【贵州卷】备战2026年中考数学真题变式阶梯训练第17~18题
一、原题17
1．（2025·贵州）
（1）计算：；
（2）先化简：，再从中选取一个使原式有意义的数代入求值．
二、变式1基础
2．（2023·长兴模拟）化简并求值：，其中．
3．（2022·龙游模拟）先化简，再求值：，其中．
4．（2017·滨江模拟）先化简，再求值： + ，其中a=﹣5．
三、变式2巩固
5．（2024·仙居模拟）计算：
（1）．
（2）先化简，再求值：，其中．
6．（2025七下·余姚期末）计算
（1）
（2）
7．（2024·浙江模拟）（1）计算：．
（2）化简：．
四、变式3提高
8．（2023七下·金东期中）先化简，再求值：，其中m＝－3，n＝5．
9．（2024七下·义乌月考）先化简，再从1，，2，中选择一个合适的x值代入求代数式的值．
10．（2023七下·江北期末）化简：，并在，0，2中选一个合适的数作为a的值代入求值．
五、原题18
11．（2025·贵州）小星在阅读《天工开物》时，看到一种名为桔槔的古代汲水工具（如图①），有一横杆固定于桔槔上点，并可绕点转动．在横杆处连接一竹竿，在横杆处固定的物体，且．若图中人物竖直向下施加的拉力为，当改变点与点的距离时，横杆始终处于水平状态，小星发现与有一定的关系，记录了拉力的大小与的变化，如下表：
点与点的距离 1 2 3
拉力的大小 300 200 150 120
（1）表格中的值是 ；
（2）小星通过分析表格数据发现，用函数可以刻画与之间的关系．在如图②所示的平面直角坐标系中，描出表中对应的点，并画出这个函数的图象；
（3）根据以上数据和图象判断，当的长增大时，拉力是增大还是减小？请说明理由．
六、变式1（基础）
12． 已知一艘轮船上装有 100 吨货物， 轮船到达目的地后开始卸货． 设平均卸货速度为 (吨/小时)， 卸完这批货物所需的时间为 (小时)．
（1）求 关于 的函数表达式．
（2）若要求 5 小时卸完船上的这批货物，那么平均每小时要卸货多少吨？
13． 某地上一年度的电价为 0.8 元/千瓦时， 年用电量为 1 亿千瓦时， 本年度计划将电价调至 元/千瓦时之间． 经测算， 若电价调至 元/千瓦时， 则本年度新增用电量 (亿千瓦时)与 )(元) 成反比例， 当 时， ．
（1）求 与 之间的函数表达式．
（2） 若每千瓦时电的成本价为 0.3 元， 则电价调至多少元/千瓦时时， 本年度电力部门的收益将比上一年度增加 [收益=用电量 (实际电价一成本价 ]
14．（初中数学浙教版八下精彩练习6.1反比例函数（1））有600个零件需要在一天内加工完毕，设当工作效率为每人每天加工p个时，需工人q个.
（1）求q关于p的函数表达式.
（2）若每人每天的工作效率提高20%，则工人的人数可以减少几分之几
七、变式2（巩固）
15．（初中数学浙教版八下精彩练习6.3反比例函数的应用）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流Ⅰ(A)与电阻R( )是反比例函数关系，当电阻R=9 时，电流Ⅰ=4 A.
（1）求Ⅰ关于R的函数表达式和自变量R的取值范围；
（2）在给定的平面直角坐标系（如图)中画出所求函数的图象；
（3）若以此蓄电池为电源的用电器的限制电流不超过10 A，则用电器可变电阻应控制在什么范围
16．（2019八下·灌云月考）某气球内充满了一定量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p（kPa）是气体体积V（m3）的反比例函数，其图象如图所示．
（1）求这一函数的解析式；
（2）当气体体积为1m3时，气压是多少？
（3）当气球内的气压大于140kPa时，气球将爆炸，为了安全起见，气体的体积应不小于多少？（精确到0.01m3）．
17．（2016·海曙模拟）张师傅驾车从甲地去乙地，途中在加油站加了一次油，加油时，车载电脑显示还能行驶50千米．假设加油前、后汽车都以100千米/小时的速度匀速行驶，已知油箱中剩余油量y（升）与行驶时间t（小时）之间的关系如图所示．
（1）求张师傅加油前油箱剩余油量y（升）与行驶时间t（小时）之间的关系式；
（2）求出a的值；
（3）求张师傅途中加油多少升？
八、变式3（提高）
18．（2025八下·永康期末）小数同学根据学习函数的经验，类比探究了新函数，请把小数下面的探究过程补充完整。
（1）在取值范围内取x和y的几组对应值列表如下：
x … -3 -1 0 2 3 n …
y … 2 m 5 5 3 2 …
其中m= ；n= ；
（2）根据上表的数据，在下面平面直角坐标系中画出了函数图象的一部分，请补全函数的图象。
（3）观察图象，写出该函数的两条性质：
① ；② ；
（4）进一步探究：
①不等式的解是 .
②若直线у=-x+k与函数的图象有三个交点，则k的取值范围是 .
19．模具厂计划生产面积为4，周长为的矩形模具．对于的取值范围，小亮已经能用“代数”的方法解决，现在他又尝试从“图形”的角度进行探究，过程如下：
（1）建立函数模型．
设矩形相邻两边的长分别为x，y，由矩形的面积为4，得，即．由周长为，得，即．满足要求的应是两个函数图象在第 象限内交点的坐标．
（2）画出函数图象．
函数的图象如图所示，而函数的图象可由直线平移得到．在同一直角坐标系中画出直线．
（3）平移直线，观察函数图象．
①当直线平移到与函数的图象有唯一交点时，周长的值为 .
②在直线平移过程中，交点个数还有哪些情况 请写出交点个数及对应的周长的取值范围．
（4）得出结论．
若生产出矩形模具的面积为4，则其周长的取值范围为 .
20．（2022九上·义乌开学考）已知一块矩形草坪的两边长分别是2米与3米，现在要把这个矩形按照如图1的方式扩大到面积为原来的2倍，设原矩形的一边加长a米，另一边长加长b米，可得a与b之间的函数关系式b＝﹣2．某班“数学兴趣小组”对此函数进一步推广，得到更一般的函数y＝﹣2，现对这个函数的图象和性质进行了探究，研究过程如下，请补充完整：
（1）类比反比例函数可知，函数y＝﹣2的自变量x的取值范围是 ，这个函数值y的取值范围是 ．
（2）“数学兴趣小组”进一步思考函数y＝|﹣2|的图象和性质，请根据函数y＝﹣2的图象，画出函数y＝|﹣2|的图象；
（3）结合函数y＝|﹣2|的图象解答下列问题：
①求出方程|﹣2|＝0的根；
②如果方程|﹣2|＝a有2个实数根，请直接写出a的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】（1）解：
.
（2）解：
，
∵分式要有意义，
∴，
∴且，
∴当时，原式；当时，原式．
【知识点】分式的化简求值；负整数指数幂；绝对值的概念与意义；实数的混合运算（含开方）；求算术平方根
【解析】【分析】（1）按绝对值、负指数幂、算术平方根的运算规则，依次计算，，，再进行乘减运算.
（2）先通分将异分母分式化为同分母，再分子相减、约分得到最简式；根据分式分母不为确定的取值，代入计算.
2．【答案】，
【知识点】分式的化简求值
3．【答案】，
【知识点】分式的化简求值
4．【答案】解： +
=
=
=
= ，
当a=﹣5时，原式=
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】先化简题目中的式子，然后将a的值代入化简后的式子即可解答本题．
5．【答案】（1）解：
=4++3
=.
（2）解：
，
当时，原式.
【知识点】分式的化简求值；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】（1）根据实数混合运算法则进行计算即可得出答案；
（2）先通分，再进行加法运算并通过约分使结果为最简分式，最后代入求值即可．
6．【答案】（1）解：原式=
（2）解：原式
【知识点】分式的加减法；整数指数幂的运算
【解析】【分析】（1）任何非零数的零次幂等于1，因此直接得到结果1。负指数表示倒数，即；
(2)分式加减需先通分，找到共同分母，注意符号变化，尤其是分母的因式分解和变形。
7．【答案】解：（1）计算：
=
=1．
（2）化简：
．
【知识点】分式的加减法；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】（1）根据实数的加减运算法则结合负整数指数幂和二次分式的性质，进行运算即可；
（2）首先把分式的分子、分母分解因式，约分后进行加减运算即可．
8．【答案】
【知识点】分式的化简求值
9．【答案】，当时，原式
【知识点】分式的化简求值
10．【答案】，当时，原式=2
【知识点】分式的化简求值
11．【答案】（1）100
（2）解：与之间的函数图象，如图所示：
（3）解：当的长增大时，拉力减小，理由如下：
由函数图象可知：F是l的反比例函数，且该函数图象在第一象限内，根据反比例函数的性质可知，F随l的增大而减小，所以当的长增大时，拉力减小．
【知识点】列反比例函数关系式；反比例函数的实际应用
【解析】【解答】（1）解：根据表格中的数据发现：
，
因此点与点的距离与拉力F的乘积不变，
∴.
故答案为：100.
【分析】（1）利用杠杆平衡原理（动力×动力臂 = 阻力×阻力臂 ），确定与的反比例关系，代入求.
（2）按表格数据描点，用平滑曲线连接（因是反比例函数，图象为双曲线一支 ）.
（3）依据反比例函数的性质（第一象限内随增大而减小 ），判断拉力变化.
12．【答案】（1）由题意可得100= vt. 则
（2）∵5小时卸完船上的这批货物，∴t=5，则
答：平均每小时要卸货20 吨。
【知识点】列反比例函数关系式
【解析】【分析】（1）本题中货物总量=平均卸货速度×时间，轮船上的货物总量不变，平均卸货速度与时间成反例关系，在实际问题中要注意自变量的取值范围.
（2）本题考查已知卸货时间5小时，求平均卸货速度，即t=5代入求得v=20.
13．【答案】（1）解：∵y与（x 0.4）成反比例，
∴设y＝(k≠0)．
把x＝0.65，y＝0.8代入上式，得k＝0.2，
∴y＝
即y与x之间的函数关系式为y＝.
（2）解：根据题意，得（1＋）（x 0.3）＝1×（0.8 0.3）×（1＋20%）．
整理，得x2 1.1x＋0.3＝0，解得x1＝0.5，x2＝0.6．
经检验x1＝0.5，x2＝0.6都是所列方程的根．
∵x的取值范围是0.55～0.75，
∴x＝0.5不符合题意，应舍去．
∴x＝0.6．
答：当电价调至0.6元时，本年度电力部门的收益将比上年度增加20%．
【知识点】列反比例函数关系式；反比例函数的实际应用
【解析】【分析】（1）设y＝(k≠0)，把x＝0.65，y＝0.8代入上式，得k＝0.2，从而可得函数解析式；
（2）根据“ 本年度电力部门的收益将比上一年度增加 ”列出方程（1＋）（x 0.3）＝1×（0.8 0.3）×（1＋20%），再求解即可.
14．【答案】（1）解： .
（2）解：设提高效率后需工人的人数是 ，则有 ，
∴
∴
故工人的人数可以减少 .
【知识点】列反比例函数关系式
【解析】【分析】（1）由工作量=工作效率×时间，得pq=600，整理即可得到q关于p的函数表达式；
（2）设提高效率后需工人的人数是m，则（1+20%）pm=pq，从而得到m=q，再用q-m即可求得减少的人数，即可解决问题.
15．【答案】（1）解：设 ，
∵当 时， ，
∴ ，解得 ，
∴ .
（2）解：列表如下.
… 3 4 5 6 8 9 10 12 …
… 12 9 7.2 6 4.5 4 3.6 3 …
（3）解：∵ ，
∴
∴
即用电器可变电阻应不低于 .
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质；列反比例函数关系式
【解析】【分析】（1）利用已知：电流Ⅰ(A)与电阻R( )是反比例函数关系，设 ，再将R和I的值代入可求出k的值，即可得到函数解析式.
（2）利用R的取值范围，先列表，再描点，然后画出函数图象.
（3）由已知可知I≤10，建立关于R的不等式，求出不等式的解集.
16．【答案】（1）解：设，
由题意知，
所以k=96，
故；
（2）当v=1m3时，；
（3）当p=140kPa时，．所以为了安全起见，气体的体积应不少于0.69m3．
【知识点】列反比例函数关系式
【解析】【分析】（1）设出反比例函数解析式，把A坐标代入可得函数解析式；
（2）把v=1代入（1）得到的函数解析式，可得p；
（3）把P=140代入得到V即可．
17．【答案】（1）解：设加油前函数解析式为y=kt+b（k≠0），
把（0，28）和（1，20）代入，
得 ，
解得： ，
故张师傅加油前油箱剩余油量y（升）与行驶时间t（小时）之间的关系式为：y=﹣8t+28
（2）解：当y=0时，﹣8t+28=0，
解得：t= ，
故a= ﹣ =3
（3）解：设途中加油x升，则28+x﹣34=8× ，
解得：x=46，
答：张师傅途中加油46升
【知识点】列反比例函数关系式；反比例函数的实际应用
【解析】【分析】（1）由图中所给条件和待定系数法易得加油前油箱剩余油量y（升）与行驶时间t（小时）之间的关系式。
（2）设若没有加油，则用完油时，Y=0，求得此时t=，又知加油时，车载电脑显示还能行驶50千米，则距实际时间还差小时，最后易得a=3.
（3）由5小时后还有34升油易得方程28+x﹣34=8×5，求得加了46升油。
18．【答案】（1）3；5
（2）解：补全函数的图象如图：
（3）函数的图象关于直线x=1对称；当x>1时，y随x的增大而减小.
（4）06
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质；作图-反比例函数图象
【解析】【解答】解：(1)把x=-1代入得，
，
∴m=3，
把y=2代入得，，
解得x=-3或x=5，
∴n=5，
故答案为：3，5.
(3)由函数图象可知：①函数的图象关于直线x=1对称，
②当x>1时，y随x的增大而减小，
故答案为：函数的图象关于直线x=1对称；当x>1时，y随x的增大而减小.
(4)①根据图象可得：不等式的解是0②根据图象可得，当直线y=-x-k过点(3，3)时，直线y=-x+k与函数的图象有两个交点，把点(3，3)代入y=-x+k得k=6，
∴若直线y=-x+k与函数的图象有三个交点，则k的取值范围是k>6.
故答案为：06.
【分析】(1)把x=-1代入解析式即可求得m的值，把y=2代入解析式即可求得n的值；
(2)根据表格中的数据画出函数图象即可；
(3)观察函数图象，即可得到函数的两条性质；
(4)关键图象即可求求解.
19．【答案】（1）一
（2）解：图形如图所示：
（3）①8；
②在直线平移过程中，交点个数还有0个，2个两种情况．
联立和，
并整理，得x2 mx＋4＝0，
有0个交点，即Δ＝b2 4ac＜0，解得0＜m＜8；
有两个交点，即Δ＝b2 4ac＞0，解得m＜ 8（舍去）或m＞8．
综上所述，当有0个交点时，0＜m＜8，当有2个交点时，m＞8；
（4）
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；反比例函数的图象；反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数的实际应用；作图-反比例函数图象
【解析】【解答】解：（1）∵x＞0，
∴满足要求的（x，y）应是两个函数图象在第一象限内交点的坐标；
故答案为：一；
（3）①将（2，2）代入，得出，
解得m＝8，
故周长m的值为8．
故答案为：8；
（4）由（2）可知，矩形的周长2x＋2y＝m≥8，
所以若能生产出面积为4的矩形模具，则周长m的取值范围为m≥8．
故答案为：m≥8．
【分析】（1）利用一次函数和反比例函数的图象与系数的关系分析求解即可；
（2）利用描点法作出函数图象即可；
（3）①将点（2，2）代入解析式求出m的值即可；
②先联立方程，再利用一元二次方程根的判别式分析求解即可；
（4）根据“ 生产出矩形模具的面积为4 ”列出不等式2x＋2y＝m≥8，再求解即可.
20．【答案】（1）x≠﹣3；y≠﹣2
（2）解：函数y＝|﹣2|的图象，如图所示：
（3）解：①方程|﹣2|＝0该方程的根是x＝3；
②如果方程|﹣2|＝a有2个实数根，则a的取值范围是0＜a＜2或a＞2．
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数图象的对称性
【解析】【解答】解：（1）y＝﹣2的自变量x的取值范围是x≠﹣3，这个函数值y的取值范围是y≠﹣2，
故答案为：x≠﹣3；y≠﹣2．
【分析】（1）根据分式有意义的条件得出自变量x的取值范围是x≠-3，根据≠0，得出函数值y的取值范围是y≠-2，即可得出答案；
（2）y＝﹣2的图象的x轴上方部分沿x轴翻折，即可得出函数y＝|﹣2|的图象；
（3）①利用图象法即可得出方程|﹣2|＝0该方程的根是x＝3；
②利用图象法即可得出a的取值范围是0＜a＜2或a＞2．
1 / 1【贵州卷】备战2026年中考数学真题变式阶梯训练第17~18题
一、原题17
1．（2025·贵州）
（1）计算：；
（2）先化简：，再从中选取一个使原式有意义的数代入求值．
【答案】（1）解：
.
（2）解：
，
∵分式要有意义，
∴，
∴且，
∴当时，原式；当时，原式．
【知识点】分式的化简求值；负整数指数幂；绝对值的概念与意义；实数的混合运算（含开方）；求算术平方根
【解析】【分析】（1）按绝对值、负指数幂、算术平方根的运算规则，依次计算，，，再进行乘减运算.
（2）先通分将异分母分式化为同分母，再分子相减、约分得到最简式；根据分式分母不为确定的取值，代入计算.
二、变式1基础
2．（2023·长兴模拟）化简并求值：，其中．
【答案】，
【知识点】分式的化简求值
3．（2022·龙游模拟）先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【知识点】分式的化简求值
4．（2017·滨江模拟）先化简，再求值： + ，其中a=﹣5．
【答案】解： +
=
=
=
= ，
当a=﹣5时，原式=
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】先化简题目中的式子，然后将a的值代入化简后的式子即可解答本题．
三、变式2巩固
5．（2024·仙居模拟）计算：
（1）．
（2）先化简，再求值：，其中．
【答案】（1）解：
=4++3
=.
（2）解：
，
当时，原式.
【知识点】分式的化简求值；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】（1）根据实数混合运算法则进行计算即可得出答案；
（2）先通分，再进行加法运算并通过约分使结果为最简分式，最后代入求值即可．
6．（2025七下·余姚期末）计算
（1）
（2）
【答案】（1）解：原式=
（2）解：原式
【知识点】分式的加减法；整数指数幂的运算
【解析】【分析】（1）任何非零数的零次幂等于1，因此直接得到结果1。负指数表示倒数，即；
(2)分式加减需先通分，找到共同分母，注意符号变化，尤其是分母的因式分解和变形。
7．（2024·浙江模拟）（1）计算：．
（2）化简：．
【答案】解：（1）计算：
=
=1．
（2）化简：
．
【知识点】分式的加减法；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】（1）根据实数的加减运算法则结合负整数指数幂和二次分式的性质，进行运算即可；
（2）首先把分式的分子、分母分解因式，约分后进行加减运算即可．
四、变式3提高
8．（2023七下·金东期中）先化简，再求值：，其中m＝－3，n＝5．
【答案】
【知识点】分式的化简求值
9．（2024七下·义乌月考）先化简，再从1，，2，中选择一个合适的x值代入求代数式的值．
【答案】，当时，原式
【知识点】分式的化简求值
10．（2023七下·江北期末）化简：，并在，0，2中选一个合适的数作为a的值代入求值．
【答案】，当时，原式=2
【知识点】分式的化简求值
五、原题18
11．（2025·贵州）小星在阅读《天工开物》时，看到一种名为桔槔的古代汲水工具（如图①），有一横杆固定于桔槔上点，并可绕点转动．在横杆处连接一竹竿，在横杆处固定的物体，且．若图中人物竖直向下施加的拉力为，当改变点与点的距离时，横杆始终处于水平状态，小星发现与有一定的关系，记录了拉力的大小与的变化，如下表：
点与点的距离 1 2 3
拉力的大小 300 200 150 120
（1）表格中的值是 ；
（2）小星通过分析表格数据发现，用函数可以刻画与之间的关系．在如图②所示的平面直角坐标系中，描出表中对应的点，并画出这个函数的图象；
（3）根据以上数据和图象判断，当的长增大时，拉力是增大还是减小？请说明理由．
【答案】（1）100
（2）解：与之间的函数图象，如图所示：
（3）解：当的长增大时，拉力减小，理由如下：
由函数图象可知：F是l的反比例函数，且该函数图象在第一象限内，根据反比例函数的性质可知，F随l的增大而减小，所以当的长增大时，拉力减小．
【知识点】列反比例函数关系式；反比例函数的实际应用
【解析】【解答】（1）解：根据表格中的数据发现：
，
因此点与点的距离与拉力F的乘积不变，
∴.
故答案为：100.
【分析】（1）利用杠杆平衡原理（动力×动力臂 = 阻力×阻力臂 ），确定与的反比例关系，代入求.
（2）按表格数据描点，用平滑曲线连接（因是反比例函数，图象为双曲线一支 ）.
（3）依据反比例函数的性质（第一象限内随增大而减小 ），判断拉力变化.
六、变式1（基础）
12． 已知一艘轮船上装有 100 吨货物， 轮船到达目的地后开始卸货． 设平均卸货速度为 (吨/小时)， 卸完这批货物所需的时间为 (小时)．
（1）求 关于 的函数表达式．
（2）若要求 5 小时卸完船上的这批货物，那么平均每小时要卸货多少吨？
【答案】（1）由题意可得100= vt. 则
（2）∵5小时卸完船上的这批货物，∴t=5，则
答：平均每小时要卸货20 吨。
【知识点】列反比例函数关系式
【解析】【分析】（1）本题中货物总量=平均卸货速度×时间，轮船上的货物总量不变，平均卸货速度与时间成反例关系，在实际问题中要注意自变量的取值范围.
（2）本题考查已知卸货时间5小时，求平均卸货速度，即t=5代入求得v=20.
13． 某地上一年度的电价为 0.8 元/千瓦时， 年用电量为 1 亿千瓦时， 本年度计划将电价调至 元/千瓦时之间． 经测算， 若电价调至 元/千瓦时， 则本年度新增用电量 (亿千瓦时)与 )(元) 成反比例， 当 时， ．
（1）求 与 之间的函数表达式．
（2） 若每千瓦时电的成本价为 0.3 元， 则电价调至多少元/千瓦时时， 本年度电力部门的收益将比上一年度增加 [收益=用电量 (实际电价一成本价 ]
【答案】（1）解：∵y与（x 0.4）成反比例，
∴设y＝(k≠0)．
把x＝0.65，y＝0.8代入上式，得k＝0.2，
∴y＝
即y与x之间的函数关系式为y＝.
（2）解：根据题意，得（1＋）（x 0.3）＝1×（0.8 0.3）×（1＋20%）．
整理，得x2 1.1x＋0.3＝0，解得x1＝0.5，x2＝0.6．
经检验x1＝0.5，x2＝0.6都是所列方程的根．
∵x的取值范围是0.55～0.75，
∴x＝0.5不符合题意，应舍去．
∴x＝0.6．
答：当电价调至0.6元时，本年度电力部门的收益将比上年度增加20%．
【知识点】列反比例函数关系式；反比例函数的实际应用
【解析】【分析】（1）设y＝(k≠0)，把x＝0.65，y＝0.8代入上式，得k＝0.2，从而可得函数解析式；
（2）根据“ 本年度电力部门的收益将比上一年度增加 ”列出方程（1＋）（x 0.3）＝1×（0.8 0.3）×（1＋20%），再求解即可.
14．（初中数学浙教版八下精彩练习6.1反比例函数（1））有600个零件需要在一天内加工完毕，设当工作效率为每人每天加工p个时，需工人q个.
（1）求q关于p的函数表达式.
（2）若每人每天的工作效率提高20%，则工人的人数可以减少几分之几
【答案】（1）解： .
（2）解：设提高效率后需工人的人数是 ，则有 ，
∴
∴
故工人的人数可以减少 .
【知识点】列反比例函数关系式
【解析】【分析】（1）由工作量=工作效率×时间，得pq=600，整理即可得到q关于p的函数表达式；
（2）设提高效率后需工人的人数是m，则（1+20%）pm=pq，从而得到m=q，再用q-m即可求得减少的人数，即可解决问题.
七、变式2（巩固）
15．（初中数学浙教版八下精彩练习6.3反比例函数的应用）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流Ⅰ(A)与电阻R( )是反比例函数关系，当电阻R=9 时，电流Ⅰ=4 A.
（1）求Ⅰ关于R的函数表达式和自变量R的取值范围；
（2）在给定的平面直角坐标系（如图)中画出所求函数的图象；
（3）若以此蓄电池为电源的用电器的限制电流不超过10 A，则用电器可变电阻应控制在什么范围
【答案】（1）解：设 ，
∵当 时， ，
∴ ，解得 ，
∴ .
（2）解：列表如下.
… 3 4 5 6 8 9 10 12 …
… 12 9 7.2 6 4.5 4 3.6 3 …
（3）解：∵ ，
∴
∴
即用电器可变电阻应不低于 .
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质；列反比例函数关系式
【解析】【分析】（1）利用已知：电流Ⅰ(A)与电阻R( )是反比例函数关系，设 ，再将R和I的值代入可求出k的值，即可得到函数解析式.
（2）利用R的取值范围，先列表，再描点，然后画出函数图象.
（3）由已知可知I≤10，建立关于R的不等式，求出不等式的解集.
16．（2019八下·灌云月考）某气球内充满了一定量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p（kPa）是气体体积V（m3）的反比例函数，其图象如图所示．
（1）求这一函数的解析式；
（2）当气体体积为1m3时，气压是多少？
（3）当气球内的气压大于140kPa时，气球将爆炸，为了安全起见，气体的体积应不小于多少？（精确到0.01m3）．
【答案】（1）解：设，
由题意知，
所以k=96，
故；
（2）当v=1m3时，；
（3）当p=140kPa时，．所以为了安全起见，气体的体积应不少于0.69m3．
【知识点】列反比例函数关系式
【解析】【分析】（1）设出反比例函数解析式，把A坐标代入可得函数解析式；
（2）把v=1代入（1）得到的函数解析式，可得p；
（3）把P=140代入得到V即可．
17．（2016·海曙模拟）张师傅驾车从甲地去乙地，途中在加油站加了一次油，加油时，车载电脑显示还能行驶50千米．假设加油前、后汽车都以100千米/小时的速度匀速行驶，已知油箱中剩余油量y（升）与行驶时间t（小时）之间的关系如图所示．
（1）求张师傅加油前油箱剩余油量y（升）与行驶时间t（小时）之间的关系式；
（2）求出a的值；
（3）求张师傅途中加油多少升？
【答案】（1）解：设加油前函数解析式为y=kt+b（k≠0），
把（0，28）和（1，20）代入，
得 ，
解得： ，
故张师傅加油前油箱剩余油量y（升）与行驶时间t（小时）之间的关系式为：y=﹣8t+28
（2）解：当y=0时，﹣8t+28=0，
解得：t= ，
故a= ﹣ =3
（3）解：设途中加油x升，则28+x﹣34=8× ，
解得：x=46，
答：张师傅途中加油46升
【知识点】列反比例函数关系式；反比例函数的实际应用
【解析】【分析】（1）由图中所给条件和待定系数法易得加油前油箱剩余油量y（升）与行驶时间t（小时）之间的关系式。
（2）设若没有加油，则用完油时，Y=0，求得此时t=，又知加油时，车载电脑显示还能行驶50千米，则距实际时间还差小时，最后易得a=3.
（3）由5小时后还有34升油易得方程28+x﹣34=8×5，求得加了46升油。
八、变式3（提高）
18．（2025八下·永康期末）小数同学根据学习函数的经验，类比探究了新函数，请把小数下面的探究过程补充完整。
（1）在取值范围内取x和y的几组对应值列表如下：
x … -3 -1 0 2 3 n …
y … 2 m 5 5 3 2 …
其中m= ；n= ；
（2）根据上表的数据，在下面平面直角坐标系中画出了函数图象的一部分，请补全函数的图象。
（3）观察图象，写出该函数的两条性质：
① ；② ；
（4）进一步探究：
①不等式的解是 .
②若直线у=-x+k与函数的图象有三个交点，则k的取值范围是 .
【答案】（1）3；5
（2）解：补全函数的图象如图：
（3）函数的图象关于直线x=1对称；当x>1时，y随x的增大而减小.
（4）06
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质；作图-反比例函数图象
【解析】【解答】解：(1)把x=-1代入得，
，
∴m=3，
把y=2代入得，，
解得x=-3或x=5，
∴n=5，
故答案为：3，5.
(3)由函数图象可知：①函数的图象关于直线x=1对称，
②当x>1时，y随x的增大而减小，
故答案为：函数的图象关于直线x=1对称；当x>1时，y随x的增大而减小.
(4)①根据图象可得：不等式的解是0②根据图象可得，当直线y=-x-k过点(3，3)时，直线y=-x+k与函数的图象有两个交点，把点(3，3)代入y=-x+k得k=6，
∴若直线y=-x+k与函数的图象有三个交点，则k的取值范围是k>6.
故答案为：06.
【分析】(1)把x=-1代入解析式即可求得m的值，把y=2代入解析式即可求得n的值；
(2)根据表格中的数据画出函数图象即可；
(3)观察函数图象，即可得到函数的两条性质；
(4)关键图象即可求求解.
19．模具厂计划生产面积为4，周长为的矩形模具．对于的取值范围，小亮已经能用“代数”的方法解决，现在他又尝试从“图形”的角度进行探究，过程如下：
（1）建立函数模型．
设矩形相邻两边的长分别为x，y，由矩形的面积为4，得，即．由周长为，得，即．满足要求的应是两个函数图象在第 象限内交点的坐标．
（2）画出函数图象．
函数的图象如图所示，而函数的图象可由直线平移得到．在同一直角坐标系中画出直线．
（3）平移直线，观察函数图象．
①当直线平移到与函数的图象有唯一交点时，周长的值为 .
②在直线平移过程中，交点个数还有哪些情况 请写出交点个数及对应的周长的取值范围．
（4）得出结论．
若生产出矩形模具的面积为4，则其周长的取值范围为 .
【答案】（1）一
（2）解：图形如图所示：
（3）①8；
②在直线平移过程中，交点个数还有0个，2个两种情况．
联立和，
并整理，得x2 mx＋4＝0，
有0个交点，即Δ＝b2 4ac＜0，解得0＜m＜8；
有两个交点，即Δ＝b2 4ac＞0，解得m＜ 8（舍去）或m＞8．
综上所述，当有0个交点时，0＜m＜8，当有2个交点时，m＞8；
（4）
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；反比例函数的图象；反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数的实际应用；作图-反比例函数图象
【解析】【解答】解：（1）∵x＞0，
∴满足要求的（x，y）应是两个函数图象在第一象限内交点的坐标；
故答案为：一；
（3）①将（2，2）代入，得出，
解得m＝8，
故周长m的值为8．
故答案为：8；
（4）由（2）可知，矩形的周长2x＋2y＝m≥8，
所以若能生产出面积为4的矩形模具，则周长m的取值范围为m≥8．
故答案为：m≥8．
【分析】（1）利用一次函数和反比例函数的图象与系数的关系分析求解即可；
（2）利用描点法作出函数图象即可；
（3）①将点（2，2）代入解析式求出m的值即可；
②先联立方程，再利用一元二次方程根的判别式分析求解即可；
（4）根据“ 生产出矩形模具的面积为4 ”列出不等式2x＋2y＝m≥8，再求解即可.
20．（2022九上·义乌开学考）已知一块矩形草坪的两边长分别是2米与3米，现在要把这个矩形按照如图1的方式扩大到面积为原来的2倍，设原矩形的一边加长a米，另一边长加长b米，可得a与b之间的函数关系式b＝﹣2．某班“数学兴趣小组”对此函数进一步推广，得到更一般的函数y＝﹣2，现对这个函数的图象和性质进行了探究，研究过程如下，请补充完整：
（1）类比反比例函数可知，函数y＝﹣2的自变量x的取值范围是 ，这个函数值y的取值范围是 ．
（2）“数学兴趣小组”进一步思考函数y＝|﹣2|的图象和性质，请根据函数y＝﹣2的图象，画出函数y＝|﹣2|的图象；
（3）结合函数y＝|﹣2|的图象解答下列问题：
①求出方程|﹣2|＝0的根；
②如果方程|﹣2|＝a有2个实数根，请直接写出a的取值范围．
【答案】（1）x≠﹣3；y≠﹣2
（2）解：函数y＝|﹣2|的图象，如图所示：
（3）解：①方程|﹣2|＝0该方程的根是x＝3；
②如果方程|﹣2|＝a有2个实数根，则a的取值范围是0＜a＜2或a＞2．
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数图象的对称性
【解析】【解答】解：（1）y＝﹣2的自变量x的取值范围是x≠﹣3，这个函数值y的取值范围是y≠﹣2，
故答案为：x≠﹣3；y≠﹣2．
【分析】（1）根据分式有意义的条件得出自变量x的取值范围是x≠-3，根据≠0，得出函数值y的取值范围是y≠-2，即可得出答案；
（2）y＝﹣2的图象的x轴上方部分沿x轴翻折，即可得出函数y＝|﹣2|的图象；
（3）①利用图象法即可得出方程|﹣2|＝0该方程的根是x＝3；
②利用图象法即可得出a的取值范围是0＜a＜2或a＞2．
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