【湖南卷】备战2026年中考数学真题变式阶梯训练第13~14题
一、原题13
1．（2025·湖南）因式分解：a2+13a＝ ．
【答案】a（a+13）
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：
故答案为：a（a+13）.
【分析】直接提公因式a即可.
二、变式1基础
2．（2019八上·长春月考）因式分解： ．
【答案】a(a+1)
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】 a(a+1)
故填：a(a+1).
【分析】用提公因式法分解因式。
3．（2025·南通）分解因式am+a＝ ．
【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：，
故答案为：.
【分析】利用“提公因式法”进行因式分解.
4．（2024八上·朝阳期末）分解因式：x2+5x＝ ．
【答案】x（x+5）
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：x2+5x＝x（x+5），
故答案为： x（x+5）.
【分析】利用提取公因式的计算方法提取公因式x即可得到答案.
三、变式2巩固
5．（2025八上·期末）因式分解： .
【答案】8(x+1)(x-1)
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：=8(x+1)(x-1)
故答案为：8(x+1)(x-1)
【分析】提公因数，再根据平方差公式进行因式分解即可求出答案.
6．（2018·徐州）因式分解：2x2-8=
【答案】2
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：原式=2（x+2）（x-2），
故答案为2（x+2）（x-2）.
【分析】根据因式分解的方法——提公因式法和公式法分解即可得出答案.
7．（2020·长春模拟）因式分解：a3-16a= 。
【答案】a(a+4)(a-4)
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：原式=a（a2-16）=a（a+4）（a-4）
【分析】首先利用提公因式法提出公因式a，将括号内的式子用公式法进行分解，即可得到答案。
四、变式3提高
8．（2025七下·柯桥月考）已知xy＝﹣1，x+y＝2，则＝ ．
【答案】-2
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解-完全平方公式；因式分解的应用-化简求值
【解析】【解答】解： ==，
将 xy＝﹣1，x+y＝2 代入，即原式=.
故答案为：-2 .
【分析】本题主要考查因式分解后整体代入计算代数式的值，其中包括提公因式、完全平方公式的运用。
根据原式首先提取公因式，然后再利用完全平方公式变形，最后整体代入计算即可。
9．（2024九上·杭州开学考）已知实数、、、满足，，则 ．
【答案】-5
【知识点】整式的混合运算；因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：实数、、、满足，
，
，
，
∴．
故答案为：
【分析】先根据题意代入得到，进而即可得到，再根据整式的混合运算、因式分解即可得到，从而代入即可求解。
10．若 ， 则代数式 的值是 .
【答案】-18
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解的应用-化简求值
【解析】【解答】解：
故答案为：-18.
【分析】先因式分解为，然后整体代入解题即可.
五、原题14
11．（2025·湖南）约分： ．
【答案】x2
【知识点】分式的约分
【解析】【解答】解：
故答案为：x2.
【分析】由于分母是分子的一个因式，直接约去分母即可.
六、变式1（基础）
12．填空： ， 括号内应填
【答案】1
【知识点】分式的约分
【解析】【解答】解：.
故答案为：1.
【分析】先将分母分解因式，再约分.
13．（2019七下·滨江期末）约分：
【答案】
【知识点】分式的约分
【解析】【解答】 .
故答案为： .
【分析】分子、分母约去公因式即可.
14．（2018-2019学年初中数学浙教版七年级下册第五章分式 章末检测）化简 的结果是 .
【答案】
【知识点】分式的约分
【解析】【解答】解：原式=；
故答案为：.
【分析】将分式的分子分母的公因式2abc约去即可得出答案。
七、变式2（巩固）
15．把分式约分得
【答案】
【知识点】分式的约分
【解析】【解答】解：原式==，
故答案为：．
【分析】首先把分子分母分解因式，然后再约去分子分母的公因式即可．
16．约分=
【答案】
【知识点】分式的约分
【解析】【解答】解：==；
故答案为：．
【分析】先把分子、分母进行因式分解，再约分即可．
17．计算=
【答案】
【知识点】分式的约分
【解析】【解答】解：==；
故答案为：
【分析】根据平方差公式先把分子与分母因式分解，再约分即可．
八、变式3（提高）
18．（2025七下·杭州期末） 已知，则分式的值为 .
【答案】
【知识点】分式的约分；分式的化简求值-整体代入
【解析】【解答】解：
故答案为： .
【分析】注意到题目所给的条件和要求的代数式之间在形式上似乎很有联系，故先将要求的代数式向条件的形式变形，然后将条件式整体代换进来，最后通过约分得到答案。
19．已知：2x+y=10xy，则代数式的值为
【答案】
【知识点】分式的基本性质；分式的约分
【解析】【解答】解：∵2x+y=10xy，
∴.
故答案为：.
【分析】先用10xy替换分式中的2x+y，分式的分子、分母分别合并同类项后，再约分化简即可.
20．如果=2，那么= .
【答案】
【知识点】分式的约分；分式的化简求值
【解析】【解答】解：∵=2，∴a=2b，
原式=.
故答案为：.
【分析】由 =2可得a=2b，然后将a=2b代入原式中进行化简求值即可解答.
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一、原题13
1．（2025·湖南）因式分解：a2+13a＝ ．
二、变式1基础
2．（2019八上·长春月考）因式分解： ．
3．（2025·南通）分解因式am+a＝ ．
4．（2024八上·朝阳期末）分解因式：x2+5x＝ ．
三、变式2巩固
5．（2025八上·期末）因式分解： .
6．（2018·徐州）因式分解：2x2-8=
7．（2020·长春模拟）因式分解：a3-16a= 。
四、变式3提高
8．（2025七下·柯桥月考）已知xy＝﹣1，x+y＝2，则＝ ．
9．（2024九上·杭州开学考）已知实数、、、满足，，则 ．
10．若 ， 则代数式 的值是 .
五、原题14
11．（2025·湖南）约分： ．
六、变式1（基础）
12．填空： ， 括号内应填
13．（2019七下·滨江期末）约分：
14．（2018-2019学年初中数学浙教版七年级下册第五章分式 章末检测）化简 的结果是 .
七、变式2（巩固）
15．把分式约分得
16．约分=
17．计算=
八、变式3（提高）
18．（2025七下·杭州期末） 已知，则分式的值为 .
19．已知：2x+y=10xy，则代数式的值为
20．如果=2，那么= .
答案解析部分
1．【答案】a（a+13）
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：
故答案为：a（a+13）.
【分析】直接提公因式a即可.
2．【答案】a(a+1)
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】 a(a+1)
故填：a(a+1).
【分析】用提公因式法分解因式。
3．【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：，
故答案为：.
【分析】利用“提公因式法”进行因式分解.
4．【答案】x（x+5）
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：x2+5x＝x（x+5），
故答案为： x（x+5）.
【分析】利用提取公因式的计算方法提取公因式x即可得到答案.
5．【答案】8(x+1)(x-1)
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：=8(x+1)(x-1)
故答案为：8(x+1)(x-1)
【分析】提公因数，再根据平方差公式进行因式分解即可求出答案.
6．【答案】2
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：原式=2（x+2）（x-2），
故答案为2（x+2）（x-2）.
【分析】根据因式分解的方法——提公因式法和公式法分解即可得出答案.
7．【答案】a(a+4)(a-4)
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：原式=a（a2-16）=a（a+4）（a-4）
【分析】首先利用提公因式法提出公因式a，将括号内的式子用公式法进行分解，即可得到答案。
8．【答案】-2
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解-完全平方公式；因式分解的应用-化简求值
【解析】【解答】解： ==，
将 xy＝﹣1，x+y＝2 代入，即原式=.
故答案为：-2 .
【分析】本题主要考查因式分解后整体代入计算代数式的值，其中包括提公因式、完全平方公式的运用。
根据原式首先提取公因式，然后再利用完全平方公式变形，最后整体代入计算即可。
9．【答案】-5
【知识点】整式的混合运算；因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：实数、、、满足，
，
，
，
∴．
故答案为：
【分析】先根据题意代入得到，进而即可得到，再根据整式的混合运算、因式分解即可得到，从而代入即可求解。
10．【答案】-18
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解的应用-化简求值
【解析】【解答】解：
故答案为：-18.
【分析】先因式分解为，然后整体代入解题即可.
11．【答案】x2
【知识点】分式的约分
【解析】【解答】解：
故答案为：x2.
【分析】由于分母是分子的一个因式，直接约去分母即可.
12．【答案】1
【知识点】分式的约分
【解析】【解答】解：.
故答案为：1.
【分析】先将分母分解因式，再约分.
13．【答案】
【知识点】分式的约分
【解析】【解答】 .
故答案为： .
【分析】分子、分母约去公因式即可.
14．【答案】
【知识点】分式的约分
【解析】【解答】解：原式=；
故答案为：.
【分析】将分式的分子分母的公因式2abc约去即可得出答案。
15．【答案】
【知识点】分式的约分
【解析】【解答】解：原式==，
故答案为：．
【分析】首先把分子分母分解因式，然后再约去分子分母的公因式即可．
16．【答案】
【知识点】分式的约分
【解析】【解答】解：==；
故答案为：．
【分析】先把分子、分母进行因式分解，再约分即可．
17．【答案】
【知识点】分式的约分
【解析】【解答】解：==；
故答案为：
【分析】根据平方差公式先把分子与分母因式分解，再约分即可．
18．【答案】
【知识点】分式的约分；分式的化简求值-整体代入
【解析】【解答】解：
故答案为： .
【分析】注意到题目所给的条件和要求的代数式之间在形式上似乎很有联系，故先将要求的代数式向条件的形式变形，然后将条件式整体代换进来，最后通过约分得到答案。
19．【答案】
【知识点】分式的基本性质；分式的约分
【解析】【解答】解：∵2x+y=10xy，
∴.
故答案为：.
【分析】先用10xy替换分式中的2x+y，分式的分子、分母分别合并同类项后，再约分化简即可.
20．【答案】
【知识点】分式的约分；分式的化简求值
【解析】【解答】解：∵=2，∴a=2b，
原式=.
故答案为：.
【分析】由 =2可得a=2b，然后将a=2b代入原式中进行化简求值即可解答.
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