【湖南卷】备战2026年中考数学真题变式阶梯训练第21~22题
一、原题21
1．（2025·湖南）如图，△ABC的顶点A，C在⊙O上，圆心O在边AB上，∠ACB＝120°，BC与⊙O相切于点C，连接OC．
（1）求∠ACO的度数；
（2）求证：AC＝BC．
【答案】（1）解：∵BC与⊙O相切于点C，
∴OC⊥CB，
∴∠OCB＝90°，
∴∠ACO＝∠ACB﹣∠OCB＝120°﹣90°＝30°
（2）证明：∵OA＝OC，
∴∠A＝∠ACO＝30°，
∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠ACB＝180°﹣120°﹣30°＝30°，
∴∠A＝∠B，
∴AC＝BC
【知识点】等腰三角形的判定；切线的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）由于切线垂直于过切点的半径，因此，则；
（2）由于半径相等，则，再由三角形内角和可得，则等角对等边可得AC=BC.
二、变式1基础
2．木工师傅可以用角尺测量并计算出圆的半径．如图，角尺的直角顶点为B，用角尺的较短边AB紧靠⊙O，并使较长边与⊙O相切于点C．已知AB=8cm，设⊙O的半径为rcm．若BC=12cm，求⊙O的半径．
【答案】解：如图，连结OC，OA，过点A作AD⊥OC，垂足为D．
∵BC与⊙O相切，∴OC⊥BC．
又∠B=90°，AD⊥OC，
∴四边形ABCD是矩形，
∴CD=AB=8cm，AD=BC=12cm，
∴OD=(r-8)cm．．
在Rt△AOD中，OA2=OD2+AD2，
即r2=(r-8)2+122，
解得r=13，即⊙O的半径为13cm
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；切线的性质
【解析】【分析】设圆的半径为rcm，连接OC、OA，作AD⊥OC，垂足为D，利用勾股定理，在Rt△AOD中，得到r2=(r-8)2+122，求出r即可.
3．如图，P是的直径AB延长线上一点，PT切于点.若，求的半径.
【答案】解：如图，
连接OT，
∵OA切⊙O于T点，
∴OT⊥PT，
设OT=x，则OB=x
∴OP=x+2，
在Rt△OPA中
x2+42=（ x+2）2
∴x=3
∴⊙O的半径为3
【知识点】切线的性质
【解析】【分析】本题考查圆的切线的定理.先连接连接OT，利用圆的切线的性质定理可推出OT⊥PT，设OT=x，据此可推出OP=x+2，利用勾股定理可列出方程x2+42=（ x+2）2，，解方程可求出x的值，据此可求出的半径.
4．如图，AB与相切于点.若的直径为，求OA的长.
【答案】解：如图，连结OC，
∵的直径为，
∴OC=4，
∵ AB与相切于点 C
∴ OC⊥AB
∵ OA=OB
∴ AC=AB=5，
∴ OA=.
【知识点】等腰三角形的性质；切线的性质
【解析】【分析】本题考查圆的切线的性质，等腰三角形的性质及勾股定理等知识，熟练掌握切线的性质是解题关键。连结OC，得OC=4，由AB是的切线得OC⊥AB，由等腰三角形得 AC=5，根据勾股定理得OA.
三、变式2巩固
5． 如图所示，在 中， ⊙O 为 的外接圆，BE 为⊙O的切线，AC为⊙O 的直径，连结 DC 并延长，交 BE 于点E.
（1）求证：
（2）若 求⊙O 的半径.
【答案】（1）证明：连结BO并延长，交AD于点H，连结OD，
∵AB=BD，OA=OD，∴BO垂直平分AD，∴BH⊥AD，AH=DH，∵BE为⊙O的切线，∴HB⊥BE，∵AC为⊙O的直径，∴∠ADC=90°，∴四边形BHDE为矩形，∴DE⊥BE
（2）解：由(1)知四边形BHDE为矩形，BH⊥AD，AH=DH，∴AH=设⊙O的半径为r，则OA=OB=r，OH=BH-OB=5-r，在Rt△AOH中，由勾股定理，得解得即⊙O的半径为
【知识点】矩形的判定与性质；切线的性质；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）首先连结BO并延长，交AD于点H，连结OD，根据等腰三角形的三线合一，结合圆的切线的性质，由于直径所对圆周角为直角，由矩形的判定与性质即可证明；
（2）首先由矩形性质与勾股定理求出AH和BH的长，然后利用角度关系与同弧所对圆周角相等，最后设半径，利用方程思想求半径.
6．如图，AB 为⊙O 的直径，CD与⊙O相切于点C，交AB的延长线于点D，连结AC，BC，∠D=30°，CE平分∠ACB交⊙O于点E，过点 B作BF⊥CE，垂足为 F.
（1）求证：CA=CD；
（2）若AB=12，求线段 BF 的长.
【答案】（1）证明：连结OC.
∵CD与⊙O相切于点C，
∴∠OCD=90°.
∵∠D=30°，∴∠COD=90°-∠D=60°.
∴∠A=∠D.∴CA=CD.
（2）解：∵ AB为⊙O的直径，
∵CE平分
∴线段BF的长为
【知识点】含30°角的直角三角形；切线的性质；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】(1)连接OC，利用切线的性质可得 然后利用直角三角形的两个锐角互余可得 ，从而利用圆周角定理可得. 最后根据等角对等边，即可解答；
(2)根据直径所对的圆周角是直角可得 ，从而利用 (1)的结论可得 再利用角平分线的定义可得. 然后在 Rt 中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答.
7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D 为 AB 上一点，以BD 为直径的半圆交 BC于点 F，且AC切半圆O 于点 E.
（1）求证：
（2）若∠A=30°，AB=6，求 CF的长.
【答案】（1）证明：连接OE，OF，如图，
∵AC切☉O于点E，
∴OE⊥AC，
∴∠AEO=90°，
∵∠ACB=90°
∴OE//BC，
∴∠DOE=∠B，∠EOF=∠OFB，
∵OB=OF，
∴∠B=∠OFB，
∴∠DOE=∠EOF
∴
（2）解：设⊙O的半径为r，则OB=OE=r，
在Rt△AOE中，
∵∠A=30°，
∴AO=2OE=r，
∵AB=6，
∴2r+r=6，
解得r=2，
即OB=2，
在Rt△ABC中，
∵∠ACB=90°，∠A=30°，
∴，∠B=60°，
∵OB=OF
∴△OBF为等边三角形，
∴BF=OB=2，
∴CF=BC-BF=3-2=1
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆心角、弧、弦的关系；切线的性质
【解析】【分析】(1)连接OB，OF，如图，先根据切线的性质得到∠AEO=90°，则可判断OE//BC，根据平行线的性质得到∠DOE=∠B，∠EOF=∠OFB，则可证明∠DOE=∠EOF，然后根据圆心角、弧、弦的关系得到结论；
(2)设⊙O的半径为r，则OB=OE=r，在Rt△AOE中利用含30度角的直角三角形三边的关系得到2r+r=6，解得r=2，所以OB=2，接着在Rt△ABC中计算出BC=3，然后证明△OBF为等边三角形得到BF=OB=2，最后计算BC-BF即可.
四、变式3提高
8．（2025·嵊州模拟）已知，正方形ABCD，AB=4，以CD为直径在正方形内部作半圆M，点E是边BC上动点，连结DE交半圆M于点F，连结MF.
（1）若∠CMF=50°，求∠ADE的度数.
（2）如图2，连结AF，将△ADF沿着DE对折，得到△PDF，PF交CD于点N.
①若∠DAF=50°，求∠MFP的度数.
②求MN的最小值.
【答案】（1）解：∵∠CMF=50°，
∴∠CDE=25°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ ADC =90°，
∴∠ADE= 90°-25°=65°
（2）解：①设∠ADF=x°，
则∠DFM=∠CDF =90°-x°，
∴∠DAF=50°，
∴∠DFA=∠DFP=180°-50°-x°=130°-x°，
∴∠MFN=130°-x°-(90°-x°) =40°，
②延长FM交DP于点G，
∵∠ADF=∠PDF，∠MDF=∠MFD，且∠ADF+∠MDF=90°，
∴∠MFD+∠FDP=90°，即FG⊥DP，
∴∠GFP+∠P=90°
∵∠P=∠DAF，
∴∠GFP+∠DAF =90°，
延长AF，DC交于点R，
∴∠R+∠DAF=90°，
∴∠MFN＝∠R，且∠FMR是公共角，
∴△FMR∽△NMF.
，即.
∴当MR的长最大时，MN的长最小，
当AR与半圆M相切时，MR的长最大，即MF⊥AF，
此时△MFR∽△ADR，
，
即，
∴MR=
∴MN的最小值为
【知识点】三角形内角和定理；正方形的性质；切线的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】(1)由正方形的性质可得出答案；
(2)①设∠ADF=x°，则∠DFM=∠CDF=90°-°，得出∠MFP=130°-x°-(90°-x°)=40°；
②延长FM交DP于点G，证明∠GFP+∠DAF=90°，延长AF，DC交于点R，证明△FMR∽△NMF，得出，即，则当MR的长最大时，MN的长最小，当AR与半圆M相切时：MR的长最大，由相似三角形的性质可得出答案.
9．（2025·龙港模拟）如图，是以AB为直径的圆，点在上，CD切于点于点，连结BC．
（1）求证：．
（2）若．
①求BC的长度．
②如图，点在半径AO上，连结CP并延长交于点，且，连结QB，求证：．
【答案】（1）证明：连结CO.
∵CD切⊙O于点C，
∴CO⊥CD，
∵BD⊥CD，
∴CO//BD，
∴∠OCB=∠CBD.
∵CO=BO，
∴∠ABC=∠OCB=∠CBD。
（2）解：①连结AC.
∵∠ACB=∠CDB=90°，∠ABC=∠CBD，
∴△ABC∽△CBD，
∴，
∵AB=10，BD=，
∴BC=8.
②连结CA，延长QO交BC于H，作CM⊥AB交AB于M，QN⊥AB交AB于N，
∵CM⊥AB，QN⊥AB，
∴∠CMA=∠QNO=90°．
又∵∠CPM=∠QPN，
∴△CPM∽△QPN，
∴（设CM=6x，QN=5x）．
∵AB=10，BC=8，
∴AC=6，
∴sin∠CAM=，
∴∠CAM=∠QON，
∴CA//QH.
∵AC⊥CB，QH过圆心O，
∴QH⊥CB且QH平分CB，
∴QB=QC．
【知识点】切线的性质；圆的综合题
【解析】【分析】本题主要考查切线的性质、平行线的判定与性质、等边对等角、相似三角形的判定及性质、 垂径定理等知识。
（1）利用“同位角相等、两直线平行”可得出CO//BD，然后根据“两直线平行、内错角相等”得出∠OCB=∠CBD，最后根据“等边对等角”即可得出证明结果；
（2）①证明出相似三角形△ABC∽△CBD，得出对应边长等比例，代入即可计算出BC的值；②通过证明出CPM∽△QPN，可以得出对应边长的比，然后根据正弦值得出∠CAM=∠QON，进而得出CA//QH，最后根据垂径定理即可得出证明结果。
10．（2024·浙江模拟）如图，是的直径，是上一点，过点作的切线交的延长线于点，．
（1）求的度数；
（2）如图，是线段上的动点，过点作的平行线，交于点，，连接，，．
①当时，求的长；
②当为何值时．
【答案】（1）解： 连接，如图：
，
，
，
是的切线，
，
，即，
又，
，
；
（2）解： ①连接，如图：
是直径，
，
，
，
为等腰直角三角形，
，，
，
，
，，
，
，，
，
又，
，
，
；
②过点作于，连接，过作于，如图：
，
，
，
，
，
，
设，
，
，，
，，
，，
在中，，
，
，，
在中，，
在中，，
，，
，
，
，
，
，
，
即，
解得：（舍去）或，
．
【知识点】垂径定理；切线的性质；A字型相似模型；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）连接，利用圆周角定理得到，利用等边对等角得到，再根据三角形的内角和定理解题即可；
（2）①连接，利用正切的定义得到为等腰直角三角形，求出的长，然后利用，得到，求出和的长，再利用解题即可；
②过点作于，连接，过作于，设，根据相似得到，然后根据勾股定理表示出和、长，然后根据，列方程求出x值解题．
（1）连接，如图：
，
，
，
是的切线，
，
，即，
又，
，
；
（2）①连接，如图：
是直径，
，
，
，
为等腰直角三角形，
，，
，
，
，，
，
，，
，
又，
，
，
；
②过点作于，连接，过作于，如图：
，
，
，
，
，
，
设，
，
，，
，，
，，
在中，，
，
，，
在中，，
在中，，
，，
，
，
，
，
，
，
即，
解得：（舍去）或，
．
五、原题22
11．（2025·湖南）同学们准备在劳动课上制作艾草香包，需购买A，B两种香料．已知A种材料的单价比B种材料的单价多3元，且购买4件A种材料与购买6件B种材料的费用相等．
（1）求A种材料和B种材料的单价；
（2）若需购买A种材料和B种材料共50件，且总费用不超过360元，则最多能购买A种材料多少件？
【答案】（1）解：设A种材料的单价为x元，则B种材料的单价为（x﹣3）元，
由题意得：4x＝6（x﹣3），
解得：x＝9，
∴x﹣3＝6，
答：A种材料的单价为9元，B种材料的单价为6元
（2）解：设能购买A种材料m件，则能购买B种材料（50﹣m）件，
由题意得：9m+6（50﹣m）≤360，
解得：m≤20，
答：最多能购买A种材料20件
【知识点】一元一次不等式的应用；一元一次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设A种材料的单价为x元，则B种材料的单价为（x﹣3）元，由相等关系“ 购买4件A种材料与购买6件B种材料的费用相等 ”列方程并求解即可；
（2）设能购买A种材料m件，则能购买B种材料（50﹣m）件，由不等关系“ 总费用不超过360元 ”列不等式并求解即可.
六、变式1（基础）
12． 商店里一种20瓦(即0.02千瓦)LED灯的亮度相当于60瓦(即0.06千瓦)的节能灯，LED灯售价30元/个，节能灯售价15元/个。如果电价是0.5元/千瓦时，问：LED灯使用多少时间后，总费用(售价加电费)少于选用节能灯的费用(用电量=千瓦数×用电时数)
【答案】解：设LED灯使用时间为t小时，
根据题意列不等式：30+0.5×0.02t <15+0.5×0.06t
解得：t>750
答：LED灯使用超过750小时后，总费用少于选用节能灯的费用
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【分析】本题主要考查一元一次不等式的实际应用。解题的关键是根据题目中的不等关系，列出一元一次不等式，然后求解不等式，最后根据实际情况确定答案.
13．某企业向银行贷款1000万元，一年后归还银行贷款的本利和超过1040万元。问：贷款年利率在怎样的一个范围内
【答案】解：解：设贷款年利率为x%，
由题意得1000(1+x%)>1040，
解得x>4.
答：年利率高于4%
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【分析】分析题意，首先设贷款年利率为x%，根据题目已知条件不难列出不等式1000(1+x%)>1040；接下来只需根据不等式的基本性质，解上述不等式即可.
14． A，B，C，D四座小山的山脚到学校的路程分别是9km，11km，12km，14km。学校准备组织一次八年级学生登山活动，计划在上午8时出发，以平均每小时4km的速度前进，登山和在山顶活动的时间为1小时，下山的时间为30分钟，再以平均每小时3km的速度返回，在下午4时30分前赶回学校。你认为学校可计划登哪几座山 请说明理由。
【答案】解：设路程为skm，
∵出发时间为小时，回家时间小时，总共花费时间8.5小时，活动时间加登山下山时间为1.5+1=2.5小时，
∴，
解得：x<12，
∴A山，B山可以，
答：学校可以计划登A山或B山
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【分析】根据题意，活动时间从上午8时到下午4时30分，总时间为8.5小时；其中登山、在山顶活动、下山的时间共需1.5小时，因此学生用于前进和返回的时间不能超过7小时；利用这些条件，可列出不等式计算.
七、变式2（巩固）
15．（2025八上·盐亭开学考）学校为了“弘扬传统文化，阅读经典名著”，计划给学校图书馆添置书籍，已知购买3本《论语》和5本《诗经共需140元，购买1本《论语》和2本《诗经》共需52元．
（1）求每本《论语》和每本《诗经》各多少元？
（2）学校决定购买《论语》和《诗经》共本，总费用不超过元，那么该学校最多可以购买多少本《论语》？
【答案】（1）解：设每本《论语》为x元，每本《诗经》为y元，
，
解得：，
答：每本《论语》为20元，每本《诗经》为16元；
（2）解：设该学校购买a本《论语》，则《诗经》为本，
由题意，得：；
解得：；
答：最多购买75本《论语》．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)根据题意，设未知数，列二元一次方程组，解之即可得每本书的价格；
(2)在(1)的基础上，设<论语>的数量，然后表示出<诗经>的数量，列出一元一次不等式，解之可得.
16．（2025八上·青秀开学考）“春节一一中国人庆祝传统新年的社会实践”于年月日正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录为弘扬中华传统文化，在综合实践课上，老师计划组织学生编织、两款中国结．个款中国结比个款中国结多用绳米，若编织个款中国结和个款中国结需用绳米．
（1）求编织个款中国结和个款中国结各需用绳多少米；
（2）老师计划编织这两款中国结共个，向学校申请了米绳子，那么最多能编织多少个款中国结？
【答案】（1）编织个款中国结需用米，编织个款中国结需用米
（2）最多能编织个款中国结
【知识点】二元一次方程组的其他应用；一元一次不等式的应用
17．（2025八上·梓潼开学考）炎炎夏日，外观迷你、携带方便的迷你小电扇受到越来越多人的喜爱，某商家计划购进两款迷你小电扇进行销售，已知款迷你小电扇的进价为30元，款迷你小电扇的进价为40元．该商家购进这两种迷你小电扇共100台，用去了3350元．
（1）该商家分别购进这两款迷你小电扇多少台？
（2）为了满足市场需求，该商家决定用不超过5200元的资金再购进一批这两款迷你小电扇共150台，问该商家这次至少购进款迷你小电扇多少台？
【答案】（1）购进A款小电扇65台，款小电扇35台．
（2）80
【知识点】一元一次方程的其他应用；一元一次不等式的应用
八、变式3（提高）
18．（2025九上·揭阳月考）甲乙两件服装的进价共500元，商场决定将甲服装按30%的利润定价，乙服装按20%的利润定价，实际出售时，两件服装均按9折出售，商场卖出这两件服装共获利67元．
（1）求甲乙两件服装的进价各是多少元；
（2）由于乙服装畅销，制衣厂经过两次上调价格后，使乙服装每件的进价达到242元，求每件乙服装进价的平均增长率；
（3）若每件乙服装进价按平均增长率再次上调，商场仍按9折出售，定价至少为多少元时，乙服装才可获得利润（定价取整数）．
【答案】（1）甲服装的进价为300元、乙服装的进价为200元．（2）每件乙服装进价的平均增长率为10%；（3）乙服装的定价至少为296元．
【知识点】一元一次不等式的应用；一元二次方程的实际应用-销售问题
19．（2023八上·期中）金盛嘉悦广场销售每台进价分别为200元，170元的A、B两种型号的电风扇，表中是近两周的销售情况：
销售时段 销售数量 销售收入
A种型号 B种型号
第一周 3台 5台 1800
第二周 4台 10台 3100
（进价、售价均保持不变，利润＝销售收入-进货成本）
（1）求A、B两种型号的电风扇的销售单价；
（2）若金盛嘉悦广场准备用不多于5400元的金额再采购这两种型号的电风扇共30台，求A种型号的电风扇最多能采购多少台？
（3）在（2）的条件下，金盛嘉悦广场销售完这30台电风扇能否实现利润为1400元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由．
【答案】（1）解：设A、B两种型号电风扇的销售单价分别为x元、y元，
依题意得：，
解得：，
答：A、B两种型号电风扇的销售单价分别为250元、210元；
（2）解：设采购A种型号电风扇a台，则采购B种型号电风扇（30-a）台．
依题意得：200a+170（30-a）≤5400，
解得：a≤10．
答：金盛嘉悦广场最多采购A种型号电风扇10台时，采购金额不多于5400元；
（3）解：依题意有：（250-200）a+（210-170）（30-a）＝1400，
解得：a＝20，
∵a≤10，
∴在（2）的条件下金盛嘉悦广场不能实现利润1400元的目标．
【知识点】一元一次不等式的应用；一元一次方程的实际应用-销售问题；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设A、B两种型号电风扇的销售单价分别为x元、y元，根据第一周3台A型，5台B型的销售收入为1800元，和第二章4台A型，10台B型的销售收入为3100，列出方程组，解出方程组即可求解；
（2）设采购A种型号电风扇a台，则采购B种型号电风扇（30-a）台，根据不多于5400元的金额再采购这两种型号的电风扇共30台列出一元一不等式，解出不等式即可；
（3）根据利润=销售收入-成本，列出方程，解出方程与a≤10进行比较即可求解.
20．某中学八年级师生计划包车到研学基地参加社会实践活动，某长运公司有A型、B型两种客车，它们的载客量和日租金如表3-3：
表
车型 每辆载客量/人 每辆租金/元
A型客车 45 1250
B型客车 30 1000
学校根据实际情况，计划租用A，B型两种客车共8辆。设租用A型客车x辆，根据要求回答下列问题：
（1）用含x的式子完成下表
车型 车辆数/辆 载客量/人 租金/元
A型客车 x
B型客车
（2）若要保证租车费用不超过9000元，最多租用A型客车多少辆
（3）参加此次活动的总人数为298人。如果按第(2)题的方案租车，可行吗
【答案】（1）解：设租用A型客车x辆，则A型客车载客量为45x人，A型客车租金为1250x元；租用B型客车(8-x)辆，B型客车载客量为30(8-x)人，B型客车租金为1000(8-x)元。
如表：
车型 车辆数/辆 载客量/人 租金/元
A型客车 x 45x 1250x
B型客车 8-x 30(8-x) 1000(8-x)
（2）解：租车总费用为[1250x+1000(8-x)]元。
由题意，得1250x+1000(8-x)≤9000，解得x≤4。
答：若要保证租车费用不超过9000元，最多租用A型客车4辆
（3）解：当x=4时，即租A型客车4辆，B型客车为8-4=4(辆)，
能载客总人数为45×4+30×4=300(人)。
因为300>298，
所以租A型客车、B型客车各4辆的方案是可行的。
答： 如果按第(2)题的方案租车可行。
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）问题中涉及的量和数量关系有：
A型客车数量+B型客车数量=8；
每种车型载客量=单车载客量×车辆数；
每种车型租金=单车租金×车辆数；
（2）问题中涉及的量和不等关系有：A型客车租金+B型客车租金≤9000。
1 / 1【湖南卷】备战2026年中考数学真题变式阶梯训练第21~22题
一、原题21
1．（2025·湖南）如图，△ABC的顶点A，C在⊙O上，圆心O在边AB上，∠ACB＝120°，BC与⊙O相切于点C，连接OC．
（1）求∠ACO的度数；
（2）求证：AC＝BC．
二、变式1基础
2．木工师傅可以用角尺测量并计算出圆的半径．如图，角尺的直角顶点为B，用角尺的较短边AB紧靠⊙O，并使较长边与⊙O相切于点C．已知AB=8cm，设⊙O的半径为rcm．若BC=12cm，求⊙O的半径．
3．如图，P是的直径AB延长线上一点，PT切于点.若，求的半径.
4．如图，AB与相切于点.若的直径为，求OA的长.
三、变式2巩固
5． 如图所示，在 中， ⊙O 为 的外接圆，BE 为⊙O的切线，AC为⊙O 的直径，连结 DC 并延长，交 BE 于点E.
（1）求证：
（2）若 求⊙O 的半径.
6．如图，AB 为⊙O 的直径，CD与⊙O相切于点C，交AB的延长线于点D，连结AC，BC，∠D=30°，CE平分∠ACB交⊙O于点E，过点 B作BF⊥CE，垂足为 F.
（1）求证：CA=CD；
（2）若AB=12，求线段 BF 的长.
7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D 为 AB 上一点，以BD 为直径的半圆交 BC于点 F，且AC切半圆O 于点 E.
（1）求证：
（2）若∠A=30°，AB=6，求 CF的长.
四、变式3提高
8．（2025·嵊州模拟）已知，正方形ABCD，AB=4，以CD为直径在正方形内部作半圆M，点E是边BC上动点，连结DE交半圆M于点F，连结MF.
（1）若∠CMF=50°，求∠ADE的度数.
（2）如图2，连结AF，将△ADF沿着DE对折，得到△PDF，PF交CD于点N.
①若∠DAF=50°，求∠MFP的度数.
②求MN的最小值.
9．（2025·龙港模拟）如图，是以AB为直径的圆，点在上，CD切于点于点，连结BC．
（1）求证：．
（2）若．
①求BC的长度．
②如图，点在半径AO上，连结CP并延长交于点，且，连结QB，求证：．
10．（2024·浙江模拟）如图，是的直径，是上一点，过点作的切线交的延长线于点，．
（1）求的度数；
（2）如图，是线段上的动点，过点作的平行线，交于点，，连接，，．
①当时，求的长；
②当为何值时．
五、原题22
11．（2025·湖南）同学们准备在劳动课上制作艾草香包，需购买A，B两种香料．已知A种材料的单价比B种材料的单价多3元，且购买4件A种材料与购买6件B种材料的费用相等．
（1）求A种材料和B种材料的单价；
（2）若需购买A种材料和B种材料共50件，且总费用不超过360元，则最多能购买A种材料多少件？
六、变式1（基础）
12． 商店里一种20瓦(即0.02千瓦)LED灯的亮度相当于60瓦(即0.06千瓦)的节能灯，LED灯售价30元/个，节能灯售价15元/个。如果电价是0.5元/千瓦时，问：LED灯使用多少时间后，总费用(售价加电费)少于选用节能灯的费用(用电量=千瓦数×用电时数)
13．某企业向银行贷款1000万元，一年后归还银行贷款的本利和超过1040万元。问：贷款年利率在怎样的一个范围内
14． A，B，C，D四座小山的山脚到学校的路程分别是9km，11km，12km，14km。学校准备组织一次八年级学生登山活动，计划在上午8时出发，以平均每小时4km的速度前进，登山和在山顶活动的时间为1小时，下山的时间为30分钟，再以平均每小时3km的速度返回，在下午4时30分前赶回学校。你认为学校可计划登哪几座山 请说明理由。
七、变式2（巩固）
15．（2025八上·盐亭开学考）学校为了“弘扬传统文化，阅读经典名著”，计划给学校图书馆添置书籍，已知购买3本《论语》和5本《诗经共需140元，购买1本《论语》和2本《诗经》共需52元．
（1）求每本《论语》和每本《诗经》各多少元？
（2）学校决定购买《论语》和《诗经》共本，总费用不超过元，那么该学校最多可以购买多少本《论语》？
16．（2025八上·青秀开学考）“春节一一中国人庆祝传统新年的社会实践”于年月日正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录为弘扬中华传统文化，在综合实践课上，老师计划组织学生编织、两款中国结．个款中国结比个款中国结多用绳米，若编织个款中国结和个款中国结需用绳米．
（1）求编织个款中国结和个款中国结各需用绳多少米；
（2）老师计划编织这两款中国结共个，向学校申请了米绳子，那么最多能编织多少个款中国结？
17．（2025八上·梓潼开学考）炎炎夏日，外观迷你、携带方便的迷你小电扇受到越来越多人的喜爱，某商家计划购进两款迷你小电扇进行销售，已知款迷你小电扇的进价为30元，款迷你小电扇的进价为40元．该商家购进这两种迷你小电扇共100台，用去了3350元．
（1）该商家分别购进这两款迷你小电扇多少台？
（2）为了满足市场需求，该商家决定用不超过5200元的资金再购进一批这两款迷你小电扇共150台，问该商家这次至少购进款迷你小电扇多少台？
八、变式3（提高）
18．（2025九上·揭阳月考）甲乙两件服装的进价共500元，商场决定将甲服装按30%的利润定价，乙服装按20%的利润定价，实际出售时，两件服装均按9折出售，商场卖出这两件服装共获利67元．
（1）求甲乙两件服装的进价各是多少元；
（2）由于乙服装畅销，制衣厂经过两次上调价格后，使乙服装每件的进价达到242元，求每件乙服装进价的平均增长率；
（3）若每件乙服装进价按平均增长率再次上调，商场仍按9折出售，定价至少为多少元时，乙服装才可获得利润（定价取整数）．
19．（2023八上·期中）金盛嘉悦广场销售每台进价分别为200元，170元的A、B两种型号的电风扇，表中是近两周的销售情况：
销售时段 销售数量 销售收入
A种型号 B种型号
第一周 3台 5台 1800
第二周 4台 10台 3100
（进价、售价均保持不变，利润＝销售收入-进货成本）
（1）求A、B两种型号的电风扇的销售单价；
（2）若金盛嘉悦广场准备用不多于5400元的金额再采购这两种型号的电风扇共30台，求A种型号的电风扇最多能采购多少台？
（3）在（2）的条件下，金盛嘉悦广场销售完这30台电风扇能否实现利润为1400元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由．
20．某中学八年级师生计划包车到研学基地参加社会实践活动，某长运公司有A型、B型两种客车，它们的载客量和日租金如表3-3：
表
车型 每辆载客量/人 每辆租金/元
A型客车 45 1250
B型客车 30 1000
学校根据实际情况，计划租用A，B型两种客车共8辆。设租用A型客车x辆，根据要求回答下列问题：
（1）用含x的式子完成下表
车型 车辆数/辆 载客量/人 租金/元
A型客车 x
B型客车
（2）若要保证租车费用不超过9000元，最多租用A型客车多少辆
（3）参加此次活动的总人数为298人。如果按第(2)题的方案租车，可行吗
答案解析部分
1．【答案】（1）解：∵BC与⊙O相切于点C，
∴OC⊥CB，
∴∠OCB＝90°，
∴∠ACO＝∠ACB﹣∠OCB＝120°﹣90°＝30°
（2）证明：∵OA＝OC，
∴∠A＝∠ACO＝30°，
∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠ACB＝180°﹣120°﹣30°＝30°，
∴∠A＝∠B，
∴AC＝BC
【知识点】等腰三角形的判定；切线的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）由于切线垂直于过切点的半径，因此，则；
（2）由于半径相等，则，再由三角形内角和可得，则等角对等边可得AC=BC.
2．【答案】解：如图，连结OC，OA，过点A作AD⊥OC，垂足为D．
∵BC与⊙O相切，∴OC⊥BC．
又∠B=90°，AD⊥OC，
∴四边形ABCD是矩形，
∴CD=AB=8cm，AD=BC=12cm，
∴OD=(r-8)cm．．
在Rt△AOD中，OA2=OD2+AD2，
即r2=(r-8)2+122，
解得r=13，即⊙O的半径为13cm
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；切线的性质
【解析】【分析】设圆的半径为rcm，连接OC、OA，作AD⊥OC，垂足为D，利用勾股定理，在Rt△AOD中，得到r2=(r-8)2+122，求出r即可.
3．【答案】解：如图，
连接OT，
∵OA切⊙O于T点，
∴OT⊥PT，
设OT=x，则OB=x
∴OP=x+2，
在Rt△OPA中
x2+42=（ x+2）2
∴x=3
∴⊙O的半径为3
【知识点】切线的性质
【解析】【分析】本题考查圆的切线的定理.先连接连接OT，利用圆的切线的性质定理可推出OT⊥PT，设OT=x，据此可推出OP=x+2，利用勾股定理可列出方程x2+42=（ x+2）2，，解方程可求出x的值，据此可求出的半径.
4．【答案】解：如图，连结OC，
∵的直径为，
∴OC=4，
∵ AB与相切于点 C
∴ OC⊥AB
∵ OA=OB
∴ AC=AB=5，
∴ OA=.
【知识点】等腰三角形的性质；切线的性质
【解析】【分析】本题考查圆的切线的性质，等腰三角形的性质及勾股定理等知识，熟练掌握切线的性质是解题关键。连结OC，得OC=4，由AB是的切线得OC⊥AB，由等腰三角形得 AC=5，根据勾股定理得OA.
5．【答案】（1）证明：连结BO并延长，交AD于点H，连结OD，
∵AB=BD，OA=OD，∴BO垂直平分AD，∴BH⊥AD，AH=DH，∵BE为⊙O的切线，∴HB⊥BE，∵AC为⊙O的直径，∴∠ADC=90°，∴四边形BHDE为矩形，∴DE⊥BE
（2）解：由(1)知四边形BHDE为矩形，BH⊥AD，AH=DH，∴AH=设⊙O的半径为r，则OA=OB=r，OH=BH-OB=5-r，在Rt△AOH中，由勾股定理，得解得即⊙O的半径为
【知识点】矩形的判定与性质；切线的性质；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）首先连结BO并延长，交AD于点H，连结OD，根据等腰三角形的三线合一，结合圆的切线的性质，由于直径所对圆周角为直角，由矩形的判定与性质即可证明；
（2）首先由矩形性质与勾股定理求出AH和BH的长，然后利用角度关系与同弧所对圆周角相等，最后设半径，利用方程思想求半径.
6．【答案】（1）证明：连结OC.
∵CD与⊙O相切于点C，
∴∠OCD=90°.
∵∠D=30°，∴∠COD=90°-∠D=60°.
∴∠A=∠D.∴CA=CD.
（2）解：∵ AB为⊙O的直径，
∵CE平分
∴线段BF的长为
【知识点】含30°角的直角三角形；切线的性质；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】(1)连接OC，利用切线的性质可得 然后利用直角三角形的两个锐角互余可得 ，从而利用圆周角定理可得. 最后根据等角对等边，即可解答；
(2)根据直径所对的圆周角是直角可得 ，从而利用 (1)的结论可得 再利用角平分线的定义可得. 然后在 Rt 中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答.
7．【答案】（1）证明：连接OE，OF，如图，
∵AC切☉O于点E，
∴OE⊥AC，
∴∠AEO=90°，
∵∠ACB=90°
∴OE//BC，
∴∠DOE=∠B，∠EOF=∠OFB，
∵OB=OF，
∴∠B=∠OFB，
∴∠DOE=∠EOF
∴
（2）解：设⊙O的半径为r，则OB=OE=r，
在Rt△AOE中，
∵∠A=30°，
∴AO=2OE=r，
∵AB=6，
∴2r+r=6，
解得r=2，
即OB=2，
在Rt△ABC中，
∵∠ACB=90°，∠A=30°，
∴，∠B=60°，
∵OB=OF
∴△OBF为等边三角形，
∴BF=OB=2，
∴CF=BC-BF=3-2=1
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆心角、弧、弦的关系；切线的性质
【解析】【分析】(1)连接OB，OF，如图，先根据切线的性质得到∠AEO=90°，则可判断OE//BC，根据平行线的性质得到∠DOE=∠B，∠EOF=∠OFB，则可证明∠DOE=∠EOF，然后根据圆心角、弧、弦的关系得到结论；
(2)设⊙O的半径为r，则OB=OE=r，在Rt△AOE中利用含30度角的直角三角形三边的关系得到2r+r=6，解得r=2，所以OB=2，接着在Rt△ABC中计算出BC=3，然后证明△OBF为等边三角形得到BF=OB=2，最后计算BC-BF即可.
8．【答案】（1）解：∵∠CMF=50°，
∴∠CDE=25°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ ADC =90°，
∴∠ADE= 90°-25°=65°
（2）解：①设∠ADF=x°，
则∠DFM=∠CDF =90°-x°，
∴∠DAF=50°，
∴∠DFA=∠DFP=180°-50°-x°=130°-x°，
∴∠MFN=130°-x°-(90°-x°) =40°，
②延长FM交DP于点G，
∵∠ADF=∠PDF，∠MDF=∠MFD，且∠ADF+∠MDF=90°，
∴∠MFD+∠FDP=90°，即FG⊥DP，
∴∠GFP+∠P=90°
∵∠P=∠DAF，
∴∠GFP+∠DAF =90°，
延长AF，DC交于点R，
∴∠R+∠DAF=90°，
∴∠MFN＝∠R，且∠FMR是公共角，
∴△FMR∽△NMF.
，即.
∴当MR的长最大时，MN的长最小，
当AR与半圆M相切时，MR的长最大，即MF⊥AF，
此时△MFR∽△ADR，
，
即，
∴MR=
∴MN的最小值为
【知识点】三角形内角和定理；正方形的性质；切线的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】(1)由正方形的性质可得出答案；
(2)①设∠ADF=x°，则∠DFM=∠CDF=90°-°，得出∠MFP=130°-x°-(90°-x°)=40°；
②延长FM交DP于点G，证明∠GFP+∠DAF=90°，延长AF，DC交于点R，证明△FMR∽△NMF，得出，即，则当MR的长最大时，MN的长最小，当AR与半圆M相切时：MR的长最大，由相似三角形的性质可得出答案.
9．【答案】（1）证明：连结CO.
∵CD切⊙O于点C，
∴CO⊥CD，
∵BD⊥CD，
∴CO//BD，
∴∠OCB=∠CBD.
∵CO=BO，
∴∠ABC=∠OCB=∠CBD。
（2）解：①连结AC.
∵∠ACB=∠CDB=90°，∠ABC=∠CBD，
∴△ABC∽△CBD，
∴，
∵AB=10，BD=，
∴BC=8.
②连结CA，延长QO交BC于H，作CM⊥AB交AB于M，QN⊥AB交AB于N，
∵CM⊥AB，QN⊥AB，
∴∠CMA=∠QNO=90°．
又∵∠CPM=∠QPN，
∴△CPM∽△QPN，
∴（设CM=6x，QN=5x）．
∵AB=10，BC=8，
∴AC=6，
∴sin∠CAM=，
∴∠CAM=∠QON，
∴CA//QH.
∵AC⊥CB，QH过圆心O，
∴QH⊥CB且QH平分CB，
∴QB=QC．
【知识点】切线的性质；圆的综合题
【解析】【分析】本题主要考查切线的性质、平行线的判定与性质、等边对等角、相似三角形的判定及性质、 垂径定理等知识。
（1）利用“同位角相等、两直线平行”可得出CO//BD，然后根据“两直线平行、内错角相等”得出∠OCB=∠CBD，最后根据“等边对等角”即可得出证明结果；
（2）①证明出相似三角形△ABC∽△CBD，得出对应边长等比例，代入即可计算出BC的值；②通过证明出CPM∽△QPN，可以得出对应边长的比，然后根据正弦值得出∠CAM=∠QON，进而得出CA//QH，最后根据垂径定理即可得出证明结果。
10．【答案】（1）解： 连接，如图：
，
，
，
是的切线，
，
，即，
又，
，
；
（2）解： ①连接，如图：
是直径，
，
，
，
为等腰直角三角形，
，，
，
，
，，
，
，，
，
又，
，
，
；
②过点作于，连接，过作于，如图：
，
，
，
，
，
，
设，
，
，，
，，
，，
在中，，
，
，，
在中，，
在中，，
，，
，
，
，
，
，
，
即，
解得：（舍去）或，
．
【知识点】垂径定理；切线的性质；A字型相似模型；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）连接，利用圆周角定理得到，利用等边对等角得到，再根据三角形的内角和定理解题即可；
（2）①连接，利用正切的定义得到为等腰直角三角形，求出的长，然后利用，得到，求出和的长，再利用解题即可；
②过点作于，连接，过作于，设，根据相似得到，然后根据勾股定理表示出和、长，然后根据，列方程求出x值解题．
（1）连接，如图：
，
，
，
是的切线，
，
，即，
又，
，
；
（2）①连接，如图：
是直径，
，
，
，
为等腰直角三角形，
，，
，
，
，，
，
，，
，
又，
，
，
；
②过点作于，连接，过作于，如图：
，
，
，
，
，
，
设，
，
，，
，，
，，
在中，，
，
，，
在中，，
在中，，
，，
，
，
，
，
，
，
即，
解得：（舍去）或，
．
11．【答案】（1）解：设A种材料的单价为x元，则B种材料的单价为（x﹣3）元，
由题意得：4x＝6（x﹣3），
解得：x＝9，
∴x﹣3＝6，
答：A种材料的单价为9元，B种材料的单价为6元
（2）解：设能购买A种材料m件，则能购买B种材料（50﹣m）件，
由题意得：9m+6（50﹣m）≤360，
解得：m≤20，
答：最多能购买A种材料20件
【知识点】一元一次不等式的应用；一元一次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设A种材料的单价为x元，则B种材料的单价为（x﹣3）元，由相等关系“ 购买4件A种材料与购买6件B种材料的费用相等 ”列方程并求解即可；
（2）设能购买A种材料m件，则能购买B种材料（50﹣m）件，由不等关系“ 总费用不超过360元 ”列不等式并求解即可.
12．【答案】解：设LED灯使用时间为t小时，
根据题意列不等式：30+0.5×0.02t <15+0.5×0.06t
解得：t>750
答：LED灯使用超过750小时后，总费用少于选用节能灯的费用
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【分析】本题主要考查一元一次不等式的实际应用。解题的关键是根据题目中的不等关系，列出一元一次不等式，然后求解不等式，最后根据实际情况确定答案.
13．【答案】解：解：设贷款年利率为x%，
由题意得1000(1+x%)>1040，
解得x>4.
答：年利率高于4%
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【分析】分析题意，首先设贷款年利率为x%，根据题目已知条件不难列出不等式1000(1+x%)>1040；接下来只需根据不等式的基本性质，解上述不等式即可.
14．【答案】解：设路程为skm，
∵出发时间为小时，回家时间小时，总共花费时间8.5小时，活动时间加登山下山时间为1.5+1=2.5小时，
∴，
解得：x<12，
∴A山，B山可以，
答：学校可以计划登A山或B山
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【分析】根据题意，活动时间从上午8时到下午4时30分，总时间为8.5小时；其中登山、在山顶活动、下山的时间共需1.5小时，因此学生用于前进和返回的时间不能超过7小时；利用这些条件，可列出不等式计算.
15．【答案】（1）解：设每本《论语》为x元，每本《诗经》为y元，
，
解得：，
答：每本《论语》为20元，每本《诗经》为16元；
（2）解：设该学校购买a本《论语》，则《诗经》为本，
由题意，得：；
解得：；
答：最多购买75本《论语》．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)根据题意，设未知数，列二元一次方程组，解之即可得每本书的价格；
(2)在(1)的基础上，设<论语>的数量，然后表示出<诗经>的数量，列出一元一次不等式，解之可得.
16．【答案】（1）编织个款中国结需用米，编织个款中国结需用米
（2）最多能编织个款中国结
【知识点】二元一次方程组的其他应用；一元一次不等式的应用
17．【答案】（1）购进A款小电扇65台，款小电扇35台．
（2）80
【知识点】一元一次方程的其他应用；一元一次不等式的应用
18．【答案】（1）甲服装的进价为300元、乙服装的进价为200元．（2）每件乙服装进价的平均增长率为10%；（3）乙服装的定价至少为296元．
【知识点】一元一次不等式的应用；一元二次方程的实际应用-销售问题
19．【答案】（1）解：设A、B两种型号电风扇的销售单价分别为x元、y元，
依题意得：，
解得：，
答：A、B两种型号电风扇的销售单价分别为250元、210元；
（2）解：设采购A种型号电风扇a台，则采购B种型号电风扇（30-a）台．
依题意得：200a+170（30-a）≤5400，
解得：a≤10．
答：金盛嘉悦广场最多采购A种型号电风扇10台时，采购金额不多于5400元；
（3）解：依题意有：（250-200）a+（210-170）（30-a）＝1400，
解得：a＝20，
∵a≤10，
∴在（2）的条件下金盛嘉悦广场不能实现利润1400元的目标．
【知识点】一元一次不等式的应用；一元一次方程的实际应用-销售问题；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设A、B两种型号电风扇的销售单价分别为x元、y元，根据第一周3台A型，5台B型的销售收入为1800元，和第二章4台A型，10台B型的销售收入为3100，列出方程组，解出方程组即可求解；
（2）设采购A种型号电风扇a台，则采购B种型号电风扇（30-a）台，根据不多于5400元的金额再采购这两种型号的电风扇共30台列出一元一不等式，解出不等式即可；
（3）根据利润=销售收入-成本，列出方程，解出方程与a≤10进行比较即可求解.
20．【答案】（1）解：设租用A型客车x辆，则A型客车载客量为45x人，A型客车租金为1250x元；租用B型客车(8-x)辆，B型客车载客量为30(8-x)人，B型客车租金为1000(8-x)元。
如表：
车型 车辆数/辆 载客量/人 租金/元
A型客车 x 45x 1250x
B型客车 8-x 30(8-x) 1000(8-x)
（2）解：租车总费用为[1250x+1000(8-x)]元。
由题意，得1250x+1000(8-x)≤9000，解得x≤4。
答：若要保证租车费用不超过9000元，最多租用A型客车4辆
（3）解：当x=4时，即租A型客车4辆，B型客车为8-4=4(辆)，
能载客总人数为45×4+30×4=300(人)。
因为300>298，
所以租A型客车、B型客车各4辆的方案是可行的。
答： 如果按第(2)题的方案租车可行。
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）问题中涉及的量和数量关系有：
A型客车数量+B型客车数量=8；
每种车型载客量=单车载客量×车辆数；
每种车型租金=单车租金×车辆数；
（2）问题中涉及的量和不等关系有：A型客车租金+B型客车租金≤9000。
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