【精品解析】【湖南卷】备战2026年中考数学真题变式阶梯训练第23~24题

【湖南卷】备战2026年中考数学真题变式阶梯训练第23~24题
一、原题23
1．（2025·湖南）为了解某校七、八年级学生在某段时间内参加公益活动次数（单位：次）的情况，从这两个年级中各随机抽取20名学生进行调查．已知这两个年级的学生人数均为200人．
对抽取的七年级学生在此段时间内参加公益活动次数的统计结果如下：
平均数 方差
6.2 1.46
同时对抽取的八年级学生的调查数据进行如下统计分析．
【收集数据】从八年级抽取的学生在此段时间内参加公益活动次数如下：
9 8 6 10 8 8 7 3 6 7
7 5 8 4 8 5 7 6 8 6
【整理数据】结果如表：
次数x分组 画记 频数
2＜x≤4 T 2
4＜x≤6 正一 6
6＜x≤8 正正 10
8＜x≤10 　 　
【分析数据】数据的平均数是6.8，方差是2.76．
【解决问题】答下列问题：
（1）请补全频数分布表和频数分布直方图；
（2）请估计该校八年级学生在此段时间内参加公益活动次数超过6次的人数；
（3）请从平均数、方差两个量中任选一个，比较该校七、八年级学生在此段时间内参加公益活动次数的情况．
二、变式1基础
2．（2025八下·椒江期末）杭州宇树科技公司生产的人形机器人亮相央视2025春晚，让我们看到了一个技术深度嵌入日常生活，人机协作成为常态的未来已来.某人形机器人公司为参加人形机器人半程马拉松比赛，研发团队对H1、G1两款人形机器人的性能进行6次综合测评，测评结果绘制成如下统计图表：
型号 平均数 (分) 中位数(分) 众数(分) 方差 (分2)
H1 96 95.5 a
G1 b 96 96 5
（1） 填空：=　 　，=　 　；
（2） 根据测评结果，公司决定选H1机器人参加半程马拉松比赛，请你根据相关统计量说明公司选择的理由.
3．（2025八下·诸暨期末）为了提升学生身体素质，某小学开展“跳绳打卡”活动，某班级体育老师分别对甲乙两名同学进行了8次一分钟跳绳测试，测试结果数据如下表1，并根据测试数据绘制数据分析表如下表2.
表1甲乙两名同学一分钟跳绳个数统计表
甲 185 165 160 185 175 180 165 185
乙 175 180 173 172 180 180 165 175
表2测试数据分析表
平均数 中位数 众数 方差
甲 175 a 185 93.75
乙 b 175 c 23.5
（1）根据表中的信息答下列问题：表中a=　 　；b=　 　；C=　 　.
（2）如果从甲乙中选择一位，代表班级参加学校组织的校跳绳比赛，您作为同班级的一份子，您会建议谁参赛较好，请说明理由。
4．（2025·临安模拟）为了解学生科学实验操作情况，随机抽取甲、乙两名同学的10次实验得分，并对他们的得分情况从以下两方面整理描述如下：
操作规范性和书写准确性的得分统计表
操作规范性 书写准确性
平均数 方差 平均数 中位数
甲 4 1.8 a
乙 4 b 2
②书写准确性：
书写准确性的得分统计表
实验次数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
甲 1 1 2 2 2 3 1 3 2 1
乙 1 2 2 3 3 3 2 1 2 1
根据以上信息，回答下列问题：
（1）比较甲乙两人“操作规范性”的方差大小。
（2）综合上表的统计量，请从“操作规范性”和“书写准确性”两方面对两名同学的得分进行评价并说明理由，
三、变式2巩固
5．为了了解九年级学生体育训练情况，随机抽取男生、女生各 40 名进行 1分钟跳绳测试，并对测试结果进行整理，1分钟跳绳的个数用x表示，分成了四个等级，其中A：x≥180，B：160≤x<180，C：140≤x<160，D：x<140.下面给出了部分统计信息：
信息一：女生1分钟跳绳个数扇形统计图
信息二：男生1分钟跳绳个数频数统计表
等级 A B C D
频数 16 a 8 3
信息三：男生和女生1分钟跳绳个数的平均数、众数、中位数、A等级所占百分比如下表：
　 平均数 众数 中位数 A等级所占百分比
男生 168 187 173 40%
女生 168 188 170 30%
根据以上信息，解答下列问题：
（1）m=　 　，a= ；
（2）根据以上数据分析，你认为九年级 1分钟跳绳测试中，男生成绩更优异，还是女生成绩更优异 请说明理由(写出一条理由即可)；
（3）在跳绳个数达到 A 等级的同学中有两名男生和一名女生跳绳的个数超过了230个，体育老师随机从这三位同学中选择两位同学做经验分享，请利用画树状图或列表的方法，求选到这名女生的概率是多少.
6．（2025·临平二模） 学校体育组为了解本学期九年级女生体质健康的变化情况，从九年级全体女生中随机抽取名女生进行体质测试，并调取这名女生上学期的体质测试成绩进行对比．经过对两次成绩进行整理、描述和分析，得出了下面的部分信息：
【信息1】两次测试成绩（满分为100分）的频数分布直方图如下：
（数据分组：，，，，）
【信息2】抽取的名女生上学期测试成绩在的具体分数是：
80 81 83 84 84 88
【信息3】抽取的名女生两个学期测试成绩的平均数、中位数、众数如下表：
学期 平均数 中位数 众数
上学期 82.9 84
本学期 82.9 86 86
根据以上信息，解答下列问题：
（1）本题中，的值为　 　，的值为　 　．
（2）学校体育组计划根据本学期统计数据安排九年级80分以下的同学参加体质加强训练项目，若九年级共有90名女生，估计参加此项目的女生人数．
（3）小林比较了两个学期测试成绩的平均数，发现没有区别，从而得出结论：九年级女生的体质健康没有发生变化．你是否同意他的看法？请说明理由．
7．（2025·温州三模）为了激发学生对人工智能的兴趣，普及人工智能知识，某初中学校组织七、八年级学生参加入工智能科普测试，为了了解活动效果，从两个年级中各抽取10名学生的成绩进行整理分析，分成A，B，C，D四组（用x表示成绩分数)，A组：90≤x≤100，B组：80≤x<90，C组：70≤x<80，D组：x<70，下面是部分信息：
七年级10人的得分：48，57，69，72，84，84，86，91，92，96：
八年级10人的得分在B组中的分数为：84，85，85，86；
两组数据的平均数、中位数、众数如下表所示：
年级 平均数 中位数 众数
七 77.8 84 a
八 77.8 b 85
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：a=　 　，b=　 　，m=　 　.
（2）如果该校七年级有1000人参加测试，八年级有800人参加测试，请估计七、八两个年级得分在A组的共有多少人？
（3）根据以上数据，你认为哪个年级在此次人工智能科普测试中表现更好，请说明理由。
四、变式3提高
8．（2025八下·温州月考）2024年3月23日是第64个世界气象日，主题是“气候行动最前线”，学校以此为主题开展了一系列活动，在活动后期进行了气象知识竞赛，并对竞赛成绩作出如表统计分析：
【收集数据】每班随机挑选10名同学的成绩（满分10分，成绩为整数），
【描述数据】绘制成如表不完整的统计图表，
乙班成绩频数分布表
6 5
7 2
8 1
9 1
10 1
【分析数据】两个班样本数据的平均数、中位数、众数、方差如表所示，
　 平均数 中位数 众数 方差
甲班 7.1 b 8 1.69
乙班 a 6.5 6 1.89
请根据所给信息，解答下列问题：
（1）补全条形统计图；
（2） a=　 　，b=　 　.
（3）小明说：“这次竞赛我得了7分，在我们班中排名属中游偏上！”观察上表可知，小明是　 　班的学生（填“甲”或“乙”）
（4）学校准备对成绩不低于8分的同学颁发一等奖，已知甲班有48人且乙班获得一等奖的人数比甲班少64%，试估计乙班班级人数.
9．某中学科技兴趣小组为了了解本校学生对航天科技的关注程度，学校团委在八、九年级各随机抽取50名团员开展团知识竞赛，为便于统计成绩，制订了取“整十”的计分方式，满分100分．竞赛成绩如图所示．
众数 中位数 方差
八年级竞赛成绩 70 80 188
九年级竞赛成绩 m 80 n
（1）你能用成绩的平均数判断哪个年级的成绩比较好吗？通过计算说明理由．
（2）请根据图表中的信息，回答下列问题：
①表中m=_▲_，n=_▲_.
②现要给成绩突出的年级颁奖，如果分别从众数和方差两个角度来分析，你认为应该给哪个年级颁奖？
（3）若规定成绩100分获特等奖，90分获一等奖，80分获二等奖，则哪个年级的获奖率高？
10．（2024八下·南浔期中）为了开展阳光体育运动，提高学生身体素质，学校开设了“引体向上”课程．为了解学生做引体向上的情况，现从八年级各班随机抽取了部分男生进行测试，绘制出不完整的统计图1和图2，请根据有关信息，解答下列问题：
（1）本次接受随机抽样调查的男生人数为　　，图1中m的值是　　；
（2）本次调查获取的样本数据（6，7，8，9，10）中，众数为　　，中位数为　　；
（3）补全条形统计图；
（4）根据样本数据，若八年级有280名男生，请你估计该校八年级男生“引体向上”次数在8次及以上的人数．
五、原题24
11．（2025·湖南）如图，某处有一个晾衣装置，固定立柱AB和CD分别垂直地面水平线l于点B，D，AB＝19分米，CD＞AB．在点A，C之间的晾衣绳上有固定挂钩E，AE＝13分米，一件连衣裙MN挂在点E处（点M与点E重合），且直线MN⊥l．
（1）如图1，当该连衣裙下端点N刚好接触到地面水平线l时，点E到直线AB的距离EG等于12分米，求该连衣裙MN的长度；
（2）如图2，未避免该连衣裙接触到地面，在另一端固定挂钩F处再挂一条长裤（点F在点E的右侧），若∠BAE＝76.1°，求此时该连衣裙下端N点到地面水平线l的距离约为多少分米？
（结果保留整数，参考数据：sin76.1°≈0.97，cos76.1°≈0.24，tan76.1°≈4.04）
六、变式1（基础）
12．（2025·浙江模拟）数学兴趣小组测量学校旗杆的高度，经历了以下操作（如示意图所示）：①先将旗杆上绳子AC向外拉紧；②测量出在点 C处观察旗杆顶端A的仰角α=83°；③测量出点 C到旗杆的距离=1 m；④测量出点 C到地面的距离y=1.5m.求旗杆 AB 的高为多少m.（参考数据：sin 83°≈0.993，cos 83°≈0.122，tan 83°≈8.144，结果保留两位小数
13．（2025·玉环二模）某停车场入口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置AB绕点旋转到CD的位置．已知米，若栏杆的旋转角，求栏杆端点升高的高度约为多少米？（精确到0.01）
（参考数据如下，sin28°≈0.469，cos28°≈0.883，tan28°≈0.532）
14．（2025·萧山模拟）小区内开车必须遵守限速安全规范．如图，在某小区拐角处的一段道路上，有一儿童在处玩要，一辆汽车从被楼房遮挡的拐角另一侧的处驶来，经过2秒直行到处刚好观察到处的儿童（此时B，O，C三点共线）．已知，试问该汽车是否遵守行车安全规范？
（参考数据：）
七、变式2（巩固）
15．问题情境：筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保.明代科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理(如图①).假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都沿逆时针方向做匀速圆周运动，每旋转一周用时 120秒.
问题设置：把筒车抽象为一个半径为2米的⊙O，如图②.OM始终垂直于水平面，在某一时刻，某盛水筒恰好位于水面A处，此时∠AOM=30°，经过95秒后该盛水筒运动到点B处.
问题解决：
（1）求∠BOM的度数；
（2）求该盛水筒旋转至B处时，它到水面的距离.(结果精确到0.1米，参考数据：
16．（2025·绍兴三模）如图1是某路政部门正在维修路灯的实物图片，可抽象为如图2所示模型，路灯AB和汽车折臂升降机的折臂底座CD都垂直于地面MN，且它们之间的水平距离BC=3m，折臂底座高CD=1.5m，上折臂AE与下折臂DE的夹角∠AED=87°，下折臂DE与折臂底座的夹角∠CDE=135°，下折臂端点E到地面MN距离是4.5m.（结果精确到0.1m，参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74， tan42°≈0.90， ≈1.41)
（1）求下折臂 DE 的长；
（2）求路灯 AB 的高.
17．综合实践：如何测量出路灯的灯杆和灯管支架的长度
素材1：如图①，一种路灯由灯杆AB和灯管支架 BC两部分构成，已知灯杆AB与地面垂直，灯管支架 BC 与灯杆AB 的夹角∠ABC=127°.
素材2：如图②，在路灯正前方的点 D 处测得∠ADB=37°，∠ADC=45°，AD=400 cm.
根据以上素材解决问题：
(结果精确到 1 cm.参考数据： sin 37°≈0.60， cos 37°≈0.80， tan 37°≈0.75)
（1）求灯杆 AB 的长度；
（2）求灯管支架 BC的长度.
八、变式3（提高）
18．（2025·鄞州模拟）随着电动汽车和AI技术的不断发展，通过传感器、人工智能算法、控制器等技术，实现车辆的自主驾驶功能．在检测到障碍物场景下，智能汽车自动通过智算达到自动刹车（或绕过障碍物）．整个刹车过程反应时间分：1、感知障碍物并传输信息；2、计算决策；3、执行决策（刹车或绕行）．从感知到开始执行刹车前，智能系统总反应时间秒之间，低于人类驾驶员秒的反应时间．
总停车距离（） = 反应距离（） + 制动距离（）：记作为：（：从感知到车停共经过的距离，单位米；：感知、计算的反应时间，单位秒；：刹车前行车速度，单位米/秒；：减速度，单位米/秒）．经实地测试，智能汽车在不同行驶速度下检测到障碍物时，刹车制动距离的数据如下：
车速（千米/时） 72 108 ┄
停车距离（米） 35 71.25 ┄
（1）请根据素材求：从感知到车停共经过的距离与刹车前行车速度的函数表达式；
（2）请根据素材回答问题：某智能测试汽车以千米/时正在一个车道正中间行驶时，某时刻前方相距米的货车上突然掉下一包货物几乎布满整个车道（假设掉地后静止不动）．测试汽车感知后立即启动智能程序并计算，
①请你判断，智能汽车不改变方向情况下，能否在货物前停车？
②当汽车在高速行驶时（千米/时），汽车紧急拐弯的角度可以达到，在不减速的情况下拐弯绕行避险，能否成功？
（参考数据：每个车道的宽度为米）
19．（2022九上·诸暨期末）足球射门时，在不考虑其他因素的条件下，射点到球门AB的张角越大，射门越好.当张角达到最大值时，我们称该射点为最佳射门点.通过研究发现，如图1所示，运动员带球在直线CD上行进时，当存在一点Q，使得（此时也有）时，恰好能使球门AB的张角达到最大值，故可以称点Q为直线CD上的最佳射门点.
（1）如图2所示，AB为球门，当运动员带球沿CD行进时，，，为其中的三个射门点，则在这三个射门点中，最佳射门点为点　 　；
（2）如图3所示，是一个矩形形状的足球场，AB为球门，于点D，，.某球员沿CD向球门AB进攻，设最佳射门点为点Q.
①用含a的代数式表示DQ的长度并求出的值；
②已知对方守门员伸开双臂后，可成功防守的范围为，若此时守门员站在张角内，双臂张开MN垂直于AQ进行防守，求MN中点与AB的距离至少为多少时才能确保防守成功.（结果用含a的代数式表示）
20．（2025九上·婺城期末）汽车盲区是指驾驶员位于驾驶座位置，其视线被车体遮挡而不能直接观察到的区域．如图，、分别为汽车两侧盲区的示意图，已知视线与地面的夹角，视线与地面的夹角，点，分别为，与车窗底部的交点，，，垂直地面，点到点的距离．（参考数据：，，，
（1）求车窗底部到地面的高度（即的长）；
（2）求盲区中的长度；
（3）点在上，，在处有一个高度为的物体，驾驶员能观察到物体吗？请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】（1）解：由题意得：“8＜x≤10”的频数为：20﹣2﹣6﹣10＝2，
补全频数分布表和频数分布直方图如下：
结果如表：
次数x分组 画记 频数
2＜x≤4 T 2
4＜x≤6 正一 6
6＜x≤8 正正 10
8＜x≤10 T 2
（2）解：200120（人），
答：估计该校八年级学生在此段时间内参加公益活动次数超过6次的人数为120人
（3）解：选八年级，理由如下：
因为八年级学生参加公益活动次数的平均数比七年级大，所以选八年级．（答案不唯一）
【知识点】用样本估计总体；条形统计图；分析数据的波动程度；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【分析】（1）由题意知八年级共抽取20名学生且把成绩分为四组，其中前三组人数已知，则用样本容量分别减去前面三组的频数可得到第四组频数，再补全直方图即可；
（2）用八年级总人数乘以样本中超过6次的人数占比即可；
（3）平均数是衡量一组数据集中趋势的量，由于八年级的平均次数高于七年级的平均次数，故选择八年级；方差是衡量一组数据稳定性的量，方差越小数据越稳定，也可求出八年级的方差并与七年级进行比较，再选择方差值小的年级.
2．【答案】（1）95；96
（2）解：选H1器人参加半程马拉松比赛，是因为两款机器人测评成绩的平均数相同，但H1的方差比G1小，成绩更稳定.
【知识点】折线统计图；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】(1)由题意可知，H1款人形机器人的6次测评成绩中，95分出现的次数最多，故众数
故答案为： 95， 96；
【分析】(1)分别根据众数和平均数的定义解答即可；
(2)根据平均数和方差的意义解答即可.
3．【答案】（1）177.5；175；180
（2）解：乙，理由：甲和乙的平均数相同，说明两人的平均水平一样，但乙的方差23.5小于甲的方差93.75，方差越小，数据的波动越小，说明乙的成绩更稳定，所以选乙参赛较好。
【知识点】统计表；方差；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】解：（1）【第1空】将甲的跳绳个数从小到大排列：160、165、165、175、180、185、185、185。一共有8个数据，中位数是第4和第5个数的平均数，即，所以a = 177.5；
【第2空】乙的跳绳个数为175、180、173、172、180、180、165、175.所以平均数；
【第3空】乙的数据中180出现了3次，出现的次数最多，所以c=180.
故答案为：a=177.5，b=175，c=180.
【分析】（1）【第1空】中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（如果数据个数是奇数），或者最中间两个数的平均数（如果数据个数是偶数）；通过排列计算，即可得出中位数a；
【第2空】平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以这组数据的个数；通过计算，即可得出平均数b；
【第3空】众数是一组数据中出现次数最多的数据。通过观察数据，即可得出众数c.
（2）方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定；通过比较方差，即可得出答案.
4．【答案】（1）解：由图①来看，很明显甲的波动幅度要大于乙的波动幅度，；
（2）解：由题干可知甲中位数：，
∴；
乙的平均数；
情况①从操作规范性来分析，甲和乙的平均得分相等，但是乙的方差小于甲的方差，
所以乙在物理实验操作中发挥较稳定；
或：情况②从书写准确性来分析，乙的平均得分比甲的平均得分高，
所以乙在物理实验中书写更准确；
或：情况③从两个方面综合分析，乙的操作更稳定，并且书写的准确性更高，
所以乙的综合成绩更好．（言之有理即可）
【知识点】折线统计图；常用统计量的选择；分析数据的波动程度；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【分析】
（1）根据图表及方差定义即可判断；
（2）根据中位数平均数的概念分别求出，j结合表中的统计量，对两名同学的得分进行评价，理由合理即可．
5．【答案】（1）20；13
（2）解：九年级1分钟跳绳男生成绩更优异，理由如下：
∵男生和女生1分钟跳绳个数的平均数相同，但男生的中位数和A等级所占百分比都高于女生，
∴九年级1分钟跳绳男生成绩更优异(答案不唯一，言之有理即可)
（3）解：将两名男生分别记为A，B，一名女生记为C，
列表如下：
　 A B C
A 　 (A，B) (A，C)
B (B，A) 　 (B，C)
C (C，A) (C，B) 　
共有6种等可能的结果，其中选到这名女生的结果有：
(A，C)，(B，C)，(C，A)，(C，B)，共4种，
∴选到这名女生的概率为
【知识点】扇形统计图；用列表法或树状图法求概率；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】解：(1)由扇形统计图可知，B等级所占的百分比为，
∴m%=1-30%-40%-10%=20%，
∴m=20.
a=40-16-8-3=13.
故答案为：20；13.
【分析】(1)根据扇形统计图求出B等级所占的百分比，再用1分别减去A，B，D等级所占的百分比可得m%，即可得m的值；用40分别减去A，C，D等级的频数，可得a的值；
(2)比较男生和女生1分钟跳绳个数的平均数、众数、中位数、A等级所占百分比，可得结论；
(3)列表可出所有等可能的结果数以及选到这名女生的结果数，再利用概率公式可得出答案.
6．【答案】（1）15；83
（2）解：人，
估计参加此项目的女生约为18人 .
（3）解：不同意．
平均数只是衡量数据发展变化的一个指标，在本题中，虽然平均数没有变化，但是中位数和众数都在提高，说明九年级女生的体质健康成绩呈上升趋势．
【知识点】分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】 （1）m=2+3+6+4=15，
上学期成绩的中位数是第8个数据，由题意知第8个数据为83，
所以n=83，
故答案为：15、83
【分析】 （1）将各分组人数相加即可得除m的值，再根据中位数的定义可得n的值；
（2）用总人数乘以样本中80分以下的学生人数所占比例即可；
（3）根据中位数、众数的变化情况及其实际意义可得答案．
7．【答案】（1）84；85；20
（2）解：七年级：（人）；八年级：（人）
（人）
答：七、八两个年级得分在A组的共有460人
（3）解：八年级在此次人工智能科普检测中表现更好，
理由如下：虽然两个年级的平均数相同，但八年级的中位数和众数均高于七年级，
说明八年级学生掌握的较好；
【知识点】分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）七年级10人的得分：48，57，69，72，84，84，86，91，92，96 ，众数为a=84；
八年级10人，其中B组有4人，得分为 84，85，85，86；由扇形统计图可知 C组有3人，D组有1人，A组有2人，根据中位数的概念可知，b=；
八年级一共是10人，在B组一共是4人，得分分别是 84，85，85，86 ，∴B组所占的份数为：，由扇形统计图可知，∴A组所占的份数为：1-30%-10%-40%=20%，∴m=20
【分析】
（1）根据众数的概念，中位数的概念，以及根据扇形统计图求解；
（2）根据样本百分比估计总体，七年级样本总数乘以七年级在A组的占比，得到七年级的得分在A组的人数，八年级根据样本总数乘以扇形统计图中A所占的百分数可得；
（3）根据中位数和众数的数值高低判断即可.
8．【答案】（1）
（2）7.1；7.5
（3）乙
（4）解：设乙班共有x人，则由题意知：
解方程得：
答：乙班大约有29人.
【知识点】一元一次方程的其他应用；条形统计图；平均数及其计算；中位数；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】（1）见解析；
（2）解：；
甲班的中位数为：；
（3）甲班的中位数为：，乙班的中位数为：，且小明的7分在中游偏上
小明应该在乙班.
【分析】（1）直接画出条形统计图即可；
（2）求乙班抽样人数的平均数，可借助加权平均值计算公式直接计算；求甲班抽样人数的中位数，由于成绩已按照从小到大的顺序排列，因为样本容量为10，则中位数等于第5名和第6名同学成绩的平均值；
（3）由于两班学生的平均成绩相等，因此可利用中位数来判断，显然甲班的中位数是7.5，乙班的中位数是6.5，则得到7分的小明同学在乙班的成绩相对靠前；
（4）观察条形统计图和频方分布图知，甲班获奖人数占全班人数的，乙班获奖人数占全班人数的，则乙班获奖人数为甲班获奖人数的，由题意列方程并解方程即可.
9．【答案】（1）解：不能，理由如下：
八年级成绩的平均数是：（分），
九年级成绩的平均数是：（分），
故用平均数无法判定哪个年级的成绩比较好；
（2）解：①九年级竞赛成绩中80出现的次数最多，
故众数；
九年级竞赛成绩的方差为：，
所以，
故答案为：80，156；
②如果从众数角度看，八年级的众数为70，九年级的众数为80，
所以应该给九年级颁奖；
如果从方差角度看，八年级的方差为188，九年级的方差为156，
又因为两个年级的平均数相同，九年级的成绩的波动小，
所以应该给九年级颁奖，
综上所述，应该给九年级颁奖；
（3）解：九年级的获奖率高，
八年级的获奖率为：，
九年级的获奖率为：，
，
九年级的获奖率高．
【知识点】方差；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【分析】（1）根据已知数据求得八年级与就九年级的平均数即可求解；
（2）①众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做众数，(众数可能有多个)；方差就是一组数据的各个数据与其平均数差的平方和的算术平均数，据此分别计算后即可判断得出答案；
②分别从方差与众数两方面分析即可求解；
（3）根据题意分别求得八年级与九年级的获奖率即可求解．
10．【答案】解：（1）40，15；
（2）7，8；
（3）补全条形统计图如图：
（4）280×＝154（人），
答：估计该校八年级男生“引体向上”次数在8次及以上的人数有154人．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】解：（1）本次接受随机抽样调查的男生人数为4÷10%＝40（人），
m%＝×100%＝15%，即m＝15，
故答案为：40，15；
（2）样本中“引体向上”次数为7次的人数为：40﹣6﹣10﹣8﹣4＝12（人），
∴众数为7次，中位数为＝8（次）．
故答案为：7，8；
【分析】（1）根据扇形图和条形图提供的信息，用做“引体向上”10次男生人数除以其所占的百分比即可求出本次接受随机抽样调查的男生人数 ，用做“引体向上”6次的男生人数除以本次接受随机抽样调查的男生人数，即可求出m的数值；
（2）先计算出做“引体向上”7次的男生人数，然后根据众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做众数，(众数可能有多个)；中位数：将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数，求解即可；
（3）根据（2）计算的做“引体向上”7次的男生人数补全条形统计图即可；
（4）用该校八年级男生总人数乘以样本中做“引体向上”次数在8次及以上的人数所占的百分比即可估算出该校八年级男生“引体向上”次数在8次及以上的人数.
11．【答案】（1）解：∵由题可知：在Rt△AGM中，AM＝13分米，MG＝12分米，AG⊥GM，
∴（分米），
∵AB＝19分米，
∴BG＝AB﹣AG＝19﹣5＝14（分米），
∴MN＝BG＝14（分米），
∴该连衣裙MN的长度为14分米
（2）解：如图2，过M作MK⊥AB于K，
∵在Rt△AKM中，AM＝13分米，∠BAM＝76.1°，AK⊥KM，
∴AK＝AM cos76.1°＝13×0.24＝3.12（分米），
∵AB＝19分米，
∴BK＝AB﹣AK＝19﹣3.12＝15.88（分米），
∴BK﹣MN＝15.88﹣14＝1.88≈2（分米），
∴该连衣裙下端N点到地面水平线l的距离约为2分米
【知识点】解直角三角形的其他实际应用；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】（1）由于可判定四边形ENBG是矩形，则MN=BG，此时可在中直接应用勾股定理即可求得AG=5，则MN=AB-AG即可；
（2）如图所示，过M作MK⊥AB于K，由（1）知MN=14，此时只需求出BK的高度即可得出裙子下端距离地面的高度，由于 ∠BAE＝76.1°， 直接解即可求出AK的长，再计算出BK即可.
12．【答案】解：如图，过点C作CD丄AB于点D，作 CE垂直地面于点E.
由题意∠ACD=83°，CD=1 m，CE=1.5 m，
在Rt∠ACD中，AD=CD，tan∠ACD=8.144m.
由AB⊥BE，CD⊥AB，CE⊥BE 得四边形BDCE是矩形，
∴BD=CE=1.5 m，
∴AB=AD+BD=9.644≈9.64(m).
答：旗杆AB的高为9.64 m
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】作CD⊥AB，解Rt△ACD，求出AD的长，再根据AB=AD+BD进行求解即可.
13．【答案】解：过点作于点，
则，
由题意可知：米，，
在Rt中，
，
答：栏杆端点升高的高度约为1.88米．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】本题考查锐角三角函数的应用，栏杆AO绕着点O旋转至OD，点A上升至点D，因此AO=DO，过点D作DF⊥AO，DF的长度即为端点A升高的高度。利用锐角三角函数，可得在Rt中，，即可求出DF的长度。
14．【答案】解：Rt中，
由勾股定理得
又易知RtRt
Rt中，
小车行驶的速度为
即小车行驶符合安全规范
【知识点】相似三角形的实际应用；解直角三角形的其他实际应用；8字型相似模型
【解析】【分析】 题目要求判断汽车是否遵守限速5m/s的安全规范，已知汽车从A点出发，经过2秒到达B点，并在B点首次观察到C处的儿童，结合几何关系，计算汽车的平均速度，并与限速进行比较.
15．【答案】（1）解：∵筒车每旋转一周用时120秒，
∴每秒转过
∴经过95秒后转过3
∴
（2）解：过点B，点A分别作OM的垂线，垂足分别为点C， D， 如图所示：
在 中， 米， (米)。
在 中， 米， (米) ，
(米) ，
即该盛水筒旋转至B处时到水面的距离约为0.3米.
【知识点】圆的相关概念；解直角三角形的其他实际应用；旋转的性质
【解析】【分析】(1)先求出旋转速度，然后根据旋转时间求出结果即可；
(2)过点B，点A分别作OM的垂线，垂足分别为点C，D，解直角三角形先求出 米，O 米 ，最后求出结果即可.
16．【答案】（1）解：4.2如图，作，
，，
，
，
，
，
，
.
（2）解：如图，作，
，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
.
【知识点】解直角三角形的其他实际应用；等腰直角三角形；直角三角形的性质
【解析】【分析】(1)作，可得EG=3m，，再利用等腰直角三角形的性质求得DE的长度.
(2)利用等腰直角三角形的性质得到BF的长度，进而求得EH=6m，再通过正切值求得AH的长度，即可得到AB的长度.
17．【答案】（1）解：∵tan∠BDA=且AD=400，
∴AB=400×0.75=300，
AB约为 300 cm
（2）解：如图，作CM⊥AD，BN⊥CM，
∵AB⊥AD，CM⊥AD，
∴AB∥CM，
∴∠ABN=90°，∠CBN=37°，
∴CN=BC·sin∠CBN=0.6BC，BN=BC·cos∠CBN=0.8BC，
∵∠CDM=45°，
∴CM=MD，
CN+MN=AD-AM，
CN+AB=AD-BN，
0.6BC+300=400-0.8BC，
解得BC=71，
故BC约为 71 cm.
【知识点】解直角三角形的其他实际应用；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—构造直角三角形
【解析】【分析】（1）在Rt△ABD中，利用直角三角形的边角间关系得结论；（2）过点C作CM⊥AD，过点B作BN⊥CM，构造矩形AMNB和直角三角形CMD、CBN．利用直角三角形的边角间关系求出CN，BN，再利用直角三角形的边角间关系求出BC．
18．【答案】（1）解：由题意得，先进行单位转化：72千米/时米/秒；108千米/时米/秒；
经过和
可得，
解得
从感知到车停共经过的距离与刹车前行车速度的函数表达式为；
（2）解：①结论：不能在货物前停车．理由如下： 由题意得，先进行单位转化：64.8千米/时米/秒，
代入函数关系式得：米米，
∴不能在货物前停车．
②避险不成功，理由如下：
智能汽车感知、计算所反应的时间为秒，此时汽车已行进9米，
如图，即，
，
由题意得，，
，
避险不成功．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用；二次函数的其他应用
【解析】【分析】
（1）根据表格中数据利用待定系数法即可确定函数表达式；
（2）①先将64.8千米/时转换18米/秒，再将=18米/秒代入解析式即可解答；
②先求出汽车感知并计算过程中行进的距离，可得出汽车距离障碍物的距离，此时再解直角三角形计算出汽车避险时水平移动的距离，再与车道宽的一半进行比较即可．
（1）解：由题意得，先进行单位转化：72千米/时米/秒；108千米/时米/秒；
经过和
可得，
解得
从感知到车停共经过的距离与刹车前行车速度的函数表达式为；
（2）①结论：不能在货物前停车．理由如下：
由题意得，先进行单位转化：64.8千米/时米/秒，
代入函数关系式得：米米，
∴不能在货物前停车．
②避险不成功，理由如下：
智能汽车感知、计算所反应的时间为秒，此时汽车已行进9米，
如图，即，
，
由题意得，，
，
避险不成功．
19．【答案】（1）
（2）解：①作BE⊥AQ于E，
∵最佳射门点为点Q，
∴，
∵，
∴，
∴△ADQ∽△QDB，
∴，
∵，，
∴，代入比例式得，，
解得，（负值舍去）；
，
∴，，
∴，，
∴，，
则，
；
②过MN中点O作OF⊥AB于F，交AQ于P，
∵守门员伸开双臂后，可成功防守的范围为，
∴当时才能确保防守成功.
∵MN⊥AQ，
∴，
∴，
，
∵，，
∴，
∴，
∵，
，
∵，
∴，
，
∵，
∴，
；
MN中点与AB的距离至少为时才能确保防守成功..
【知识点】矩形的性质；相似三角形的判定与性质；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】（1）解：连接 、 ，
∵CD∥AB，
∴，
∵， ，
∴，
∴，
∴，
∴最佳射门点为
故答案为： ；
【分析】（1）连接 Q2A、Q2B，由平行线的性质得出 ，再根据等腰三角形的性质得出 即可判断；
(2)①根据最佳射门点为点Q，可证△ADQ∽△QDB， 列出比例式即可求出DQ的长度， 作BE⊥AQ于E， 求出线段长，利用三角函数求解即可；②根据题意守门员伸开双臂后，可成功防守的范围为，过MN中点O作OF⊥AB于F，交AQ于P，利用相似三角形的性质求出EM，在解直角三角形求出MP、PF、PO即可.
20．【答案】（1）解：在中，
答：车窗底部到地面的高度为1.12米；
（2）解：由题意：四边形是矩形，
在中，
，
答：盲区中的长度为；
（3）解：能观察到物体。理由如下：如图所示，过点作交于点，
，，
∴，
由，得，
∴，即，
解得：，
在处有一个高度为的物体，驾驶员能观察到物体．
【知识点】相似三角形的实际应用；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）由正弦三角函数知，在中：，由于和都已知，则可直接计算出AC长 ；（2）由于中，可借助的正切三角函数计算；（3）驾驶员能否看到点M处的物体，就看这个物体的高度是否在视线PE上或PE上方，可利用相似测高来具体计算．
（1）解：在中，
答：车窗底部到地面的高度为1.12米
（2）解：由题意：四边形是矩形
，
在中，
，
答：盲区中的长度为
（3）解：过点作，
，，
∴，
由，得，
∴，即，
解得：，
在处有一个高度为的物体，驾驶员能观察到物体．
1 / 1【湖南卷】备战2026年中考数学真题变式阶梯训练第23~24题
一、原题23
1．（2025·湖南）为了解某校七、八年级学生在某段时间内参加公益活动次数（单位：次）的情况，从这两个年级中各随机抽取20名学生进行调查．已知这两个年级的学生人数均为200人．
对抽取的七年级学生在此段时间内参加公益活动次数的统计结果如下：
平均数 方差
6.2 1.46
同时对抽取的八年级学生的调查数据进行如下统计分析．
【收集数据】从八年级抽取的学生在此段时间内参加公益活动次数如下：
9 8 6 10 8 8 7 3 6 7
7 5 8 4 8 5 7 6 8 6
【整理数据】结果如表：
次数x分组 画记 频数
2＜x≤4 T 2
4＜x≤6 正一 6
6＜x≤8 正正 10
8＜x≤10 　 　
【分析数据】数据的平均数是6.8，方差是2.76．
【解决问题】答下列问题：
（1）请补全频数分布表和频数分布直方图；
（2）请估计该校八年级学生在此段时间内参加公益活动次数超过6次的人数；
（3）请从平均数、方差两个量中任选一个，比较该校七、八年级学生在此段时间内参加公益活动次数的情况．
【答案】（1）解：由题意得：“8＜x≤10”的频数为：20﹣2﹣6﹣10＝2，
补全频数分布表和频数分布直方图如下：
结果如表：
次数x分组 画记 频数
2＜x≤4 T 2
4＜x≤6 正一 6
6＜x≤8 正正 10
8＜x≤10 T 2
（2）解：200120（人），
答：估计该校八年级学生在此段时间内参加公益活动次数超过6次的人数为120人
（3）解：选八年级，理由如下：
因为八年级学生参加公益活动次数的平均数比七年级大，所以选八年级．（答案不唯一）
【知识点】用样本估计总体；条形统计图；分析数据的波动程度；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【分析】（1）由题意知八年级共抽取20名学生且把成绩分为四组，其中前三组人数已知，则用样本容量分别减去前面三组的频数可得到第四组频数，再补全直方图即可；
（2）用八年级总人数乘以样本中超过6次的人数占比即可；
（3）平均数是衡量一组数据集中趋势的量，由于八年级的平均次数高于七年级的平均次数，故选择八年级；方差是衡量一组数据稳定性的量，方差越小数据越稳定，也可求出八年级的方差并与七年级进行比较，再选择方差值小的年级.
二、变式1基础
2．（2025八下·椒江期末）杭州宇树科技公司生产的人形机器人亮相央视2025春晚，让我们看到了一个技术深度嵌入日常生活，人机协作成为常态的未来已来.某人形机器人公司为参加人形机器人半程马拉松比赛，研发团队对H1、G1两款人形机器人的性能进行6次综合测评，测评结果绘制成如下统计图表：
型号 平均数 (分) 中位数(分) 众数(分) 方差 (分2)
H1 96 95.5 a
G1 b 96 96 5
（1） 填空：=　 　，=　 　；
（2） 根据测评结果，公司决定选H1机器人参加半程马拉松比赛，请你根据相关统计量说明公司选择的理由.
【答案】（1）95；96
（2）解：选H1器人参加半程马拉松比赛，是因为两款机器人测评成绩的平均数相同，但H1的方差比G1小，成绩更稳定.
【知识点】折线统计图；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】(1)由题意可知，H1款人形机器人的6次测评成绩中，95分出现的次数最多，故众数
故答案为： 95， 96；
【分析】(1)分别根据众数和平均数的定义解答即可；
(2)根据平均数和方差的意义解答即可.
3．（2025八下·诸暨期末）为了提升学生身体素质，某小学开展“跳绳打卡”活动，某班级体育老师分别对甲乙两名同学进行了8次一分钟跳绳测试，测试结果数据如下表1，并根据测试数据绘制数据分析表如下表2.
表1甲乙两名同学一分钟跳绳个数统计表
甲 185 165 160 185 175 180 165 185
乙 175 180 173 172 180 180 165 175
表2测试数据分析表
平均数 中位数 众数 方差
甲 175 a 185 93.75
乙 b 175 c 23.5
（1）根据表中的信息答下列问题：表中a=　 　；b=　 　；C=　 　.
（2）如果从甲乙中选择一位，代表班级参加学校组织的校跳绳比赛，您作为同班级的一份子，您会建议谁参赛较好，请说明理由。
【答案】（1）177.5；175；180
（2）解：乙，理由：甲和乙的平均数相同，说明两人的平均水平一样，但乙的方差23.5小于甲的方差93.75，方差越小，数据的波动越小，说明乙的成绩更稳定，所以选乙参赛较好。
【知识点】统计表；方差；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】解：（1）【第1空】将甲的跳绳个数从小到大排列：160、165、165、175、180、185、185、185。一共有8个数据，中位数是第4和第5个数的平均数，即，所以a = 177.5；
【第2空】乙的跳绳个数为175、180、173、172、180、180、165、175.所以平均数；
【第3空】乙的数据中180出现了3次，出现的次数最多，所以c=180.
故答案为：a=177.5，b=175，c=180.
【分析】（1）【第1空】中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（如果数据个数是奇数），或者最中间两个数的平均数（如果数据个数是偶数）；通过排列计算，即可得出中位数a；
【第2空】平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以这组数据的个数；通过计算，即可得出平均数b；
【第3空】众数是一组数据中出现次数最多的数据。通过观察数据，即可得出众数c.
（2）方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定；通过比较方差，即可得出答案.
4．（2025·临安模拟）为了解学生科学实验操作情况，随机抽取甲、乙两名同学的10次实验得分，并对他们的得分情况从以下两方面整理描述如下：
操作规范性和书写准确性的得分统计表
操作规范性 书写准确性
平均数 方差 平均数 中位数
甲 4 1.8 a
乙 4 b 2
②书写准确性：
书写准确性的得分统计表
实验次数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
甲 1 1 2 2 2 3 1 3 2 1
乙 1 2 2 3 3 3 2 1 2 1
根据以上信息，回答下列问题：
（1）比较甲乙两人“操作规范性”的方差大小。
（2）综合上表的统计量，请从“操作规范性”和“书写准确性”两方面对两名同学的得分进行评价并说明理由，
【答案】（1）解：由图①来看，很明显甲的波动幅度要大于乙的波动幅度，；
（2）解：由题干可知甲中位数：，
∴；
乙的平均数；
情况①从操作规范性来分析，甲和乙的平均得分相等，但是乙的方差小于甲的方差，
所以乙在物理实验操作中发挥较稳定；
或：情况②从书写准确性来分析，乙的平均得分比甲的平均得分高，
所以乙在物理实验中书写更准确；
或：情况③从两个方面综合分析，乙的操作更稳定，并且书写的准确性更高，
所以乙的综合成绩更好．（言之有理即可）
【知识点】折线统计图；常用统计量的选择；分析数据的波动程度；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【分析】
（1）根据图表及方差定义即可判断；
（2）根据中位数平均数的概念分别求出，j结合表中的统计量，对两名同学的得分进行评价，理由合理即可．
三、变式2巩固
5．为了了解九年级学生体育训练情况，随机抽取男生、女生各 40 名进行 1分钟跳绳测试，并对测试结果进行整理，1分钟跳绳的个数用x表示，分成了四个等级，其中A：x≥180，B：160≤x<180，C：140≤x<160，D：x<140.下面给出了部分统计信息：
信息一：女生1分钟跳绳个数扇形统计图
信息二：男生1分钟跳绳个数频数统计表
等级 A B C D
频数 16 a 8 3
信息三：男生和女生1分钟跳绳个数的平均数、众数、中位数、A等级所占百分比如下表：
　 平均数 众数 中位数 A等级所占百分比
男生 168 187 173 40%
女生 168 188 170 30%
根据以上信息，解答下列问题：
（1）m=　 　，a= ；
（2）根据以上数据分析，你认为九年级 1分钟跳绳测试中，男生成绩更优异，还是女生成绩更优异 请说明理由(写出一条理由即可)；
（3）在跳绳个数达到 A 等级的同学中有两名男生和一名女生跳绳的个数超过了230个，体育老师随机从这三位同学中选择两位同学做经验分享，请利用画树状图或列表的方法，求选到这名女生的概率是多少.
【答案】（1）20；13
（2）解：九年级1分钟跳绳男生成绩更优异，理由如下：
∵男生和女生1分钟跳绳个数的平均数相同，但男生的中位数和A等级所占百分比都高于女生，
∴九年级1分钟跳绳男生成绩更优异(答案不唯一，言之有理即可)
（3）解：将两名男生分别记为A，B，一名女生记为C，
列表如下：
　 A B C
A 　 (A，B) (A，C)
B (B，A) 　 (B，C)
C (C，A) (C，B) 　
共有6种等可能的结果，其中选到这名女生的结果有：
(A，C)，(B，C)，(C，A)，(C，B)，共4种，
∴选到这名女生的概率为
【知识点】扇形统计图；用列表法或树状图法求概率；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】解：(1)由扇形统计图可知，B等级所占的百分比为，
∴m%=1-30%-40%-10%=20%，
∴m=20.
a=40-16-8-3=13.
故答案为：20；13.
【分析】(1)根据扇形统计图求出B等级所占的百分比，再用1分别减去A，B，D等级所占的百分比可得m%，即可得m的值；用40分别减去A，C，D等级的频数，可得a的值；
(2)比较男生和女生1分钟跳绳个数的平均数、众数、中位数、A等级所占百分比，可得结论；
(3)列表可出所有等可能的结果数以及选到这名女生的结果数，再利用概率公式可得出答案.
6．（2025·临平二模） 学校体育组为了解本学期九年级女生体质健康的变化情况，从九年级全体女生中随机抽取名女生进行体质测试，并调取这名女生上学期的体质测试成绩进行对比．经过对两次成绩进行整理、描述和分析，得出了下面的部分信息：
【信息1】两次测试成绩（满分为100分）的频数分布直方图如下：
（数据分组：，，，，）
【信息2】抽取的名女生上学期测试成绩在的具体分数是：
80 81 83 84 84 88
【信息3】抽取的名女生两个学期测试成绩的平均数、中位数、众数如下表：
学期 平均数 中位数 众数
上学期 82.9 84
本学期 82.9 86 86
根据以上信息，解答下列问题：
（1）本题中，的值为　 　，的值为　 　．
（2）学校体育组计划根据本学期统计数据安排九年级80分以下的同学参加体质加强训练项目，若九年级共有90名女生，估计参加此项目的女生人数．
（3）小林比较了两个学期测试成绩的平均数，发现没有区别，从而得出结论：九年级女生的体质健康没有发生变化．你是否同意他的看法？请说明理由．
【答案】（1）15；83
（2）解：人，
估计参加此项目的女生约为18人 .
（3）解：不同意．
平均数只是衡量数据发展变化的一个指标，在本题中，虽然平均数没有变化，但是中位数和众数都在提高，说明九年级女生的体质健康成绩呈上升趋势．
【知识点】分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】 （1）m=2+3+6+4=15，
上学期成绩的中位数是第8个数据，由题意知第8个数据为83，
所以n=83，
故答案为：15、83
【分析】 （1）将各分组人数相加即可得除m的值，再根据中位数的定义可得n的值；
（2）用总人数乘以样本中80分以下的学生人数所占比例即可；
（3）根据中位数、众数的变化情况及其实际意义可得答案．
7．（2025·温州三模）为了激发学生对人工智能的兴趣，普及人工智能知识，某初中学校组织七、八年级学生参加入工智能科普测试，为了了解活动效果，从两个年级中各抽取10名学生的成绩进行整理分析，分成A，B，C，D四组（用x表示成绩分数)，A组：90≤x≤100，B组：80≤x<90，C组：70≤x<80，D组：x<70，下面是部分信息：
七年级10人的得分：48，57，69，72，84，84，86，91，92，96：
八年级10人的得分在B组中的分数为：84，85，85，86；
两组数据的平均数、中位数、众数如下表所示：
年级 平均数 中位数 众数
七 77.8 84 a
八 77.8 b 85
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：a=　 　，b=　 　，m=　 　.
（2）如果该校七年级有1000人参加测试，八年级有800人参加测试，请估计七、八两个年级得分在A组的共有多少人？
（3）根据以上数据，你认为哪个年级在此次人工智能科普测试中表现更好，请说明理由。
【答案】（1）84；85；20
（2）解：七年级：（人）；八年级：（人）
（人）
答：七、八两个年级得分在A组的共有460人
（3）解：八年级在此次人工智能科普检测中表现更好，
理由如下：虽然两个年级的平均数相同，但八年级的中位数和众数均高于七年级，
说明八年级学生掌握的较好；
【知识点】分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）七年级10人的得分：48，57，69，72，84，84，86，91，92，96 ，众数为a=84；
八年级10人，其中B组有4人，得分为 84，85，85，86；由扇形统计图可知 C组有3人，D组有1人，A组有2人，根据中位数的概念可知，b=；
八年级一共是10人，在B组一共是4人，得分分别是 84，85，85，86 ，∴B组所占的份数为：，由扇形统计图可知，∴A组所占的份数为：1-30%-10%-40%=20%，∴m=20
【分析】
（1）根据众数的概念，中位数的概念，以及根据扇形统计图求解；
（2）根据样本百分比估计总体，七年级样本总数乘以七年级在A组的占比，得到七年级的得分在A组的人数，八年级根据样本总数乘以扇形统计图中A所占的百分数可得；
（3）根据中位数和众数的数值高低判断即可.
四、变式3提高
8．（2025八下·温州月考）2024年3月23日是第64个世界气象日，主题是“气候行动最前线”，学校以此为主题开展了一系列活动，在活动后期进行了气象知识竞赛，并对竞赛成绩作出如表统计分析：
【收集数据】每班随机挑选10名同学的成绩（满分10分，成绩为整数），
【描述数据】绘制成如表不完整的统计图表，
乙班成绩频数分布表
6 5
7 2
8 1
9 1
10 1
【分析数据】两个班样本数据的平均数、中位数、众数、方差如表所示，
　 平均数 中位数 众数 方差
甲班 7.1 b 8 1.69
乙班 a 6.5 6 1.89
请根据所给信息，解答下列问题：
（1）补全条形统计图；
（2） a=　 　，b=　 　.
（3）小明说：“这次竞赛我得了7分，在我们班中排名属中游偏上！”观察上表可知，小明是　 　班的学生（填“甲”或“乙”）
（4）学校准备对成绩不低于8分的同学颁发一等奖，已知甲班有48人且乙班获得一等奖的人数比甲班少64%，试估计乙班班级人数.
【答案】（1）
（2）7.1；7.5
（3）乙
（4）解：设乙班共有x人，则由题意知：
解方程得：
答：乙班大约有29人.
【知识点】一元一次方程的其他应用；条形统计图；平均数及其计算；中位数；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】（1）见解析；
（2）解：；
甲班的中位数为：；
（3）甲班的中位数为：，乙班的中位数为：，且小明的7分在中游偏上
小明应该在乙班.
【分析】（1）直接画出条形统计图即可；
（2）求乙班抽样人数的平均数，可借助加权平均值计算公式直接计算；求甲班抽样人数的中位数，由于成绩已按照从小到大的顺序排列，因为样本容量为10，则中位数等于第5名和第6名同学成绩的平均值；
（3）由于两班学生的平均成绩相等，因此可利用中位数来判断，显然甲班的中位数是7.5，乙班的中位数是6.5，则得到7分的小明同学在乙班的成绩相对靠前；
（4）观察条形统计图和频方分布图知，甲班获奖人数占全班人数的，乙班获奖人数占全班人数的，则乙班获奖人数为甲班获奖人数的，由题意列方程并解方程即可.
9．某中学科技兴趣小组为了了解本校学生对航天科技的关注程度，学校团委在八、九年级各随机抽取50名团员开展团知识竞赛，为便于统计成绩，制订了取“整十”的计分方式，满分100分．竞赛成绩如图所示．
众数 中位数 方差
八年级竞赛成绩 70 80 188
九年级竞赛成绩 m 80 n
（1）你能用成绩的平均数判断哪个年级的成绩比较好吗？通过计算说明理由．
（2）请根据图表中的信息，回答下列问题：
①表中m=_▲_，n=_▲_.
②现要给成绩突出的年级颁奖，如果分别从众数和方差两个角度来分析，你认为应该给哪个年级颁奖？
（3）若规定成绩100分获特等奖，90分获一等奖，80分获二等奖，则哪个年级的获奖率高？
【答案】（1）解：不能，理由如下：
八年级成绩的平均数是：（分），
九年级成绩的平均数是：（分），
故用平均数无法判定哪个年级的成绩比较好；
（2）解：①九年级竞赛成绩中80出现的次数最多，
故众数；
九年级竞赛成绩的方差为：，
所以，
故答案为：80，156；
②如果从众数角度看，八年级的众数为70，九年级的众数为80，
所以应该给九年级颁奖；
如果从方差角度看，八年级的方差为188，九年级的方差为156，
又因为两个年级的平均数相同，九年级的成绩的波动小，
所以应该给九年级颁奖，
综上所述，应该给九年级颁奖；
（3）解：九年级的获奖率高，
八年级的获奖率为：，
九年级的获奖率为：，
，
九年级的获奖率高．
【知识点】方差；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【分析】（1）根据已知数据求得八年级与就九年级的平均数即可求解；
（2）①众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做众数，(众数可能有多个)；方差就是一组数据的各个数据与其平均数差的平方和的算术平均数，据此分别计算后即可判断得出答案；
②分别从方差与众数两方面分析即可求解；
（3）根据题意分别求得八年级与九年级的获奖率即可求解．
10．（2024八下·南浔期中）为了开展阳光体育运动，提高学生身体素质，学校开设了“引体向上”课程．为了解学生做引体向上的情况，现从八年级各班随机抽取了部分男生进行测试，绘制出不完整的统计图1和图2，请根据有关信息，解答下列问题：
（1）本次接受随机抽样调查的男生人数为　　，图1中m的值是　　；
（2）本次调查获取的样本数据（6，7，8，9，10）中，众数为　　，中位数为　　；
（3）补全条形统计图；
（4）根据样本数据，若八年级有280名男生，请你估计该校八年级男生“引体向上”次数在8次及以上的人数．
【答案】解：（1）40，15；
（2）7，8；
（3）补全条形统计图如图：
（4）280×＝154（人），
答：估计该校八年级男生“引体向上”次数在8次及以上的人数有154人．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】解：（1）本次接受随机抽样调查的男生人数为4÷10%＝40（人），
m%＝×100%＝15%，即m＝15，
故答案为：40，15；
（2）样本中“引体向上”次数为7次的人数为：40﹣6﹣10﹣8﹣4＝12（人），
∴众数为7次，中位数为＝8（次）．
故答案为：7，8；
【分析】（1）根据扇形图和条形图提供的信息，用做“引体向上”10次男生人数除以其所占的百分比即可求出本次接受随机抽样调查的男生人数 ，用做“引体向上”6次的男生人数除以本次接受随机抽样调查的男生人数，即可求出m的数值；
（2）先计算出做“引体向上”7次的男生人数，然后根据众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做众数，(众数可能有多个)；中位数：将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数，求解即可；
（3）根据（2）计算的做“引体向上”7次的男生人数补全条形统计图即可；
（4）用该校八年级男生总人数乘以样本中做“引体向上”次数在8次及以上的人数所占的百分比即可估算出该校八年级男生“引体向上”次数在8次及以上的人数.
五、原题24
11．（2025·湖南）如图，某处有一个晾衣装置，固定立柱AB和CD分别垂直地面水平线l于点B，D，AB＝19分米，CD＞AB．在点A，C之间的晾衣绳上有固定挂钩E，AE＝13分米，一件连衣裙MN挂在点E处（点M与点E重合），且直线MN⊥l．
（1）如图1，当该连衣裙下端点N刚好接触到地面水平线l时，点E到直线AB的距离EG等于12分米，求该连衣裙MN的长度；
（2）如图2，未避免该连衣裙接触到地面，在另一端固定挂钩F处再挂一条长裤（点F在点E的右侧），若∠BAE＝76.1°，求此时该连衣裙下端N点到地面水平线l的距离约为多少分米？
（结果保留整数，参考数据：sin76.1°≈0.97，cos76.1°≈0.24，tan76.1°≈4.04）
【答案】（1）解：∵由题可知：在Rt△AGM中，AM＝13分米，MG＝12分米，AG⊥GM，
∴（分米），
∵AB＝19分米，
∴BG＝AB﹣AG＝19﹣5＝14（分米），
∴MN＝BG＝14（分米），
∴该连衣裙MN的长度为14分米
（2）解：如图2，过M作MK⊥AB于K，
∵在Rt△AKM中，AM＝13分米，∠BAM＝76.1°，AK⊥KM，
∴AK＝AM cos76.1°＝13×0.24＝3.12（分米），
∵AB＝19分米，
∴BK＝AB﹣AK＝19﹣3.12＝15.88（分米），
∴BK﹣MN＝15.88﹣14＝1.88≈2（分米），
∴该连衣裙下端N点到地面水平线l的距离约为2分米
【知识点】解直角三角形的其他实际应用；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】（1）由于可判定四边形ENBG是矩形，则MN=BG，此时可在中直接应用勾股定理即可求得AG=5，则MN=AB-AG即可；
（2）如图所示，过M作MK⊥AB于K，由（1）知MN=14，此时只需求出BK的高度即可得出裙子下端距离地面的高度，由于 ∠BAE＝76.1°， 直接解即可求出AK的长，再计算出BK即可.
六、变式1（基础）
12．（2025·浙江模拟）数学兴趣小组测量学校旗杆的高度，经历了以下操作（如示意图所示）：①先将旗杆上绳子AC向外拉紧；②测量出在点 C处观察旗杆顶端A的仰角α=83°；③测量出点 C到旗杆的距离=1 m；④测量出点 C到地面的距离y=1.5m.求旗杆 AB 的高为多少m.（参考数据：sin 83°≈0.993，cos 83°≈0.122，tan 83°≈8.144，结果保留两位小数
【答案】解：如图，过点C作CD丄AB于点D，作 CE垂直地面于点E.
由题意∠ACD=83°，CD=1 m，CE=1.5 m，
在Rt∠ACD中，AD=CD，tan∠ACD=8.144m.
由AB⊥BE，CD⊥AB，CE⊥BE 得四边形BDCE是矩形，
∴BD=CE=1.5 m，
∴AB=AD+BD=9.644≈9.64(m).
答：旗杆AB的高为9.64 m
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】作CD⊥AB，解Rt△ACD，求出AD的长，再根据AB=AD+BD进行求解即可.
13．（2025·玉环二模）某停车场入口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置AB绕点旋转到CD的位置．已知米，若栏杆的旋转角，求栏杆端点升高的高度约为多少米？（精确到0.01）
（参考数据如下，sin28°≈0.469，cos28°≈0.883，tan28°≈0.532）
【答案】解：过点作于点，
则，
由题意可知：米，，
在Rt中，
，
答：栏杆端点升高的高度约为1.88米．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】本题考查锐角三角函数的应用，栏杆AO绕着点O旋转至OD，点A上升至点D，因此AO=DO，过点D作DF⊥AO，DF的长度即为端点A升高的高度。利用锐角三角函数，可得在Rt中，，即可求出DF的长度。
14．（2025·萧山模拟）小区内开车必须遵守限速安全规范．如图，在某小区拐角处的一段道路上，有一儿童在处玩要，一辆汽车从被楼房遮挡的拐角另一侧的处驶来，经过2秒直行到处刚好观察到处的儿童（此时B，O，C三点共线）．已知，试问该汽车是否遵守行车安全规范？
（参考数据：）
【答案】解：Rt中，
由勾股定理得
又易知RtRt
Rt中，
小车行驶的速度为
即小车行驶符合安全规范
【知识点】相似三角形的实际应用；解直角三角形的其他实际应用；8字型相似模型
【解析】【分析】 题目要求判断汽车是否遵守限速5m/s的安全规范，已知汽车从A点出发，经过2秒到达B点，并在B点首次观察到C处的儿童，结合几何关系，计算汽车的平均速度，并与限速进行比较.
七、变式2（巩固）
15．问题情境：筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保.明代科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理(如图①).假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都沿逆时针方向做匀速圆周运动，每旋转一周用时 120秒.
问题设置：把筒车抽象为一个半径为2米的⊙O，如图②.OM始终垂直于水平面，在某一时刻，某盛水筒恰好位于水面A处，此时∠AOM=30°，经过95秒后该盛水筒运动到点B处.
问题解决：
（1）求∠BOM的度数；
（2）求该盛水筒旋转至B处时，它到水面的距离.(结果精确到0.1米，参考数据：
【答案】（1）解：∵筒车每旋转一周用时120秒，
∴每秒转过
∴经过95秒后转过3
∴
（2）解：过点B，点A分别作OM的垂线，垂足分别为点C， D， 如图所示：
在 中， 米， (米)。
在 中， 米， (米) ，
(米) ，
即该盛水筒旋转至B处时到水面的距离约为0.3米.
【知识点】圆的相关概念；解直角三角形的其他实际应用；旋转的性质
【解析】【分析】(1)先求出旋转速度，然后根据旋转时间求出结果即可；
(2)过点B，点A分别作OM的垂线，垂足分别为点C，D，解直角三角形先求出 米，O 米 ，最后求出结果即可.
16．（2025·绍兴三模）如图1是某路政部门正在维修路灯的实物图片，可抽象为如图2所示模型，路灯AB和汽车折臂升降机的折臂底座CD都垂直于地面MN，且它们之间的水平距离BC=3m，折臂底座高CD=1.5m，上折臂AE与下折臂DE的夹角∠AED=87°，下折臂DE与折臂底座的夹角∠CDE=135°，下折臂端点E到地面MN距离是4.5m.（结果精确到0.1m，参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74， tan42°≈0.90， ≈1.41)
（1）求下折臂 DE 的长；
（2）求路灯 AB 的高.
【答案】（1）解：4.2如图，作，
，，
，
，
，
，
，
.
（2）解：如图，作，
，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
.
【知识点】解直角三角形的其他实际应用；等腰直角三角形；直角三角形的性质
【解析】【分析】(1)作，可得EG=3m，，再利用等腰直角三角形的性质求得DE的长度.
(2)利用等腰直角三角形的性质得到BF的长度，进而求得EH=6m，再通过正切值求得AH的长度，即可得到AB的长度.
17．综合实践：如何测量出路灯的灯杆和灯管支架的长度
素材1：如图①，一种路灯由灯杆AB和灯管支架 BC两部分构成，已知灯杆AB与地面垂直，灯管支架 BC 与灯杆AB 的夹角∠ABC=127°.
素材2：如图②，在路灯正前方的点 D 处测得∠ADB=37°，∠ADC=45°，AD=400 cm.
根据以上素材解决问题：
(结果精确到 1 cm.参考数据： sin 37°≈0.60， cos 37°≈0.80， tan 37°≈0.75)
（1）求灯杆 AB 的长度；
（2）求灯管支架 BC的长度.
【答案】（1）解：∵tan∠BDA=且AD=400，
∴AB=400×0.75=300，
AB约为 300 cm
（2）解：如图，作CM⊥AD，BN⊥CM，
∵AB⊥AD，CM⊥AD，
∴AB∥CM，
∴∠ABN=90°，∠CBN=37°，
∴CN=BC·sin∠CBN=0.6BC，BN=BC·cos∠CBN=0.8BC，
∵∠CDM=45°，
∴CM=MD，
CN+MN=AD-AM，
CN+AB=AD-BN，
0.6BC+300=400-0.8BC，
解得BC=71，
故BC约为 71 cm.
【知识点】解直角三角形的其他实际应用；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—构造直角三角形
【解析】【分析】（1）在Rt△ABD中，利用直角三角形的边角间关系得结论；（2）过点C作CM⊥AD，过点B作BN⊥CM，构造矩形AMNB和直角三角形CMD、CBN．利用直角三角形的边角间关系求出CN，BN，再利用直角三角形的边角间关系求出BC．
八、变式3（提高）
18．（2025·鄞州模拟）随着电动汽车和AI技术的不断发展，通过传感器、人工智能算法、控制器等技术，实现车辆的自主驾驶功能．在检测到障碍物场景下，智能汽车自动通过智算达到自动刹车（或绕过障碍物）．整个刹车过程反应时间分：1、感知障碍物并传输信息；2、计算决策；3、执行决策（刹车或绕行）．从感知到开始执行刹车前，智能系统总反应时间秒之间，低于人类驾驶员秒的反应时间．
总停车距离（） = 反应距离（） + 制动距离（）：记作为：（：从感知到车停共经过的距离，单位米；：感知、计算的反应时间，单位秒；：刹车前行车速度，单位米/秒；：减速度，单位米/秒）．经实地测试，智能汽车在不同行驶速度下检测到障碍物时，刹车制动距离的数据如下：
车速（千米/时） 72 108 ┄
停车距离（米） 35 71.25 ┄
（1）请根据素材求：从感知到车停共经过的距离与刹车前行车速度的函数表达式；
（2）请根据素材回答问题：某智能测试汽车以千米/时正在一个车道正中间行驶时，某时刻前方相距米的货车上突然掉下一包货物几乎布满整个车道（假设掉地后静止不动）．测试汽车感知后立即启动智能程序并计算，
①请你判断，智能汽车不改变方向情况下，能否在货物前停车？
②当汽车在高速行驶时（千米/时），汽车紧急拐弯的角度可以达到，在不减速的情况下拐弯绕行避险，能否成功？
（参考数据：每个车道的宽度为米）
【答案】（1）解：由题意得，先进行单位转化：72千米/时米/秒；108千米/时米/秒；
经过和
可得，
解得
从感知到车停共经过的距离与刹车前行车速度的函数表达式为；
（2）解：①结论：不能在货物前停车．理由如下： 由题意得，先进行单位转化：64.8千米/时米/秒，
代入函数关系式得：米米，
∴不能在货物前停车．
②避险不成功，理由如下：
智能汽车感知、计算所反应的时间为秒，此时汽车已行进9米，
如图，即，
，
由题意得，，
，
避险不成功．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用；二次函数的其他应用
【解析】【分析】
（1）根据表格中数据利用待定系数法即可确定函数表达式；
（2）①先将64.8千米/时转换18米/秒，再将=18米/秒代入解析式即可解答；
②先求出汽车感知并计算过程中行进的距离，可得出汽车距离障碍物的距离，此时再解直角三角形计算出汽车避险时水平移动的距离，再与车道宽的一半进行比较即可．
（1）解：由题意得，先进行单位转化：72千米/时米/秒；108千米/时米/秒；
经过和
可得，
解得
从感知到车停共经过的距离与刹车前行车速度的函数表达式为；
（2）①结论：不能在货物前停车．理由如下：
由题意得，先进行单位转化：64.8千米/时米/秒，
代入函数关系式得：米米，
∴不能在货物前停车．
②避险不成功，理由如下：
智能汽车感知、计算所反应的时间为秒，此时汽车已行进9米，
如图，即，
，
由题意得，，
，
避险不成功．
19．（2022九上·诸暨期末）足球射门时，在不考虑其他因素的条件下，射点到球门AB的张角越大，射门越好.当张角达到最大值时，我们称该射点为最佳射门点.通过研究发现，如图1所示，运动员带球在直线CD上行进时，当存在一点Q，使得（此时也有）时，恰好能使球门AB的张角达到最大值，故可以称点Q为直线CD上的最佳射门点.
（1）如图2所示，AB为球门，当运动员带球沿CD行进时，，，为其中的三个射门点，则在这三个射门点中，最佳射门点为点　 　；
（2）如图3所示，是一个矩形形状的足球场，AB为球门，于点D，，.某球员沿CD向球门AB进攻，设最佳射门点为点Q.
①用含a的代数式表示DQ的长度并求出的值；
②已知对方守门员伸开双臂后，可成功防守的范围为，若此时守门员站在张角内，双臂张开MN垂直于AQ进行防守，求MN中点与AB的距离至少为多少时才能确保防守成功.（结果用含a的代数式表示）
【答案】（1）
（2）解：①作BE⊥AQ于E，
∵最佳射门点为点Q，
∴，
∵，
∴，
∴△ADQ∽△QDB，
∴，
∵，，
∴，代入比例式得，，
解得，（负值舍去）；
，
∴，，
∴，，
∴，，
则，
；
②过MN中点O作OF⊥AB于F，交AQ于P，
∵守门员伸开双臂后，可成功防守的范围为，
∴当时才能确保防守成功.
∵MN⊥AQ，
∴，
∴，
，
∵，，
∴，
∴，
∵，
，
∵，
∴，
，
∵，
∴，
；
MN中点与AB的距离至少为时才能确保防守成功..
【知识点】矩形的性质；相似三角形的判定与性质；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】（1）解：连接 、 ，
∵CD∥AB，
∴，
∵， ，
∴，
∴，
∴，
∴最佳射门点为
故答案为： ；
【分析】（1）连接 Q2A、Q2B，由平行线的性质得出 ，再根据等腰三角形的性质得出 即可判断；
(2)①根据最佳射门点为点Q，可证△ADQ∽△QDB， 列出比例式即可求出DQ的长度， 作BE⊥AQ于E， 求出线段长，利用三角函数求解即可；②根据题意守门员伸开双臂后，可成功防守的范围为，过MN中点O作OF⊥AB于F，交AQ于P，利用相似三角形的性质求出EM，在解直角三角形求出MP、PF、PO即可.
20．（2025九上·婺城期末）汽车盲区是指驾驶员位于驾驶座位置，其视线被车体遮挡而不能直接观察到的区域．如图，、分别为汽车两侧盲区的示意图，已知视线与地面的夹角，视线与地面的夹角，点，分别为，与车窗底部的交点，，，垂直地面，点到点的距离．（参考数据：，，，
（1）求车窗底部到地面的高度（即的长）；
（2）求盲区中的长度；
（3）点在上，，在处有一个高度为的物体，驾驶员能观察到物体吗？请说明理由．
【答案】（1）解：在中，
答：车窗底部到地面的高度为1.12米；
（2）解：由题意：四边形是矩形，
在中，
，
答：盲区中的长度为；
（3）解：能观察到物体。理由如下：如图所示，过点作交于点，
，，
∴，
由，得，
∴，即，
解得：，
在处有一个高度为的物体，驾驶员能观察到物体．
【知识点】相似三角形的实际应用；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）由正弦三角函数知，在中：，由于和都已知，则可直接计算出AC长 ；（2）由于中，可借助的正切三角函数计算；（3）驾驶员能否看到点M处的物体，就看这个物体的高度是否在视线PE上或PE上方，可利用相似测高来具体计算．
（1）解：在中，
答：车窗底部到地面的高度为1.12米
（2）解：由题意：四边形是矩形
，
在中，
，
答：盲区中的长度为
（3）解：过点作，
，，
∴，
由，得，
∴，即，
解得：，
在处有一个高度为的物体，驾驶员能观察到物体．
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