【湖南卷】备战2026年中考数学真题变式阶梯训练第15~16题
一、原题15
1．（2025·湖南）甲、乙两人在一次100米赛跑比赛中，路程s（米）与时间t（秒）的函数关系如图所示，填 （“甲”或“乙”先到终点）．
【答案】甲
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：
甲先到达终点
故答案为：甲.
【分析】观察图象得，甲比乙提前2秒到达终点.
二、变式1基础
2．甲、乙两人以相同路线前往离学校12千米的地方参加植树活动.图中l甲，l乙分别表示甲、乙两人前往目的地所行驶的路程s(千米)随时间t(分)变化的函数图象，则每分钟乙比甲多行驶 千米.
【答案】0.6
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：由图象可得，l甲每分钟行驶（千米）；
l乙每分钟行驶（千米）；
∴ 1-0.4=0.6（千米），即每分钟乙比甲多行驶0.6千米.
故答案为：0.6.
【分析】根据函数图象找出路程和对应的时间，利用速度=路程÷时间分别计算出甲和乙的速度，再求差即可.
3．（2025·济南）A，B两地相距，甲、乙两人骑车同时分别从A，B两地相向而行．假设他们都保持匀速行驶，甲、乙两人各自到A地的距离与骑车时间的关系如图所示，则他们相遇时距离A地 ．
【答案】
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：根据图象可得出甲的速度为：，乙的速度为：100-80=20，
设他们相遇时间为出发t小时，则：（15+20）t=100，解得：t=，
∴他们相遇时距离A地：15×=（或42）.
故答案为：.
【分析】根据图像中的关键点，可得出甲，乙的速度，然后根据相遇问题可列出方程，求得相遇时的时间，进而根据他们的速度，即可得出相遇时离A地的距离。
4．（2025·滨江模拟）甲、乙两人在一次赛跑中，路程（米）与时间（秒）的关系如图所示．当第一个人到达终点时，第二个人距离终点还剩 米．
【答案】4
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：由图象可得第二个人的速度为，
第一个人到达终点用时，此时第二个人跑了，
∴第二个人距离终点还剩，
故答案为：4．
【分析】
观察图象先求出第二个人的跑步速度，再乘以12秒，即可得出其与终点的距离．
三、变式2巩固
5．某公司准备与汽车租赁公司签订租车合同，以每月用车路程x（千米）计算，甲汽车租赁公司每月收取的租赁费为y1元，乙汽车租赁公司每月收取的租赁费为y2元，y1，y2与x之间的函数关系如图所示.当月用车路程为2300千米时，选 汽车租赁公司比较合算.
【答案】乙
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：由图象可知当x=2000时，甲乙每月收取的租赁费相等，
∵2300＞2000，
当x＞2000时 y1＞y2，
∴当月用车路程为2300千米时，选乙汽车租赁公司比较合算.
故答案为：乙.
【分析】观察图象可知当x=2000时，甲乙每月收取的租赁费相等，当x＞2000时 y1＞y2，据此可求解.
6．周末，骑行爱好者甲、乙两人相约沿同一路线从地出发前往地进行骑行训练，甲、乙分别以不同的速度匀速骑行，乙比甲早出发5分钟．乙骑行25分钟后，甲以原速的继续骑行，经过一段时间，甲先到达地，乙一直保持原速前往地．在此过程中，甲、乙两人相距的路程(米)与乙骑行的时间(分钟)之间的关系如图所示，则乙比甲晚 分钟到达地．
【答案】12
【知识点】通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：根据题意可得：乙的速度为1500÷5＝300（米/分），
设甲的速度为x米/分，
根据题意可得：7500 20x＝2500，
解得：x＝250，
∴25分钟后甲的速度为250×＝400（米/分）．
根据题意总里程＝250×20＋61×400＝29400（米），
86分钟乙的路程为86×300＝25800（米），
∴（29400 25800）÷300＝12（分钟）．
故答案为：12．
【分析】先结合函数图象中的数据，再利用“路程、速度和时间”的关系求出甲、乙的速度，再求出答案即可.
7．（2018·重庆） 两地相距的路程为240千米，甲、乙两车沿同一线路从 地出发到 地，分别以一定的速度匀速行驶，甲车先出发40分钟后，乙车才出发.途中乙车发生故障，修车耗时20分钟，随后，乙车车速比发生故障前减少了10千米/小时（仍保持匀速前行），甲、乙两车同时到达 地.甲、乙两车相距的路程 （千米）与甲车行驶时间 （小时）之间的关系如图所示，求乙车修好时，甲车距 地还有 千米.
【答案】90
【知识点】二元一次方程组的实际应用-行程问题；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】甲车先行40分钟（ ），所行路程为30千米，
因此甲车的速度为 （千米/时），
设乙车的初始速度为V乙，则有
，
解得： （千米/时），
因此乙车故障后速度为：60-10=50（千米/时），
设乙车出故障前走了t1小时，修好后走了t2小时，则有
，解得： ，
45×2=90（千米），
故答案为：90.
【分析】由题意知甲车的速度应该比乙车的速度小，故图像的第一段应该表示甲车先行40分钟与乙车的距离的函数关系，由图像知所行路程为30千米，所用时间为小时，根据速度等于路程除以时间得出甲车的速度，设乙车的初始速度为V乙，根据第二段上点（2，10）可知，甲车行驶两小时的时候两车相距10千米，从而得出方程，求解得出乙故障前的速度；进而得出乙车故障后速度，设乙车出故障前走了t1小时，修好后走了t2小时，根据乙车故障前所走的路程+故障后所走的路程=240，及甲车先行40分钟所走的路程+乙车出发后甲车所走的路程=240，列出方程组，求解即可得出乙车修好后行驶到B地的时间，根据路程等于速度乘以时间进而求出乙车修好后，甲车据B地的距离。
四、变式3提高
8．（2023八上·宁波期末）甲地宏达物流公司的快递车和货车同时从甲地出发，以各自的速度沿快速通道向乙地匀速行驶， 快递车到达乙地后，卸完物资并另装货物共用了 45 分钟，然后按原路以另一速度返回，直至与货车相遇．已知货车行驶速度为 60 km/h，两车间的距离 y(km) 与货车行驶时间 x(h) 之间的函数图象如图所示：
给出以下四个结论：
① 快递车从甲地到乙地的速度是 100 km/h；
② 甲、乙两地之间的距离是 80 km；
③ 图中点 B 的坐标为 ( ， 35)；
④ 快递车从乙地返回时的速度为 90 km/h．
其中正确的是 （填序号）．
【答案】①③④
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：（1）设快递车从甲地到乙地的速度为x千米/时，由题意可得：
2(x-60)=80，
解得：x=100，
即快递车从甲到乙的速度为100km/时，故①正确；
（2）由（1）可知，快递车从甲到乙行驶了2小时，其行驶速度为100km/时，
∴甲地到乙地的距离为：100×2=200（km），故②错误；
（3）由题意可知，图中B点的坐标表示快递车开始从乙地返回甲地时的出发时间和此时两车间的距离，
∴B点的横坐标为：2+45÷60=，B点的纵坐标为：80-60×=35，故③正确；
（4）设快递车返回时的速度为a千米/时，由图中信息和（3）中结论可得：
，解得：，故④正确，
综上所述，正确的结论是①③④.
故答案为：①③④.
【分析】点A的坐标代表快递车到达乙地时所用时间及两车之间的距离，从而根据路程=速度乘以时间及快递车2小时所走的路程-货车2小时所走的路程=80，列方程求解可判断①②；图中B点的坐标表示快递车开始从乙地返回甲地时的出发时间和此时两车间的距离，结合题意分析即可判断③； 利用图象信息和之前计算的结果，我们可以确定快递车从乙地返回时的速度 ，从而即可判断④.
9．（2018八上·绍兴期末）沿河岸有A，B，C三个港口，甲乙两船同时分别从AB港口出发，匀速驶向C港，最终到达C港．设甲、乙两船行驶x（h）后，与B港的距离分别为y1、y2（km），y1、y2与x的函数关系如图所示．考察下列结论：
①乙船的速度是25km/h；②从A港到C港全程为120km；③甲船比乙船早1.5小时到达终点；④若设图中两者相遇的交点为P点，P点的坐标为（ ， ）；⑤如果两船相距小于10km能够相互望见，那么甲、乙两船可以相互望见时，x的取值范围是 ＜x＜2．其中正确的结论有 ．
【答案】①②
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】甲船的速度为20÷0.5=40km/h，
乙船的速度为100÷4=25km/h，①成立；
从A港到C港全程为20+100=120km，②成立；
甲船到达C港的时间为120÷40=3(小时)，
4 3=1小时，③不成立；
设两船相遇的时间为t小时，则有40t 25t=20，
解得：
即P点坐标为 ④不成立；
甲、乙两船第一次相距10km的时间为(20 10)÷(40 25)= (小时)，
甲、乙两船第二次相距10km的时间为(20+10)÷(40 25)=2(小时)，
甲、乙两船第三次相距10km的时间为(100 10)÷25= (小时)，
即甲、乙两船可以相互望见时，x的取值范围是 和 ，⑤不成立.
故答案为：①②.
【分析】①路程除以时间即可求得速度；②从A港到C港是甲所走的路程，所以为20+100=120km；③甲船到C港的时间为100÷40+0.5=3小时，所以比乙早到1小时；④交点P表示两船相遇，即两船到B港的距离相等，故有40t-25t=20，从而可求得点P的横坐标，也可求得纵坐标25t；⑤两船相距10米有三次，对其进行分情况求解即可.
10． 在全民健身环城越野赛中，甲、乙两选手的行程y(千米)随时间x(时)变化的图象(全程)如图所示.有下列说法：①起跑后1小时内，甲在乙的前面；②第1小时两人都跑了10千米；③甲比乙先到达终点；④两人都跑了20千米.其中说法正确的序号是 .
【答案】①②④
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】 在 0 ≤ x ≤ 1 小时内，观察图象可知，甲的行程始终高于乙，因此甲在乙的前面，说法①正确； 当 x = 1 时，甲和乙的行程均为10千米（图象在 x = 1 处的y值均为10），说明两人在第1小时结束时均跑了10千米，说法②正确； 根据图象，乙在 x = 2 时到达终点（y=20），而甲在 x = 2 时的行程为15千米（未达终点），因此甲并未先到达终点，说法③错误； 图象中甲和乙的终点均为 y = 20 千米（如甲在 x = 2.5 时到达终点，乙在 x = 2 时到达），因此两人都跑了全程20千米，说法④正确.
综上所述： 说法正确的序号是 ①②④.
故答案为：①②④.
【分析】 需结合图象的关键点（如起始点、交点、终点等）对 甲、乙两选手行程随时间变化的图象进行分析， 注意时间与路程的对应关系及终点到达顺序 .
五、原题16
11．（2025·湖南）如图，在△ABC中，BC＝6，点E是AC的中点，分别以点A，B为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，直线MN交AB于点D，连接DE，则DE的长是 ．
【答案】3
【知识点】尺规作图-垂直平分线；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：垂直平分BA
是AB中点
是AC中点
是的中位线
故答案为：3.
【分析】由基本尺规作图过程知MN垂直平分AB，即D是AB中点，又E是AC中点，则DE是的中位线，则DE等于AB的一半.
六、变式1（基础）
12．（2025·滨江模拟）如图，在中，，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线交于点D，连接，若，则 ．
【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：，，
，
，
分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线交于点连接，
是线段的垂直平分线，
，
，
．
故答案为：．
【分析】
由基本尺规作图知，MN是AB的垂直平分线，则，所以；由于AB=AC，则，由三角形内角和定理得，则可求．
13．如图， ， 直线 与直线 分别交于 两点， 分别以点 为圆心， 大于 的长为半径画弧， 两弧相交于点 ， 作直线 ， 分别交直线 于点 ， 连结 ，若 ， 则 的度数为 .
【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂直平分线；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：由作图可知CD为线段AB垂直平分线，
∴CA=CB，CD⊥AB，
∴∠ACD=∠BCD，
∵a//b，
∴∠BCD=∠CDA=34°，
∴∠ACD=34°，
∵CD⊥AB，
∴∠CAB=90°-34°=56°，
故答案为：56°.
【分析】由作图可知CD为垂直平分线，可得CA=CB，利用等腰三角形三线合一及平行线性质可得∠ACD度数，利用∠CAB与∠ACD互余可求解.
14． 如图， 已知线段 ， 分别以点 为圆心， 线段 的长为半径画弧， 两弧相交于点 ， 连结 ． 则 为 度．
【答案】30
【知识点】线段垂直平分线的性质；菱形的判定与性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：由题意可得，
是等边三角形，四边形ADBC是菱形，
，
.
故答案为：30.
【分析】由作图痕迹可得是等边三角形，四边形ADBC是菱形，利用等边三角形的性质可得，再通过菱形的性质可得.
七、变式2（巩固）
15．如图，在中，以点为圆心，长为半径作弧，交于两点，分别以点和点为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，作直线，交于点．若，则
【答案】4
【知识点】勾股定理；尺规作图-垂直平分线；线段垂直平分线的应用
【解析】【解答】解：∵ 以点为圆心，长为半径作弧，交于两点 ，∴AC=AD；
∵ 分别以点和点为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，作直线，交于点 ，∴AP为线段CD的垂直平分线；
∴AE⊥CD，DE=CE，且△AEC为直角三角形。
因为AC=5，CE=，=.
故答案为：4.
【分析】本题根据条件中的作图方法可以发现，AP为线段CD的垂直平分线。然后根据垂直平分线特点和勾股定理，便可以求出AE的值。
16．（2024八下·余姚期中）如图，中，为对角线，分别以点A、B为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线交于点E，交于点F，若，，，则的长为 ．
【答案】5
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；平行四边形的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：如图所示，连接，
根据基本作图，可设，
∵，，，
∴，，，
在中，，由勾股定理得，
∴，
解得，
即，
故答案为：5．
【分析】连接，得到，即可得到，再在中根据勾股定理求出x值即可．
17．如图， 在Rt 中， ，分别以点 和 为圆心， 以大于 的长为半径作弧， 两弧相交于点 和 ， 作直线 ， 交 于点 ， 连结 ， 若 ， 则 的长为 .
【答案】5
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：由题意得：MN垂直平分AB，
∴BE=AE.
∵AC=2BC，CE=3，设BC=x，
则AC=2x，BE=AE=2x－3.
在Rt△BCE中，BC2+CE2=BE2，即x2+32=(2x－3)2，
解得：x=4或x=0（舍去）
即BC=4，
∴BE=AE=5.
故答案为：5.
【分析】根据作图得MN垂直平分AB，根据线段垂直平分线的性质得BE=AE，设BC=x，可得BE=AE=2x－3，在Rt△BCE利用勾股定理，即可求得x的值，即可得到BE的长.
八、变式3（提高）
18．（2025八下·新昌期末） 如图，在矩形ABCD中，， ，E，F分别为AB，BC的中点，连结CE，DF，取CE，DF的中点M，N，连结MN，则MN的长为 .
【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；三角形全等的判定-AAS；三角形的中位线定理；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：连接CN并延长交AD于P，连接PE，
∵四边形ABCD是矩形
∴∠A=90°，AD//BC
∵E，F分别是边AB，BC的中点，AB=4，BC=8，
∴，，
∵AD//BC，
∴∠DPN=∠FCN，
在△PDN与△CFN中，
∴△PDN≌△CFN(AAS)，
∴PD=CF=4，CN=PN，
∴AP=AD-PD=4，
∴
∵点M是EC的中点，
∴
故答案为：.
【分析】连接CN并延长交AD于P，连接PE，根据矩形的性质得到∠A=90°，AD//BC，根据全等三角形的性质得到PD=CF，根据勾股定理和三角形的中位线定理即可得到结论.
19．（2025八下·金东期末） 如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC，BD 交于点 O， 的平分线交 BC 于点 E，连结 OE.已知 ，，则 AB= .
【答案】6
【知识点】角平分线的性质；矩形的性质；等腰直角三角形；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：过点O作OF⊥BC于点F，OP⊥AE于点P，过点E作EH⊥AC于点H，如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，AO=CO，
∵OF⊥BC，
∴∠OFC=∠ABC=90°，
∴OF∥AB，
∴OF是△ABC的中位线，
设OF=a，则AB=2OF=2a，
∵AE是∠BAC的平分线，∠ABC=90°，OH⊥AC，
∴EB=EH，设∠BAE=∠CAE=α，
∵∠COE是△OAE的外角，∠AEO=45°，
∴∠COE=∠CAE+∠AEO=α+45°，
在Rt△ABE中，∠AEB=90°-∠BAE=90°-α，
∴∠CEO=180°-（∠AEB+∠AEO）=180°-（90°-α+45°）=α+45°，
∴∠COE=∠CEO=α+45°，
∴CO=CE，
∴AO=CO=CE，
∵OF⊥BC，EH⊥AC，
由三角形的面积公式得：，
∴EH=OF=a，
∴EB=EH=OF=a，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：，
∵OP⊥AE，∠AEO=45°，
∴△OEP是等腰直角三角形，
∴OP=EP，
在Rt△OEP中，，
由由勾股定理得：，
∴，
由三角形的面积公式得：，
∴，
∴AO=5，
在Rt△AOP中，由勾股定理得：，
∴，
∴a=3，
∴AB=2a=6．
故答案为：6．
【分析】过点O作OF⊥BC于点F，OP⊥AE于点P，过点E作EH⊥AC于点H，根据矩形的四个角都是直角，对角线互相平分得出∠ABC=90°，AO=CO，根若在一个三角形中，一条线段是平行于一条边，且等于平行边的一半（这条线段的端点必须是交于另外两条边上的中点），这条线段就是这个三角形的中位线得出OF是△ABC的中位线，设OF=a，则AB=2OF=2a，根据角平分线上的点到角两边的距离相等得出EB=EH，设∠BAE=∠CAE=α，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和得出∠COE=∠CAE+∠AEO=α+45°，推得∠COE=∠CEO=α+45°，得出AO=CO=CE，再由三角形的面积公式得出EH=OF=a，则EB=EH=OF=a，由直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方得出，根据有一个角是直角的等腰三角形是等腰直角三角形得出△OEP是等腰直角三角形，得出OP=EP，由直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方求出OE的值，再由三角形的面积公式得出AO=5，由直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方得出AP的值，求出AE的值，由此得出a=3，继而可得AB的长．
20．如图，在正方形 ABCD 中，E，F 分别是边 AB，BC的中点，连结EC，FD，G，H 分别是 EC，FD 的中点，连结GH.若AB=4，则GH的长度为 .
【答案】
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定-AAS；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连结CH并延长交AD于点P，连结PE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=90°，AD//BC，AB=AD=BC=4
∵E，F分别是边AB，BC的中点，
∴.
∵AD//BC，
∴∠DPH=∠FCH
∵H是DF的中点，
∴DH=FH.
又∵∠PHD=∠CHF
∴△PDH≌△CFH，
∴PD=CF=2，PH=CH，
∴AP=AD-PD=2，H是PC的中点：
∴
∵G，H分别是EC，PC的中点，
∴GH是△ECP的中位线，
∴，
故答案为：.
【分析】根据正方形的性质，可得∠A=90°，AD//BC，AB=AD=BC=4，通过全等三角形求出PD的长度，进而得到AP的长度，然后求出PE的长度，最后根据G、是中点得出GH与PE的关系，从而求出GH的长度.
1 / 1【湖南卷】备战2026年中考数学真题变式阶梯训练第15~16题
一、原题15
1．（2025·湖南）甲、乙两人在一次100米赛跑比赛中，路程s（米）与时间t（秒）的函数关系如图所示，填 （“甲”或“乙”先到终点）．
二、变式1基础
2．甲、乙两人以相同路线前往离学校12千米的地方参加植树活动.图中l甲，l乙分别表示甲、乙两人前往目的地所行驶的路程s(千米)随时间t(分)变化的函数图象，则每分钟乙比甲多行驶 千米.
3．（2025·济南）A，B两地相距，甲、乙两人骑车同时分别从A，B两地相向而行．假设他们都保持匀速行驶，甲、乙两人各自到A地的距离与骑车时间的关系如图所示，则他们相遇时距离A地 ．
4．（2025·滨江模拟）甲、乙两人在一次赛跑中，路程（米）与时间（秒）的关系如图所示．当第一个人到达终点时，第二个人距离终点还剩 米．
三、变式2巩固
5．某公司准备与汽车租赁公司签订租车合同，以每月用车路程x（千米）计算，甲汽车租赁公司每月收取的租赁费为y1元，乙汽车租赁公司每月收取的租赁费为y2元，y1，y2与x之间的函数关系如图所示.当月用车路程为2300千米时，选 汽车租赁公司比较合算.
6．周末，骑行爱好者甲、乙两人相约沿同一路线从地出发前往地进行骑行训练，甲、乙分别以不同的速度匀速骑行，乙比甲早出发5分钟．乙骑行25分钟后，甲以原速的继续骑行，经过一段时间，甲先到达地，乙一直保持原速前往地．在此过程中，甲、乙两人相距的路程(米)与乙骑行的时间(分钟)之间的关系如图所示，则乙比甲晚 分钟到达地．
7．（2018·重庆） 两地相距的路程为240千米，甲、乙两车沿同一线路从 地出发到 地，分别以一定的速度匀速行驶，甲车先出发40分钟后，乙车才出发.途中乙车发生故障，修车耗时20分钟，随后，乙车车速比发生故障前减少了10千米/小时（仍保持匀速前行），甲、乙两车同时到达 地.甲、乙两车相距的路程 （千米）与甲车行驶时间 （小时）之间的关系如图所示，求乙车修好时，甲车距 地还有 千米.
四、变式3提高
8．（2023八上·宁波期末）甲地宏达物流公司的快递车和货车同时从甲地出发，以各自的速度沿快速通道向乙地匀速行驶， 快递车到达乙地后，卸完物资并另装货物共用了 45 分钟，然后按原路以另一速度返回，直至与货车相遇．已知货车行驶速度为 60 km/h，两车间的距离 y(km) 与货车行驶时间 x(h) 之间的函数图象如图所示：
给出以下四个结论：
① 快递车从甲地到乙地的速度是 100 km/h；
② 甲、乙两地之间的距离是 80 km；
③ 图中点 B 的坐标为 ( ， 35)；
④ 快递车从乙地返回时的速度为 90 km/h．
其中正确的是 （填序号）．
9．（2018八上·绍兴期末）沿河岸有A，B，C三个港口，甲乙两船同时分别从AB港口出发，匀速驶向C港，最终到达C港．设甲、乙两船行驶x（h）后，与B港的距离分别为y1、y2（km），y1、y2与x的函数关系如图所示．考察下列结论：
①乙船的速度是25km/h；②从A港到C港全程为120km；③甲船比乙船早1.5小时到达终点；④若设图中两者相遇的交点为P点，P点的坐标为（ ， ）；⑤如果两船相距小于10km能够相互望见，那么甲、乙两船可以相互望见时，x的取值范围是 ＜x＜2．其中正确的结论有 ．
10． 在全民健身环城越野赛中，甲、乙两选手的行程y(千米)随时间x(时)变化的图象(全程)如图所示.有下列说法：①起跑后1小时内，甲在乙的前面；②第1小时两人都跑了10千米；③甲比乙先到达终点；④两人都跑了20千米.其中说法正确的序号是 .
五、原题16
11．（2025·湖南）如图，在△ABC中，BC＝6，点E是AC的中点，分别以点A，B为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，直线MN交AB于点D，连接DE，则DE的长是 ．
六、变式1（基础）
12．（2025·滨江模拟）如图，在中，，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线交于点D，连接，若，则 ．
13．如图， ， 直线 与直线 分别交于 两点， 分别以点 为圆心， 大于 的长为半径画弧， 两弧相交于点 ， 作直线 ， 分别交直线 于点 ， 连结 ，若 ， 则 的度数为 .
14． 如图， 已知线段 ， 分别以点 为圆心， 线段 的长为半径画弧， 两弧相交于点 ， 连结 ． 则 为 度．
七、变式2（巩固）
15．如图，在中，以点为圆心，长为半径作弧，交于两点，分别以点和点为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，作直线，交于点．若，则
16．（2024八下·余姚期中）如图，中，为对角线，分别以点A、B为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线交于点E，交于点F，若，，，则的长为 ．
17．如图， 在Rt 中， ，分别以点 和 为圆心， 以大于 的长为半径作弧， 两弧相交于点 和 ， 作直线 ， 交 于点 ， 连结 ， 若 ， 则 的长为 .
八、变式3（提高）
18．（2025八下·新昌期末） 如图，在矩形ABCD中，， ，E，F分别为AB，BC的中点，连结CE，DF，取CE，DF的中点M，N，连结MN，则MN的长为 .
19．（2025八下·金东期末） 如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC，BD 交于点 O， 的平分线交 BC 于点 E，连结 OE.已知 ，，则 AB= .
20．如图，在正方形 ABCD 中，E，F 分别是边 AB，BC的中点，连结EC，FD，G，H 分别是 EC，FD 的中点，连结GH.若AB=4，则GH的长度为 .
答案解析部分
1．【答案】甲
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：
甲先到达终点
故答案为：甲.
【分析】观察图象得，甲比乙提前2秒到达终点.
2．【答案】0.6
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：由图象可得，l甲每分钟行驶（千米）；
l乙每分钟行驶（千米）；
∴ 1-0.4=0.6（千米），即每分钟乙比甲多行驶0.6千米.
故答案为：0.6.
【分析】根据函数图象找出路程和对应的时间，利用速度=路程÷时间分别计算出甲和乙的速度，再求差即可.
3．【答案】
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：根据图象可得出甲的速度为：，乙的速度为：100-80=20，
设他们相遇时间为出发t小时，则：（15+20）t=100，解得：t=，
∴他们相遇时距离A地：15×=（或42）.
故答案为：.
【分析】根据图像中的关键点，可得出甲，乙的速度，然后根据相遇问题可列出方程，求得相遇时的时间，进而根据他们的速度，即可得出相遇时离A地的距离。
4．【答案】4
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：由图象可得第二个人的速度为，
第一个人到达终点用时，此时第二个人跑了，
∴第二个人距离终点还剩，
故答案为：4．
【分析】
观察图象先求出第二个人的跑步速度，再乘以12秒，即可得出其与终点的距离．
5．【答案】乙
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：由图象可知当x=2000时，甲乙每月收取的租赁费相等，
∵2300＞2000，
当x＞2000时 y1＞y2，
∴当月用车路程为2300千米时，选乙汽车租赁公司比较合算.
故答案为：乙.
【分析】观察图象可知当x=2000时，甲乙每月收取的租赁费相等，当x＞2000时 y1＞y2，据此可求解.
6．【答案】12
【知识点】通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：根据题意可得：乙的速度为1500÷5＝300（米/分），
设甲的速度为x米/分，
根据题意可得：7500 20x＝2500，
解得：x＝250，
∴25分钟后甲的速度为250×＝400（米/分）．
根据题意总里程＝250×20＋61×400＝29400（米），
86分钟乙的路程为86×300＝25800（米），
∴（29400 25800）÷300＝12（分钟）．
故答案为：12．
【分析】先结合函数图象中的数据，再利用“路程、速度和时间”的关系求出甲、乙的速度，再求出答案即可.
7．【答案】90
【知识点】二元一次方程组的实际应用-行程问题；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】甲车先行40分钟（ ），所行路程为30千米，
因此甲车的速度为 （千米/时），
设乙车的初始速度为V乙，则有
，
解得： （千米/时），
因此乙车故障后速度为：60-10=50（千米/时），
设乙车出故障前走了t1小时，修好后走了t2小时，则有
，解得： ，
45×2=90（千米），
故答案为：90.
【分析】由题意知甲车的速度应该比乙车的速度小，故图像的第一段应该表示甲车先行40分钟与乙车的距离的函数关系，由图像知所行路程为30千米，所用时间为小时，根据速度等于路程除以时间得出甲车的速度，设乙车的初始速度为V乙，根据第二段上点（2，10）可知，甲车行驶两小时的时候两车相距10千米，从而得出方程，求解得出乙故障前的速度；进而得出乙车故障后速度，设乙车出故障前走了t1小时，修好后走了t2小时，根据乙车故障前所走的路程+故障后所走的路程=240，及甲车先行40分钟所走的路程+乙车出发后甲车所走的路程=240，列出方程组，求解即可得出乙车修好后行驶到B地的时间，根据路程等于速度乘以时间进而求出乙车修好后，甲车据B地的距离。
8．【答案】①③④
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：（1）设快递车从甲地到乙地的速度为x千米/时，由题意可得：
2(x-60)=80，
解得：x=100，
即快递车从甲到乙的速度为100km/时，故①正确；
（2）由（1）可知，快递车从甲到乙行驶了2小时，其行驶速度为100km/时，
∴甲地到乙地的距离为：100×2=200（km），故②错误；
（3）由题意可知，图中B点的坐标表示快递车开始从乙地返回甲地时的出发时间和此时两车间的距离，
∴B点的横坐标为：2+45÷60=，B点的纵坐标为：80-60×=35，故③正确；
（4）设快递车返回时的速度为a千米/时，由图中信息和（3）中结论可得：
，解得：，故④正确，
综上所述，正确的结论是①③④.
故答案为：①③④.
【分析】点A的坐标代表快递车到达乙地时所用时间及两车之间的距离，从而根据路程=速度乘以时间及快递车2小时所走的路程-货车2小时所走的路程=80，列方程求解可判断①②；图中B点的坐标表示快递车开始从乙地返回甲地时的出发时间和此时两车间的距离，结合题意分析即可判断③； 利用图象信息和之前计算的结果，我们可以确定快递车从乙地返回时的速度 ，从而即可判断④.
9．【答案】①②
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】甲船的速度为20÷0.5=40km/h，
乙船的速度为100÷4=25km/h，①成立；
从A港到C港全程为20+100=120km，②成立；
甲船到达C港的时间为120÷40=3(小时)，
4 3=1小时，③不成立；
设两船相遇的时间为t小时，则有40t 25t=20，
解得：
即P点坐标为 ④不成立；
甲、乙两船第一次相距10km的时间为(20 10)÷(40 25)= (小时)，
甲、乙两船第二次相距10km的时间为(20+10)÷(40 25)=2(小时)，
甲、乙两船第三次相距10km的时间为(100 10)÷25= (小时)，
即甲、乙两船可以相互望见时，x的取值范围是 和 ，⑤不成立.
故答案为：①②.
【分析】①路程除以时间即可求得速度；②从A港到C港是甲所走的路程，所以为20+100=120km；③甲船到C港的时间为100÷40+0.5=3小时，所以比乙早到1小时；④交点P表示两船相遇，即两船到B港的距离相等，故有40t-25t=20，从而可求得点P的横坐标，也可求得纵坐标25t；⑤两船相距10米有三次，对其进行分情况求解即可.
10．【答案】①②④
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】 在 0 ≤ x ≤ 1 小时内，观察图象可知，甲的行程始终高于乙，因此甲在乙的前面，说法①正确； 当 x = 1 时，甲和乙的行程均为10千米（图象在 x = 1 处的y值均为10），说明两人在第1小时结束时均跑了10千米，说法②正确； 根据图象，乙在 x = 2 时到达终点（y=20），而甲在 x = 2 时的行程为15千米（未达终点），因此甲并未先到达终点，说法③错误； 图象中甲和乙的终点均为 y = 20 千米（如甲在 x = 2.5 时到达终点，乙在 x = 2 时到达），因此两人都跑了全程20千米，说法④正确.
综上所述： 说法正确的序号是 ①②④.
故答案为：①②④.
【分析】 需结合图象的关键点（如起始点、交点、终点等）对 甲、乙两选手行程随时间变化的图象进行分析， 注意时间与路程的对应关系及终点到达顺序 .
11．【答案】3
【知识点】尺规作图-垂直平分线；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：垂直平分BA
是AB中点
是AC中点
是的中位线
故答案为：3.
【分析】由基本尺规作图过程知MN垂直平分AB，即D是AB中点，又E是AC中点，则DE是的中位线，则DE等于AB的一半.
12．【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：，，
，
，
分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线交于点连接，
是线段的垂直平分线，
，
，
．
故答案为：．
【分析】
由基本尺规作图知，MN是AB的垂直平分线，则，所以；由于AB=AC，则，由三角形内角和定理得，则可求．
13．【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂直平分线；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：由作图可知CD为线段AB垂直平分线，
∴CA=CB，CD⊥AB，
∴∠ACD=∠BCD，
∵a//b，
∴∠BCD=∠CDA=34°，
∴∠ACD=34°，
∵CD⊥AB，
∴∠CAB=90°-34°=56°，
故答案为：56°.
【分析】由作图可知CD为垂直平分线，可得CA=CB，利用等腰三角形三线合一及平行线性质可得∠ACD度数，利用∠CAB与∠ACD互余可求解.
14．【答案】30
【知识点】线段垂直平分线的性质；菱形的判定与性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：由题意可得，
是等边三角形，四边形ADBC是菱形，
，
.
故答案为：30.
【分析】由作图痕迹可得是等边三角形，四边形ADBC是菱形，利用等边三角形的性质可得，再通过菱形的性质可得.
15．【答案】4
【知识点】勾股定理；尺规作图-垂直平分线；线段垂直平分线的应用
【解析】【解答】解：∵ 以点为圆心，长为半径作弧，交于两点 ，∴AC=AD；
∵ 分别以点和点为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，作直线，交于点 ，∴AP为线段CD的垂直平分线；
∴AE⊥CD，DE=CE，且△AEC为直角三角形。
因为AC=5，CE=，=.
故答案为：4.
【分析】本题根据条件中的作图方法可以发现，AP为线段CD的垂直平分线。然后根据垂直平分线特点和勾股定理，便可以求出AE的值。
16．【答案】5
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；平行四边形的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：如图所示，连接，
根据基本作图，可设，
∵，，，
∴，，，
在中，，由勾股定理得，
∴，
解得，
即，
故答案为：5．
【分析】连接，得到，即可得到，再在中根据勾股定理求出x值即可．
17．【答案】5
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：由题意得：MN垂直平分AB，
∴BE=AE.
∵AC=2BC，CE=3，设BC=x，
则AC=2x，BE=AE=2x－3.
在Rt△BCE中，BC2+CE2=BE2，即x2+32=(2x－3)2，
解得：x=4或x=0（舍去）
即BC=4，
∴BE=AE=5.
故答案为：5.
【分析】根据作图得MN垂直平分AB，根据线段垂直平分线的性质得BE=AE，设BC=x，可得BE=AE=2x－3，在Rt△BCE利用勾股定理，即可求得x的值，即可得到BE的长.
18．【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；三角形全等的判定-AAS；三角形的中位线定理；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：连接CN并延长交AD于P，连接PE，
∵四边形ABCD是矩形
∴∠A=90°，AD//BC
∵E，F分别是边AB，BC的中点，AB=4，BC=8，
∴，，
∵AD//BC，
∴∠DPN=∠FCN，
在△PDN与△CFN中，
∴△PDN≌△CFN(AAS)，
∴PD=CF=4，CN=PN，
∴AP=AD-PD=4，
∴
∵点M是EC的中点，
∴
故答案为：.
【分析】连接CN并延长交AD于P，连接PE，根据矩形的性质得到∠A=90°，AD//BC，根据全等三角形的性质得到PD=CF，根据勾股定理和三角形的中位线定理即可得到结论.
19．【答案】6
【知识点】角平分线的性质；矩形的性质；等腰直角三角形；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：过点O作OF⊥BC于点F，OP⊥AE于点P，过点E作EH⊥AC于点H，如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，AO=CO，
∵OF⊥BC，
∴∠OFC=∠ABC=90°，
∴OF∥AB，
∴OF是△ABC的中位线，
设OF=a，则AB=2OF=2a，
∵AE是∠BAC的平分线，∠ABC=90°，OH⊥AC，
∴EB=EH，设∠BAE=∠CAE=α，
∵∠COE是△OAE的外角，∠AEO=45°，
∴∠COE=∠CAE+∠AEO=α+45°，
在Rt△ABE中，∠AEB=90°-∠BAE=90°-α，
∴∠CEO=180°-（∠AEB+∠AEO）=180°-（90°-α+45°）=α+45°，
∴∠COE=∠CEO=α+45°，
∴CO=CE，
∴AO=CO=CE，
∵OF⊥BC，EH⊥AC，
由三角形的面积公式得：，
∴EH=OF=a，
∴EB=EH=OF=a，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：，
∵OP⊥AE，∠AEO=45°，
∴△OEP是等腰直角三角形，
∴OP=EP，
在Rt△OEP中，，
由由勾股定理得：，
∴，
由三角形的面积公式得：，
∴，
∴AO=5，
在Rt△AOP中，由勾股定理得：，
∴，
∴a=3，
∴AB=2a=6．
故答案为：6．
【分析】过点O作OF⊥BC于点F，OP⊥AE于点P，过点E作EH⊥AC于点H，根据矩形的四个角都是直角，对角线互相平分得出∠ABC=90°，AO=CO，根若在一个三角形中，一条线段是平行于一条边，且等于平行边的一半（这条线段的端点必须是交于另外两条边上的中点），这条线段就是这个三角形的中位线得出OF是△ABC的中位线，设OF=a，则AB=2OF=2a，根据角平分线上的点到角两边的距离相等得出EB=EH，设∠BAE=∠CAE=α，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和得出∠COE=∠CAE+∠AEO=α+45°，推得∠COE=∠CEO=α+45°，得出AO=CO=CE，再由三角形的面积公式得出EH=OF=a，则EB=EH=OF=a，由直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方得出，根据有一个角是直角的等腰三角形是等腰直角三角形得出△OEP是等腰直角三角形，得出OP=EP，由直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方求出OE的值，再由三角形的面积公式得出AO=5，由直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方得出AP的值，求出AE的值，由此得出a=3，继而可得AB的长．
20．【答案】
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定-AAS；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连结CH并延长交AD于点P，连结PE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=90°，AD//BC，AB=AD=BC=4
∵E，F分别是边AB，BC的中点，
∴.
∵AD//BC，
∴∠DPH=∠FCH
∵H是DF的中点，
∴DH=FH.
又∵∠PHD=∠CHF
∴△PDH≌△CFH，
∴PD=CF=2，PH=CH，
∴AP=AD-PD=2，H是PC的中点：
∴
∵G，H分别是EC，PC的中点，
∴GH是△ECP的中位线，
∴，
故答案为：.
【分析】根据正方形的性质，可得∠A=90°，AD//BC，AB=AD=BC=4，通过全等三角形求出PD的长度，进而得到AP的长度，然后求出PE的长度，最后根据G、是中点得出GH与PE的关系，从而求出GH的长度.
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