】三角形全等的判定；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：（1）∵正方形边长为1，G是边的中点，
∴，，，
∵，
∴，又，
∴，
∴，
∴；
由折叠性质得，，
∴，
∴，则，
∵，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）∵G是边的中点，点E在线段上运动，
∴ ，
∵点C到的距离小于，又与线段只有一个公共点，
∴不可能与相切，如图，
当经过点D时，与有两个交点，且，此时，
∴；
当经过点G时，，连接，
∵，，，
∴，
∴，即与重合，此时，
∴当时，与线段只有一个公共点.
故答案为：.
【分析】（1）根据正方形的性质可得∠BAD=∠ADC=∠ABC=90°，AD=DC=AB=BC=1，AG=AB=，由同角的余角相等可得∠ADG=∠DCF，利用ASA证明△ADC≌△DCF，得到DF=AG=，由折叠性质得BE⊥MC，CH=HM，则EH∥DM，根据平行线分线段成比例的性质可得CE=DE=DC=，证明△CHE∽△CDF，然后根据相似三角形的性质进行解答；
（2）由题意可得GE≥1，当⊙C经过点D时，⊙C与DG有两个交点，且GE=DC=1，此时GE⊥CD，CE=DC=；当⊙C经过点G时，GE=CG，连接CG，利用SAS证明△DAG≌△CBG，得到DG=CG，即GE与DG重合，此时CE=CD，据此解答.
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